4、平方根(二)
开方的运算法则公式
开方的运算法则公式开方运算在数学中可是个挺重要的家伙呢！咱们先来说说啥是开方。
开方啊，简单说就是求一个数的平方根或者立方根等等。
比如说，4 的平方根是多少？咱们都知道是±2，因为2 的平方是4，-2 的平方也是 4 嘛。
这就是开方运算的一个小例子。
那开方的运算法则公式都有啥呢？咱们一个一个来看。
先说平方根的运算法则。
对于正数 a，它的平方根记作±√a。
这里要注意啦，如果 a 是正数，那就有两个平方根，一正一负；要是 a 等于 0 呢，那平方根就只有 0 啦；可要是 a 是负数，那就没有实数平方根了哦。
再来说说立方根。
正数 a 的立方根记作³√a。
不管 a 是正数、负数还是 0 ，都只有一个立方根。
比如 8 的立方根是 2，因为 2 的立方是 8；-8 的立方根就是 -2 咯。
开方运算还有一些公式，像√(ab) = √a × √b（a≥0，b≥0）。
这个公式啥意思呢？给您举个例子，比如说要算√12，咱们可以把 12 拆成4×3，那√12 就等于√4×√3，也就是2√3。
还有√(a/b) = √a / √b（a≥0，b＞0）。
比如说√(18/2) ，就等于√18 / √2 ，算出来是 3。
我记得之前教过一个学生，叫小明。
这孩子啊，刚开始学开方的时候，那叫一个迷糊。
给他讲平方根和立方根的区别，他总是搞混。
有一次做作业，题目是求9 的平方根，他居然给我写了个3 就交上来了。
我把他叫到办公室，耐心地给他又讲了一遍：“小明啊，你想想，哪个数的平方是 9 呀？”他眨眨眼睛，想了一会儿说：“3 啊。
”我笑着摇摇头说：“还有 -3 呢，所以 9 的平方根是 ±3 ，记住啦！”从那以后，小明可认真了，每次遇到开方的题目都会多想一想。
在实际应用中，开方运算也特别有用。
比如说，您要计算一个正方形的边长，知道了面积，就得通过开方来求边长。
再比如，建筑工人在计算一些材料的尺寸时，也会用到开方运算。
八年级数学上册第二章实数第二节平方根第2课时平方根教案北师大版(2021-2022学年)
1.了解平方根的概念、开平方的概念，进一步明确平方与开方互为逆运算.2．会求一个数的平方根,明确算术平方根与平方根的区别与联系。
1。
了解平方根、开平方的概念,会利用互逆运算关系求某些非负数的算术平上节课我们学习了算术平方根的概念、性质若一个正数x的平方等于ａ,即x2=a。
则ｘ叫a的算术平方a根，记作ｘ=，而且a也是非负数,比如正数22=4,则2叫4的算术平方根,4叫2的平方,但是(—2)2=4,则—2叫4的什么根呢？下面我们就来讨论这个问题.(1)９的算术平方根是3,也就是说,3的平方是９,还有其他的数，它的平方也是9吗?(2）平方等于4/25的数有几个?平方等于0.６4的数呢？一般地，如果一个数ｘ的平方等于a，即ｘ2=a，那么这个x就叫a的平方根（ｓｑｕarｅ root)，也叫二次方根，3和-3的平方都等于９，由定义可知3和—3都是9的平方根，即9的平方根有两个3和—3,9的算术平方根只有一个是3.由平方根和算术平方根的定义,大家能否找出它们有什么相同和不同之处呢？【归纳结论】联系：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根的一种.（2）存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有。
(3)０的平方根、算术平方根都是0。
区别:(1）定义不同：“如果一个数的平方等于ａ,这个数就叫做a的平方根”；“非负数ａ的非负平方根叫a的算术平方根"。
（2)个数不同:一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个。
(3）表示法不同：正数a的平方根表示为±,正数a的算术平方根表示为。
(４）取值范围不同:正数的平方根一正一负，互为相反数;正数的算术平方根只有一个。
什么叫开平方呢?我们共学了几种运算？这几种运算之间有怎样的联系?2。
平方根的性质请大家思考下面的问题：（1)一个正数有几个平方根?（2）０有几个平方根?（3)负数呢?ﻬ作业布置1.习题2.4第1、2、3、４题．２．完成本课时练习部分.板书ﻬa a。
平方根与立方根
2 ○
4 ○
6 ○
50 3 −1 51 73 − 11 1 6 + 5−2 5 + 11
8 − 2 12
8 ○
14 − 8 3
10 ○
5 − 21
33
3-2 立方根
在本單元裡，我們將討論立方根的性質和運算規則。 不同於平方根的被開方數必須是非負的數，立方根的被開方數可以是 任意實數。當實數 a 為某個實數 b 的三次方時，我們就稱 b 為 a 的立方根， 並記作 3 a = b ，其中 3 a 讀作「三次根號 a」 ，並稱 a 為「被開方數」 。例 如：27= 33 及 −8 = (−2)3 ，所以 3 27 = 3 及 3 −8 = −2 。顯然的，被開方數與 它的立方根同號。我們只討論被開方數為有理數的立方根。
(3) (1) (2)
18 2
3 × 12 = 36 = 6
(4)
【解】
1 45 1 45 9 3 × = × = = 5 4 5 4 4 2
(3)
18 18 = = 9 =3 2 2
6 2 6 2 6 15 ÷ = ÷ = × = 9 =3 5 15 5 15 5 2
(4)
【類題練習 1】計算下列根式：
當被開方數為整數且不是一個完全立方數時，如同平方根的情形，我們 可以利用數的標準分解式及立方根的乘法，來化簡根式。例如：化簡 3 720 時，我們先將 720 寫成 2 4 × 32 × 5 = 2 3 × 2 × 32 × 5 ，再利用乘法公式求得
3
720 = 3 23 × 2 × 32 × 5 = 2 3 90 。
【根式分母的有理化】
如同方根，一般來說，我們會把根式化為分母不含根號的形式。現在 以下面的例子做說明。 【範例 5】將下列各式化為分母不含根號的根式： 1 1 (2) (1) 2 +1 3− 2 【解】
4的平方根是2还是±2
4的平方根是2还是±2？
答案：±2
答案解析：平方根，又叫二次方根，表示为〔±√￣〕，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根。
一个正数有两个实平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0。
如果是求4的平方根，则4的平方根是±2。
知识拓展：
1.根号是一个数学符号。
根号是用来表示对一个数或一个代数式进行开方运算的符号。
若aⁿ=b，那么a是b开n次方的n次方根或a是b的1/n次方。
开n次方，被开方的数或代数式写在符号左方√￣的右边和符号上方一横部分的下方共同包围的区域中，而且不能出界。
2.若一个非负数x的平方等于a，即x=a，则这个数x叫做a的算术平方根。
所以得出的数是始终大于0的，所以√4=2。
一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。
负数在实数系内不能开平方，只有在复数系内，负数才可以开平方。
3.开n次方的n写在符号√￣的左边，n=2（平方根）时n可以忽略不写，但若是立方根（三次方根）、四次方根等，是必须书写。
平方数和平方根的运算规则
平方数和平方根的运算规则平方数和平方根是数学中重要的概念，它们之间有着一系列的运算规则。
本文将介绍平方数和平方根的定义，并详细解释它们之间的运算规则。
一、平方数的定义平方数是指一个数与自身相乘得到的结果。
例如，4是一个平方数，因为4乘以4等于16。
平方数的特点是它们的非负平方根是有理数。
二、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于该数的非负数。
例如，16的平方根是4，因为4的平方等于16。
三、1. 两个平方数相乘的结果仍然是一个平方数。
例如，2乘以2得到4，两个平方数相乘得到的结果是另一个平方数。
2. 平方数的乘法有交换律。
即，a乘以b等于b乘以a。
例如，2乘以3等于3乘以2。
3. 平方数的乘法有结合律。
即，(a乘以b)乘以c等于a乘以(b乘以c)。
例如，(2乘以3)乘以4等于2乘以(3乘以4)。
4. 平方根的乘法等于平方根的积。
即，√(a乘以b)等于√a乘以√b。
例如，√(2乘以3)等于√2乘以√3。
5. 平方数的除法等于平方根的商。
即，a除以b等于√a除以√b。
例如，4除以2等于√4除以√2。
6. 平方数的乘方等于平方根的乘方。
即，(√a)的平方等于a。
例如，(√4)的平方等于4。
7. 平方根的乘方等于平方数。
即，(√a)的平方等于a。
例如，(√2)的平方等于2。
这些运算规则是数学中对平方数和平方根运算的重要准则，能够帮助我们在计算中快速而准确地处理与平方数和平方根相关的问题。
总结：平方数是一个数与自身相乘得到的结果，其非负平方根是有理数。
而平方根是一个数的平方等于该数的非负数。
平方数和平方根之间存在一系列的运算规则，包括两个平方数的乘积仍为平方数、平方数的乘法有交换律和结合律、平方根的乘法等于平方根的积、平方数的除法等于平方根的商，以及平方数和平方根的乘方规则等。
这些运算规则为我们处理平方数和平方根相关问题提供了指导。
通过学习和掌握平方数和平方根的运算规则，我们能够更加灵活地运用它们，解决数学问题和实际生活中的计算需求。
八年级上册平方根知识点
八年级上册平方根知识点在八年级的数学学习中，平方根是一个非常重要的知识点。
平方根是指一个数的平方等于原数的数值，可以用符号√表示，例如√9=3，√16=4。
在本文中，我将详细介绍八年级上册平方根的相关知识点。
一、平方根的符号及表示方法平方根用符号√来表示，如√9表示9的平方根，读作“根号9”或“9的根号”。
平方根还可以用字母表示，例如a的平方根可以表示为√a。
当a为正整数完全平方数时，√a是有理数，否则是无理数。
例如√4=2，√9=3，但√2是无理数，不是有理数。
二、简化√n的步骤当n是一个正整数时，n的因数中，相同的因子成对出现，例如16的因数为1、2、4、8、16。
而且它们都是成对出现的，其中2与8、4与4配对，所以可以得到以下简化√n的步骤：1.将n进行质因数分解，使因数中每个质数的指数都为2的倍数。
2.把每个根号内部成对的质因数提取出来，得到这个数的基本根式。
例如：√36=√(2²×3²)=√2²×√3²=2√3。
三、平方根的运算法则1.平方根的分配律：对于任意正实数a和b，有√(a×b)=√a×√b。
例如：√20=√(4×5)=√4×√5=2√5。
2.平方根的合并同类项：对于任意正实数a和b，有√a±√b=√(a±b)。
例如：√7+√5=√(7+5)=√12。
3.平方根的乘法公式：对于任意非负实数a和b，有√a×√b=√(ab)。
例如：√7×√5=√(7×5)=√35。
4.平方根的倒数法则：对于任意正实数a，有1/√a=√a/√(a×a)=√a/a。
例如：1/√5=√5/√25=√5/5。
四、平方根的应用平方根除了在数学中的运算中有着广泛的应用外，在我们的日常生活中也经常会遇到。
例如：1.计算三角形的斜边长度。
设三角形两个直角边分别为a和b，则三角形的斜边长度为√(a²+b²)。
4根号公式
4根号公式
四则运算是数学中最基本的运算，它由加法、减法、乘法和除法四种基本运算组成。
根号公式是指数学中的平方根公式和立方根公式。
1. 平方根公式：对于非负数a，它的平方根记作√a。
当a大于等于0时，对于任意一个非负数x，有x^2=a等价于x=±√a。
其中正数+√a称为正平方根，负数-√a称为负平方根。
2. 立方根公式：对于任意实数a，它的立方根记作³√a。
当a为任意实数时，对于任意一个实数x，有x^3=a等价于x=³√a。
一个实数a有且只有一个立方根。
需要注意的是，对于负数的平方根和立方根，需要使用虚数来表示。
例如，-4的平方根是2i和-2i，其中i为虚数单位。
二次方根知识点总结
实数知识点总结平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ±”。
2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
练习⑴ 一个数的平方等于它的本身的数是 ；⑵ 平方根等于它的本身的数是⑶ 算术平方根等于它的本身的数是 ；⑷ 立方根等于它的本身的数是⑸ 大于0且小于π的整数是 ；⑹ 满足21-＜x ＜15-的整数x 是6.到原点的距离为34的点表示的数是 ；7.若32-=x ，则x = ，8. 实数与数轴上的点9．写出之间的所有的整数为____． 10．比较大小：____三、解答题11．1．3-，0，0.3，227，1.732-π2-，3+，0.1010010001整数{} ；分数{} ；正数{} ；负数{} ；有理数{} ；无理数{}四．计算（1） （221；（3）π2练习一 平方根1.如果2a = 3，那么a = ，如果3=a ，那么=a2.若一个正方形的面积为13，则正方形的边长为3.0.04的平方是 ，0.04的算术平方根是 ，平方根是4.若12是a 的一个平方根，则a 的另一个平方根是5.若414.12=，则=200 ，02.0=6.用“＞”“＜”填空：⑴ ⑵ 160 13 ⑶；9.若==x x 则,4942 ，若==-x x ，则025812 ；10.⑴ =25 ， ⑵ ()=-22 ，⑶ =2a ；11.下列说法中不正确的是 （ ）A 、2-是2的平方根B 、2是2的平方根C 、2的平方根是2D 、2的算术平方根是2 12.41的平方根是 （ ） A 、161 B 、81 C 、21 D 、21± 13. 下列各式中无意义的是 （ ） A 、7- B 、7 C 、7- D 、()27-- 14.下列各式中，正确的个数是（ ）① 3.09.0= ② 34971±= ③23-的平方根是－3 ④()25-的算术平方根是－5 ⑤67±是36131 的平方根A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 15.“254的平方根是52±”，由数学式子可以表示为（ ） A 、52254±= B 、52254±=± C 、52254= D 、52254-=-16.下列判断正确的是 （ ） A 、一个数的倒数等于它本身，这个数是1 B 、一个数的绝对值等于它本身，这个数是正数 C 、一个数的相反数等于它本身，这个数是0 D 、一个数的平方根等于它本身，这个数是1 17.若a 是()24-的平方根，b 的一个平方根是2，则代数式a ＋b 的值为 （ ） A 、8 B 、0 C 、8或0 D 、4或－4 18.求下列各数的平方根与算术平方根 ⑴ 169 ⑵ 0.0256 ⑶ 25242 ⑷ ()22-19.16的算术平方根是 ，()22-的平方根是 ； 20.若m 、n 满足()0312=++-n m ，则=+n m ；23. 有一个正数的两个平方根分别是32-a 与a -5，你知道a 是多少？这个正数又是多少？24. 若a 的两个平方根是方程223=+y x 的一组解，⑴ 求a 的值 ⑵ 求2a 的算术平方根。
八年级上册数学平方根概念
八上数学：平方根的概念及特征一、平方根的概念：如果x的平方等于a（a≥0），那么x叫做a的平方根。
如：因为－2的平方等于4，所以－2是4的平方根；又因为2的平方也等于4，所以2也是4的平方根。
所以4有两个平方根±2。
所以一个正数a有一正一负两个平方根，这两个平方根互为相反数，其中正的平方根也叫a的算术平方根。
二、算术平方根：如果一个正数m的平方等于a，即m=a，那么这个正数m叫做a的算术平方根。
※0的算术平方根还是0。
三、算术平方根与平方根的区别：1、一个正数的算术平方根只有一个（正数），而平方根有两个（互为相反数）；2、表示方式不同：算术平方根表示为√a，而平方根表示为±√a。
※①一个正数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数；②0的平方根还是0；③负数没有平方根；④0和1的算术平方根是它本身；⑤0、1、－1的立方根是它本身；⑥当被开方数a大于0且小于1时，它的算术平方根比其本身大；当被开方数a大于1时，它的算术平方根比其本身小。
例1、下列说法中正确的是（ D ）。
A 、如果一个数为正数，那么这个数的平方根也一定为正数 分析：正数有一正一负两个平方根，所以本选项错误。
B 、任何数都有两个平方根分析：正数有两个平方根，0只有一个平方根，负数没有平方根，所以本选项错误。
C 、任何数的平方是非负数，所以任何数的平方根也是非负数 分析：正数有一正一负两个平方根，故本选项错误。
D 、如果一个数有两个不相等的平方根，那么这个数一定是正数 分析：本选项正确。
故本题正确的选项为D 选项。
例2、求下列各数的平方根。
①；②7.84；③13613；④(－4)2；⑤49。
解：①因为±54的平方等于2516所以2516的平方根为±54（±2516＝±54）； ②因为±2.8的平方为7.84，所以7.84的平方根为±2.8（±7.84＝±2.8）；③13613＝3649，因为±67的平方等于3649 ，所以13613 的平方根为±67； ④因为(－4)2＝16，又因为±4的平方等于16，所以(－4)2的平方根为±4（±24)－(＝±4)； ⑤因为49＝7，7的平方根为±7，所以49的平方根为±7。
根号4等于±2还是2
根号4等于±2还是2
±√4＝±2，√4＝2。
√4是根式。
根式的定义：
含有开方(求方根)运算的代数式，叫根式。
即含有根号的
表达式。
算术平方根定义：
如果一个非负数x的平方等于a，那么这个非负数x叫做
a的算术平方根，记作。
其中，a叫做被开方数。
例如：因为2和-2的平方都是4，且只有2是正数，所以2就是4的算术平方根。
由于正数的平方根互为相反数，因此正数的平方根可分别记作和，可合写为。
例如5的平方根可以分别记作和，可
合写为。
0的平方根仅有一个，就是0本身。
而0本身也是非负数，因此0也是0的算术平方根。
可记作
扩展资料：
平方根，又叫二次方根，表示为〔±√￣〕，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根（arithmetic square root）。
一个正数有两个实平方根，它们互为相反数，负数有两个共轭的纯虚平方根。
如果一个非负数x的平方等于a，即，，那么这个非负数x叫做a的算术平方根。
a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数（radicand）。
求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方。
一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。
显然，如果知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。
参考资料：
百度百科-平方根。
七年级数学平方根立方根计算题
七年级数学平方根立方根计算题摘要：1.平方根与立方根的概念解释2.七年级数学平方根立方根计算题类型分析3.解题方法与技巧4.练习题及答案解析正文：大家好，这是一篇关于七年级数学平方根立方根计算题的文章。
在这个阶段，学生们开始接触平方根和立方根的概念，并学会如何进行计算。
下面我们将详细分析这类题目的类型和解题方法。
一、平方根与立方根的概念解释1.平方根：一个数的平方根是指这个数与自己相乘后得到的结果。
例如，4的平方根是2，因为2 x 2 = 4。
平方根用符号√表示。
2.立方根：一个数的立方根是指这个数与自己相乘三次的结果。
例如，8的立方根是2，因为2 x 2 x 2 = 8。
立方根用符号表示。
二、七年级数学平方根立方根计算题类型分析1.求一个数的平方根或立方根：这类题目给出一个数，要求求出它的平方根或立方根。
2.求两个数的平方根或立方根的和、差：这类题目给出两个数，要求求出它们的平方根或立方根的和、差。
3.求一个数的平方根或立方根与另一个数的和、差：这类题目给出一个数和另一个数，要求求出这个数的平方根或立方根与另一个数的和、差。
4.求一个数的平方根或立方根与一个式子的和、差：这类题目给出一个数和一个式子，要求求出这个数的平方根或立方根与式子的和、差。
三、解题方法与技巧1.熟练掌握平方根和立方根的计算方法，尤其是使用计算器进行计算。
2.根据题目要求，运用加减乘除等运算，先求出式子的值，再求平方根或立方根。
3.在解题过程中，注意化简式子，使计算更简便。
4.有些题目可以利用平方根和立方根的性质进行估算，如平方根的近似值等。
四、练习题及答案解析1.求√25和8。
答案：√25 = 5，8 = 22.求3和2的差。
答案：3 - 2 = 9 - 8 = 13.求16的平方根与8的立方根的和。
答案：√16 + 8 = 4 + 2 = 64.已知√36 = 6，求36的立方根。
答案：36的立方根为36 = 6通过以上解析，我们可以发现平方根和立方根计算题在七年级数学中占有重要地位。
平方根的算法
平方根的算法平方根是指一个数的二次方根，即一个数的平方根是另一个数，例如9的平方根是3。
平方根在许多领域如计算机科学、物理学和工程学中都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍几种计算平方根的算法。
1. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种计算平方根的古老但有效的方法。
它是基于牛顿-莱布尼茨定理和泰勒级数展开来推导的。
该算法的基本思想是利用初始近似值逐步逼近平方根的准确值，直到达到所需精度。
具体实现过程如下：对于一个非负实数S，N为S平方根的一个近似值，令X = S / N，则N的一个更好的近似值是（N+X）/ 2。
在迭代过程中不断使用这个公式进行计算，直到达到所需的精度为止。
例如，我们想计算16的平方根，假设初始值N = 4，则：X = 16 / 4 = 4按此方法继续迭代，直到达到所需的精度为止。
这种方法通常需要做10-15次迭代，可以达到大约15个有效数字的精度。
2. 二分法二分法也是一种常用的计算平方根的算法。
该算法的基本思想是通过目标数的平方与当前猜测数值之间的比较来逐步逼近平方根。
假设我们要计算x的平方根。
我们可以将区间[0，x]分成两个部分：[0，x/2]和[x/2，x]，然后将猜测值与这两个区间的中点比较，从而确定下一个猜测值。
猜测值为8，8的平方为64 > 16我们将区间修改为[0，8]我们的答案为4这种方法的迭代次数与目标数的大小相关。
它通常需要做log(N)次迭代，其中N是目标数的大小。
3. 立方根算法假设我们要计算x的平方根，我们可以将问题转化为求x^(1/3)的值。
将其表示为一个递推式：Xn+1 = Xn + (x - Xn^3) / (3 * Xn^2)从此递推式开始，我们可以逐渐逼近目标值。
例如，如果我们想计算1000的平方根，则：X0 = 10X2 = 10.333333 + (1000 - 10.333333^3) / (3 * 10.333333^2) = 10.3089524. 二次同余算法假设我们要计算数字x的平方根。
平方根知识点
平方根知识点
1. 平方根的定义:
平方根是一个数的平方的算术根。
如果a的平方等于b,则称a为b 的平方根,用符号√b表示。
2. 完全平方数:
完全平方数是一个数的平方,例如1、4、9、16、25等。
这些数的平方根是整数。
3. 无理数的平方根:
如果一个数不是完全平方数,它的平方根就是一个无理数,例如√2、√3、√5等。
4. 平方根的性质:
- √(ab) = √a × √b
- √(a/b) = √a / √b
- √(a^n) = (√a)^n
- (√a)^m = √(a^m)
5. 平方根的计算:
- 对于完全平方数,可以直接求出其平方根。
- 对于非完全平方数,可以使用开方法、牛顿迭代法等数值方法近似计算其平方根。
- 使用计算器或计算机程序也可以方便地求出平方根的近似值。
6. 平方根在几何中的应用:
平方根在几何中有广泛应用,例如计算直角三角形的斜边长度、计算圆的周长和面积等。
7. 平方根在代数中的应用:
平方根在求解一些代数方程时也会出现,如一元二次方程的解可以用根式表示。
平方根是数学中一个重要的概念,了解它的性质和计算方法对于解决相关问题至关重要。
八年级上册数学第二章笔记
八年级上册数学第二章笔记人教版八年级上册数学第二章实数。
一、平方根。
1. 定义。
- 如果一个数x的平方等于a，即x^2=a，那么这个数x叫做a的平方根（或二次方根）。
例如，因为(±2)^2 = 4，所以±2是4的平方根。
2. 表示方法。
- 正数a的平方根记为±√(a)，读作“正负根号a”。
其中√(a)表示a的正平方根（算术平方根），-√(a)表示a的负平方根。
例如，9的平方根表示为±√(9)=±3。
3. 性质。
- 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
二、算术平方根。
1. 定义。
- 正数a的正的平方根√(a)叫做a的算术平方根。
规定0的算术平方根是0。
例如，4的算术平方根是√(4) = 2。
2. 性质。
- √(a)≥slant0(a≥slant0)，即算术平方根是非负的。
三、立方根。
1. 定义。
- 如果一个数x的立方等于a，即x^3=a，那么这个数x叫做a的立方根（或三次方根）。
例如，因为2^3=8，所以2是8的立方根。
2. 表示方法。
- a的立方根记为sqrt[3]{a}，读作“三次根号a”。
例如，-27的立方根表示为sqrt[3]{-27}=- 3。
3. 性质。
- 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
四、实数。
1. 无理数的定义。
- 无限不循环小数叫做无理数。
例如，√(2)，π，0.1010010001·s（每两个1之间依次多一个0）都是无理数。
2. 实数的定义及分类。
- 有理数和无理数统称实数。
- 实数可以按照如下方式分类：- 按定义分类：- 实数有理数整数分数无理数- 按正负分类：- 实数正实数正有理数正无理数 0 负实数负有理数负无理数3. 实数与数轴上的点一一对应。
- 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
例如，√(2)可以用数轴上一个特定的点来表示。
人教版七年级数学下册平方根同步练习(解析版)
人教版七年级数学下册平方根同步练习［解析版]同步练习参考答案与试题解析一．选择题1．4的平方根是［]A．±2 B．﹣2 C．2 D．解：4的平方根是：±=±2．故选：A．2．［﹣2]2的平方根是［]A．2 B．﹣2 C．±2 D．解：∵［﹣2]2=4，∴4的平方根是：±2．故选：C．3．下列等式正确的是［]A．B．C．D．选D4．若+［y﹣3]2=0．则x y的值为［]A．﹣8 B．8 C．9 D．解：∵+［y﹣3]2=0，∴x=﹣2，y=3；∴x y=［﹣2]3=﹣8．故选：A．5．若|1﹣x|+=0，则x的取值范围是［]A．x≥1 B．x=1 C．x≤1 D．x＞1解：由题意得，1﹣x=0，x﹣1=0，解得，x=1，故选：B．6．一个正方形的面积为2，则它的边长是［]A．4 B．±C．﹣D．解：设它的边长为x，则x2=2，所以x=．所以它的边长是．故选：D．7．一个正偶数的算术平方根是a，那么与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是［]A．a+2 B．a2+2 C．D．解：由题意，得正偶数是a2，下一个偶数是［a2+2]，与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是，故选：C．二．填空题8．的平方根是±．解：的平方根是±．故答案为：±．9．能够说明“=x不成立”的x的值是﹣1［写出一个即可]．解：能够说明“=x不成立”的x的值是﹣1，故答案为：﹣110．=4．解：原式==4，故答案为：4．11．若x，y为实数，且|x﹣2|+［y+1]2=0，则的值是．解：∵|x﹣2|+［y+1]2=0，∴x﹣2=0，y+1=0，∴x=2，y=﹣1，∴，故答案为：．12．将一个长为2，宽为4的长方形通过分割拼成一个等面积的正方形，则该正方形的边长为2．解：长方形的面积为：2×4=8，则正方形的面积也为8，所以正方形的边长为：，故答案为：2．三．解答题13．一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，求a和x的值．解：∵一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，∴2a﹣3+5﹣a=0，解得：a=﹣2，∴2a﹣3=﹣7，∴x=［﹣7]2=49．14．求符合下列各条件中的x的值．［1]［x﹣4]2=4［2]［x+3]2﹣9=0．解：［1]∵［x﹣4]2=4，∴x﹣4=±2．解得：x1=2，x2=6．［2]移项得：［x+3]2=9，两边同时乘以3得：［x+3]2=27，∴x+3=±3．∴x1=3﹣3，x2=﹣3﹣3．15．如图，某玩具厂要制作一批体积为1000cm3的长方体包装盒，其高为10cm．按设计需要，底面应做成正方形．求底面边长应是多少？解：底面面积为；1000÷10=100 cm2底面边长：=10 cm，答：底面边长应是10cm．16．已知2a+1 的平方根是±3，是3a+b﹣1的算术平方根，试求a+2b 的平方根．解：∵2a+1 的平方根是±3，∴2a+1=9．解得a=4．∵是3a+b﹣1的算术平方根，∴3a+b﹣1=16．∴12+b﹣1=16．解得：b=5．∴a+2b=4+10=14．∴a+2b的平方根为±．17．小文房间的面积为10‘8m2，房间地面恰巧由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？解：设每块地砖的边长是x，则120x2=10‘8，解得x=0‘3，即每块地砖的边长是0‘3m．18．你能找出规律吗？［1]计算：=6，=6．=20，= 20．［2]请按找到的规律计算：①；②．［3]已知：a=，b=，则=a2b［用含a，b的式子表示]．。
平方根解题过程
平方根解题过程一、求下列数的平方根1. 4- 解题过程：- 设x为4的平方根，则x^2=4。
- 因为(±2)^2=4，所以4的平方根是±2。
2. 9- 解题过程：- 设y是9的平方根，即y^2=9。
- 由于(±3)^2=9，所以9的平方根为±3。
3. 16- 解题过程：- 令z为16的平方根，那么z^2=16。
- 又(±4)^2=16，所以16的平方根是±4。
4. 25- 解题过程：- 因为(±5)^2=25，所以25的平方根是±5。
5. 36- 解题过程：- 令b是36的平方根，即b^2=36。
- 由于(±6)^2=36，所以36的平方根为±6。
6. 49- 解题过程：- 设c为49的平方根，则c^2=49。
- 因为(±7)^2=49，所以49的平方根是±7。
7. 64- 解题过程：- 令d为64的平方根，那么d^2=64。
- 又(±8)^2=64，所以64的平方根是±8。
8. 81- 解题过程：- 因为(±9)^2=81，所以81的平方根是±9。
9. 100- 解题过程：- 令f为100的平方根，即f^2=100。
- 由于(±10)^2=100，所以100的平方根为±10。
10. 121- 解题过程：- 设g为121的平方根，则g^2=121。
- 因为(±11)^2=121，所以121的平方根是±11。
二、利用平方根的性质求解方程11. x^2=144- 解题过程：- 因为x^2=144，根据平方根的定义，x是144的平方根。
- 又(±12)^2=144，所以x = ±12。
12. y^2=169- 解题过程：- 由于y^2=169，y为169的平方根。
- 因为(±13)^2=169，所以y=±13。
平方数的概念解析
平方数的概念解析一、引言平方数作为数学中的基本概念之一，具有重要的意义和应用。
本文将对平方数的概念进行解析，以增加读者对数学知识的了解和学习。
二、平方数的定义1. 数学符号和表达平方数通常用数学符号“n²”表示，其中n表示某个整数。
例如，4、9、16等都是平方数。
2. 数学解释平方数是某个整数的平方，即一个整数乘以它自己的结果。
例如，4是2的平方，因为2 × 2 = 4。
三、平方数的特性1. 非负数平方数都是非负数，因为整数乘以整数的结果不会出现负数。
2. 递增性平方数的序列是递增的，即平方数随着整数n的增大而增大。
例如，1² = 1，2² = 4，3² = 9，依此类推。
3. 奇数与偶数的关系平方数中，奇数平方的结果仍为奇数，偶数平方的结果仍为偶数。
例如，2² = 4，4² = 16。
4. 平方根每个正平方数都有一个非负实数平方根与之对应。
例如，4的平方根是2，因为√4 = 2。
四、平方数的应用1. 几何应用在几何学中，平方数与正方形的边长存在关联。
一个正方形的边长就是它的面积的平方根。
因此，当我们知道一个正方形的面积时，可以通过求平方根来确定其边长。
2. 数字逻辑平方数在数字逻辑中也有重要的应用。
例如在计算机科学中，平方数常用于计算和处理数据。
3. 自然现象平方数在自然现象中也有一些有趣的应用。
例如，一些物理现象的规律可以通过平方数的关系来描述和解释。
五、结论通过对平方数的概念解析，我们可以了解到平方数的定义、特性和应用。
平方数不仅在数学领域中起着重要的作用，还与几何、数字逻辑和自然现象等方面有着密切的联系。
深入理解和应用平方数的概念有助于拓宽我们的数学知识和思维方式，培养逻辑思维和问题解决能力。
六、参考文献[此处省略参考文献列表]以上是对平方数的概念解析，希望能够帮助读者更好地理解和应用平方数的原理和知识点。
通过学习和掌握这些概念，我们可以更好地解决与平方数相关的问题，提升数学思维和推理能力。
根号的开方计算方法
根号的开方计算方法一、根号的定义根号是一种数学符号，通常表示对一个数或表达式进行开方操作。
根号其实是平方根的简称，来自于平方这个概念，所以我们经常说根号就是平方根。
根号被称之为二次方根，表示一个数的平方根，如√4=2，因为2的平方等于4。
同样，√9=3，因为3的平方等于9。
当然，根号不仅仅适用于正整数，它也可以适用于小数和负数。
二、根号的基本知识1、根号的表示方法在数学中，常见的根号符号是由一条长横线加上两条垂直短线组成，其中被开方数写在长横线下方。
符号的左边，通常会有一个相应的数字，这个数字表示开几次方。
如果有数字而没有符号，那么我们默认认为是对这个数进行二次方根运算。
例如：√9 表示对9进行二次方根运算，结果为3√(7+2) 表示对7+2进行二次方根运算，即对9进行运算，结果为3√7+2 表示对7进行二次方根运算，结果为根号7，再加上2，结果为根号7+22、根号的含义根号其实就是求平方根的一种方法。
它表达的是这样一个含义，如果一个数的平方等于另一个数，那么这个数就称之为另一个数的平方根。
例如，2的平方等于4，所以2是4的平方根。
3、根号的运算根号运算是一种数学基本运算，它可以应用于整数、分数、正数、负数等情况。
一般来说，我们将根号运算分为两类：整平方根和小数平方根。
（1）整平方根对于一个整数N，如果它的某个正整数平方等于N，那么这个正整数就是N的一个整平方根。
例如：9=3^2，所以3就是9的一个整平方根。
（2）小数平方根对于一个正实数a，如果存在一个正实数b，使得b^2=a，则称b为a的平方根，也就是a的小数平方根。
例如：√2 就是2的小数平方根。
4、开方规律因数的性质：如果一个数能被分解为两个数积的形式，那么这两个数必有一个不大于这个数的平方根，另一个不小于这个数的平方根。
例如25=5×5，其中5≤25的平方根，而5≥25的平方根。
耐心写好开方的奇数串(3、5、7、9、11……)我们可以以5次方开5次方根来举例，它的大概过程如下所示：求5次方根，即：√（x^5）转换成幂指数：x^5(1/5)化简指数：x(1/(5*1/1))=x^(1/5)将x^(1/5)写在根号下面，即：√x^(1/5)将1/5写在根号上面，即： 5 1√x^(---)5这样就得到了x的5次方根。
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3、如何求一个数的平方根？
4、什么叫开平方？开平方和平方有什么关系？
二、预习验收：
1、做资料第17页1----10题
2、做课本第42页随堂练习1
3、课本第42页想一想（强调平方和开平方是互为逆运算）
三、课堂达标：
1、判断下列说法是否正确。
（1）5是（—5）2算术平方根。
（2）4是2的算术平方根。
（3）49的平方根是7。
（4） 的平方根是±3。
（5）6是 的算术平方根。
（6）平方根等于它本身的数是0和1。
2、求下列各数的平方根
0．001 （—3）4—（—4）3
3、求下列各式的值：
— ± （- ）
4、9的平方根等于＿， 的平方根等于＿， 的算术平方根等于＿。
四、迁移延伸
1.已知△ABC的三边长分别为a,b,c，且a,b满足
+b2-6b+9=0求c的取值范围.
2.如果一个正数的两个平Байду номын сангаас根为2a-1与-a+2,求a的值。
3.求使等式x· =0成立的x值.
教学反思
通过本节课教学，发现学生对平方根与算术平方根的区别理解
上有困难。引导学生理解平方根有两个，注意符号。
课堂教学设计
时间：2008-9-28总第10课时授课人
课题
平方根（二）
课型
新授
教学目标
1、了解平方根的概念
2、会用根号表示一个数的平方根。
3、会利用开方运算求一些非负数的平方根。
教学重点
目标1和目标3
教学难点
算术平方根与平方根的区别与联系
教学方法
教学设计
注：课堂过程设计附后
一、预习提纲：
1、什么叫平方根？
5、算术平方根等于它本身的数是＿，一个数的算术平方根＿0 。
6 、已知 有意义，则x的取值范围是＿。
7、如果 +｜1+y｜=0，则x2+y2=＿。
8、已知 + =0，则x=＿。
9、已知y= + +2x，则yx=＿。
10、求下列各式x的值。
x2=256 100x2=225 （x-1）2= 2（1+x）2=