方程整数解

以x为主元，将方程整理为 3x2 (3y 7)x (3y2 7y) 0 分析：
， 7) 4 3(3y2 7y) 0 因x是整数，则 Δ (3y ，
2
解得 21 14 3 y 21 14 3 所以整数y=0，1，2，3，4，5.
9 9
3.选取主元法
n 1
m 4 n 2
m 1 n 3
进一步求得 x 245 x 80 x 5 y 2 0 y 5 y 45
二、含参数的二次方程的 整数解
这类问题涵盖了一元二次方程的相关 理论，整数的性质，融合了丰富的数学思 想方法，备受命题者的青睐。
x 1 1 y 1 7
(x 1)(y 1) 7
x 1 7 y 1 1
x 4 -8 y 4 -2
故原方程的整数解由下列方程组确定：
， ，
x 1 7 y 1 1
x 1 1 y 1 7
xy 3 的所有整数解。 例3.求方程 2 2 7 x xy y
以x为主元，将方程整理为 3x2 (3y 7)x (3y2 7y) 0 分析：
， 7) 4 3(3y2 7y) 0 因x是整数，则 Δ (3y ，
2
3.选取主元法
xy 3 的所有整数解。 例3.求方程 2 2 7 x xy y
3.选取主元法
xy 3 的所有整数解。 例3.求方程 2 2 7 x xy y
3.选取主元法
xy 3 的所有整数解。 例3.求方程 2 2 7 x xy y
以x为主元，将方程整理为 3x2 (3y 7)x (3y2 7y) 0 分析：
， ，
3.选取主元法
，
（一）从判别式入手
1.当Δ=m2时，直接求方程的解
例1. 已知方程 ax 2 (3a2 8a)x 2a2 13a 15 0 （其中a为非负整数）至少有一个整数根，求a的值。 (3a2 8a) a(a 2) 2 分析：Δ a(a 2) ，故 x 2a 2 2a 3 3 a 5 5 x1 2 x2 1 a a a a 从而可知a=1，3或5.
数学竞赛
方程整数解
方法策略
一、不定方程的整数解
一般地，不定方程有无数组 解。但是，若加上限制条件如 整数等，就可以求出确定的解。
1.因式分解法
例1.求方程
xy x y 6
的整数解。
1.因式分解法
例1.求方程
， ，
xy x y 6
y 1 7
，
的整数解。
，
xy x 分析：
x 3 -2 y 3 -8
x 1 0 y1 6
x 2 6 y 2 0
2.字母分离法
例2.求方程 5x 3y 1Hale Waihona Puke 的正整数解。2.字母分离法
例2.求方程 5x 3y 18 的正整数解。 分析：y 18 5x 6 x 2 x 3 3 3 ，所以x=3，进一步求得y=1 由18-5x>0得0<x< 3 5
（一）从判别式入手
1.当Δ=m2时，直接求方程的解
例1. 已知方程 ax 2 (3a2 8a)x 2a2 13a 15 0 （其中a为非负整数）至少有一个整数根，求a的值。
，
（一）从判别式入手
1.当Δ=m2时，直接求方程的解
例1. 已知方程 ax 2 (3a2 8a)x 2a2 13a 15 0 （其中a为非负整数）至少有一个整数根，求a的值。 分析：Δ a(a 2)2
n 1
m 4 n 2
m 1 n 3
4.转化法
例4.求方程 x 3 y 500 的正整数解。 分析：化简得 x 3 y 10 5
， 因为x，y都是正整数，所以可设
x m 5
y n 5
因此原方程变形为 ， m 3n 10 解得 m 7
， 因为x，y都是正整数，所以可设
x m 5
y n 5
因此原方程变形为 ， m 3n 10
4.转化法
例4.求方程 x 3 y 500 的正整数解。 分析：化简得 x 3 y 10 5
， 因为x，y都是正整数，所以可设
x m 5
y n 5
因此原方程变形为 ， m 3n 10 解得 m 7
xy 3 的所有整数解。 例3.求方程 2 2 7 x xy y
以x为主元，将方程整理为 3x2 (3y 7)x (3y2 7y) 0 分析：
， 7) 4 3(3y2 7y) 0 因x是整数，则 Δ (3y ，
2
解得 21 14 3 y 21 14 3 所以整数y=0，1，2，3，4，5.
9 9
进一步求得只有两组解：x 1 5
y1 4
x 2 4 y 2 5
4.转化法
例4.求方程 x 3 y 500 的正整数解。
，
4.转化法
例4.求方程 x 3 y 500 的正整数解。 分析：化简得 x 3 y 10 5
，
，
4.转化法
例4.求方程 x 3 y 500 的正整数解。 分析：化简得 x 3 y 10 5
，
（一）从判别式入手
1.当Δ=m2时，直接求方程的解
例1. 已知方程 a 2 x 2 (3a2 8a)x 2a2 13a 15 0 （其中a为非负整数）至少有一个整数根，求a的值。 (3a2 8a) a(a 2) 2 分析：Δ a(a 2) ，故 x 2a 2
，
（一）从判别式入手
1.当Δ=m2时，直接求方程的解
例1. 已知方程 ax 2 (3a2 8a)x 2a2 13a 15 0 （其中a为非负整数）至少有一个整数根，求a的值。 (3a2 8a) a(a 2) 2 分析：Δ a(a 2) ，故 x 2a 2 2a 3 3 a 5 5 x1 2 x2 1 a a a a