圆锥曲线的统一定义、焦半径公式
圆锥曲线的统一定义焦半径公式PPT课件
a2 cx a x c2 y2
思考1. x c2 y2 a ex , 即为 MF2 a ex ;
若另一种移法可得： MF1 a ex . 这是焦半径公式
思考2.
x c2 y2 c
a2 x
. a
这是椭圆的第二定义.
c
若另一种移法可得：
xB2 3
y B,由2 1
得F1 A 5 F2 B x,A 2 5(xB
xA2 3
yA2
1
2) yA 5yB
,联立方程组可得 xA . 0
x 分析2:（数形结合）如果右准线与 轴的交点为 ,C可以证
明A、B、C三点共线，由定义可以知道 到A 左右准线距离相
等，所以 x。A 0
微课小结 回归课本、高于课本······
一个 背景 二种 结论
一次 探究
二类 思想
椭圆标准方程的推导 圆锥曲线的统一定义、焦半径公式 点坐标
数形结合、消元引参、
移项、两边平方得
x c2 y2 4a2 4a x c2 y2 x c2 y2
a2 cx a x c2 y2
方程形式
两边再平方，得 a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2
整理得 a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
x c2
x a2
y2
c. a
c
1.圆锥曲线的统一定义 2.圆锥曲线的焦半径公式
材料1.
设
F1
,F2分
别
为
椭
圆x2 3
(完整版)圆锥曲线的定义、方程和性质知识点总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
圆锥曲线的焦半径公式
圆锥曲线上任意一点到核心的间隔叫做圆锥曲线关于该点的焦半径.操纵圆锥曲线的第二定义很容易)为椭圆 + =1(a>b>0)上任意一点，F 、F 分别为椭圆的左、右核心，则 =a+e x , =a-e x .
(2)若P(x ,y )为椭圆 + =1(a>b>0)上任意一点，F 、F 分别为椭圆的上、下核心，则 =a+e y , =a-e y .
(4)若P(x ,y )为抛物线x =-2py(p>0)上任意一点，则 = -y +
不克不及，请说明来由.(答案：点P不存在)
(1)若P(x ,y )为双曲线 - =1(a>0，b>0)上任意一点，F 、F 分别为双曲线的左、右核心，则
①当点P在双曲线的左支上时， =-e x -a, =-e x +a.
②当点P在双曲线的右支上时， =e x +a, = e x -a.
(2)若P(x ,y )为双曲线 - =1(a>0，b>0)上任意一点，F 、F 分别为双曲线的上、下核心，则
①当点P在双曲线的下支上时， =-e y -a, = -ey +a.
②当点P在双曲线的上支上时， =ey +a, = ey -a.
(1)若P(x ,y )为抛物线y =2px(p>0)上任意一点，则 = x +
(2)若P(x ,y )为抛物线y =-2px(p>0)上任意一点，则 = -x +
(3)若P(x ,y )为抛物线x =2py(p>0)上任意一点，则 = y +
圆锥曲线公式及知识点总结(详解)
圆锥曲线公式及知识点总结(详解)（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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圆锥曲线的焦半径(角度式)
-> 7圆锥曲线的焦半径一角度式一椭圆的焦半径设P是椭圆务+条“ S心。
）上任意-点，F为它的-个焦点，则■ 2乙PFO = e,则 |PF| = ------a-ccQsO上述公式定义ZPFO = &, P是椭圆上的点，F是焦点，0为原点，主要优点是焦点在左右上下均适用，无需再单独讨论证明：设PF另一个焦点为F,则PF = FF-FP 两边平方得：戸戶2=丽'-2両•帀+帀2即：（2a — ///）" = 4c" + 4cni cos & + nr得：叶—a-ccos01过椭圆手+宁】的右焦点F任作-直线交椭圆于A、B衲点,若的+阿=A AF BE .则＞1的值为2（2002全国理）设椭圆壬+ ^1 （心心0）的-个焦点八过F作-条直线交椭圆于P、。
两点，求证：网+肉为定值，并求这个定值结论:椭圆的焦点弦所在的焦半径的倒数和为定值,即尙+侖=寻3< 2007 M庆理）在椭圆4 + 21 = 1 （a>h>0）上任取三个不同的点时，P「a~ Ir ■使= = 笃牛耳为右焦点，证明丽+丽+两为定值, 并求此定值结论^若过F作"条夹角相等的射线交椭圆于L …，吒，则na4 F是椭圆+ + r=l的右焦点，山F引出两条相互垂直的直线b,直线"与乙椭圆交于点A、C ,直线b与椭圆交于3、D ,若FA =/]fFCFD=i则下列结论一定成立的是（B zj + 坊 +Zj+r, =4血D - + - + - + - = 472 片「2 「3 「4F是椭圆手+牛]的右焦点，过点F作-条与坐标轴不垂直的直线交椭圆于八B,线段A〃的中垂细如轴于点M,则緡的值为6伽。
辽宇理）设椭圆C： 5 +壬"5">0）的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A, 3两点，直线/的倾斜角为60° ,乔=2丽<1）求椭圆C 的离心率（2）如果|"=罟，求椭圆C 的方程7 <2010全国"理）已知椭圆G 召+石"的离心率为孚过右焦点F 且斜 率为£ （«>0）的直线与C 相交于A, B 两点，若AF = 3FB,则《=（B 728已知椭圆C ： ■ + *" S 心0）的右焦点为八过点F 的直线与椭圆C13’ ）已知椭圆各+与=1的左右焦点分别为斤，耳，过斤的直线 交椭圆于D 两点，过人的直线交椭圆于A, C 两点，且AC 丄求四边■ 形4£3的面积的最小值210 （2005全国卷］［理）P, 2，M, N 四点都在椭圆%-+^ = 1±, F 为椭圆2 在y 轴正半轴上的焦点，S 知丽与FS 共线，MF^FN 共线，且丽•丽=0,相交于A, B 两点, 若BF =2AF ,则椭圆的离心率f 的取值范ffl 是（9 （2007全国I 理）求四边形PQMN 面积的最大值和最小值11已知过椭圆余+壬=1左焦点片的弦（非长轴）交椭圆于A ，B 两点，场为 右焦点，求使AF/B 的面积最大时直线A8的方程二双曲线的焦半径设P 是椭圆》卡“ so,心0）上任意-点，F 为它的-个焦点,式中“土”记忆规律，同正异负，即当位于轴的同侧时取正，否则取 负，取ZPFO = &,无需讨论焦点位置，上式公式均适用2 21 （2009全国II 理）已知双曲线C ：亠-厶> =1 （«>0, h>0）的右焦点为F,a- b-过F 且斜率为^/5的直线交C 于A.B 两点，若乔=4而，则C 的离心率为（2 （2007重庆理）过双曲线%--/= 4的右•焦点F 作倾斜角为105°的直线交双 曲线于P 、e 两点，则\FP[\FQ\的值为贝lJZPFO = e,贝Ij PF =——ccQsO±a三抛物线的焦半径已知A 是抛物线C ： r =2/zr （卩>0）上任意一点，F 为焦点，ZAFO = e.所以 AF =P-AFcos3】过抛物线宀2\的焦点F 作直线交抛物线于B 两点，若两-网 则直细的倾斜角八。
巧用圆锥曲线的焦半径
巧用圆锥曲线的焦半径圆锥曲线的焦半径为：二次曲线上任意一点Q到焦点的距离.圆锥曲线的焦半径概念，是圆锥曲线中的一个重要的概念.许多圆锥曲线的求解问题，往往都牵涉到它，且运用圆锥曲线的焦半径分析问题可给解题带来生机.因此，掌握它是非常重要的.圆焦半径：R f=" + xe, R，-; = a- xe,右支双曲线焦半径：R t =xe + th R = x e■- </ (x > 0),左支双曲线焦半径：R t = - (x e + a), R 6 = - (x e- a) (x <0),抛物线焦半径：Rw + f .art对于这些结论我们无须花气力去记，只要掌握相应的准线方程及标准方程的两种定义，可直接推得.如对双曲线而言：当P(xo,yo)是双曲线屁2_巧2 =局2(“>0">0)右支上的一点，Fl,F2是其左右焦点.则有左准线方程为.丫 =-必.C由双曲线的第二怎义得，左焦半径为IPF] 1=&(心+・)=5+^；c由IPFiF IPF2I =2r/,得IPF2I = IPF2I - 2a = ex0 - ・(IPF2I亦可由第二定义求得).例1已知Fi，F2是椭圆E的左、右焦点，抛物线C以Fi为顶点，F?为焦点，设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆E的离心率e满足IPF,l = elPF2l.贝9 e的值为()(A)苹(C)斗(D)2-j2解法1 设F,(-c,0), F2(C,0), P(A O,yo),于是，抛物线的方程为^=2(4c)(x + c),抛物线的准线/： x=-3c,椭圆的准线m： x = - —, c设点P到两条准线的距离分別为d 1, di.于是，由抛物线定义,得J1 = IPF2I, ................ ①又由椭圆的定义得IPFil = ed2,而IPFil = elPF2l, ..................... ②由①②得t/2 = IPF2l,故山=鸟,从而两条准线重合.・•・—3c = _Xne2=_lne =週.故选(C).c 3 3解法2 由椭圆定义得IPF1l + IPF2l = 2a,又IPF|l = elPF2l, A I PF2I (l+e) = 2a, .. ①又由抛物线定义得IPF2I= AO +3C,即XO =IPF2I-3C,.......................... ②由椭圆定义得IPF2l = “—exo, ............................. ③由②③得IPF2l = "—elPF2l + 3ec,即I PF?I (1+e ) = “ + 3ec, ......... ④由①④得2a = a + 3ec,解得e =斗,故选(C).点评结合椭圆、抛物线的泄义，并充分运用焦半径是解答本题的基本思想.例2设椭圆E：+ (a> b> 0),的左、右焦点分别为Fi,氏，右顶点为A.如果点M为椭圆E上的任意一点，且IMF.I - IMF2I的最小值为4(1)求椭圆的离心率e：(2)设双曲线Q：是以椭圆E的焦点为顶点，顶点为焦点，且在第一象限内任取Q上一点P,试问是否存在常数X(X>0),使得ZPAF> = X ZPF>A成立？试证明你的结论.分析对于(1)可利用焦半径公式直接求解.而(2)是一探索型的命题，解题应注重探索.由于在解析几何中对角的问题的求解，往往要主动联想到斜率.而ZPFiA显然是一锐角，又易知ZPAFi是(0. 123)内的角，且90。
圆锥曲线的统一定义
左焦点的距离为14，求P点到右准线的距离.
x2 y2 上一点P到 1 64 36
(2)椭圆
x2 y 2 1 25 9
的左右焦点分别为F1、F2
90° , 求ΔF1PF2的面积. 60 P为椭圆上一点,且∠F1PF2=90°
轨迹方程的思考:
例2.已知点P到定点F(1,0)的距离与它到定直线
l1
y
l2 M2 P
M1
P
O
d2
M2 x F1
d2
F1
.
.
F2
.
M1
O
.
F2 P′
x
d1
a 准线: x c
2
PF1 PF2 e 定义式: d1 d2
标准方程
x2 y2 2 1 2 a b ( a b 0)
图形
焦点坐标
准线方程
a2 x c a2 y c a2 x c
平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的 轨迹 表达式|PF|=d (d为动点到定直线距离）
平面内动点P到一个定点F的距离PF和到一条定 直线l (F不在l上)的距离d相等时,动点P的轨迹为抛 物线,此时PF/d=1.
探究与思考:
若PF/d≠1呢?
在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样 一个式子：
2、左焦点与左准线对应，右焦点与右准线对应，不能混淆， 否则得到的方程不是标准方程。
3、离心率的几何意义：曲线上一点到焦点的距离与到相应 准线的距离的比。
x y 2 1(a b 0) 2 a b
l1 d1 y l2
2
2
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
l : x 5的距离的比是常数
高考圆锥曲线公式知识点总结
高考圆锥曲线公式学问点总结高考圆锥曲线公式学问点总结导语：人生，没有过不去的坎，你不行以坐在坎边等它消逝，你只能想方法穿过它。
下面是为大家整理，数学学问。
词更多相关信息请关注CNFLA相关栏目!圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x/a+y/b=1,其中ab0,c=a-b2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y/a+x/b=1,其中ab0,c=a-b参数方程：x=acos;y=bsin(为参数，02)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的.双曲线标准方程：x/a-y/b=1,其中a0，b0，c=a+b.2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y/a-x/b=1,其中a0，b0，c=a+b.参数方程：x=asec;y=btan(为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt;y=2pt(t为参数)t=1/tan(tan为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特殊地，t可等于0 直角坐标:y=ax+bx+c(开口方向为y轴，a0)x=ay+by+c(开口方向为x轴，a0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式学问点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x/a+y/b=1(ab0) x/a-y/b=1(a0,b0) y=2px(p0) 范围x[-a,a] x(-，-a][a,+) x[0,+)y[-b,b] yR yR对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0)焦点(c,0),(-c,0) (c,0),(-c,0) (p/2,0)准线x=a/c x=a/c x=-p/2渐近线y=(b/a)x离心率e=c/a,e(0,1) e=c/a,e(1,+) e=1焦半径∣PF∣=a+ex ∣PF∣=∣ex+a∣∣PF∣=x+p/2∣PF∣=a-ex ∣PF∣=∣ex-a∣焦准距p=b/c p=b/c p通径2b/a 2b/a 2p参数方程x=acos x=asec x=2pty=bsin，为参数y=btan，为参数y=2pt,t为参数过圆锥曲线上一点x0x/a+y0y/b=1 x0x/a-y0y/b=1 y0y=p(x+x0)(x0,y0)的切线方程斜率为k的切线方程y=kx(ak+b) y=kx(ak-b)y=kx+p/2k。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
圆锥曲线的统一焦半径公式
ａ
ｌ十ｅＣＯＳＵ
应 线 距 ，椭 和 曲 中： 在 抛 物 线 中ｐ就 是 焦 准 的 离 在 圆 双 线 ｐＺ ｂ
，
解 得 — ：Ｖ３
—
．
点 到 准 线 的距 离 ， 是 圆锥 曲线 焦 半 径 与 焦 点 所 在 的 对 称 轴 的 ０ 夹 角 。。 ０ ］ ∈（ ， 。过 圆 锥 曲线 的焦 点 Ｆ 一条 焦 点 弦 ｌ Ｉ 作 ＡＢ ， 得
例 １（ ０ ０ 国 Ｉ ．２ １ 全 ）设Ｆ 椭 圆 Ｃ 一个 焦 点 ， 是 短 轴 的 一 是 的 Ｂ
●Ｉ
６于 点 Ｄ。 ＢＦ 且 ＝
．
．
ｏ
２
２ Ｄ， Ｃ Ｆ 则 的离 心 率 为
２
。
ＡＢ
解 法 １ 设 椭 圆 的方 程 为 ： ＋ ：
１ ｅ ｏ０ ＋ ｃ ｓ
：
Ｃ
１ ｅ Ｏ０ － Ｃ Ｓ ２ｅ ｐ
，
， 由题 意 ：００ ｃｓ：
＝ ，Ｆ ｅＩ Ｂ —
－
有
ｅ ｐ
ｌ—ｅＣＯＳＵ
说 明 ： 中ｒ ｅ 别 是 对 应 圆 锥 曲 线 焦 半 径 ， 是 焦 点 到 相 其 、分 ｐ
即
１ 一 １ ．一
，
公 式 １ｒ一 ：＝
１ ｃ ｓ ＋ｅ ｏ Ｏ
￣
０ ， ｌ ＝ ｃ ）一 ＝ ｘ ｃ ） ＝ ） 贝 （， ，Ｄ （ ， ， Ｊ Ｆ ｙ由 ２ 而得： ， ， ｘ３ ｙ 代 ＝ｃ ＝
－
２
入椭 圆 的方 程
４ － ＝ ａｂ， 孚 ． ｊ ＋ｌ ４
，
解 法２： 图 ， ＤＩ 如 Ｉ ：— Ｐ 一 Ｉ Ｉ— Ｆ ＿ Ｆ ： Ｂ
圆锥曲线的极坐标方程 焦半径公式 焦点弦公式
椭圆、 曲线、抛物线统一的极坐标方程为
ρ = ep . 1 − e cosθ
其中 p 是定点 F 到定直线的距离，p＞0 ．
当 0 e 1 时，方程表示椭圆
当 e＞1 时，方程表示 曲线，若ρ＞0，方程只表示 曲线右支，若允
许ρ 0，方程就表示整个 曲线
当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线.
二、圆锥曲线的焦半径公式
推论 若圆锥曲线的弦 MN 过焦点 F，则有 1 + 1 = 2 . MF NF ep
、圆锥曲线的焦点弦长 若圆锥曲线的弦 MN 过焦点 F，
1、椭圆中， p = a 2 − c = b2 ， MN = ep +
ep
= 2ab2 .
c
c
1− ecosθ 1− ecos(π −θ) a2 − c2 cos2 θ
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
湖北省天门中学 薛德斌
一、圆锥曲线的极坐标方程
椭圆、 曲线、抛物线可以统一定义为 一个定点(焦点)的距离和一条定
直线(准线)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹．
以椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点 F 作相
应准线的垂线，垂足为 K，以 FK 的 向延长线为极轴建立极坐标系．
3、抛物线中， MN = p +
p
= 2p .
1 − cosθ 1 − cos(π − θ ) sin 2 θ
四、直角坐标系中的焦半径公式 设 P x,y 是圆锥曲线 的点，
1、若 F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF1 = a + ex ，、 F2 分别是 曲线的左、右焦点，
设 F 为椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆( 曲线 的右支、抛物线) 任一点，则
圆锥曲线的焦半径巧用print
圆锥曲线的焦半径巧用圆锥曲线的焦半径为：二次曲线上任意一点Q 到焦点的距离．圆锥曲线的焦半径概念，是圆锥曲线中的一个重要的概念．许多圆锥曲线的求解问题，往往都牵涉到它，且运用圆锥曲线的焦半径分析问题可给解题带来生机．因此，掌握它是非常重要的．椭圆焦半径： R 左 = a + x e , R 右 = a - x e ,右支双曲线焦半径：R 左 = x e + a ，R 右 = x e - a ( x > 0) ，左支双曲线焦半径：R 左 = - (x e + a )，R 右 = - (x e - a ) ( x < 0) ,抛物线焦半径：R 抛 = x +2P ． 对于这些结论我们无须花气力去记，只要掌握相应的准线方程及标准方程的两种定义，可直接推得．如对双曲线而言：当P(x 0 , y 0)是双曲线b 2x 2 - a 2y 2 = a 2b 2 (a > 0, b > 0) 右支上的一点，F 1, F 2是其左右焦点． 则有 左准线方程为 ca x 2-=． 由双曲线的第二定义得，左焦半径为 a ex ca x e PF +=+=0201)(||; 由 |PF 1|- |PF 2| =2a ，得 |PF 2| = |PF 2| - 2a = ex 0 - a ．( |PF 2|亦可由第二定义求得)．例1 已知F 1，F 2是椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆E 的离心率e 满足 |PF 1| = e | PF 2 |，则e 的值为 ( )22)( 33)( 32)( 22)(--D C B A解法1 设F 1(- c, 0 )，F 2(c , 0)，P(x 0 , y 0)，于是，抛物线的方程为 y 2= 2 (4 c )(x + c ) , 抛物线的准线 l ：x =- 3 c ，椭圆的准线 m ：c a x 2-=， 设点P 到两条准线的距离分别为d 1 , d 2．于是，由抛物线定义，得 d 1 = | PF 2 | , ……………………① 又由椭圆的定义得 |PF 1| = ed 2，而 |PF 1| = e | PF 2 |，………………………………②由①②得 d 2 = | PF 2 |, 故 d 1 = d 2，从而两条准线重合．∴ 3331322=⇒=⇒-=-e e c a c ．故选 (C)． 解法2 由椭圆定义得 |PF 1| + | PF 2 | = 2a ，又 |PF 1| = e | PF 2 |，∴ | PF 2 | (1+ e ) = 2a ，………① 又由抛物线定义得 | PF 2 | = x 0 + 3c , 即 x 0 = | PF 2 | - 3c ，……………………………②由椭圆定义得 | PF 2 | = a - ex 0 , ………………………………………③由②③ 得 | PF 2 | = a - e | PF 2 | + 3ec ，即 | PF 2 | (1+ e ) = a + 3ec ， ………………… ④由①④得 2a = a + 3ec ，解得 33=e ，故选 (C)． 点评 结合椭圆、抛物线的定义，并充分运用焦半径是解答本题的基本思想．例2 设椭圆E ：b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2 (a> b> 0)，的左、右焦点分别为 F 1, F 2，右顶点为A, 如果点M 为椭圆E 上的任意一点，且 |MF 1|·|MF 2| 的最小值为243a ．(1) 求椭圆的离心率e ；(2) 设双曲线Q ：是以椭圆E 的焦点为顶点，顶点为焦点，且在第一象限内任取Q 上一点P ，试问是否存在常数λ(λ> 0)，使得∠PAF 1 =λ∠PF 1A 成立？试证明你的结论．分析 对于(1)可利用焦半径公式直接求解．而 (2) 是一探索型的命题，解题应注重探索．由于在解析几何中对角的问题的求解，往往要主动联想到斜率．而∠PF 1A 显然是一锐角，又易知∠PAF 1是(0, 120o ) 内的角，且90o 是斜率不存在的角．于是，抓住90o 这一特殊角试探，可得解法1，若注重斜率的研究，考查所两角差的正切，可得解法2；若转变角的角度来观察，将∠PF 1A 变为∠PNF 1，使∠PAF 1变成△PNA 的外角，可得解法3；若考查角平分线的性质可得解法4；若从图像与所求式的特点分析得知，所求的λ必须是大于1的正数，从常规看来可以猜想到它可能是二倍角或三倍角的关系．由此先探索一下二倍角的情形，考查角平分线定理，可得解法5；若是考查∠PF 1A 与∠PAF 1的图形位置，直接解三角形PAF 1，可得到解法6．(1) 解 设M(x 0, y 0), 由椭圆的焦半径定义得|MF 1| = a + ex 0，|MF 2| = a - ex 0，|MF 1|·|MF 2| = (a + ex 0)(a - ex 0) = a 2- e 2x 02,∵ |MF 1|·|MF 2| 的最小值为243a , 且 |x 0|≤a ，∴ a 2- e 2x 02 ≥a 2- e 2a 2 =243a ，解得 21=e ．(2) 解法1 由题意得 双曲线的离心率e = 2, 且双曲线的实半轴长为c ,半焦距为2c ,故 设双曲线Q 的方程为 132222=-c y c x ，假设存在适合题意的常数λ(λ> 0)，① 考虑特殊情形的λ值．当PA ⊥x 轴时，点P 的横坐标为2c ，从而点P 的纵坐标为y = 3c ，而 |AF 1| = 3c ,∴ △PAF 1是等腰直角三角形，即 ∠PAF 1 =2π, ∠PF 1A =4π, 从而可得 λ= 2．② PA 不与x 轴垂直时，则要证∠PAF 1 = 2∠PF 1A 成立即可．由于点P(x 1, y 1)在第一象限内，故PF 1 , PA 的斜率均存在，从而，有A PF c x y k PF 111tan 1∠=+=, 111tan 2PAF cx y k PA ∠-=-=，且有 ))((31121c x c x y -+=,………… ※ 又∵21211121)()(2122tan 11y c x y c x k k A PF PF PF -++=-=∠， 将※代入得PA k c x y y c x y c x A PF -=--=-++=∠2)()(22tan 112121111, 由此可得 tan2∠PF 1A = tan ∠PA F 1，∵ P 在第一象限，A(2c , 0), ∴ )32,2()2,0(1πππ⋃∈∠PAF ,又∵ ∠PF 1A 为锐角，于是，由正切函数的单调性得 2∠PF 1A =∠PA F 1．综合上述得，当λ= 2时，双曲线在第一象限内所有点均有∠PAF 1 = 2∠PF 1A 成立．解法2 由题意得 双曲线的离心率e = 2, 且双曲线的实半轴长为c , 半焦距为2c ,故 设双曲线Q 的方程为 132222=-c y c x ，由于点P(x 1, y 1)在第一象限内，故PF 1 , PA 的斜率均存在．且∠PF 1A 为锐角．又∵ ))((31121c x c x y -+=, …………………………………………………… ※设∠PF 1A =β，则 ,tan 111c x y k PF +==β设∠PAF 1=λβ, λβ≠90o 时, 则 tan(λβ)c x y k PA 211--=-=,而 tan(λβ-β)βλββλβtan )tan(1tan )tan(+-=))(2(1211111111cx y c x y c x y c x y +--++---=212121112)2(y c cx x c x y -----= ))((3))(2()2(111111c x c x c x c x c x y -+-+---=)()2)(()2(111111c x y x c c x c x y +=-+--=．∴ tan(λβ-β) = tan β．∵ ∠PF 1A =β为锐角，又 ∠P A F 1 =λβ∈)32,0(π, ∴ tan(λβ-β) = tan β > 0, 故λβ-β是锐角，由正切函数的单调性得 λ= 2．显然，当λβ= 90o 时亦成立．故存在λ= 2，使得双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF 1A =∠PA F 1成立．解法3 由上述①，得λ= 2，设P ′是射线PA 上的一点, 其横坐标为x 0 ( x 0 > c )，在x 轴上取一点N (2 x 0 +c , 0)，使△P ′F 1N 为等腰三角形，∴∠P ′F 1N =∠P ′NF 1．故当∠P ′AF 1 = 2∠P ′F 1A 时，有∠P ′AF 1 = 2∠P ′NA ，从而∠AP ′N =∠P ′NA, 则 |AN| = |AP ′|，又 A(2c ,0)，于是 |AN| = |AP ′| = 2x 0-c ． 过P ′作P ′H 垂直于准线l 于H ，如图9-5．则 |P ′H| = x 0-c 21． 故 22||||00c x c x H P A P --='' = 2 = e ． 故 点P ′是双曲线上的点，且与P 重合．由x 0 > c 的任意性得，当λ= 2时，双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF 1A =∠PAF 1成立．解法4 由题意得，设点P(x 1 , y 1)，∵ 点P 是双曲线在第一象限内的点，又A(2c , 0)是一焦点，∴ |AP| = 2x 1- c ，|AF 1| = 3c ，设AD 为∠F 1AP 的平分线， ……… ※由角平分线性质及定比分点公式，得 222)32(23123111111c c x x c x c cx c x c x c c x D =+++-=-+-+-=， 由此可得，点D 在双曲线的右准线上，从而可得准线是AF 1故△AF 1D 为等腰三角形，且∠PF 1A =∠DAF 1，又由※得∠PAF 1 = 2∠PAD =2∠DAF 1， ∴ ∠PA F 1 = 2∠PF 1A ，故λ＝2．解法5 由题意得，设点P(x 1 , y 1)，因为点P 又A(2c , 0)是一焦点，于是，有|AP| = 2x 1- c ，|AF 1| = 3c ，| PF 1| 2 = (x 1 + c )2 + y 12 = x 12 + 2 x 1c+ c 2 + 3 x 12- 3 c 2 = 4 x 12 + 2 x 1c - 2 c 2, 在△APF 1中有 21212121212122432)2(2249cos c c x x c c x c c x x c F -+⨯⨯---++=∠)2(2))(2(26)(611111c x c x c x c x c c x c -+=+-+=， )2(32)224()2(9cos 12121212c x c c c x x c x c A -⨯⨯-+--+=∠cx x c c x c c x c --=-⨯⨯--=111122)2(32)2(6， 于是，有 2()2(211c x c x -+)2- 1 =cx x c --1122, 即 2(co s ∠F 1)2- 1 = cos 2∠F 1 = cos ∠A, ∵ ∠A 、∠F 1是△APF 1中的内角，且∠F 1是锐角，故有 2∠F 1 =∠A, 即 ∠PA F 1 = 2∠PNF 1， 所以λ= 2时，能使得双曲线在第一象限内所有点均有 ∠PA F 1 = 2∠PF 1A ．解法6 设点P(x 1 , y 1)是双曲线第一象限的点．∵ A(2c , 0)，F 1(- c , 0)，连AP ，F 1P ，如图 9-5． 由双曲线的焦半径定义得 |AP| = 2x 1- c ,又设点N 是点F 1关于直线x = x 1的对称点，则有 |PF 1| = |PN|, 且N (2x 1+ c , 0)，从而 ∠PF 1N =∠PNF 1．又 |AN| = 2x 1 + c - 2c = 2x 1- c = |AP| , ∠APN =∠PNF 1．由此可得 ∠F 1AP = 2∠PNF 1 ，即 ∠F 1AP = 2∠PNF 1 = 2∠PF 1N ，所以 λ= 2．故存在λ= 2，使得双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF 1A =∠PA F 1成立．点评 对于(1)，利用焦半径公式求解是解题的常规方法；对于(2)，方法1、先由特殊情形探求出λ的值，然后再证明它对一般的情形也成立，这种方法是解决有关探索性问题的常用方法；方法2巧用了斜率与正切函数的性质直接求得λ；方法6与方法3、思维独到，都是通过变换角，把∠PF 1N 变为∠PNF 1，利用三角形的内角外角的关系，发现到|AN| = |AP|，从而也就发现了相应的解法．且解法3与解法6是不同，解法6事先不知道λ的值是2，它具有探索性．而解法3是先知道λ的值，后推证P 点在双曲线上，它是具有目的的推证．解法4，具有猜想性，是我们分析问题时常用的一种思想方法；解法5，注重对两角所在的三角形的探索，坚定不移地解三角形PAF 1，抓住了问题的本质特征分析，这种方法也是使问题获得巧解的常用一种思想方法．例3 已知抛物线 y 2 = 2P x 的焦点弦AB 被焦点分成长度为m 、n 的两段，求证：P n m 211=+．证明 设A 、B 在该抛物线的准线上的射影为C 、D ，连AD 交x 轴与E ，如图9-6．由抛物线的焦半径的定义得 |AC| = |AF| = m , |BD| = |BF| = n ,由相似三角形性质知 ||||||||AB AF BD EF =，∴ n m mn EF +=||， 同理 n m mnEH +=||，故 |EF| = |EH|, 即 E 与O 重合． 故A 、O 、D 三点共线．同理B 、O 、C 三点共线． ∴ |EF| + |EH| = P =n m mn+2, 故 P n m 211=+． 图9-6点评 本题有一个特殊的几何模型，即直角梯形ABCD ．由此还可发现许多有用的结论：①∠CFD = 90o ;②∠CAB 的平分线与∠DBA 的平分线交于一点N ，则NA 、NB 为抛物线的切线，且∠ANB= 90o ； ③在准线上任取一点向抛物线引两条切线，则两切线互相垂直；④若M 为AB 中点，则N M 被抛物线平分；⑤若A(x 1 , y 1), B(x 2, y 2)，则 |AB| =||2121y y P -，当AB ⊥x 轴时, |AB| = 2 P;⑥以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；⑦NF ⊥AB; y 1y 2 = - P 2; …．。
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学 薛德斌一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、 曲线、抛物线可以统一定义为 一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K，以FK 的 向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、 曲线、抛物线统一的极坐标方程为 θρcos 1e ep −=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p＞0 ．当0 e 1时，方程表示椭圆当e＞1时，方程表示 曲线，若ρ＞0，方程只表示 曲线右支，若允许ρ 0，方程就表示整个 曲线当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.二、圆锥曲线的焦半径公式设F 为椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆( 曲线的右支、抛物线) 任一点，则 PQ e PF =， )cos (p PF e PF +=θ，其中FH p =，=θ x 轴，FP 焦半径θcos 1e ep PF −=． 当P 在 曲线的左支 时，θcos 1e ep PF +−=. 推论 若圆锥曲线的弦MN 过焦点F，则有epNF MF 211=+.、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN 过焦点F， 1、椭圆中，cb c c a p 22=−=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN −=−−+−=. 2、 曲线中，若M、N 在 曲线同一支 ，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN −=−−+−= 若M、N 在 曲线 同支 ，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN −=−−+−=θθθ. 3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =−−+−=. 四、直角坐标系中的焦半径公式设P x,y 是圆锥曲线 的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF −=22、若1F 、2F 分别是 曲线的左、右焦点，当点P 在 曲线右支 时，a ex PF +=1，a ex PF −=2 当点P 在 曲线左支 时，ex a PF −−=1，ex a PF −=23、若F 是抛物线的焦点，2p x PF +=.。
初中数学-圆锥曲线焦半径体系-公式与证明-
规定半通径p =b 2a圆锥曲线焦半径体系1.椭圆的焦点弦：若过焦点的直线与椭圆相交于两点A 和B ，∠AF1F 2为α，则称线段AB 为焦点弦。
AF 1 =b 2a −c cos α=p 1−e cos αBF 1 =b 2a +c cos α=p 1+e cos α1AF 1 +1BF 1=2p ①如图，当焦点弦过左焦点时，焦点弦的长度AB =2ab 2a 2−c 2cos 2α=2p 1−e 2cos 2α；当焦点弦过右焦点时，焦点弦的长度AB =2ab 2a 2−c 2cos 2α=2p 1−e 2cos 2α．② 过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为AB =2b 2a．③4a 体:过椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点F 1的弦AB 与右焦点F 2围成的三角形△ABF 2的周长是4a ；证明：(1)AF 1 +AF 2 =2a ;BF 1 +BF 2 =2a ，故AB +AF 2 +BF 2 =4a ；(2)设AF 1 =m ;BF 1 =n ;AF 2 =2a -m ;BF 2 =2a -n ;由余弦定理得m 2+2c 2-2a -m 2=2m ⋅2c cos α；整理得AF 1 =b 2a -c cosα=p 1−e cos α同理：n 2+2c 2-2a -n 2=2n ⋅2c cos 180°-α ；整理得BF 1 =b2a +c cos α=p 1+e cos α两式相加得，则过焦点的弦长：AB =m +n =2ab2a 2-c 2cos 2α=2p 1−e 2cos 2α2.双曲线的焦点弦问题：双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，弦AB 过左焦点F 1(A 、B 都在左支上)，AB =l ，则△ABF 2的周长为4a +2l (如下图左)AF 1 =b 2a −c cos α=p 1−e cos αBF 1 =b 2a +c cos α=p 1+e cos α1AF 1 +1BF 1=2p 焦半径公式：当AB 交双曲线于一支时，与椭圆公式一样。
圆锥曲线精讲
圆锥曲线圆锥曲线圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
圆锥曲线分类圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。
即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。
双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。
即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。
抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。
圆锥曲线由来：圆，椭圆，双曲线，抛物线同属于圆锥曲线。
早在两千多年前，古希腊数学家对它们已经很熟悉了。
古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
1）椭圆参数方程：X=acosθ Y=bsinθ (θ为参数)直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 12）双曲线参数方程：x=asecθ y=btanθ (θ为参数)直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (开口方向为x轴）y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (开口方向为y轴）3）抛物线参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ）x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<> 0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
圆锥曲线的定义、概念与定理
圆锥曲线的定义、概念与定理圆锥曲线包括椭圆，抛物线，双曲线。
那么你对圆锥曲线的定义了解多少呢?以下是由店铺整理关于圆锥曲线的定义的内容，希望大家喜欢!圆锥曲线的定义几何观点用一个平面去截一个二次锥面，得到的交线就称为圆锥曲线(conic sections)。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。
具体而言：1) 当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2) 当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。
5) 当平面只与二次锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果为一点。
6) 当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线(每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线)。
7) 当平面与二次锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
代数观点在笛卡尔平面上，二元二次方程的图像是圆锥曲线。
根据判别式的不同，也包含了椭圆、双曲线、抛物线以及各种退化情形。
焦点--准线观点(严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。
但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质)。
给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线。
根据e的范围不同，曲线也各不相同。
具体如下：1) e=0，轨迹为圆(椭圆的特例);2) e=1(即到P与到L距离相同)，轨迹为抛物线 ;3) 0<e<1，轨迹为椭圆;4) e>1，轨迹为双曲线的一支。
圆锥曲线的概念(以下以纯几何方式叙述主要的圆锥曲线通用的概念和性质，由于大部分性质是在焦点-准线观点下定义的，对于更一般的退化情形，有些概念可能不适用。
)考虑焦点--准线观点下的圆锥曲线定义。
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a
2
c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
a cx a x c y
2 2
2
思考1. x c
2
y 2 a ex , 即为 MF2 a ex ;
若另一种移法可得： MF1 a ex . 这是焦半径公式
思考2. x c
2
2a
移项、两边平方得
x c
2
y 2 4a 2 4a
x c
2
y2 x c y2
2
a cx a
x c
2
y2
方程形式
两边再平方，得 a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2
整理得
人教版高中数学（高三 ）
圆锥曲线定义
——探索及应用
浙江省湖州中学 姚恒
集合形式 椭圆就是集合 P M MF1 MF2 2a 因为
MF1 x c y 源自 MF2 2 2选修2-1.P39（节选）
几何形式
2
x c
y2
得方程
x c 2 y 2 x c 2 y 2
2 2
y2
a x c
c . a
这是椭圆的第二定义.
c . a
2 2 x c y 若另一种移法可得：
a2 x c
1.圆锥曲线的统一定义 2.圆锥曲线的焦半径公式
x2 材料1. 设F1 ,F2 分别为椭圆 y 2 1的左,右焦点,点A,B 3 在椭圆上,若 F1 A 5 F2 B,求点A的坐标.
分析1:(方程思想)设 A( x A , y A ) , B ( x B , y B ) ,则 xB 2 2 y B 1 ,由F1 A 5 F2 B 得x A 2 5( xB 2 ) , y A 5 y B 3 ,联立方程组可得 xA 0 . 分析2:（数形结合）如果右准线与 轴的交点为C,可以证 B、 C 三点共线，由定义可以知道 A 到左右准线距离 明A、 相等，所以 x A 0 。
xA2 y A2 1 , 3
x
微课小结
回归课本、高于课本· · · · · ·
一个 背景 二种 结论 一次 探究 椭圆标准方程的推导 圆锥曲线的统一定义、焦半径公式 点坐标 数形结合、消元引参、
二类 思想
谢谢观赏