两角和与差的余弦课件
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6 13
提示： cos cos(( ) )
66
变题3：在ABC中，已知cos A 4，cos B 12，求cos C.
5
13
提示： cosC cos( (A B)) cos( A B)
在变3中，把cos A 4 改为sin A 3，其余条件不变
5
5
两角和与差的余弦 C( )
22
2
即 sin( ) cos
2
思考：如果公式中 与 相等的话，我们又能有什么发现呢？
cos( ) cos 0 1 cos2 sin2
cos( ) cos 2 cos2 sin2
两角和与差的余弦 C( ) （四）例题精析
例2、利用两角和（差）的余弦公式化简求值：
(1) cos 75 , cos15
现cos( - )与cos,cos,sin,sin之间的关系？
两角和与差的余弦 C( ) （二）自主探究
P2
y P4
α
P3 α-β
如图，P1(1，0)，P2 (cos，sin )，P3(cos ，sin )， P4 (cos( )，sin( ))
由两点间的距离公式可得：
β
o
P1 x
P2P3
单位圆上点的坐标表示
P2
y P4
P3
如图,在直角坐标系xOy中,单位圆O与x轴
α α-β
β P1 交于P1.以Ox为始边分别作出角, , ，
o
x 其终边分别与单位圆交于P2, P3, P4.
回答下列问题：
（1）分别指出P1, P2 , P3, P4的坐标； （2）弦P2 P3与P1P4的长如何用点的坐标表示？ （3）P2P3 与 P1P4 有什么关系？通过这个关系你能否发
(cos cos )2 (sin sin )2
P1P4 (cos( ) 1)2 sin2 ( )
根据同一圆中，相等的圆心角所对的弦长相等：
有
P2P3 P1P4
即(cos cos )2 (sin sin )2 (cos( ) 1)2 sin2 ( )
cos2 2cos cos cos2 sin2 2sin sin sin2 cos2( ) 2cos( ) 1 sin2( )
cos( ) cos cos sin sin
两角和与差的余弦 C( ) （三）公式理解
cos cos cos sin sin .简记：C（）
用 代替
cos( ) cos( ( ))
cosc(os cos()) sin? sin()
cos cos sin sin
欢迎各位莅临指导！
3.1两角和与差的余弦
高中数学 必修4
江苏省平潮高级中学
朱玲玉
（一）提出问题
问题：不用计算器，如何求cos15 ，cos 75 ？
cos15 cos(45 30 )或 cos(60 45 ) cos 75 cos(45 30 )
cos( ) ?
两角和与差的余弦 C( ) （二）自主探究
范
围
12 ( 3) 5 4 13 5 13 5
的 限
制 56
65
两角和与差的余弦 C( ) （四）例题精析
变题1：若，都是锐角，且cos 2 5 ，cos 3 10 ，求 + .
5
10
提示：要求一个角，可以先求出这个角的三角函数值
变题2：已知为锐角,且cos( ) 5 ，求cos.
解：（1）cos 75 cos(45 30 )
cos 45 cos30 sin 45 sin30
2 3 21 2 2 22
6 2 4
sin15 ？6 4 2
cos15 6 2 4
tan15 2 3
求非特殊角的正弦值时，我们是否也可以拆成两个特 殊角，它又等于什么呢？如：sin15 sin(45 30 ) ?
平面内两点间的距离公式
（五）课堂小结
数形结合
以 代替
C( )
C( )
、的任意性
赋值
求非特殊角的余弦值，解释诱导公式等
转化
数学 思想
1、牢记公式 C( ) C C S S 的结构，学会逆用公式。不 符合公式结构的，常通过诱导公式变形使之符合。
2、强调公式中 、 的任意性，是本节内容的主线，它赋予
两角和与差的余弦 C( ) （四）例题精析
例3、已知sin 5 ， (0, )，cos 3， ( , ),
13
2
5
2
求cos( )的值.
解： (0, ),sin 5 ,cos 12
2
13
13
注
又 ( , ), cos 3 ,sin 4
意 角
2
5
5
的
cos( ) cos cos sin sin
了C( ) 公式的强大生命力。
3、恰当赋值是学好本节基础；逆用公式是本节基本技能。
两角和与差的余弦 C( )
作业：
必做：1：《导学案》94页1〜6题 2：《活页》63页1〜10题
选做：3：《导学案》94页互动探究
cos cos cos sin sin .简记：C（）
两角和与差的余弦 C( ) （四）例题精析
例1、利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式：
（1）cos( ) sin （2）sin( ) cos
证： (1) c2os(
)
cos
cos
2 sin
sin
sin
2
2
2Fra Baidu bibliotek
(2) cos cos( ( )) sin( )
两角和与差的余弦 C( ) （四）例题精析
例2、利用两角和（差）的余弦公式化简求值：
(2) cos 26 cos34 sin 26 sin 34
解：（2）原式= cos(26 34 ) cos 60 1 2
变式训练：化简求值
(1) cos 26 sin 56 sin 26 sin146
(2) cos( ) cos( ) sin( )sin( )
提示： cos cos(( ) )
66
变题3：在ABC中，已知cos A 4，cos B 12，求cos C.
5
13
提示： cosC cos( (A B)) cos( A B)
在变3中，把cos A 4 改为sin A 3，其余条件不变
5
5
两角和与差的余弦 C( )
22
2
即 sin( ) cos
2
思考：如果公式中 与 相等的话，我们又能有什么发现呢？
cos( ) cos 0 1 cos2 sin2
cos( ) cos 2 cos2 sin2
两角和与差的余弦 C( ) （四）例题精析
例2、利用两角和（差）的余弦公式化简求值：
(1) cos 75 , cos15
现cos( - )与cos,cos,sin,sin之间的关系？
两角和与差的余弦 C( ) （二）自主探究
P2
y P4
α
P3 α-β
如图，P1(1，0)，P2 (cos，sin )，P3(cos ，sin )， P4 (cos( )，sin( ))
由两点间的距离公式可得：
β
o
P1 x
P2P3
单位圆上点的坐标表示
P2
y P4
P3
如图,在直角坐标系xOy中,单位圆O与x轴
α α-β
β P1 交于P1.以Ox为始边分别作出角, , ，
o
x 其终边分别与单位圆交于P2, P3, P4.
回答下列问题：
（1）分别指出P1, P2 , P3, P4的坐标； （2）弦P2 P3与P1P4的长如何用点的坐标表示？ （3）P2P3 与 P1P4 有什么关系？通过这个关系你能否发
(cos cos )2 (sin sin )2
P1P4 (cos( ) 1)2 sin2 ( )
根据同一圆中，相等的圆心角所对的弦长相等：
有
P2P3 P1P4
即(cos cos )2 (sin sin )2 (cos( ) 1)2 sin2 ( )
cos2 2cos cos cos2 sin2 2sin sin sin2 cos2( ) 2cos( ) 1 sin2( )
cos( ) cos cos sin sin
两角和与差的余弦 C( ) （三）公式理解
cos cos cos sin sin .简记：C（）
用 代替
cos( ) cos( ( ))
cosc(os cos()) sin? sin()
cos cos sin sin
欢迎各位莅临指导！
3.1两角和与差的余弦
高中数学 必修4
江苏省平潮高级中学
朱玲玉
（一）提出问题
问题：不用计算器，如何求cos15 ，cos 75 ？
cos15 cos(45 30 )或 cos(60 45 ) cos 75 cos(45 30 )
cos( ) ?
两角和与差的余弦 C( ) （二）自主探究
范
围
12 ( 3) 5 4 13 5 13 5
的 限
制 56
65
两角和与差的余弦 C( ) （四）例题精析
变题1：若，都是锐角，且cos 2 5 ，cos 3 10 ，求 + .
5
10
提示：要求一个角，可以先求出这个角的三角函数值
变题2：已知为锐角,且cos( ) 5 ，求cos.
解：（1）cos 75 cos(45 30 )
cos 45 cos30 sin 45 sin30
2 3 21 2 2 22
6 2 4
sin15 ？6 4 2
cos15 6 2 4
tan15 2 3
求非特殊角的正弦值时，我们是否也可以拆成两个特 殊角，它又等于什么呢？如：sin15 sin(45 30 ) ?
平面内两点间的距离公式
（五）课堂小结
数形结合
以 代替
C( )
C( )
、的任意性
赋值
求非特殊角的余弦值，解释诱导公式等
转化
数学 思想
1、牢记公式 C( ) C C S S 的结构，学会逆用公式。不 符合公式结构的，常通过诱导公式变形使之符合。
2、强调公式中 、 的任意性，是本节内容的主线，它赋予
两角和与差的余弦 C( ) （四）例题精析
例3、已知sin 5 ， (0, )，cos 3， ( , ),
13
2
5
2
求cos( )的值.
解： (0, ),sin 5 ,cos 12
2
13
13
注
又 ( , ), cos 3 ,sin 4
意 角
2
5
5
的
cos( ) cos cos sin sin
了C( ) 公式的强大生命力。
3、恰当赋值是学好本节基础；逆用公式是本节基本技能。
两角和与差的余弦 C( )
作业：
必做：1：《导学案》94页1〜6题 2：《活页》63页1〜10题
选做：3：《导学案》94页互动探究
cos cos cos sin sin .简记：C（）
两角和与差的余弦 C( ) （四）例题精析
例1、利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式：
（1）cos( ) sin （2）sin( ) cos
证： (1) c2os(
)
cos
cos
2 sin
sin
sin
2
2
2Fra Baidu bibliotek
(2) cos cos( ( )) sin( )
两角和与差的余弦 C( ) （四）例题精析
例2、利用两角和（差）的余弦公式化简求值：
(2) cos 26 cos34 sin 26 sin 34
解：（2）原式= cos(26 34 ) cos 60 1 2
变式训练：化简求值
(1) cos 26 sin 56 sin 26 sin146
(2) cos( ) cos( ) sin( )sin( )