离散数学 第三章 集合
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离散数学(集合论)课后总结
第三章集合论基础1、设A={a,{a},{a,b},{{a,b},c}}判断下面命题的真值。
⑴{a}∈A T ⑵⌝({a}⊆ A) F⑶c∈A F ⑷{a}⊆{{a,b},c} F⑸{{a}}⊆A T ⑹{a,b}∈{{a,b},c} T⑺{{a,b}}⊆A T ⑻{a,b}⊆{{a,b},c} F⑼{c}⊆{{a,b},c} T ⑽({c}⊆A)→(a∈Φ) T2、证明空集是唯一的。
（性质1：对于任何集合A，都有Φ⊆A。
）证明：假设有两个空集Φ1 、Φ2 ，则因为Φ1是空集，则由性质1得Φ1 ⊆Φ2 。
因为Φ2是空集，则由性质1得Φ2 ⊆Φ1 。
所以Φ1=Φ2 。
3、设A={Φ},B=P(P(A)).问：(这道题要求知道幂集合的概念)a)是否Φ∈B?是否Φ⊆B?b)是否{Φ}∈B? 是否{Φ}⊆B?c)是否{{Φ}}∈B? 是否{{Φ}}⊆B?解：设A={Φ}，B=P(P(A)) P(A)= {Φ,{Φ}}在求P(P(A))时，一些同学对集合{Φ,{Φ}}难理解，实际上你就将{Φ,{Φ}}中的元素分别看成Φ=a ,{Φ}=b, 于是{Φ,{Φ}}={a,b}B=P(P(A))=P({a,b}) ={B0, B1 , B2 , B3 }={B00, B01,B10 ,B11}={Φ, {b}, {a}, {a,b}}然后再将a,b代回即可B=P(P(A))=P({Φ,{Φ}})={Φ,{Φ} ,{{Φ}}, {Φ,{Φ}}}以后熟悉后就可以直接写出。
a) Φ∈B Φ⊆Bb) {Φ}∈B {Φ} ⊆ Bc) {{Φ}}∈B {{Φ}}⊆Ba)、b)、c)中命题均为真。
4、证明A⊆B ⇔ A∩B=A成立。
证明：A∩B=A ⇔∀x(x∈A∩B ↔x∈A)⇔∀x((x∈A∩B → x∈A)∧(x∈A→ x∈A∩B))⇔∀x((x∉A∩B∨x∈A)∧(x∉A∨x∈A∩B))⇔∀x((⌝(x∈A∧x∈B)∨x∈A)∧(x∉A∨(x∈A∧x∈B))⇔∀x(((x∉A∨x∉B)∨x∈A)∧(x∉A∨(x∈A∧x∈B)))⇔∀x(T∧(T∧( x∉A∨x∈B)))⇔∀x( x∉A∨x∈B)⇔∀x(x∈A→x∈B)⇔ A⊆B5、(A-B)-C=(A-C)-(B-C)证明：任取x∈(A-C)-(B-C)⇔x∈(A-C)∧x∉(B-C)⇔(x∈A∧x∉C)∧⌝(x∈B∧x∉C)⇔(x∈A∧x∉C)∧(x∉B∨x∈C)⇔(x∈A∧x∉C∧x∉B)∨(x∈A∧x∉C∧x∈C)⇔x∈A∧x∉C∧x∉B⇔x∈A∧x∉B∧x∉C⇔(x∈A∧x∉B)∧x∉C⇔x∈A-B∧x∉C⇔x∈(A-B)-C所以(A-B)-C=(A-C)-(B-C)6、A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)证明：任取x∈A-(B∪C)⇔x∈A∧x∉(B∪C)⇔x∈A∧⌝(x∈B∨x∈C)⇔x∈A∧(x∉B∧x∉C)⇔(x∈A∧x∉B)∧(x∈A∧x∉C )⇔x∈A-B∧x∈A-C⇔x∈(A-B)∩(A-C)所以A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C))7、~(A∩B)=~A∪~B ~(A∪B)=~A∩~B 这两个公式称之为底-摩根定律。
离散数学---集合
特定的一些集合的表示符号
自然数集N={0，1，2，…} ， ， ， 自然数集 整数集合Z={…-2，-1，0，1，2，…} 整数集合 ， ， ， ， ， 有理数集合Q={xx=P⁄⁄q，p,q∈Z} 有理数集合 ， ∈ 实数集合R={ x x是实数 是实数} 实数集合 是实数 复数集合C={x x=a+bi,a,b∈R,i=复数集合C={x x=a+bi,a,b∈R,i=-1}
E B A
集合的相等
2、 相等： 、 相等： 定义： 相等， 定义：若 A⊆ B，且B⊆ A则 称A，B相等， ⊆ ， ⊆ 则 ， 相等 记 作A=B。 。 即 ∀ x∈A则 x∈B， 并且有 ∀ x∈B则 x∈A。 ∈ 则 ∈ ， 并且有∀ ∈ 则 ∈ 。 若A，B 不相等记 作 A≠ B
真子集： 真子集：
集合的说明： 集合的说明：
1、描述法中A={ x 1≤x≤5}与A={y1≤y≤5} 、描述法中 与 是表示同一个集合 2、集合中元素是无序的。 、集合中元素是无序的。 {a,b,c},{a,c,b},{b,c,a}表示同一个集合 。 表示同一个集合。 表示同一个集合 3、集合中的元素可能也是集合， 、集合中的元素可能也是集合， 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} ， ， ， ， ， =5， {2}∈ A,{6}∈ A=5，2∈A，{2}∈A，6∉A,{6}∈A
求幂集的过程
写出A的全部子集 设A={0，1，2}写出 的全部子集。 ， ， 写出 的全部子集。 元子集： 解：A的0元子集：∅ 的 元子集 A的1元子集：{0}，{1}，{2} 元子集： ， ， 的 元子集 A的 2元子集 ： {0， 1}， {0， 2}， {1， 2}。 元子集： ， ， ， ， ， 。 的 元子集 元子集： ， ， A的3元子集：{0，1，2} 的 元子集 A共有 个子集，即P（A）=8 共有8个子集， （ ） 共有 个子集 一般地如果 ， 一般地如果A=n， 元子集有1个即空集 则A的0元子集有 个即空集∅， 的 元子集有 个即空集∅ A的1元子集共有 n1个， 元子集共有C 的 元子集共有 A的 2元子集共有 2n个，…， 元子集共有C 的 元子集共有 ， A的m元子集共有 mn个，… 元子集共有C 的 元子集共有 n元子集共有 nn=1个， 元子集共有C 元子集共有 个 所以A的子集个数为 的子集个数为C 所以 的子集个数为 0n+ C1n+…+ Cnn=2n
《离散数学》集合的基本概念和运算
（2）若AB,BC,则AC
解 错误。举反例如下：设A={a}，
B={{a},b}，C={{a},b,{c}}，显然AB， BC，但A不是C的子集。因为aA，但aC。
定义3.7 A、B是任意集合，由属于A或属于B的
所有元素组成的集合称为A与B的并集，记
3.2 作 A B 。即
集
A B u | u A或u B
推论 空集是惟一的. 证 假设存在1和2，则12 且12，因此
1=2 全集 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个
集合的子集，则称这个集合为全集，记作E
全集具有相对性
在给定问题中，全集包含任何集合，即A (AE )
三、幂集（PowerSet）
定义1.2.2 给定集合A，以A的所有子集为元素
- 命题演算法 - 包含传递法
的
- 等价条件法
基
- 反证法
(A B) A B
算 对偶原理：把一个等式中的中的∪，∩，E和
的分别代以∩，∪，和E后得到另一等式
二、对称差运算的性质：
① AA= ②A =A ③ A E= A
3.2 ④A B＝B A
集 ⑤(A B) C A (B C)
合 ⑥A I (B C) (A I B) (A I C)
一、集合运算的十条定律
3.2
对于全集合E的任意子集A、B、C，有：
集 交换律 AB B A AB B A
合 的 结合律 A(B C) (A B) C
基
A(B C) (A B) C
本 分配律 A(B C) (A B) (AC)
运 算
A(B C) (A B) (AC)
概 念
(5)A ( )
离散数学第三章 集合
别地，以集合为元素的集合称为集合族或集合类，
如A={{1,2,3}, { 8,9,6}}。
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2. 子集、全集与空集 子集是描述一个集合与另一个集合之间的 关系，其定义如下。
定义3.1.1 设A和B是任意两个集合，如果集合 A 的每个元素，都是集合 B 中的一个元素，则
称A是B的子集，或称A被包含于B中，或者说
正则公理的一个自然推论是: 对任何集合S, {S} S (否则有…SSS),
从而规定了集合{S}与 S的不同层次性。
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集合与其成员是两个截然不同的概念, 集合 的元素可以是任何具体或抽象事物, 包括别的集
合, 但不能是本集合自身。
因为一个集合是由它的成员构成的, 是先有
10ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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表示一个特定集合，基本上有两种方法：
一是枚举法，在可能时列出它的元素，元素之 间用逗号分开，再用花括号括起。如 A={a,e,i,o,u}
表明集合A是由字母a, e, I ,o和u为元素构成的。
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二是谓词法，用谓词公式来确定集合。即个体 域中能使谓词公式为真的那些元素，确定了一 个集合，因为这些元素都具有某种特殊性质。 若P(x)含有一个自由变元的谓词公式，则 {x|P(x)}定义了集合S，并可表为 S={x|P(x)}
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定义3.1.3 如果一个集合包含了所要讨论的每 一个集合，则称该集合为全集，记为U或E。 它可形式地表为 U={x|P(x)∨┐P(x)}
其中P(x)为任何谓词公式。
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离散数学(chapter3集合的基本概念和运算)
以上运算律的证明思路：欲证P=Q，即证 x P x Q。
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Байду номын сангаас
三、集合算律
证明分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) 对x， x A∪(B ∩C) (x A ) (x B∩C )
(x A) (x B x C )
Z: 整数集合
Q: 有理数集合
R: 实数集合 C: 复数集合
: 空集(不含任何元素) E: 全集 （在某一问题中，含有所涉及的全部集合的集合。）
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三、集合的表示方法
列出集合的所有元素，元素之间用逗号 1、列举法： 隔开。如A = { a, b, c } ， B = { 1,2,4,6,7,9 } 用谓词概括该集合中元素的属性。 2、描述法： 如：A = { x | xZ 3 < x 6 } A = { x | P (x) }，其中P (x)表示x满足的性质。 即A是由所有使P (x)为真的全体x构成。
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§3.1 集合的基本概念
内容：集合，元素，子集，幂集等。 重点：(1) 掌握集合的概念及两种表示法， (2) 常见的集合N , Z, Q, R, C 和特殊集合 ,E， (3) 掌握子集及两集合相等的概念， (4) 掌握幂集的概念及求法。
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离散数学
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四、集合之间的关系
3、真子集： B A。
B A B A B A
BABA B=A
4、幂 集：集合A的全体子集构成的集合，记作P (A)。 符号化为 P (A) = { x | x A} n 元集A的幂集P (A)含有2n个元素。
离散数学第3章 集合
命题演算证明法的书写规范 (以下的X和Y代表集合公式) (1) 证XY
任取x， xX … xY (2) 证X=Y
方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二 任取x，xX … xY
注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分 必要的
27
第三章 集合
命题演算法
例3-3.2 证明A(AB) = A （吸收律）
元素a属于A，记作aA； 或者a不属于A，记作aA，也可以记作┓(aA)。
（4）任意性：集合的元素也可以是集合。 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} A=5，2A，{2}A，6A,{6}A
6
第三章 集合 例如：A={{a,b}，d，{{b}}}。可以用一种树形图来表示这种
隶属关系，该图分层构成，每一层上的结点都表示一个集 合，它的儿子就是它的元素。 集合的树型层次结构
32
第三章 集合
§3-3-3 笛卡儿积
定义3-3.2 两个元素a，b组成二元组，若它们有次序 之别，称为二元有序组，或称为有序对或序偶，记为<a， b>，称a为第一分量，b为第二分量；若它们无次序区分， 称为二元无序组，或称为无序对，记为（a，b）。
有序对具有如下性质。 （1）有序性：当x≠y时<x，y>≠<y，x>。 （2）<x，y>与<u，v>相等的充分必要条件是
A
B
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第三章 集合
§3-2 集合之间的关系
§3-2-1 集合之间的关系 （1）相等关系： • 两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。 • 若A与B相等，记为A=B；否则，记为A≠B。 • 可形式化为：A=B(x)(xAxB)。
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第三章 集合
任取x， xX … xY (2) 证X=Y
方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二 任取x，xX … xY
注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分 必要的
27
第三章 集合
命题演算法
例3-3.2 证明A(AB) = A （吸收律）
元素a属于A，记作aA； 或者a不属于A，记作aA，也可以记作┓(aA)。
（4）任意性：集合的元素也可以是集合。 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} A=5，2A，{2}A，6A,{6}A
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第三章 集合 例如：A={{a,b}，d，{{b}}}。可以用一种树形图来表示这种
隶属关系，该图分层构成，每一层上的结点都表示一个集 合，它的儿子就是它的元素。 集合的树型层次结构
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第三章 集合
§3-3-3 笛卡儿积
定义3-3.2 两个元素a，b组成二元组，若它们有次序 之别，称为二元有序组，或称为有序对或序偶，记为<a， b>，称a为第一分量，b为第二分量；若它们无次序区分， 称为二元无序组，或称为无序对，记为（a，b）。
有序对具有如下性质。 （1）有序性：当x≠y时<x，y>≠<y，x>。 （2）<x，y>与<u，v>相等的充分必要条件是
A
B
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第三章 集合
§3-2 集合之间的关系
§3-2-1 集合之间的关系 （1）相等关系： • 两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。 • 若A与B相等，记为A=B；否则，记为A≠B。 • 可形式化为：A=B(x)(xAxB)。
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第三章 集合
《离散数学》课件-第3章集合的基本概念
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例题
计算以下幂集：
，{}；{，{}}
解：
P()={} P({})={，{}} P({，{}})= {, {}，{{}},{，{}}}
18
3.3 集合的运算
集合的运算 并，交，补（绝对补），差（相对补－），和对称差等。
19
集合的并运算
• 定义3.3.1 设A，B为集合，由A和B的所有元素组成的集 合称为A与B的并集， 可表示为： AB={x|xAxB} 其文氏图：
其文氏图如下：
~E = ， ~ = E， ~（~A）= A A ~A = ， A ~A = E
27
德.摩根定律
• 定理3.3.5 设A，B为任意二个集合，则有： • （1） （AB）= A B • （2） （A B）= A B • 证明 设E为全集，显然有AE=A，AE=E成立。 • （1） （AB）= {x | xEx（AB）}= {x |
据的增加、删除、修改、排序，以及数据间关系的描述。
集合论在计算机语言、数据结构、编译原理、数据库与
知识库、形式语言及人工智能等许多领域得到广泛的应
用。
2
3.1 集合及其表示
• 集合是由一些对象聚集在一起构成的。 例如，全体整数 全体中国人 26个英文字母
• 构成集合的对象可以是各种类型的事物。 • 定义3.1.1 集合中的对象叫集合的元素，或成员。
• 集合中的元素可以具有共同性质，也可以表面上看起来不相干。
• 如{2，Tom，计算机，广州}
• 在集合论中，规定元素之间是彼此相异的，并且是没有次序关 系的。
例如，{3,4,5},{3,4,4,5,5},{5,3,4}都是同一个集合。
• 例如，A={3,4,5},
例题
计算以下幂集：
，{}；{，{}}
解：
P()={} P({})={，{}} P({，{}})= {, {}，{{}},{，{}}}
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3.3 集合的运算
集合的运算 并，交，补（绝对补），差（相对补－），和对称差等。
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集合的并运算
• 定义3.3.1 设A，B为集合，由A和B的所有元素组成的集 合称为A与B的并集， 可表示为： AB={x|xAxB} 其文氏图：
其文氏图如下：
~E = ， ~ = E， ~（~A）= A A ~A = ， A ~A = E
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德.摩根定律
• 定理3.3.5 设A，B为任意二个集合，则有： • （1） （AB）= A B • （2） （A B）= A B • 证明 设E为全集，显然有AE=A，AE=E成立。 • （1） （AB）= {x | xEx（AB）}= {x |
据的增加、删除、修改、排序，以及数据间关系的描述。
集合论在计算机语言、数据结构、编译原理、数据库与
知识库、形式语言及人工智能等许多领域得到广泛的应
用。
2
3.1 集合及其表示
• 集合是由一些对象聚集在一起构成的。 例如，全体整数 全体中国人 26个英文字母
• 构成集合的对象可以是各种类型的事物。 • 定义3.1.1 集合中的对象叫集合的元素，或成员。
• 集合中的元素可以具有共同性质，也可以表面上看起来不相干。
• 如{2，Tom，计算机，广州}
• 在集合论中，规定元素之间是彼此相异的，并且是没有次序关 系的。
例如，{3,4,5},{3,4,4,5,5},{5,3,4}都是同一个集合。
• 例如，A={3,4,5},
离散数学第3章-集合与关系
（1） 任一对象a，对某一集合A来说，a属于A或a不属于A， 两者必居其一，且仅居其一。并且当a属于A时，称a是A的成
员，或A包含a，a在A之中，a属于A。即 a A a A
（2）集合中元素具有互异性和无序性。如{a,b,c,d}={a,b,b,c,d}
3-1 集合的概念和表示法
(3) 集合的元素个数可以是有限个也可以是无限个，具有有限个元素的集 合的为有限集，否则称为无限集。 (4) 集合中的元素也可以是集合，如
称为A和B的笛卡尔积，记作：A B
例：A {、、 、、
则：
3-4 序偶和笛卡尔积
5、多重直积：
A1 A2 A3是集合，A1 A2是笛卡尔集，也是集合仍可再作笛卡尔积
A A A A A A ( ) { , , | , , }
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
A A A { , , | , , }
E AB
S={x∣(x∈A)∧（xB）}
={x∣（x∈A）∧ （x∈B）}
3-2 集合的运算
b）集合A关于全集E的补。 E-A称为A的绝对补，记作~A。
E A
~A={x∣(x∈E）∧（x A）}
~ A有下列性质： ⑴ ~（ ~A）=A
⑵ ~E=
⑶~ =E
⑷A∪~A=E
⑸A∩~A=
3-2 集合的运算
* 以后判断两集合相等就主要用这一重要定理。
定理：对任一Set A， A
3-1 集合的概念和表示法
例：若A={a,b,c},写出其所有子集。 解：Ø 、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}均是A的子 集
员，或A包含a，a在A之中，a属于A。即 a A a A
（2）集合中元素具有互异性和无序性。如{a,b,c,d}={a,b,b,c,d}
3-1 集合的概念和表示法
(3) 集合的元素个数可以是有限个也可以是无限个，具有有限个元素的集 合的为有限集，否则称为无限集。 (4) 集合中的元素也可以是集合，如
称为A和B的笛卡尔积，记作：A B
例：A {、、 、、
则：
3-4 序偶和笛卡尔积
5、多重直积：
A1 A2 A3是集合，A1 A2是笛卡尔集，也是集合仍可再作笛卡尔积
A A A A A A ( ) { , , | , , }
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
A A A { , , | , , }
E AB
S={x∣(x∈A)∧（xB）}
={x∣（x∈A）∧ （x∈B）}
3-2 集合的运算
b）集合A关于全集E的补。 E-A称为A的绝对补，记作~A。
E A
~A={x∣(x∈E）∧（x A）}
~ A有下列性质： ⑴ ~（ ~A）=A
⑵ ~E=
⑶~ =E
⑷A∪~A=E
⑸A∩~A=
3-2 集合的运算
* 以后判断两集合相等就主要用这一重要定理。
定理：对任一Set A， A
3-1 集合的概念和表示法
例：若A={a,b,c},写出其所有子集。 解：Ø 、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}均是A的子 集
离散数学-集合
例题
利用上例中的公式可以证明对称差A⊕B下列的性质。 设A,B是任意的集合。 ① A⊕A = φ ② A⊕φ = A ③ A⊕E = ~A 证明： ① A⊕A = (A-A)∪(A-A) = φ⊕φ = φ ② A⊕φ = (A-φ)∪(φ-A) = A∪φ = A ③ A⊕E = (A-E)∪(E-A)= φ∪~A = ~A
有限集合的计数
例8 某班有50名学生，第一次考试中26人成绩为优，第二次考试中21人 成绩为优，已知两次考试中都不为优的共17人。问两次考试中都为 优的有多少人？ 解：设A，B分别表示第一次和第二次考试中成绩为优的学生集合。 画出文氏图，如图3.7所示。 首先填A∩B中的人数，这正是要求 的，设为x。 A-B中的人数是26-x，B-A中的人数 是21-x，分别填入对应的区域。并 列出如下方程： (26-x)＋x＋(21-x)＋17=50 解得：x=14
对称差
定义3-2.5 设A，B是集合，由 A中元素或B中元素， 但不是A与B的公共元素组成的集合，称为A和B的对 称差，记为A⊕B。 A⊕B=⎨x|x∈A ∨ x∈B⎬=(A∪B)-(A∩B) A⊕B的定义如图所示。 例6 令A=⎨1,2,3,4⎬，B= ⎨1,2,5,6⎬， 则 A⊕B = A∪B-A∩B = ⎨1,2,3,4,5,6⎬-⎨1,2⎬ = ⎨3,4,5,6⎬
3-2 集合的运算
定义3-2.1 设A，B是集合，由A与B的公共元素组成的集合，称 为A和B的交集，记为A∩B。 A∩B=⎨x|x∈A∧x∈B⎬ 交集的定义如图所示。 从交集的定义可以得到： A∩B⊆A，A∩B⊆B 如果A与B无公共元素，即 A∩B=φ， 称A和B是互不相交的。 例1 令A=⎨a,b,c⎬，B=⎨d,e⎬， 则A∩B=φ，A和B是互不相交的。
离散数学第三章-集合的基本概念和运算
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例5、证明： A B A 证明：对任意 x ，
xAB
B (第14条)
xAxB
xAxB
xA B 故 AB A B
30
例6、证明 A (B A) A B 。 证明： A (B A) A (B A)
(A B) (A A) (A B) E A B
31
例7、化简 (A B C) (A B)
A B A AB
此式给出了A是B的子集的3种等价定义。不仅提供 了证明子集的新方法，也可以用于集合公式的化简。28
除基本运算外，还有以下一些常用性质 (证明略)
16、 A B B A
“ ”的交换律
17、(A B) C A (B C) “ ”的结合律
18、 A A
19、 A A
20、 A B AC B C
A {a1, a2, an} 表示集合 A 含有元素 a1, a2, an
5
注意： (1) a A或 a A
(2) 集合中的元素均不相同
{a,b,c},{a,b,b,c},{c, a,b}
表示同一个集合。 (3) 集合的元素可以是任何类型的事物，
一个集合也可以作为另一个集合的元素。
例如：A a,{b,c},b,{b}
1元子集：{a},{b},{c} (共C31 3个)， 2元子集：{a,b},{a, c},{b, c}(共 C32 3个)， 3元子集：{a,b, c} (共 C33 1个)。 一般，n 元集共有子集 Cn0 Cn1 Cnn （11）n 2n 个。
21
定义2 ：集合 A 的幂集，记 ( A) ,是 A的全体子集的集合 例5、 A {a,b,c} ，求 (A) 。 解：(A) {,{a},{b},{c},{a,b},
《离散数学》第三章集合的基数
第三章 集合的基数
本章讨论集合论中较为困难的问题—集 合的基数问题；但只限于对基数作一简 单介绍；如学时较少可不讲本章或对本 章作恰当的删减.
本章主要概念为:集合的等势、有限集与 无限集、可数集与不可数集及较为常见 的集合的基数.
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第一节 无穷集的概念
本节主要内容: 1.两个集合等势的定义； 2.基数的概念:基数是集合的一种性质，一
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
种与该集合等势的集合所构成的集合族 的共同性质，即任何两个集合，如果它 们等势，它们便有相同的基数 （Von.Neumann的观点）； 3.利用等势的概念来定义有限集与无限集.
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第二节 可数集与不可数集
可数集是无限集中最简单的一种，本节把无 限集区分为可数集与不可数集，主要结论有:
1.任意可数集都有一个与其等势的真子集; 2.任意一个无限集都包含一个可数子集； 3.可数集的任意无限子集是可数集； 4.可数集与有限集的并集是可数集； 5.两个（因而有限个）可数集的并集仍是可数
集； 6.可数个可数集的并集是可数集； 7.两个（因而有限个）可数集合的笛卡尔积仍
然是可数集.
Hale Waihona Puke 返回本章首页返回本章首页
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本章讨论集合论中较为困难的问题—集 合的基数问题；但只限于对基数作一简 单介绍；如学时较少可不讲本章或对本 章作恰当的删减.
本章主要概念为:集合的等势、有限集与 无限集、可数集与不可数集及较为常见 的集合的基数.
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第一节 无穷集的概念
本节主要内容: 1.两个集合等势的定义； 2.基数的概念:基数是集合的一种性质，一
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
种与该集合等势的集合所构成的集合族 的共同性质，即任何两个集合，如果它 们等势，它们便有相同的基数 （Von.Neumann的观点）； 3.利用等势的概念来定义有限集与无限集.
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第二节 可数集与不可数集
可数集是无限集中最简单的一种，本节把无 限集区分为可数集与不可数集，主要结论有:
1.任意可数集都有一个与其等势的真子集; 2.任意一个无限集都包含一个可数子集； 3.可数集的任意无限子集是可数集； 4.可数集与有限集的并集是可数集； 5.两个（因而有限个）可数集的并集仍是可数
集； 6.可数个可数集的并集是可数集； 7.两个（因而有限个）可数集合的笛卡尔积仍
然是可数集.
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离散数学 教案 第3章 集合
当n无限增大时，可以记为
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计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics
例1 集合A={x-2＜x＜2，xR}， B={x0≤x≤4,xR}
求A∪B，A∩B 。 解：A∪B={x-2＜x＜2或0≤x≤4,xR} ={x-2＜x≤4,xR} A∩B={x-2＜x＜2且0≤x≤4,xR} ={x0≤x＜2,xR}
把集合的所有元素写在花括号内，元素之间用逗 号分开；一般用于有限集和有规律的无限集合。
2.描述法 用谓词来概括集合中元素的属性。通常用 { xA(x)}来表示具有性质A的一些对象组成的集合。
例：D={(x,y)x2+y2≤1∧x∈R∧y∈R}
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Discrete Mathematics 常用集合的表示方法和表示符号 （1）自然数集N={0，1，2，…}
由定义可知，广义交和广义并是针对集族而言的， 对于非集族来说，其广义交和广义并为空集。
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Discrete Mathematics 下面以n个集合为例说明：
例如：
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Discrete Mathematics 可以把n个集合的并和交简记为: 和 ，即:
（2）整数集合I={…-2，-1，0，1，2，…}
（3）有理数集合Q={xx=Pq∧p,qZ}
（4）实数集合R={ x x是实数
（5）复数集合C={x x=a+bi∧a,bR∧i2=-1}
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Discrete Mathematics
3. 归纳定义法
离散数学第三章集合的基本概念和运算
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念
3.2 集合的基本运算
3.3 集合中元素的计数
3.1 集合的基本概念
1.子集:若 B⊆A⇔∀x(x∈B→x∈A),则称B为A的子集. 2.真子集:若 B⊆A ∧ B≠A,则称B为A的真子集. 3.集合相等: B⊆A ∧ A⊆B⇔A=B,称集合A与B相等. 4.空集:不含任何元素的集合称为空集.记作φ. 空集是一切集合的子集;空集是唯一的. 5.n元集:含有n个元素的集合称为n元集. 6.全集:如果所涉及的集合都是某个集合的子集,则称这个集 合为全集(E). 7.幂集:设A为集合,把A的全体子集构成的集合,称为A的幂集 记作P(A),P(A)={x|x⊆A}. 若A是n元集,则P(A)有2n个元集(n元集有2n个子集).
二.集合运算的算律 幂等律：A∪A=A, A∩A=A;
结合律: (A∪B)∪C=A∪(B∪C), (A∩B)∩C=A∩(B∩C); 交换律: A∪B=B∪A , A∩B=B∩A; 分配律: A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C), A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C); 同一律: A∪φ=A, 排中律: A∪～A=E; A∩E=A; 零律: A∪E=E, A∩φ=φ;
| Ai I A j I Ak | +... + ( −1) m | A1 I A2 I ...I Am | ∑
推论： 推论：在S中至少具有一条性质的元素数是
| A1 U A 2 U ... U A m |= +
1≤ i < j < k ≤ m
∑|A
i =1
m
i
|−
1≤ i < j ≤ m
∑|AI
i
二.包含排斥原理 包含排斥原理
3.1 集合的基本概念
3.2 集合的基本运算
3.3 集合中元素的计数
3.1 集合的基本概念
1.子集:若 B⊆A⇔∀x(x∈B→x∈A),则称B为A的子集. 2.真子集:若 B⊆A ∧ B≠A,则称B为A的真子集. 3.集合相等: B⊆A ∧ A⊆B⇔A=B,称集合A与B相等. 4.空集:不含任何元素的集合称为空集.记作φ. 空集是一切集合的子集;空集是唯一的. 5.n元集:含有n个元素的集合称为n元集. 6.全集:如果所涉及的集合都是某个集合的子集,则称这个集 合为全集(E). 7.幂集:设A为集合,把A的全体子集构成的集合,称为A的幂集 记作P(A),P(A)={x|x⊆A}. 若A是n元集,则P(A)有2n个元集(n元集有2n个子集).
二.集合运算的算律 幂等律：A∪A=A, A∩A=A;
结合律: (A∪B)∪C=A∪(B∪C), (A∩B)∩C=A∩(B∩C); 交换律: A∪B=B∪A , A∩B=B∩A; 分配律: A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C), A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C); 同一律: A∪φ=A, 排中律: A∪～A=E; A∩E=A; 零律: A∪E=E, A∩φ=φ;
| Ai I A j I Ak | +... + ( −1) m | A1 I A2 I ...I Am | ∑
推论： 推论：在S中至少具有一条性质的元素数是
| A1 U A 2 U ... U A m |= +
1≤ i < j < k ≤ m
∑|A
i =1
m
i
|−
1≤ i < j ≤ m
∑|AI
i
二.包含排斥原理 包含排斥原理
离散数学课件 第三章 集合与关系-2
② 对称闭包 s(R)=R∪Rc
③ 传递闭包 t(R)=
i 1
R = R∪R2∪R3∪…
i
证明 r(R)=R∪IA
证：设R‟ = R∪IA ∵ ① xA,<x,x>R‟ ∴R‟具有自反性 ② RR‟ ③ 设R”是自反的，且RR” ∵R‟‟是自反的，∴IAR” 又∵RR” ∴R‟=IA∪RR” 综上所述，R‟满足自反闭包定义的三个条件， ∴ r(R)= R‟= R∪IA
证明
st(R) ts(R)
证：① 先证 R对称t( R )对称 t( R )-1 = (RR2R3…)-1 = R-1(R2)-1(R3)-1… = R-1(R-1)2(R-1)3… ((F◦G)-1=G-1◦F-1，定理3-7.2 ) = R R2 R3 … = t( R ) t( R )对称. ② 因为 R s(R),故 st( R ) st(s( R )) 而st(s( R ))= sts(R) = s(ts( R )) = ts( R ) st( R ) ts( R ).
i i 1
必s,t,使得<a,b>∈Rs,<b,c>∈Rt ∴<a,c>∈ Rt◦Rs
i i 1
=
Rt+s
i i 1
i 1
R
i
∴<a,c>∈ R ∴t(R) R
i 1
∴ R 是传递的
i
② ∵ t(R)是包含R的最小传递关系
由（1），（2）得 t(R) =
3-9 集合的划分和覆盖
除了把两个集合相互比较外，还常把一个集合 分成若干子集讨论。
定义3-9.1 设A为非空集，S={S1…Sm},SiA，Si
离散数学 教案 第3章复习总结
discretemathematics第三章集合复习总结复习总结西南科技大学计算机科学与技术学院1discretemathematics一本章主要内容及学习要求?集合表示法?元素与集合的关系?集合与集合间的关系?集合的基本运算?集合的基本运算西南科技大学计算机科学与技术学院2?集合运算的文氏图表示?有穷集合的计数问题
答案： 答案：(1). ③ (2). ⑦ (3). ⑤ 供选择的答案： 供选择的答案： ①(S∩M)-T； ②S∪M ； ③ (S∪M)-T； ； ∪ ∪ ； ④ (T⊕M) -S；⑤S∩(T∪M)；⑥ (T∪M) -S；⑦T-(S∪M)； ⊕ ； ∪ ； ∪ ； ∪ ； ⑧T-(S-M)； ⑨(S-T)∩M； ⑩(S∩M)∪(S-T)； ； ； ∪ ；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
答案： (5). ④ 答案：(4). ⑩ 供选择的答案： 供选择的答案： ①(S∩M)-T； ②S∪M ； ③ (S∪M)-T； ； ∪ ∪ ； ④ (T⊕M) -S；⑤S∩(T∪M)；⑥ (T∪M) -S；⑦T-(S∪M)； ⊕ ； ∪ ； ∪ ； ∪ ； ⑧T-(S-M)； ⑨(S-T)∩M； ⑩(S∩M)∪(S-T)； ； ； ∪ ；
Discrete Mathematics
第三章 集合
复习总结
西南科技大学
1
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 一、本章主要内容及学习要求 集合表示法 元素与集合的关系 集合与集合间的关系 集合的基本运算 集合运算的文氏图表示 有穷集合的计数问题。 本章重点是集合表示法，集合间的关系，集合 重点是集合表示法，集合间的关系， 重点是集合表示法 运算,有穷集合的计数。 运算,有穷集合的计数。
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答案： 答案：(1). ③ (2). ⑦ (3). ⑤ 供选择的答案： 供选择的答案： ①(S∩M)-T； ②S∪M ； ③ (S∪M)-T； ； ∪ ∪ ； ④ (T⊕M) -S；⑤S∩(T∪M)；⑥ (T∪M) -S；⑦T-(S∪M)； ⊕ ； ∪ ； ∪ ； ∪ ； ⑧T-(S-M)； ⑨(S-T)∩M； ⑩(S∩M)∪(S-T)； ； ； ∪ ；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
答案： (5). ④ 答案：(4). ⑩ 供选择的答案： 供选择的答案： ①(S∩M)-T； ②S∪M ； ③ (S∪M)-T； ； ∪ ∪ ； ④ (T⊕M) -S；⑤S∩(T∪M)；⑥ (T∪M) -S；⑦T-(S∪M)； ⊕ ； ∪ ； ∪ ； ∪ ； ⑧T-(S-M)； ⑨(S-T)∩M； ⑩(S∩M)∪(S-T)； ； ； ∪ ；
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第三章 集合
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Discrete Mathematics 一、本章主要内容及学习要求 集合表示法 元素与集合的关系 集合与集合间的关系 集合的基本运算 集合运算的文氏图表示 有穷集合的计数问题。 本章重点是集合表示法，集合间的关系，集合 重点是集合表示法，集合间的关系， 重点是集合表示法 运算,有穷集合的计数。 运算,有穷集合的计数。
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离散数学
将集合中的元素逐一列出，两端加上花括号。 { 1，2，3，4，5}； { 风，马，牛 }； { 2，4，6，8，10，… }； { 3，7，11，15，19，… }； 比较适合集合中的元素有限（较少或有规律），无限 （离散而有规律）的情况。 (3)谓词表示法： { x:P(x) } 或者{ x︱P(x) } 其中：P表示 x 所满足的性质（一元谓词）。 { x : x I （且） x8} ={…，-3，-2， -1，0，1，2，3，4，5，6 , paradox(1902))： 罗素1902年在集合论中也发现了如下的悖论。他 构造了这样一个集合 S={ x:xx } 然后他提出问题： SS ？ 如果SS ，那么，按罗素给S的定义，则应有 SS； 如果S S ，那么，按罗素给S的定义，则应有 SS ； 罗素悖论的发现，几乎毁灭集合论，动摇数学的 基础，倾危数学的大厦。直接引发了数学的第三次 危机。
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离散数学
第三章 集合 (set)
§１.集合理论中的一些基本概念
个体与集合之间的关系 集合的表示法 集合与集合之间的关系 幂集
§2 .集合代数 集合的基本运算
集合的补运算 集合的交运算和并运算
集合的宏运算
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离散数学
第三章 集合 (set)
§１.集合理论中的一些基本概念 集合概念将作为一个不言自明的元概念（基本概 念）。它不能用别的术语来精确的定义，只能用别的 术语来加以说明。它本身就是用来定义其它概念的概 念。 我们来看看一些关于什么是集合的各种不同的说法， 以便加深对集合这个元概念的理解。 1. 莫斯科大学的那汤松教授说： 凡具有某种特殊性质的对象的汇集称之为集。 2. 复旦大学的陈建功教授说： 凡可供吾人思维的，不论它有形或无形，都叫做 物。具有某种条件的物，称它们的全部谓之一集。 3. 南开大学的杨宗磐教授说：
录
集合 关系 函数 代数系统 格与布尔系统 图论
3
离散数学 Discrete Mathematics
序言：
离散数学是现代数学的一个重要分支，计算机科学 基础理论的核心课程。它充分描述了计算机科学的 离散性特点，是随着计算机科学的发展而逐步建立 起来的新兴的基础性学科。 本课程作为计算机科学的基础性课程，把握离散数 学的关键性问题，介绍五大块内容：集合论、代数 系统、布尔代数、图论、数理逻辑。 这些和计算机科学密切相关的理论的结构按排，既 着重于各部分之间的紧密联系，又深入探讨各部分 内容的概念、例子、理论、算法、以及实际应用。
离散数学
集合论是一种语言。它可以作为别的学科的描述工具 语言。 二.集合的表示法： 我们规定用花括号——{ } 表示集合。 (1)文字表示法： 用文字表示集合的元素，两端加上花括号。 { 在座的同学 }； { 奇数 }； { 去年的下雨天 }； { 高等数学中的积分公式 }； { 闭区间[0,1]上的连续函数 }； 比较粗放。比较适合在对集合中的元素了解甚少、不 详，难以用精确的数学语言来刻划时使用。 (2)元素列举法（罗列法）： 15
21
离散数学
两个集合不相等，记为AB ； 根据这个定义，关于集合我们可得下列性质： (1) 无序性：集合中的元素是无序的。例如 {a,b,c}= {b, a, c} = {b , c, a} 因此，为了使用方便，我们可任意书写集合中元 素的顺序。 但一般情况下，通常采用字母序、字典序；有时， 还需要强行命名一种序； 无序性是集合的四大性质之一。 (2)无重复性：集合中元素的重复是无意义的。例如 {a, a, a, a, b, b, b, c , c}= {a, b, c} 包(bag)：若允许元素重复称为包。例如 {a, a, a, a, b, b, b, c , c} 一般记为{4a, 3b, 2c}
离散数学
全集一般用一个矩形框来表示：
X
七.单元素集合（singleton set）：
只含一个元素的集合称为单元素集。 例如 { a }； { 张三 }； {} 左边是空集；右边不是空集，而是单元 素集合，有一个成员 ；这说明：差别在于级别。 即，右边的集合级别高。 单元素集合是构造复杂集合的‘原子’。
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离散数学
概括原理：集合{ x:P(x) }恰由那些满足性质谓词P(x) 的元素组成。即 x{ x:P(x) } (当且仅当) P(x)真 。 悖论(paradox)： 所谓悖论是指这样一个所谓的命题P，由P真立即推 出P假；由P假立即推出P真；即 P真P假 。 理发师悖论： 某偏远小山村仅有一位理发师。这位理发师规定： 他只给那些不给自己刮脸的人刮脸。那么要问：这位 理发师的脸由谁来刮？ 如果他给自己刮脸，那么，按他的规定，他不应该 给自己刮脸； 如果他不给自己刮脸，那么，按他的规定，他应该 给自己刮脸； 18
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离散数学
因此，对于集合，我们接受以下事实： (a)承认集合的存在性。即，接受集合概念； (b)承认集合是由一些个体（对象）组成的。这些 个体称为该集合的成员或元素（member,element）； (c )承认个体是可辩认的。即，一个个体要么是一 个集合的成员，要么不是；二者必居其一，也只居 其一。 这种存在性，可辩认性被归纳为集合的一条性质 确定性：确定性是说集合确定； 个体确定； 集合与个体之间的关系确定。 因此，经典集合的边界是分明的、清晰的。 确定性是集合的四大性质之一。 12
离散数学
的成员。 (2)a 不属于 A，记为 aA或a A ，称 a 不是 A 的 元素或a 不是 A 的成员。
A
A
a aA aA
a
判断个体 a 属于 A 还是不属于 A ，必须使用个体的 可辨认性，而且个体的可辨认性是无二义性的，即 或者 a 属于 A 或者 a 不属于 A，二者居其一且只居 其一。 14
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离散数学
集合论在计算机科学中的应用
集合论包括集合﹑关系和函数3部分 1)集合 集合不仅可以表示数，而且可以像数一样进 行运算，还可以用于非数值信息的表示和处理，如数据 的增加、删除、排序以及数据间关系的描述，有些很难 用传统的数值计算来处理的问题，却可以用集合来处理。 因此，集合论在程序语言、数据结构、数据库与知识库、 形式语言和人工智能等领域得到了广泛的应用。 2)关系 关系也广泛地应用于计算机科学技术中，例 如计算机程序的输入和输出关系、数据库的数据特性关 系和计算机语言的字符关系等，是数据结构、情报检索、 数据库、算法分析、计算机理论等计算机领域中的良好 数据工具。另外， 关系中划分等价类的思想也可用
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离散数学
本章我们所讲解的集合论是‘朴素(naive)’集合论； 所讨论的集合一般也不会产生悖论。 三.集合的名字： (1)大写的拉丁字母：例如A={x: x =1},B={-1,1}； (2)小写的希腊字母：例如={a,b,c},={n:nN3︱n}； (3)花写的徳文字母：例如={y:yR0y 1}, ={u:u I u+30} ； 不够用时可以加下标。 同一个集合可以有几个名字。 四.集合的相等（equality） ： 外延性原理：两个集合相等，当且仅当，它们的成员 完全相同。即 A=B x(xA xB) ；
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离散数学
为了解决集合论中的悖论问题，人们产生了类型论和 形式化公理化集合论(ZF和ZFC公理系统)，以求排除集 合论中的悖论。 近年来，基于ZFC公理系统和一阶逻辑(谓词逻辑) ， 人们提出了抽象的计算机程序设计语言__Z语言。 在公理化集合论中，人们引进了类(class)的概念。
不包含悖论的类(OK类) 集合(可进行运算) 类 包含悖论的类(固有类) 非集合(不能进行运算)
离散数学
西安交通大学 电子与信息工程学院 计算机软件所 刘国荣
1
离散数学
目 标
掌握集合论、代数系统、布尔代数、图论 的基本思想和方法，提高用集合论、代数系 统、布尔代数、图论的思想和方法分析问题 和解决问题的能力。
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离散数学
目
序言 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
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离散数学
叙述恰当严谨，论证详尽严密，内容新颖丰富是本课 程的特点。 离散数学具有抽象性、非线性、非寻绎性、构造性、 结构性、整体性等结构性数学特点。 证明方法除了大量的运用常用的（数学）归纳法、演 绎法、反证法、归谬法、二难法、二分法、枚举法 （穷举法）、相容排斥法等方法之外，特别着重于存 在性、结构性、构造性方法，以及各部分内容自己所 特有的方法（比如图论的删点增点方法、删边增边方 法、伸路蹦圈方法）。
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离散数学
无重复性是集合的四大性质之一。 五.空集(empty,null,void set)：记为 空集是没有成员的集合。即 x(x) (所谓的空集公理)； 所以={ }； 空集是集合（作这点规定是运算封闭性的要求）。 空集是唯一的。因为若有两个空集，则它们有完全 相同的元素（都没有任何元素），所以它们相等，是 同一集合。 六.全集（universe of discourse）：记为X 全集是所要研究的问题所需的全部对象（元素） 所构成的集合。 23 全集给个体（研究的对象）划定适当的范围。
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离散数学
{ x: x2 = 1 }； { y : y 是开区间 (a,b) 上的连续函数 }；（混合表示 法） { 使 x2 = 1 的实数 } ={ 1，-1 } ={ x : x2 = 1 } 比较适合在对集合中的元素性质了解甚详，且易于用 精确的数学语言来刻划时使用。 外延(extension) ：集合{ x:P(x) }称为性质谓词P(x) 的 外延； 内涵(intension,connotation)：性质谓词P(x) 称为集合 { x:P(x) }的内涵； 由此看到，采用谓词法定义集合，关键是要得出内 涵P(x) ，并且显然有如下的
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离散数学
集就是“乌合之众”。不考虑怎样“乌合”起来的， 众可以具体，可以抽象。 这种乌合性被归纳为集合的一条性质 任意性：任意性是说组成集合的元素任意； 构成的法则任意； 什么都可以构成集合，不加任何限制。 任意性是集合的四大性质之一。 4. 集合论之父G.Cantor（1845-1918）说： 集合是由总括某些个体成一个整体而成的。对于每 个个体，只设其为可思考的对象，辨别它的异同。个 体之间并不需要有任何关系。