两角和与差的余弦课件

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两角和与差的正弦、余弦、正切公式：课件十三(230张PPT)

tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算来求值、化简和证明.

练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin

5.5 三角恒等变换课件(21张PPT)(2024年)

2
α是的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，

用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2

2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos

2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos

2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]

2

2

2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2

两角和与差的余弦公式ppt课件

3
两角差的余弦公式推导过程
微课视频
cos( ) coscos sinsin
4
实际上，当为任意角时，利用余弦函数周期性，奇偶性和诱导公式，总可以找到一个角都可转化 [0,2 ) ，使 cos cos( )。
综上所述，cos( - ) coscos sinsin ，对于任意的角都成立。
验证公式： cos(300 ) cos(900 - 600 ) cos(900 )cos(600 ) sin(900 )sin(600 ) sin(600 )
3 2
同理也可以验证诱导公式
cos( ) sin，cos( - ) - cos
2
5
拓展思维
已知 cos( - ) coscos sinsin
3.1.1
两角和与差的余弦公式
1
知识回顾 1.特殊角的三角函数值 2.三角函数线 3.平面向量的数量积
2
提出问题
问题1 ：等式 cos(α一β)＝ cosα一cosβ成立吗？请举例验证例如： cos30°= cos(90°一60°)＝ cos90°一cos60°？
问题2 ：如果已知sinα, cosα, sinβ, cosβ, 如何计算cos(α一β)？
11
例题讲授，学以致用
12
例题讲授，学以致用
13
例题讲授，学以致用课堂练习
14
两角和与差的余弦公式
15
例题讲授，学以致用
思考题：串联思维，开阔视野
观察下列两组题目，探索它cossin
10
思维延伸
（2）如果将换成，
则可以得到正弦和余弦二倍角公式 cos( ) coscos sinsin sin( ) sincos cossin 将换成之后 cos(2 ) coscos sinsin （cos）2 （sin）2 sin(2 ) sincos sincos 2sincos

两角和与差的余弦、正弦课件

π sin x± cos x＝ 2sin(x± )； 4 π sin x± 3cos x＝2 sin(x± )； 3 π 3sin x± cos α＝2sin(x± )． 6
统名公式将形如 asin α＋bcos α(a，b 不同时为零)的三角函数辅助角公式式统一为一种三角函数式，这样做有利于三角函数式的化简，更是研究三角函数性质的常用工具．其最值是± a ＋b
＝0. 提示：若为客观性试题，可特殊化令 x=0 解得。
4．化简下列各式： cos 10° (1)(tan 10° － 3) ； sin 50° (2) 2cos x＋ 6sin x.
cos 10° cos 10° 解：(1)(tan 10° － 3) ＝(tan 10° －tan 60° ) sin 50° sin 50° sin 10° sin 60°cos 10° ＝( － ) cos 10° cos 60°sin 50° sin 10° cos 60° －cos 10° sin 60°cos 10° ＝ · cos 10° cos 60° sin 50° sin（－50° ） cos 10° ＝ · cos 10° cos 60° sin 50° 1 ＝－＝－2. cos 60°
(2) 2cos x＋ 6sin x.
解：(2) 2cos x＋ 6sin x 1 3 ＝2 2( cos x＋ sin x) 2 2 ＝2 2(sin 30° cos x＋cos 30° sin x) ＝2 2sin(30° ＋x).
辅助角公式：a sin x b cos x a 2 b2 sin( x )， b 其中tan = . a
2
此时，cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)
16 ＝sin Asin B－cos Acos B＝； 65 4 当 A 为钝角时，cos A＝－ 1－sin A＝－， 5

两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

即 tan(α－β)＝________，这就是两角差的正切公式．
练习 5：1t＋an4ta5n°4－5°ttaann1155°°＝________________.
tan α－tan β 1＋tan αtan β
练习：5.
3 3
思考应用
3．两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特征有哪些？
解析：(1) 适用范围：限制条件：α、β、α＋β 均不为 kπ＋π2(k∈Z)；可以是数、字母和代数式．从公式推导过程进行说理：cos(α＋β)≠0，则 α＋β≠kπ＋π2；同除 cos α、cos β，得 cos α≠0，cos β≠0，则 α≠kπ＋π2，cos β≠kπ＋π2.cos x≠0，保证了 tan x 有意义．
∵cos(α－β)＝1134，∴sin(α－β)＝3143，由 β＝α－(α－β)，得
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝7×4914＝12， ∵0<β<π2，所以 β＝π3.
点评：解答此类问题分三步：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的范围写出所求的角．特别注意选取角的某一个三角函数值，是取正弦？还是取余弦？应先缩小所求角的取值范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数值的一个单调区间内．
sin αcos β＋cos αsin β
以－β 代替公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
中的 β，得到 sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋
cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β，

高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

Thanks.
小结：
1.掌握C ( ) , C( ) 公式的推导,小心
它们的差别与联系;
2.注意角的拆分与组合,如:
( ) , 2 ( ) ,
2 ( ) ( ),
2 ( ) ( ),
( − ) = − .
公式五

( − ) = ，

( − ) = .

公式六

( + ) = ，
2

( + ) = − .
2
3.两点间的距离公式
平面上任取两点A(x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 )
2
2
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
法一：
sin( )
sin[ ( )]
A(x 1 , y 1 )
y
| y1 y 2 |
B(x 2 , y 2 )
| x1 x 2 |
0
x
2
2
AB (x1 x2 ) (y 1 y 2 )
02
两角和与差的余弦公式
终边
两角差的余弦公式
y
P1 (cos , sin )
终边
A1 (cos , sin )源自,
2
2
2
3.注意整体代换思想的应用.

2
;

1
④ cos

课件6：3.1.1 两角和与差的余弦

cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋473×3143＝12，所以 β＝π3.
类题通法已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角．
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝2 5
5 ×
1100＋
5 5
×3 1010＝
2 2.
又∵sin α<sin β，∴0<α<β<π2， ∴－π2<α－β<0，故 α－β＝－π4. 【答案】－π4
2．[变条件]若本例(2)变为：已知 cos α＝17，cos(α－β)＝1134，
立．【答案】(1)× (2)× (3)√
()
2．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为 ( )
1
1
A. 2
B. 3
3 C. 2
3 D. 3
【答案】A
3．设 α∈0，2π，若 sin α＝35，则 2cosα＋π4等于(
)
A．75
B．51
C．－75 【答案】B
D．－15
∴cos α＝cosα＋π4－π4＝cosα＋π4cosπ4＋sinα＋π4sin
π 4
＝35× 22－45× 22＝－102.
题型三给值求角问题典例 (1)已知 α，β 均为锐角，且 sin α＝255，sin β＝ 1100，则 α－β＝________. (2)已知 cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈0，2π，则 β ＝________.

两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

2 2.
(2)(tan 10°－
Hale Waihona Puke cos 3) sin5100°°＝(tan
10°－tan
cos 60°) sin
10° 50°
＝csoins
1100°°－csoins
60°cos 60° sin
5100°°＝cossin10－°c5o0s°60°·csoins
10° 50°
＝－cos160°＝－2.
例 3 已知 sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
证明 sin(2α＋β)＝3sin β ⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α] ⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α ⇒tan(α＋β)＝2tan α. 小结证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、 “往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异．
解原式＝sinπ4－3xcos3π－3x－sinπ3－3xcos4π－3x
＝sinπ4－3x－3π－3x＝sinπ4－π3＝sin
π 4cos
π3－cos
π 4sin
π 3
＝ 22×12－ 22× 23＝
2－ 4
6 .
【典型例题】
例 1 化简求值： (1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；
探究点一由公式 C(α－β)推导公式 C(α＋β) 由于公式 C(α－β)对于任意 α，β 都成立，那么把其中的＋β 换成－β 后，也一定成立．请你根据这种联系，从两角差的余弦公式出发，推导出用任意角 α，β 的正弦、余弦值表示 cos(α＋β) 的公式．试一试写出推导过程．答 ∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cos β，sin(－β)＝－sin β，

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件(人教版)

sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β ，其中α，β∈R，简记作S(α－β).
注意点：
(1)注意公式的展开形式，两角和与差”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”.
(2)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序.
公式巩固
利用两角和与差的正余弦公式，计算下列三角函数的值：
(1) sin15°
(2) cos75°
例2
3
5
已知 sin α＝5，cos β＝－13，且 α 为第一象限角，β 为第二象限角，
求 sin(α＋β)的值.
3
5
因为 α 为第一象限角，β 为第二象限角，sin α＝5，cos β＝－13，
4
12
所以 cos α＝5，sin β＝13，
A. 3
√
3
B. 3
C.3
D.1
1－tan 15° tan 45°－tan 15°
3
＝
＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝ 3 .
1＋tan 15° 1＋tan 45°tan 15°
例2
√
π

3
1

已知 sin α＝5，α∈2，π，tan(π－β)＝2，则 tan(α－β)的值为

3
，(
4
− ) =
12
， (
13
+ ) =
3
− ，
5
跟踪训练 2
已知 ∈
整体法给值求值问题

( , )，(
2
+

)
4
=
3
，则
5
=________.

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件2024-2025学年人教A版必修第一册

π
0<β<α<2,
=
2
.
2
变式探究
π
本例中,若将条件“α,β均为锐角”改为“α,β∈ 2 ,π
”,再求α-β的值.
解因为 α,β∈
π
,π
2
,sin
2 5
α= 5 ,sin
β=
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β= 又因为 sin α>sin
π
β,所以2<α<β<π,
π
因此-2<α-β<0,故
(cosα,sinα)
(cosβ,sinβ)
(cos(α-β),sin(α-β))
y
单位圆与x轴非负半轴交于A(1,0)

α
O

β

α-β

x
新课内容
(cosα,sinα)
(cosβ,sinβ)
P1OA1 POA
(SAS)
(cos(α-β),sin(α-β))根据圆的旋转对称性，容易发现AP＝A P
例1.利用公式C(α-β)证明:
cos(α − β) = cosαcosβ + sinαsinβ

（1） cos( ) sin ；
2
（2） cos( ) cos .
例1.利用公式C(α-β)证明:

（1） cos( ) sin ；
2
y
证明：
(, )
新课内容
sinα=y
cosα=x
问题1:已知为角α的终边，
用α的三角函数来表示单位圆上点的坐标
y
问题2:已知为角β的终边，

两角和与差的余弦ppt课件

P2
β
P0
x
OP1 (cos,sin) OP2 (cos ,sin )
OP1 OP2 1
cos cos P1OP2
OP1 OP2 OP1 OP2
OP1 OP2
cos cos sin sin
3
二、两角和与差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin (C ) cos( ) cos cos sin sin (C )
(2)sin x ysin x cos x ycos x
(3)
cos
3
cos
3
【评】公式的正用、逆用和灵活运用。
11
例5、已知：sin
2 ，
3
2
，
，cos
3, 5
,
3
2
求：cos 的值。
练习：已知锐角、满足sin 5 ，cos 3 10
5
10
求：的值。
【评】和差角公式与同角三角函数公式的综合运用，在由sin
C C
13
第3章三角恒等变换
3.1.1 两角和与差的余弦
1
两角和与差的余弦
一、问题情境：
cos 60
1 2
cos 45
2 2
问题1：cos15 cos60 45 ？
问题2：cos 能否用α的三角函数与β的三角函数来表示？
2
两角和与差的余弦
y
(cos,sin) P1
α o
(cos ,sin )
的值求 cos 的值，或由cos 的值求sin 的值时，要注意根据角的范围，确定三角函数值的符号。
12
四、课堂小结:
1 、两角和与差的余弦公式：
cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin

两角和与差正弦余弦公式课件

于信号的合成、滤波等操作。
在数学竞赛中的应用
代数问题
在数学竞赛中，两角和与差的正弦、余弦公式常与其他数学知识结合，用于解决代数问题，例如求值、证明等。
几何问题
在几何学中，两角和与差的正弦、余弦公式常用于证明几何定理或解决几何问题，例如角度计算、面积计算等。
03
两角和与差正弦余弦公式的扩展
案例三：数学竞赛中的应用
总结词
用于解决数学竞赛中的三角函数问题
详细描述
在数学竞赛中，两角和与差正弦余弦公式是解决三角函数问题的关键工具。通过这些公式，可以快速求解复杂的三角函数表达式，解决诸如求三角函数的最值、判断三角函数的单调性等问题。同时，这些公式也是数学竞赛中考察学生数学思维和解题能力的重要
两角和与差正弦余弦公式ppt课件
$number {01}
目录
• 两角和与差正弦余弦公式的基本概念
• 两角和与差正弦余弦公式的应用 • 两角和与差正弦余弦公式的扩展 • 两角和与差正弦余弦公式的变种 • 两角和与差正弦余弦公式的实际
应用案例
01
两角和与差正弦余弦公式的基本概念
定义
1 3
定义
两角和与差正弦余弦公式是三角函数中重要的公式之一，用于计算两个角度的和或差的三角函数值。
利用扩展公式解决一些实际问题，如测量、物理、工程等领域的问题。
简化计算
扩展公式可以简化一些复杂的三角函数计算，提高计算的效率和准确性。
推广到其他领域
扩展公式可以推广到其他领域，如复数、矩阵等领域，促进数学和其他学科的交叉融合。
扩展公式的证明
证明方法
利用三角函数的性质、三角恒等变换和代数运算等工具，证明扩展公式的正确性。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

3．两角和与差的正切公式
名称
公式
两角和的正切
tan(α＋β) ＝
tan α＋tan β 1－tan αtan β
两角差的正切
tan(α－β) ＝
tan α－tan β 1＋tan αtan β
简记符号
使用条件
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋π2 (k∈Z)
∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin αsin β
＝2 5 5·3 1010－
55·1100＝
2 2.
由 0<α<2π，0<β<2π得 0<α＋β<π，
又 cos(α＋β)>0，∴α＋β 为锐角，∴α＋β＝4π.
规律方法此类题是给值求角问题，步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围，此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，或范围讨论的程度过大或过小，这样就会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．
规律方法化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用，对于三角函数式的化简要求应熟练掌握：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3) 使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．
题型二给角求值问题
【例 2】求下列各式的值：
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
自学导引
1．两角和与差的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β
；
C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β.来自2．两角和与差的正弦公式

两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

• 二、两角和与差的正弦公式
名称简记符号
公式
两角和的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β
两角差的正弦
S(α－β)
sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β
使用条件 α，β∈R α，β∈R
• 2．怎样利用诱导公式推出sin(α±β)? 提示：sin(α＋β)＝cosπ2－α＋β＝cosπ2－α－β ＝cosπ2－αcos β＋sinπ2－αsin β ＝sin αcos β＋cos αsin β，用－β 代 β 得 sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋ cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
(4)若角的范围是－π2，π2，则选择正弦函数比余弦函数更好；
(5)若角的范围是(0，π)，则选择余弦函数比正弦函数更好．总之，尽量选择在区间上单调的函数．
• 三、两角和与差的正切公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和的正切
tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β
T(α＋β)
α，β，α＋β≠ kπ＋π2(k∈Z)
tan(α－β)＝
两角差的正切
tan α－tan β 1＋tan αtan β
T(α－β)
α，β，
α－β≠ π
kπ＋ 2(k∈Z)
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)， α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝(α＋β)＋(α－β) α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．
• S(α±β)的正向应用是把α±β的形式转化为单角α、β的三角函数值计算．

两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

1．求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大(小)，导致求出的角不合题意或者漏解．
2．求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围， (2)求角的某一三角函数值，特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．
若把本例题的条件改为“α∈(0，2π)，β∈(－π2，0)，且 cos(α－β)＝35，sin β＝－102”，试求角 α 的大小．
化简求值： (1)sin1π2－ 3cos1π2；
sin 15°－cos 15° (2)cos 15°＋sin 15°.
【思路探究】解答本题中的(1)可先考虑如何去变换系数，才能与学习的公式相联系，可以考虑 1＝2×12， 3＝ 2× 23，引入特殊角的三角函数；(2)可先分子分母同除以 cos 15°得出t1a＋n 1ta5n°－151°，然后再把该式向公式 tan(α±β)转化．
＝ 22sin(x＋51π2)．
1．对于形如 sin α±cos α， 3sin α±cos α 的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式．
2．在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则．
【自主解答】
(1)法一
原式＝2(12sin1π2－
3π 2 cos12)
＝2(sinπ6sin1π2－cosπ6cos1π2)
＝－2cos(π6＋1π2)＝－2cosπ4
＝－ 2.
法二
原式＝2(12sin1π2－
3π 2 cos12)
＝2(cosπ3sin1π2－sinπ3cos1π2)
＝－2sin(π3－1π2)
将本例中条件“已知 α、β 是锐角”改为“α、β 都是钝角”．仍求 sin β 的值．

两角和与差的正弦、余弦函数-PPT课件

如何求sin 的值？
解:sin
cos
2
cos
2
cos
2
cos
sin
2
sin
sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
20
用代
sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
sin( ) sin cos cos sin
思考5:如果能,那么一般情况下cos(α-β)能否用角 α,β的三角函数值来表示?请进入本节课的学习！
5
1.利用向量的数量积发现两角差的余弦公式.（重点） 2.能由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式.（难点） 3.灵活正反运用两角和与差的正弦、余弦函数. （难点）
6
探究点1 两角差的余弦函数
向量b OP2 （cos ,sin ),
因为a b a b cos( )
y
P1(cos ,sin )
O
P2(cos ,sin )
P0 (1,0)
x
a b coscos sinsin 所以 cos( - ) coscos sinsin
我们称上式为两角差的余弦公式，记作 C
8
思考：公式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 是否对任意角α,β都成立？提示：当0≤α-β≤π时，公式显然成立；当α-β不在［0,π］内时，利用诱导公式，存在θ∈ ［0,2π］，使α-β=θ+2kπ,k∈Z，若θ∈［0,π］， cosθ=cos(α-β) ；若 θ∈(π ， 2π ］， 2π-θ∈ ［0,π)，cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β)，故上述公式对任意角α,β都成立.

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