平面力系工程力学
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设在刚体上A点有一个力F，现要将它平行移动到刚体内的 任意指定点B，而不改变它对刚体的作用效应。为此，可在B点 加上一对平衡力F′，F″，如图2.2所示，并使它们的作用线与力 F的作用线平行，且F=F′=F″，根据加减平衡力系公理， 三个力 与原力F对刚体的作用效应相同。力F、F″组成一个力偶M，其 力偶矩的大小等于原力F对B点之矩，即
分力的矢量和，即
FR' F1' F2' Fn' Fi' Fi （2.2）
在平面直角坐标系中，则有
FR'x Fx
FR'y
Fy
（2.3）
FR' (FR' x )2 (FR' y )2
tan Fy Fx
(
Fx )2 (
Fy
)2
(2.4)
式中， FR'x, FR'y, Fx, Fy分别为主矢FR′和各力在x, y轴上的投影；
(2) FR′ ≠0, MO =0。原力系与一个力等效，即原力系可简化 为一个合力。合力等于主矢，合力的作用线通过简化中心。
(3) FR′=0,MO≠0。原力系与一个力偶等效，即原力系可简化 为一个合力偶。合力偶矩等于主矩，此时，主矩与简化中心的 位置无关。
(4) FR′=0, MO =0。原力系处于平衡状态，即原力系为一平 衡力系。
F Bd
A
(a)
F
F
＝B
d A
F (b)
F
＝
M
Bd
A
(c)
图 2.2
根据力的平移定理，可以将一个力分解为一个力和一个 力偶；也可以将同一平面内的一个力和一个力偶合成为一个 力。力的平移定理揭示了力与力偶在对物体作用效应之间的 区别和联系: 一个力不能与一个力偶等效， 但一个力可以和另 一个与它平行的力及一个力偶的联合作用等效。
FR′为主矢的大小；α为FR′与x轴所夹的锐角，FR′的指向由∑Fx 和∑Fy的正负来确定。
2. 力系的主矩
附加的平面力偶系M1=MO(F1），M2=MO(F2), …, Mn=MO(Fn） 的合力偶矩的大小为MO，称为原平面任意力系对简化中心O点 的主矩，MO等于力系中各力对简化中心O点之矩的代数和，即
a
y A F1
O
C F
4
a
B
(a)
F2
＝
x F3
y
FR
O MO
(b)
图 2.4
＝
x
y
O
FR
x
d
D
(c)
（2）由于FR′≠0，MO≠0，根据力的平移定理的逆过程， 可 将主矢FR′与主矩MO简化为一个合力FR。合力FR的大小、方向与 主矢FR′相同，FR的作用线与主矢的作用线平行，但相距d
d
MO FR'
第2章 平面力系的平衡
2.1 平面任意力系向一点简化 2.2 平面任意力系的平衡方程及应用 2.3 几种特殊平面力系的平衡问题 2.4 物系的平衡 2.5 考虑摩擦时的平衡问题 思考与练习
h
2.1
y
A
b
a
FNA
D
C
G1 G2
FBy
B
F Bx
x
(a)
FAy M F
Ax
(b)
图 2.1
F FN
2.1.1
2.1.3 简化结果的讨论
(1) FR′≠0, MO≠0。根据力的平移定理的逆过程，可将主矢
FR′与主矩MO简化为一个合力FR，合力FR的大小、 方向与主矢
FR′相同，FR的作用线与主矢的作用线平行，但相距
d
| MO FR'
|
，如图2.3（e）所示。此合力FR与原力系等效，即平
面任意力系简化为一个合力。
2.1.2
y
y
A 1
A 2
O
F 1
F2 ＝ Fn
ຫໍສະໝຸດ BaiduAn
Mn M1 O
F1
Fn
M 2
F2
x＝
O MO FR
x
(a)
(b)
(c)
FR
O O d FR FR
(d)
O O d
FR
(e)
图 2.3
1. 力系的主矢
平移力 F1', F2',, Fn' 组成的平面汇交力系的合力 , 称为原
平面任意力系的主矢。 FR' 作用点在简化中心O点，大小等于各
【例2.1】 如图2.4（a）所示，正方形平面板的边长为4a，
在板上A、 O、B、C处分别作用有力F1, F2, Ｆ3, F4，其中F1=F, F2 2 2F , F3=2F, F4=3F。求作用在板上此力系的合力。
解 （1）选O点为简化中心，建立如图2.4（a）所示的直角 坐标系，求力系的主矢和主矩。
FR'
Fx 2 Fy 2 0, MO MO (Fi ) 0
由此可得平面任意力系的平衡方程为
Fx 0
M=MB(F)=Fd
(2.1)
这样就把作用在A点的力平行移动到了任意点B，但必须同 时在该力与指定点B所决定的平面内加上一个相应的力偶M， 称为附加力偶。由此可得力的平移定理: 作用于刚体上的力可以 平行移动到刚体上的任意指定点，但必须同时在该力与指定点 所决定的平面内附加一力偶，其力偶矩的大小等于原力对指定 点之矩。
MO=M1+M2+…+Mn=∑MO(Fi)=∑Mi
（2.5）
值得注意的是，选取不同的简化中心，主矢不会改变，因 为主矢总是等于原力系中各力的矢量和，也就是说主矢与简化 中心的位置无关； 而主矩等于原力系中各力对简化中心之矩的 代数和，一般来说主矩与简化中心有关，提到主矩时一定要指 明是对哪一点的主矩。主矢与主矩的共同作用才与原力系等效。
主矢的方向为
tan Fy F 1, 45 Fx F
由于∑Ｆx和∑Fy都为正，主矢FR′指向第一象限。
主矩的大小为
MO=∑ MO(Fi)= MO(F1)+ MO(F2)+ MO(F3)+ MO(F4) =F1a+0+F3×2a-F4×a =Fa+4Fa-3Fa =2Fa
主矩的转向为逆时针方向。
2Fa 2F
2
力系合力的作用线通过D点，如图2.4（c）所示。
2.2 平面任意力系的平衡方程及应用
由上节的讨论结果可知，如果平面任意力系向任一点简化 后的主矢和主矩同时为零，则该力系处于平衡。反之，要使平 面任意力系处于平衡，主矢和主矩都必须等于零。因此，平面 任意力系平衡的必要与充分条件为: FR′=0，MO=0。即
由式（2.2）、 (2.3)、 (2.4)和式（2.5）可得：
FR'x Fx F1x F2x F3x F4x 0 2F 2F 3F F FR'x Fy F1y F2 y F3y F4 y F 2F 0 0 F
主矢的大小为
FR' (FR' x )2 (FR' y )2 F 2 F 2 2F
分力的矢量和，即
FR' F1' F2' Fn' Fi' Fi （2.2）
在平面直角坐标系中，则有
FR'x Fx
FR'y
Fy
（2.3）
FR' (FR' x )2 (FR' y )2
tan Fy Fx
(
Fx )2 (
Fy
)2
(2.4)
式中， FR'x, FR'y, Fx, Fy分别为主矢FR′和各力在x, y轴上的投影；
(2) FR′ ≠0, MO =0。原力系与一个力等效，即原力系可简化 为一个合力。合力等于主矢，合力的作用线通过简化中心。
(3) FR′=0,MO≠0。原力系与一个力偶等效，即原力系可简化 为一个合力偶。合力偶矩等于主矩，此时，主矩与简化中心的 位置无关。
(4) FR′=0, MO =0。原力系处于平衡状态，即原力系为一平 衡力系。
F Bd
A
(a)
F
F
＝B
d A
F (b)
F
＝
M
Bd
A
(c)
图 2.2
根据力的平移定理，可以将一个力分解为一个力和一个 力偶；也可以将同一平面内的一个力和一个力偶合成为一个 力。力的平移定理揭示了力与力偶在对物体作用效应之间的 区别和联系: 一个力不能与一个力偶等效， 但一个力可以和另 一个与它平行的力及一个力偶的联合作用等效。
FR′为主矢的大小；α为FR′与x轴所夹的锐角，FR′的指向由∑Fx 和∑Fy的正负来确定。
2. 力系的主矩
附加的平面力偶系M1=MO(F1），M2=MO(F2), …, Mn=MO(Fn） 的合力偶矩的大小为MO，称为原平面任意力系对简化中心O点 的主矩，MO等于力系中各力对简化中心O点之矩的代数和，即
a
y A F1
O
C F
4
a
B
(a)
F2
＝
x F3
y
FR
O MO
(b)
图 2.4
＝
x
y
O
FR
x
d
D
(c)
（2）由于FR′≠0，MO≠0，根据力的平移定理的逆过程， 可 将主矢FR′与主矩MO简化为一个合力FR。合力FR的大小、方向与 主矢FR′相同，FR的作用线与主矢的作用线平行，但相距d
d
MO FR'
第2章 平面力系的平衡
2.1 平面任意力系向一点简化 2.2 平面任意力系的平衡方程及应用 2.3 几种特殊平面力系的平衡问题 2.4 物系的平衡 2.5 考虑摩擦时的平衡问题 思考与练习
h
2.1
y
A
b
a
FNA
D
C
G1 G2
FBy
B
F Bx
x
(a)
FAy M F
Ax
(b)
图 2.1
F FN
2.1.1
2.1.3 简化结果的讨论
(1) FR′≠0, MO≠0。根据力的平移定理的逆过程，可将主矢
FR′与主矩MO简化为一个合力FR，合力FR的大小、 方向与主矢
FR′相同，FR的作用线与主矢的作用线平行，但相距
d
| MO FR'
|
，如图2.3（e）所示。此合力FR与原力系等效，即平
面任意力系简化为一个合力。
2.1.2
y
y
A 1
A 2
O
F 1
F2 ＝ Fn
ຫໍສະໝຸດ BaiduAn
Mn M1 O
F1
Fn
M 2
F2
x＝
O MO FR
x
(a)
(b)
(c)
FR
O O d FR FR
(d)
O O d
FR
(e)
图 2.3
1. 力系的主矢
平移力 F1', F2',, Fn' 组成的平面汇交力系的合力 , 称为原
平面任意力系的主矢。 FR' 作用点在简化中心O点，大小等于各
【例2.1】 如图2.4（a）所示，正方形平面板的边长为4a，
在板上A、 O、B、C处分别作用有力F1, F2, Ｆ3, F4，其中F1=F, F2 2 2F , F3=2F, F4=3F。求作用在板上此力系的合力。
解 （1）选O点为简化中心，建立如图2.4（a）所示的直角 坐标系，求力系的主矢和主矩。
FR'
Fx 2 Fy 2 0, MO MO (Fi ) 0
由此可得平面任意力系的平衡方程为
Fx 0
M=MB(F)=Fd
(2.1)
这样就把作用在A点的力平行移动到了任意点B，但必须同 时在该力与指定点B所决定的平面内加上一个相应的力偶M， 称为附加力偶。由此可得力的平移定理: 作用于刚体上的力可以 平行移动到刚体上的任意指定点，但必须同时在该力与指定点 所决定的平面内附加一力偶，其力偶矩的大小等于原力对指定 点之矩。
MO=M1+M2+…+Mn=∑MO(Fi)=∑Mi
（2.5）
值得注意的是，选取不同的简化中心，主矢不会改变，因 为主矢总是等于原力系中各力的矢量和，也就是说主矢与简化 中心的位置无关； 而主矩等于原力系中各力对简化中心之矩的 代数和，一般来说主矩与简化中心有关，提到主矩时一定要指 明是对哪一点的主矩。主矢与主矩的共同作用才与原力系等效。
主矢的方向为
tan Fy F 1, 45 Fx F
由于∑Ｆx和∑Fy都为正，主矢FR′指向第一象限。
主矩的大小为
MO=∑ MO(Fi)= MO(F1)+ MO(F2)+ MO(F3)+ MO(F4) =F1a+0+F3×2a-F4×a =Fa+4Fa-3Fa =2Fa
主矩的转向为逆时针方向。
2Fa 2F
2
力系合力的作用线通过D点，如图2.4（c）所示。
2.2 平面任意力系的平衡方程及应用
由上节的讨论结果可知，如果平面任意力系向任一点简化 后的主矢和主矩同时为零，则该力系处于平衡。反之，要使平 面任意力系处于平衡，主矢和主矩都必须等于零。因此，平面 任意力系平衡的必要与充分条件为: FR′=0，MO=0。即
由式（2.2）、 (2.3)、 (2.4)和式（2.5）可得：
FR'x Fx F1x F2x F3x F4x 0 2F 2F 3F F FR'x Fy F1y F2 y F3y F4 y F 2F 0 0 F
主矢的大小为
FR' (FR' x )2 (FR' y )2 F 2 F 2 2F