方程整数解
不定方程整数解条件
不定方程整数解条件
不定方程整数解条件：
不定方程是指关于两个或多个未知数的整数解的方程。
当我们面对不定方程时，我们希望找到整数解。
然而，并不是所有的不定方程都有整数解。
根据不定方程的形式和特征，我们可以得出一些关于整数解存在的条件。
首先，对于一元一次不定方程 ax + by = c，其中 a、b、c 为给定的整数。
这种
类型的不定方程有解的充要条件是 c 是 a 和 b 的最大公约数的倍数。
另一方面，对于一元二次不定方程ax²+ by²= c，其中a、b、c 为给定的整数。
这种类型的不定方程有解的充要条件是 c 是 a 和 b 的最大公约数的倍数，同时 a 和
b 至少有一个是完全平方数。
对于一般的二元不定方程 ax + by = c，其中 a、b、c 为给定的整数。
不定方程
有解的充要条件是 c 是 a 和 b 的最大公约数的倍数。
此外，我们还可以通过使用模运算来判断一定程度上的整数解条件。
例如，对
于形如ax ≡ b (mod m) 的不定方程，其中 a、b、m 为给定的整数。
该不定方程有解的充要条件是 b 是 a 和 m 的最大公约数的倍数。
总结起来，不定方程的整数解条件取决于方程的形式和特征。
我们可以利用最
大公约数、完全平方数和模运算等方法来判断和求解不定方程的整数解。
二元一次方程组的整数解
第四讲 二元一次方程（组）的整数解学习目标：1、理解二元一次方程整数解存在的条件2、掌握二元一次方程整数解的求法一、知识回顾1、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中，若a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。
即如果（a,b ）|c 则方程ax+by=c 有整数解，显然a,b 互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x －2y=7, 9x+3y=6都有整数解。
反过来也成立，方程9x+3y=10和 4x －2y=1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。
2二元一次方程整数解的求法：若方程ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。
k 叫做参变数。
方法一：整除法：求方程5x+11y=1的整数解解：x=5111y -=y y y y 2515101--=-- (1) , 设k k y (51=-是整数），则y=1－5k (2) , 把（2）代入（1）得x=k －2(1－5k)=11k －2∴原方程所有的整数解是⎩⎨⎧-=-=ky k x 51211（k 是整数） 方法二：公式法： 设ax+by=c 有整数解⎩⎨⎧==00y y x x 则通解是⎩⎨⎧-=+=ak y y bk x x 00（x 0,y 0可用观察法） 3、 求二元一次方程的正整数解：i.求出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值 ii. 用观察法直接写出。
二、例题辨析例1、我们知道方程2312x y +=有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解。
例：由2312x y +=，得1222433x y x -==-，（x 、y 为正整数） 01220x x >⎧∴⎨->⎩则有06x <<. 又243y x =-为正整数，则23x 为正整数. 由2与3互质，可知：x 为3的倍数，从而3x =，代入2423y x =-=. 2312x y ∴+=的正整数解为32x y =⎧⎨=⎩问题：（1）请你写出方程25x y +=的一组正整数解：（2）若62x -为自然数，则满足条件的x 值有 个 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5（3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？变式练习：求方程的正整数解：5x+7y=87；例2、求方程5x+6y=100的正整数解变式练习：求11x+15y=7的整数解．例3、甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？。
数学竞赛中方程整数解的实用求法
数学竞赛中方程整数解的实用求法(本讲适合初中)近年来，在各级各类数学竞赛中，方程整数解的问题备受关注，它将古老的整数理论与传统的初中数学知识相综合，涉及面宽、范围广，往往需要灵活地运用相关概念、性质、方法和技巧. 笔者根据自己的体会讲讲求解这类问题的方法和基本思考途径，供读者参考.1 不定方程的整数解一般地，不定方程有无数组解. 但是，若加上限制条件如整数解等，就可以求出确定的解. 由于含参数的方程的整数解多能转化为不定方程求解，所以先讲不定方程整数解的求法. 常用的有下述三种方法.1.1 因式分解法这是最常用的方法，它适用于一边可以分解因式，另一边为常数的方程. 根据是正整数的惟一分解定理：每一个大于1的正整数都可以惟一地分解成素数的乘积. 方法是分解常数后构造方程组求解.例1 求方程xy ＋x ＋y ＝6的整数解.(1996，湖北省黄冈市初中数学竞赛)解：方程两边加上1，得xy ＋x ＋y ＋1＝7.左边＝(x ＋1)(y ＋1)，右边＝1×7＝(－1)×(－7).故原方程的整数解由下列方程组确定：⎩⎨⎧++；＝，＝7111y x ⎩⎨⎧++；＝，＝1171y x ⎩⎨⎧++；＝－，＝－7111y x ⎩⎨⎧++.1171＝－，＝－y x 解得⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧.2882066044332211＝－，＝－；＝－，＝－；＝，＝；＝，＝y x y x y x y x 1.2 选取主元法有些含有二次项的不定方程，可以选取其中的某一变量为主元，得到关于主元的二次方程，再用根的判别式△≥0定出另一变量的取值范围，在范围内选出整数值回代得解.例2 求方程7322＝yxy x y x +-+的所有整数解. (第十二届全俄数学竞赛)解：以x 为主元，将方程整理为3x 2－(3y ＋7)x ＋(3y 2－7y)＝0因x 是整数，则△＝［－(3y ＋7) ］2－4×3（3y 2－7y ）≥0 ⇒931421-≤y ≤931421+ ⇒整数y ＝0，1，2，3，4，5.将y 的值分别代入原方程中计算知：只有y ＝4或5时，方程才有整数解，即x 1＝5，y 1＝4；x 2＝4，y 2＝5. 1.3 整式分离法当分式中分子的次数不小于分母的次数时，可将分子除以分母，把整式(即所得商式)分离出来.若所得余式为常数，则用倍数约数分析法求解较容易；若余式不是常数，则可以根据实际情况构造二次方程，选取原先变量为主元求解. 例3 题目同例1.解：用含y 的式子表示x ，得x ＝16+-y y . 分离整式得x ＝－1＋17+y . 因x 为整数，则17+y 为整数.故y ＋1为7的约数，y ＋1＝±1，±7.(笔者注：这种思考方法就是倍数约数分析法)得y ＝0，－2，6，－8.进而x ＝6，－8，0，－2.2 含参数的二次方程的整数解这类整数根问题，近年考查最频繁.实用思考途径有下列四种.2.1 途径一：从判别式入手因为一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0在△＝b 2－4ac ≥0时有根x ＝ab 2∆±-，所以要使方程有整数根，必须△＝b 2－4ac 为完全平方数，并且－b ±∆为2a 的整数倍.这是基本思想.常用方法如下.1. 当△＝b 2－4ac 为完全平方式时，直接求方程的解，然后解不定方程.例4 已知方程a 2x 2－(3a 2－8a )x ＋2a 2－13a ＋15＝0(其中a 为非负整数)至少有一个整数根.那么，a ＝_________.(1998，全国初中数学竞赛)解：显然a ≠0.故原方程为关于x 的二次方程.△＝[－(3a 2－8a )]2－4a 2(2a 2－13a ＋15)＝[a (a ＋2)]2是完全平方式.故x ＝222)2()83(aa a a a +±- 即 x 1＝a a 32-＝2－a 3，x 2＝a a 5-＝1－a5. 从而，由倍数约数分析法知a ＝1，3或5.2. 当△＝b 2－4ac ≥0且不是完全平方式时，一般有下列三种思考途径.(1)利用题设参数的范围，直接求解.例5 设m ∈Z ，且4＜m ＜40,方程x 2－2(2m －3)x ＋4m 2－14m ＋8＝0有两个整数根.求m 的值及方程的根.解：因方程有整数根，则△＝[－2(2m －3)]2－4(4m 2－14m ＋8)＝4(2m ＋1)为完全平方数.从而，2m ＋1为完全平方数.又因m ∈Z 且4＜m ＜40,故当m ＝12或24时，2m ＋1才为完全平方数.因为x ＝(2m －3)±12+m ，所以，当m ＝12时，x 1＝16，x 2＝26；当m ＝24时，x 3＝38，x 4＝52.(2)先用△≥0求出参数的范围.例6 已知方程x 2－(k ＋3)x ＋k 2＝0的根都是整数.求整数k 的值及方程的根.解：△＝[－(k ＋3)]2－4k 2＝－3k 2＋6k ＋9≥0⇒ k 2－2 k －3≤0⇒－1≤k ≤3⇒整数k ＝－1，0，1，2，3.由求根公式知x ＝2)3(∆±+k ，故 当k ＝－1时，△＝0，x ＝1；当k ＝0时，△＝9，x ＝0或3；当k ＝1时，△＝12不是完全平方数，整根x 不存在；当k ＝2时，△＝9，x ＝1或4；当k ＝3时，△＝0，x ＝3.因此，k ＝－1，0，2，3，x ＝1，0，3，4.(3)设参数法，即设△＝k 2.当△＝k 2为关于原参数的一次式时，用代入法；当△＝k 2为关于原参数的二次式时，用分解因式法.例7 当x 为何有理数时－代数式9x 2＋23x －2的值恰为两个连续正偶数的乘积？(1998，山东省初中数学竞赛)解：设两个连续正偶数为k ﹑k ＋2.则9x 2＋23－2＝k (k ＋2),即 9x 2＋23－( k 2＋2k ＋2)＝0.由于x 是有理数，所以判别式为完全平方数，即△＝232＋4×9(k 2＋2 k ＋2)＝565＋[6(k ＋1)]2令△＝p 2(p ≥0)，有p 2－[6(k ＋1)]2＝565＝113×5＝565×1.左边＝[p ＋6(k ＋1)][ p －6(k ＋1)]，p ≥0，k ＞0，得）（＝＝1,5)1(6,113)1(6⎩⎨⎧+-++k p k p或 )2(,1)1(6,565)1(6⎩⎨⎧+-++＝＝k p k p解(1)得k ＝8，于是，x ＝2或－941； 解(2)得k ＝46，于是，x ＝－17或9130. 总之，当x ＝2，－941或x ＝－17，9130时. 9x 2＋23x －2恰为两正偶数8和10，或者46和48的乘积. 2.2 途径二：从韦达定理入手1. 从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程.例8 a 是大于零的实数，已知存在惟一的实数k ，使得关于x 的二次方程x 2＋(k 2＋ak )x ＋1999＋ k 2＋ ak ＝0的两个根均为质数. 求a 的值.(1999，全国初中数学联赛)解：设方程的两个质数根为p ﹑q . 由根与系数的关系，有 p ＋q ＝－(k 2＋ak )， ①pq ＝1 999＋k 2＋ak . ②①＋②，得 p ＋q ＋pq ＝1 999则(p ＋1)(q ＋1)＝24×53. ③由③知，p 、q 显然均不为2，所以必为奇数.故21+p 和21+q 均为整数，且2121+⋅+q p ＝22×53. 若21+p 为奇数，则必21+p ＝5r (r ＝1，2，3)，从而，p ＝2×5r －1为合数，矛盾. 因此，21+p 必为偶数.同理，21+q 也为偶数.所以，21+p 和21+q 均为整数，且4141+⋅+q p ＝53.不妨设p ≤q ，则41+p ＝1或5. 当41+p ＝1时，41+q ＝53，得p ＝3，q ＝499，均为质数.当41+p ＝5时，41+q ＝52，得p ＝19，q ＝99，q 为合数，不合题意.综上可知，p ＝3，q ＝499.代入①得k 2＋ak ＋502＝0. ④依题意，方程④有惟一的实数解.故△＝a 2－4×502＝0.有a ＝25022.利用“两根为整数时，其和、积必为整数”.例9 求满足如下条件的整数k ，使关于x 的二次方程(k －1) x 2＋( k －5) x ＋k ＝0的根都是整数.解：设方程的两根为x 1﹑x 2.则x 1＋ x 2＝－15--k k ＝－1＋14-k ， x 1 x 2＝1-k k ＝1＋11-k ， 且 x 1＋x 2和x 1 x 2都是整数.从而，14-k 和11-k 都是整数. 于是，k －1为4和1的约数.故k －1＝±1⇒ k ＝0或2.检验知，k ＝0或2时，方程的两根均为整数.所以，k ＝0或2. 2.3 途径三：联想二次函数因为一元二次方程与二次函数联系密切，所以适时地借助二次函数知识解决方程问题，往往十分奏效.例10 已知b ，c 为整数，方程5x 2＋bx ＋c ＝0的两根都大于－1且小于0.求b 和c 的值.(1999，全国初中数学联赛)解：根据二次函数y ＝5x 2＋bx ＋c 的图像和题设条件知： 当x ＝0时，5x 2＋bx ＋c ＞0，有c ＞0； ① 当x ＝－1时，5 x 2＋bx ＋c ＞0，有b ＞5＋c . ②因抛物线顶点的横坐标－52⨯b 满足1－＜－52⨯b ＜0， 则0＜b ＜10. ③ 又因△≥0，即b 2－20c ≥0,故b 2≥20c. ④ 由①、③、④得100＞b 2≥20c ，c ＜5.若c ＝1，则由②、④得0＜b ＜6且b 2≥20,得b ＝5； 若c ＝2，则0＜b ＜7且b 2≥40，无整数解；若c ＝3，则0＜b ＜8且b 2≥60，无整数解；若c ＝4，则0＜b ＜9且b 2≥80，无整数解.故所求b 、c 的值为b ＝5，c ＝1.2.4 途径四：变更主元法当方程中参数的次数相同时，可考虑以参数为主元求解. 例11 试求所有这样的正整数a ，使方程ax 2＋2(2a －1)x ＋4(a－3)＝0至少有一个整数解.(第三届祖冲之杯数学竞赛)解： 因为方程中参数a 是一次，所以可将a 用x 表示，即a ＝2)2()6(2++x x . ① 又a 是正整数，则2)2()6(2++x x ≥1. 解得－4≤x ≤2且x ≠－2.故x ＝－4,－3,－1,0,1,2.分别人入①得a ＝1,3,6,10.3 其他类型3.1 分类讨论型当方程中最高次项的系数含有变参数时，应先分系数为0或不为0讨论.例12 求使关于x 的方程kx 2＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数的k 值.(第十三届江苏省初中数学竞赛)解：分k ＝0和k ≠0两种情况讨论.当k ＝0时，所给方程为x －1＝0，有整数根x ＝1.当k ≠0时，所给方程为二次方程.设两个整数根为x 1和x 2,则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--=+-=+②① .111,1112121k k k x x k k k x x由①－②得x 1＋x 2－x 1x 2＝－2⇒(x 1－1)(x 2－1)＝3.＝1×3＝(－1)×(－3).有⎩⎨⎧=-=-;31,1121x x ⎩⎨⎧-=--=-;31,1121x x ⎩⎨⎧=-=-;11,3121x x ⎩⎨⎧-=--=-.11,3121x x 故x 1＋x 2＝6或x 1＋x 2＝－2，即 －1－k 1＝6或－1－k1＝－2. 解得k ＝－71或k ＝1. 又△＝(k ＋1)2－4k (k －1)＝－3k 2＋6k ＋1，当k ＝－71或k ＝1时，都有△＞0.所以，满足要求的k 值为k ＝0，k ＝－71，k ＝1. 3.2 数形结合型当问题是以几何形式出现，或容易联想到几何模型的时候，可考虑用数形结合法.这是一种极为重要的解题方法，它具有形 象直观的特点，可使许多问题获得巧解.例13 以关于m 的方程m 2＋(k －4)m ＋k ＝0数根为直径作⊙O.P 为⊙O 外一点，过P 切线PA 和割线PBC ，如图1，A 为切点.这时发现PA 、PB 、PC 都是整数，且PB 、BC 都不是合数，求PA 、PB 、PC 的长. 解： 设方程两根为m 1、m 2则⎩⎨⎧=-=+②① .,42121k m m k m m 又设PA ＝x ，PB ＝y ，BC ＝z ，则x ﹑y ﹑z 都是正整数. 由切割线定知PA 2＝PB •PC ＝PB (PC ＋BC )，即 x 2＝y 2＋yz ⇒(x ＋y )(x －y )＝yz . ③消去①和②中的k ，得m 1m 2＝4－m 1－m 2.整理分解，得(m 1＋1)(m 2＋1)＝5.图1因为⊙O 的直径是方程的最大整数根，不难求得最大整根m ＝4.进而，z ＝BC ≤4.又正整数z 不是合数，故z ＝3，2，1.当z ＝3时，(x ＋y )(x －y )＝3y ，有⎩⎨⎧=-=+;,3y y x y x ⎩⎨⎧=-=+;3,y x y y x ⎩⎨⎧=-=+.1,3y x y y x 可得适合题意的解为x ＝2，y ＝1.当z ＝1和z ＝2时，没有适合题意的解，所以，PA ＝x ＝2，PB ＝y ＝1，PC ＝y ＋z ＝4.3.3 综合探索型当已知方程不止一个或结论不明确时，常用综合分析、假设探索法求解.例14 已知关于x 的方程4x 2－8nx －3n ＝2和x 2－(n ＋3)x －2n 2＋2＝0.问是否存在这样的n 的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n 值；若不存在，请说明理由.(2000，湖北省初中数学选拔赛)解： 由△1＝(－8n )2－4×4×(－3n －2)＝(8n ＋3)2＋23＞0，知n 为任意实数时，方程(1)都有实数根.设第一个方程的两根为βα、.则α＋β＝2n ，αβ＝42n 3--. 于是，(βα-)2＝(βα+)2－4αβ＝4n 2＋3n 2＋2.由第二个方程得[x －(2n ＋2)][x ＋(n －1)]＝0解得两根为x 1＝2n ＋2，x 2＝－n ＋1.若x 1为整数，则4n 2＋3n ＋2＝2n ＋2.于是n 1＝0，n 2＝－41. 当n ＝0时，x 1＝2是整数；n ＝－41时，x ＝23不是整数，舍去.若x 2为整数，则4n 2＋3n ＋2＝1－n .有n 3＝n 4＝－21.此时x 2＝23不是整数，舍去. 综合上述知，当n ＝0时，第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根.练 习 题1. 设a 为整数. 若存在整数b 和c ，使(x ＋a)(x －15)－25＝(x ＋b )(x ＋c )，则a 可取的值为_________(1998，上海市鹏欣杯数学竞赛)(提示：变形后用因式分解法. a ＝9，－15，－39)2. 设关于x 的二次方程(k 2－6k ＋8)x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋k 2＝4的两根都是整数. 求满足条件的所有实数k 的值.(2000，全国初中数学联赛)(提示：求出二根x 1＝－1－42-k ，x 2＝－1－24-k ，从中消去k 得x 1x 2＋3x 1＋2＝0，分解得x 1(x 2＋3)＝－2.借助方程组得k ＝6，3，310) 3. 求所有的正整数a 、b 、c ，使得关于x 的方程x 2－3ax ＋2b ＝0，x 2－3bx ＋2c ＝0，x 2－3cx ＋2a ＝0的所有的根都是正整数. (2000，全国初中数学联赛)(提示：从根与系数的关系入手，结合奇偶性分析，得a ＝b ＝c ＝1.)4. 已知方程：x 2＋bx ＋c ＝0及x 2＋cx ＋b ＝0分别各有二整数根x 1、x 2及x ’1、x ’2，且x 1x 2＞0，x ’1x ’2＞0.(1)求证：x 1＜0，x 2＜0，x ’1＜0，x ’2＜0.(2)求证：b －1≤c ≤b ＋1.(3)求b 、c 的值.(1993，全国初中数学竞赛)(答案：b ＝5，c ＝6或b ＝6，c ＝5.)5.x 、y 为正整数，100111=-y x .则y 的最大值为_________. (1998，重庆市初中数学竞赛)(提示：用因式分解法，结果为9 900.)6.k 为什么整数时，方程(6－k )(9－k )x 2－(117－15k )x ＋54＝0的解都是整数？(1995，山东省初中数学竞赛)(提示：对系数(6－k)(9－k)分为0与不为0讨论，得k值为3，6，7，9，15.)一元二次方程的整数根问题(本讲适合初中)迄今为止，尚未找到使得整系数一元二次方程有整数根的充分条件，通常的方法都是通过讨论其判别式，利用根与系数的关系进行分析和归纳，即使用必要条件解题，然后通过检验确定答案.下面举例说明常用的几种方法，并指出每种方法适合的范围.整系数一元二次方程有整数根的必要条件：(1)两个根都是整数；(2)判别式是整数；(3)判别式是整数的完全平方；(4)两根和是整数，两根积是整数.例1 设方程mx2－(m－2)x＋m－3＝0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程的所有整数解.分析：若m＝0，则2x－3＝0，此时方程无整数解；当m≠0时，考察△＝－3m2＋8m＋4，注意到二次项系数为负，方程有解，则－3m2＋8m＋4≥0.解得3724-≤m≤3724+.+因为m是整数，故只能取1，2，3.当m＝1时，方程有解：－2和1；当m＝2时，方程无整数解：当m＝3时，方程有整数解：0.注：当判别式二次系数为负时，解不等式得关于参数的一个有限长区间，又因为参数为整数，可以讨论得解.例2 当x为何有理数时，代数式9x2＋23x－2的值恰好为两个连续的偶数积.(1998，山东省初中数学竞赛)分析：设两个连续的偶数为n，n＋2，问题转化为：当n为何值时，方程9x2＋23x－2＝n(n＋2)有有理数根.有理根问题本质上也是整数根的问题，要求方程的根的判别式必须为一个整数或有理数的完全平方.考察判别式△＝232＋36(n2＋2n＋2)＝36(n ＋1)2＋565.由于n 是整数，所以判别式应为整数的完全平方.设 36(n ＋1)2＋565＝m 2(m 为大于565的自然数).移项因式分解，得(m ＋6n ＋6)(m －6n －6)＝1×5×113.只有⎩⎨⎧=--=++566,11366n m n m 或 ⎩⎨⎧=--=++.166,56566n m n m 解得n ＝8，或n ＝46.分别代入原方程得方程有理数解为－941，2或9130，－17. 注：当判别式为关于某一参数的二次式，且二次项系数为正时，可采用配方法变形为：ƒ2(α) ＋常数(α是整数).然后采用例1的方法，通过分析得解.例3 求一实数p ，使用三次方程5x 3－5(p ＋1)x 2＋(71p －1)x＋1＝66p 的三个根均为自然数.(1995，全国高中数学联赛)分析：观察可知，1是方程的解，方程可转化为(x －1)(5x 2－5px ＋66p －1)＝0问题转化为：求一切实数p 使方程5x 2－5px ＋66p －1＝0的解为自然数.由韦达定理知，p 为方程两根之和，即p 是自然数.仿例2得△＝(5p －132)2－17 404.设(5p －132)2－17 404＝n 2(n ＞0，n 为自然数).移项分解可得(5p －132＋n)(5p －132－n)＝22×19×229.又(5p －132＋n)，(5p －132－n)同奇偶，所以，⎩⎨⎧⨯=--⨯=+-.1921325,22921325n p n p 解得p ＝76.注：从表面上看，此题中的p 是一切实数，但由韦达定理判断它实际上是自然数，故可采用前法求得.例4设m 为整数，且4＜m ＜40，又方程x 2－2(2m －3)x ＋4m 2－14m ＋8＝0有两个整数根.求m 的值及方程的根.(1993,天津市初中数学竞赛)分析：考察判别式△＝4(2m ＋1)，因是关于m 的一次式，故例1，例2的方法均不可用.由已知4＜m ＜40，可知9＜2m ＋1＜81.为使判别式为完全平方数，只有2m ＋1＝25或2m ＋1＝49.当2m ＋1＝25时，m ＝12，方程两根分别为16，26； 当2m ＋1＝49时，m ＝24，方程两根分别为38，52.注：当判别式不是二次式时，可结合已知条件通过讨论得出参数的范围，进而求解；当判别式较复杂时，则应改用其他办法，参见例5.例5 α是大于零的实数，已知存在惟一的实数k ，使得关于x的方程x 2＋(k 2＋αk )x ＋1 999＋k 2＋αk ＝0的两根为质数.求α的值.(1999，全国初中数学联赛)分析：因为α、k 均为实数，判别式法不能解决.设方程两根为x 1、x 2，且x 1≤x 2，x 1、x 2均为质数，则⎪⎩⎪⎨⎧++=--=+.9991,221221k k x x k k x x αα 消掉参数得x 1＋x 2＋x 1x 2＝1 999，即 (x 1＋1)(x 2＋1)＝2 000＝24×53.显然，x 1≠2. 于是，x 1＋1，x 2＋1都是偶数且x 1＋1≤x 2＋1.故只有如下可能：⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+=+;521,2132221x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+=+;521,213231x x ⎩⎨⎧⨯=+⨯=+;521,5212321x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+;521,52122221x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+22221521,521x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+.521,5212231x x符合题意的只有⎩⎨⎧==.499,321x x 于是，3＋499＝－k 2－αk .因为存在惟一的k ，故方程k 2＋αk ＋502＝0有两等根. 判别式△＝α2－4×502＝0，解得α＝2502.注：应用韦达定理的关键在于消去参数，首先求得方程的解，在消去参数之后，要注意因式分解的使用.例6 设关于x 的二次方程(k 2－6k ＋8)﹒x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋k 2＝4的两根都是整数.求满足条件的所有实数k 的值.(2000，全国初中数学联赛)分析：方程的表达式比较复杂，判别式法和韦达定理均不可用.将原方程变形得(k －2)(k －4)x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋(k －2)(k ＋2)＝0. 分解因式得[(k －2)x ＋k ＋2][(k －4)x ＋k －2]＝0.显然，k ≠2，k ≠4.解得x 1＝－42--k k , x 2＝－22-+k k . 消去k 得x 1x 2＋3x 2＋2＝0∴ x 2(x 1＋3)＝－2.讨论得⎩⎨⎧=+-=;13,212x x 或⎩⎨⎧-=+=;13,221x x 或⎩⎨⎧-=+=.23,121x x 解x 1、x 2，代入原式得k 值为6，3，310. 注：当判别式与韦达定理均难解决时，这时反而意味着可用因式分解法求出方程的根，然后再整理转化.例7 设α为整数，若存在整数b 和c ，使得(x ＋α)(x －15)－25＝(x ＋b )(x ＋c )成立，求α可取的值.(1998，上海市初中数学竞赛)分析：此题可转化为：当α为何值时，方程(x ＋α)(x －15)－25＝0有两个整数根.方程可化为x 2－(15－α)x －15α－25＝0视其为关于α的一次方程，整理得α(x －15)＝－x 2＋15x ＋25.易知x ≠15，∴α＝1525152-++-x x x ＝－x ＋1525-x .注：此解法为分离参数法，它适合于参数与方程的根均是整数，且参数较易于分离的情况.如此题变形为α＝ƒ(x )，然后利用函数的性质求解，这是一种应用较广泛的方法.上面只介绍了处理整数根问题的常用解法，这些解法的基本依据是：方程有整数根的必要条件. 基本方法是：(1)判别式讨论法(主要讨论由判别式决定的参数范围，由判别式为完全平方数求参数)；(2)韦达定理法；(3)判别式与韦达定理结合法；(4)分离参数法(通过分离参数，利用根为整数的条件讨论).需说明的是，每个题的解法都不是惟一的，本文所给的只是较简洁的一种.同学们在解题时，应因题而定方法，不断求新，才能领悟数学的美感.练习题1. 求满足如下条件的所有k 值，使关于x 的方程kx ＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数.(第十三届江苏省初中数学竞赛)(k ＝0，k ＝－71，k ＝1) 2. 关于x 的方程(m 3－2m 2)x 2－(m 3－3m 2－4m ＋8)x ＋12－4m ＝0的根均为整数，求实数m 的值.(提示：应用求根消参法，得m ＝1，或m ＝2.)3. 求所有正实数α，使方程x 2－αx ＋4α＝0仅有整数根. (1998，全国初中数学联赛)(提示：分离参数法. α＝42-x x ＝x ＋4＋416-x ，讨论得α＝25，或18，或16).4. 已知方程x 2＋bx ＋c ＝0及x 2＋cx ＋b ＝0分别各有两个整数根x 1、x 2及x ’1、x ’2，且x 1x 2＞0，x ’1x ’2＞0.①求证：x 1＜0，x 2＜0，x ’1＜0，x ’2＜0；②求证：b －1≤c ≤b ＋1；③求b 、c 所有可能的值.(1993，全国初中数学联赛)(提示：应用韦达定理，得⎩⎨⎧==65c b ⎩⎨⎧==56c b ⎩⎨⎧==44c b )5.某顾客有钱10元，第一次在商店买x 件小商品花去y 元，第二次再去买该小商品时，发现每打(12件)降价0.8元，他比第一次多买了10件，花去2元.问他第一次买的小商品是多少件？(x 、y 为正整数)(提示：列方程128.0102=+-x x y 问题转化为：y 为何值时，方程x 2＋(40－15y )x －150y ＝0有正整数解，利用判别式可求得x ＝5，或x ＝50.)。
整数解的名词解释
整数解的名词解释整数解是指能够满足某个方程或不等式的整数解答。
在数学中，整数解的概念非常重要，它在各个领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨整数解的概念以及其在数学和现实生活中的应用。
整数解可以用来解决各种问题，包括代数方程、几何问题和逻辑推理等。
在代数方程中，整数解可以帮助我们找到方程的根。
例如，对于方程x² - 5x + 6 = 0，我们可以通过求解x的整数解来确定方程的解的情况。
在这种情况下，方程的整数解为x = 2和x = 3。
在几何问题中，整数解可以帮助我们确定图形的性质。
例如，一个等边三角形的边长是整数，那么它的内角度量也是整数。
此外，在一些几何问题中，整数解还可以帮助我们确定图形的面积或周长。
例如，如果一个正方形的周长是整数，那么它的边长也一定是整数。
在逻辑推理中，整数解可以帮助我们判断一个命题的真假。
例如，在一个数论问题中，我们可能需要判断某个命题在整数解下是否成立。
通过找到一个整数解，我们可以验证命题的真实性。
如果命题在所有整数解下都成立，那么我们可以得出结论，该命题对于整数来说是真实的。
整数解的概念还在现实生活中有广泛的应用。
在计算机科学和密码学中，整数解被用于加密和解密数据。
例如，RSA加密算法通过使用大素数的整数解来进行数据加密。
只有知道这些整数解的人才能够解密被加密的数据。
这种使用整数解的方法被广泛应用于网络安全和信息保护领域。
此外，在经济学和统计学中，整数解也有着重要的应用。
例如，在经济学中，整数解可以帮助我们确定一种商品的最低成本。
同时，整数解还可以用于解决供应链管理和资源分配等问题。
在统计学中，整数解可以帮助我们确定样本数据中模式的存在与否，从而推断总体或总体的性质。
综上所述，整数解在数学和现实生活中扮演着重要的角色。
它不仅被用于解决各种方程和问题，还广泛应用于计算机科学、经济学和统计学等领域。
通过理解整数解的概念，我们可以在解决问题和分析数据时更加准确地得出结论。
整数解方程
整数解方程1. 引言整数解方程是一个经典且重要的数学问题，它涉及到在整数集合中寻找满足给定条件的解。
这个问题在代数学、数论以及计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍整数解方程的基本概念、求解方法和一些实际应用。
2. 基本概念2.1 方程与解在代数中，方程是一个等式，其中包含一个或多个未知量。
例如，x+y=5就是一个简单的一元一次方程，其中x和y是未知量。
解方程就是要找到使得等式成立的未知量取值。
2.2 整数解整数解是指使得方程成立的整数取值。
对于上述例子x+y=5来说，(1,4)和(4,1)都是它的整数解。
2.3 线性方程组线性方程组由多个线性方程组成，并且共享相同的变量。
例如：{2x+y=8 3x−y=−2这个线性方程组有两个未知量x和y，它的整数解是(2,4)。
3. 求解方法3.1 穷举法穷举法是最基本的求解整数解方程的方法。
它通过逐个尝试所有可能的整数取值，来判断是否满足方程条件。
例如，对于方程x+y=5，我们可以从x=0,y=5开始尝试，然后依次增加或减小x或y的值，直到找到所有的整数解。
穷举法的优点是简单易懂，适用于小规模问题。
但是对于大规模问题来说，穷举法需要遍历大量的整数取值，计算量较大。
3.2 数论方法在一些特殊情况下，我们可以利用数论中的一些定理和性质来求解整数解方程。
3.2.1 贝祖等式贝祖等式是指对于任意给定的整数a和b，存在整数x和y，使得满足以下等式：ax+by=gcd(a,b)其中gcd(a,b)表示a和b的最大公约数。
通过求解贝祖等式，我们可以得到一组特殊的整数解。
3.2.2 模线性方程模线性方程是指形如ax≡b(mod m)的方程，其中a、b和m是已知整数，x 是未知整数。
对于模线性方程，我们可以利用模运算的性质来求解。
如果gcd(a,m)能够整除b，那么模线性方程有解，且有无穷多个解。
否则，模线性方程无解。
3.3 迭代法迭代法是一种通过递归定义来求解整数解方程的方法。
如何证明一个二元一次方程有整数解
如何证明一个二元一次方程有整
数解
首先，我们要知道一个定理：如果方程 ax+by=c （其中
a,b,c 都是整数）有整数解，那么必须满足 a,b 的最大公约数能够整除 c。
这个定理可以用反证法来证明，即如果 a,b 的最大公约数不能整除 c，那么方程就没有整数解。
其次，我们要知道如何求出 a,b 的最大公约数。
一种常用的方法是辗转相除法，即用较大的数除以较小的数，得到余数，然后用较小的数除以余数，再得到新的余数，依此类推，直到余数为零为止。
最后一个非零的余数就是 a,b 的最大公约数。
最后，我们要知道如何求出方程的一个特解和所有的通解。
如果方程有整数解，那么一定存在一组整数 x0,y0 满足
ax0+by0=c。
这组整数可以用辗转相除法的逆过程来求出，即从最后一个非零的余数开始，逐步将其表示成 a,b 的线性组合。
然后，根据一个定理：如果方程 ax+by=c 有一组整数解x0,y0，那么它的所有整数解可以表示为 x=x0-b/g*t,
y=y0+a/g*t （其中 g 是 a,b 的最大公约数，t 是任意整数）。
这个定理也可以用代入法来证明，即将 x,y 的通解代入原方程，验证是否成立。
综上所述，我们可以用以下的步骤来证明一个二元一次方程有整数解：
1. 用辗转相除法求出 a,b 的最大公约数 g，并判断是否能够整除 c。
2. 如果 g 能够整除 c，则方程有整数解；否则没有。
3. 如果方程有整数解，则用辗转相除法的逆过程求出一个特解 x0,y0。
4. 根据通解公式求出所有的通解 x,y。
方程整数解问题
方程整数解问题 姓名 学号1. 因式分解法例1.求方程6=++y x xy 的整数解例2.求方程86822=-y x 的正整数解练习1.求方程x y xy -=-452的正整数解2. 变量分离法 引例1.若代数式14-a 是整数，则整数a 的取值为 若代数式14-a 是正整数，则整数a 的取值为 例3.求方程7)(2+=+xy y x 的正整数解练习2.已知方程7753+=-y x xy ，y x ，为整数，则满足条件得所有对（x ，y ）的组数为3. 选取主元法（△法）例4. 已知015132)83(2222=+-+--a a x a a x a （其中a 为非负整数）至少有一整数根，则a =変题1.若两个实根都是整数，则a =変题2.若a 是整数，则a =例5. 设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，求满足条件的所有整数k 的值。
変题1.若改整数k 为实数，则k 的值又如何。
例6. 设m 为整数，且404<<m ，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的整数根。
例7.已知方程0)3(22=++-k x k x 的根都是整数，求整数k 的值及方程的根。
例8. 当x 为何有理数时，代数式22392-+x x 的值恰为两个连续的正偶数的乘积。
例8. 求方程03042222=---+x xy y x 的有理数解的个数 变题1.若改有理数解为正整数解，则解的个数有几个。
练习3.求3534322=+-y xy x 的正整数解练习4.已知k 为正整数，关于x 的一元二次方程)1(102-=++k k x x 有一个正整数根，求这个正整数根及k 的值练习5.一直角三角形的两条直角边长为整数，且满足关于x 的方程04)2(2=++-m x m x ，试求m 的值及此直角三角形的三边的长。
求二元一次方程的整数解
求二元一次方程的整数解例：求二元一次方程3x + 4y = 18 的正整数解。
思路：利用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的方法，可以求出方程有正整数解时x、y的取值范围，然后再进一步确定解。
解：用含x的代数式表示y: y = 9/2 – (3/4)x 用含y的代数式表示x: x = 6 – (4/3)y 因为是求正整数解，则：9/2 – (3/4)x > 0 , 6 – (4/3)y > 0所以，0 < x < 6 ,0 < y < 9/2所以，当y = 1时，x = 6 – 4/3 = 14/3 ,舍去; 当y = 2时，x = 6 – 8/3 = 10/3 ，舍去;当y = 3时，x = 6 – 12/3 = 2 , 符合; 当y = 4时，x = 6 – 16/3 = 2/3 ，舍去。
所以，3x + 4y = 18 的正整数解为：x = 2y = 3再例：①、如果x = 3 是方程组的解，求a-b 的值。
ax - 2y = 5 y = - 1 2x + by = 3 ax + 5y = 15,①②、甲、乙两人共解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到的方程组的解4x - by = -2,②为乙看错了方程②中的b，得到的方程组的解为x = 5, 试计算a^2009 + x = - 3, y = - 1, (-b/10)^2010的值。
y = 4,二元一次方程组的解法——消元(整体思想就是：消去未知数，化“二元”为“一元”)1、代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
注：代入法解二元一次方程组的一般步骤为：①、从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来;②、将变形后的关系式代入另一个方程(不能代入原来的方程哦!)，消去一个未知数，得到一个一元一次方程;③、解这个一元一次方程，求出一个未知数的值;④、将求得的未知数的值代入变形后的关系式(或原来的方程组中任一个方程)中，求出另一个未知数的值; ⑤、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。
数学竞赛中方程整数解的实用求法
数学竞赛中方程整数解的实用求法1 不定方程的整数解一般地，不定方程有无数组解. 但是，若加上限制条件如整数解等，就可以求出确定的解. 由于含参数的方程的整数解多能转化为不定方程求解，所以先讲不定方程整数解的求法.常用的有下述三种方法.1.1 因式分解法这是最常用的方法，它适用于一边可以分解因式，另一边为常数的方程. 根据是正整数的惟一分解定理：每一个大于1的正整数都可以惟一地分解成素数的乘积. 方法是分解常数后构造方程组求解.例1 求方程xy ＋x ＋y ＝6的整数解.(1996，湖北省黄冈市初中数学竞赛)解：方程两边加上1，得xy ＋x ＋y ＋1＝7.左边＝(x ＋1)(y ＋1)，右边＝1×7＝(－1)×(－7).故原方程的整数解由下列方程组确定：⎩⎨⎧++；＝，＝7111y x ⎩⎨⎧++；＝，＝1171y x ⎩⎨⎧++；＝－，＝－7111y x ⎩⎨⎧++.1171＝－，＝－y x 解得⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧.2882066044332211＝－，＝－；＝－，＝－；＝，＝；＝，＝y x y x y x y x 1.2 选取主元法有些含有二次项的不定方程，可以选取其中的某一变量为主元，得到关于主元的二次方程，再用根的判别式△≥0定出另一变量的取值范围，在范围内选出整数值回代得解.例2 求方程7322＝y xy x y x +-+的所有整数解. (第十二届全俄数学竞赛)解：以x 为主元，将方程整理为3x 2－(3y ＋7)x ＋(3y 2－7y)＝0因x 是整数，则△＝［－(3y ＋7) ］2－4×3（3y 2－7y ）≥0 ⇒931421-≤y ≤931421+ ⇒整数y ＝0，1，2，3，4，5.将y 的值分别代入原方程中计算知：只有y ＝4或5时，方程才有整数解，即x 1＝5，y 1＝4；x 2＝4，y 2＝5. 1.3 整式分离法当分式中分子的次数不小于分母的次数时，可将分子除以分母，把整式(即所得商式)分离出来.若所得余式为常数，则用倍数约数分析法求解较容易；若余式不是常数，则可以根据实际情况构造二次方程，选取原先变量为主元求解.例3 题目同例1.解：用含y 的式子表示x ，得x ＝16+-y y . 分离整式得x ＝－1＋17+y . 因x 为整数，则17+y 为整数.故y ＋1为7的约数，y ＋1＝±1，±7.(笔者注：这种思考方法就是倍数约数分析法)得y ＝0，－2，6，－8.进而x ＝6，－8，0，－2.2 含参数的二次方程的整数解这类整数根问题，近年考查最频繁.实用思考途径有下列四种.2.1 途径一：从判别式入手因为一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0在△＝b 2－4ac ≥0时有根x ＝ab 2∆±-，所以要使方程有整数根，必须△＝b 2－4ac 为完全平方数，并且－b ±∆为2a 的整数倍.这是基本思想.常用方法如下.1. 当△＝b 2－4ac 为完全平方式时，直接求方程的解，然后解不定方程.例4 已知方程a 2x 2－(3a 2－8a )x ＋2a 2－13a ＋15＝0(其中a为非负整数)至少有一个整数根.那么，a ＝_________.(1998，全国初中数学竞赛)解：显然a ≠0.故原方程为关于x 的二次方程.△＝[－(3a 2－8a )]2－4a 2(2a 2－13a ＋15)＝[a (a ＋2)]2是完全平方式.故x ＝222)2()83(aa a a a +±- 即 x 1＝a a 32-＝2－a 3，x 2＝a a 5-＝1－a5. 从而，由倍数约数分析法知a ＝1，3或5.2. 当△＝b 2－4ac ≥0且不是完全平方式时，一般有下列三种思考途径.(1)利用题设参数的范围，直接求解.例5 设m ∈Z ，且4＜m ＜40,方程x 2－2(2m －3)x ＋4m 2－14m＋8＝0有两个整数根.求m 的值及方程的根.解：因方程有整数根，则△＝[－2(2m －3)]2－4(4m 2－14m ＋8)＝4(2m ＋1)为完全平方数.从而，2m ＋1为完全平方数.又因m ∈Z 且4＜m ＜40,故当m ＝12或24时，2m ＋1才为完全平方数.因为x ＝(2m －3)±12+m ，所以，当m ＝12时，x 1＝16，x 2＝26；当m ＝24时，x 3＝38，x 4＝52.(2)先用△≥0求出参数的范围.例6 已知方程x 2－(k ＋3)x ＋k 2＝0的根都是整数.求整数k的值及方程的根.解：△＝[－(k ＋3)]2－4k 2＝－3k 2＋6k ＋9≥0⇒k 2－2 k －3≤0⇒－1≤k ≤3 ⇒整数k ＝－1，0，1，2，3.由求根公式知x ＝2)3(∆±+k ，故 当k ＝－1时，△＝0，x ＝1；当k ＝0时，△＝9，x ＝0或3；当k ＝1时，△＝12不是完全平方数，整根x 不存在；当k ＝2时，△＝9，x ＝1或4；当k ＝3时，△＝0，x ＝3.因此，k ＝－1，0，2，3，x ＝1，0，3，4.(3)设参数法，即设△＝k 2.当△＝k 2为关于原参数的一次式时，用代入法；当△＝k 2为关于原参数的二次式时，用分解因式法.例7 当x 为何有理数时－代数式9x 2＋23x －2的值恰为两个连续正偶数的乘积？(1998，山东省初中数学竞赛)解：设两个连续正偶数为k ﹑k ＋2.则9x 2＋23－2＝k (k ＋2),即 9x 2＋23－( k 2＋2k ＋2)＝0.由于x 是有理数，所以判别式为完全平方数，即△＝232＋4×9(k 2＋2 k ＋2)＝565＋[6(k ＋1)]2令△＝p 2(p ≥0)，有p 2－[6(k ＋1)]2＝565＝113×5＝565×1.左边＝[p ＋6(k ＋1)][ p －6(k ＋1)]，p ≥0，k ＞0，得）（＝＝1,5)1(6,113)1(6⎩⎨⎧+-++k p k p 或 )2(,1)1(6,565)1(6⎩⎨⎧+-++＝＝k p k p 解(1)得k ＝8，于是，x ＝2或－941； 解(2)得k ＝46，于是，x ＝－17或9130.总之，当x ＝2，－941或x ＝－17，9130时. 9x 2＋23x －2恰为两正偶数8和10，或者46和48的乘积. 2.2 途径二：从韦达定理入手1. 从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程.例8 a 是大于零的实数，已知存在惟一的实数k ，使得关于x 的二次方程x 2＋(k 2＋ak )x ＋1999＋ k 2＋ ak ＝0的两个根均为质数. 求a 的值.(1999，全国初中数学联赛)解：设方程的两个质数根为p ﹑q . 由根与系数的关系，有p ＋q ＝－(k 2＋ak )，①pq ＝1 999＋k 2＋ak .②①＋②，得 p ＋q ＋pq ＝1 999则(p ＋1)(q ＋1)＝24×53.③由③知，p 、q 显然均不为2，所以必为奇数.故21+p 和21+q 均为整数，且2121+⋅+q p ＝22×53. 若21+p 为奇数，则必21+p ＝5r (r ＝1，2，3)，从而，p ＝2×5r －1为合数，矛盾. 因此，21+p 必为偶数.同理，21+q 也为偶数.所以，21+p 和21+q 均为整数，且4141+⋅+q p ＝53. 不妨设p ≤q ，则41+p ＝1或5. 当41+p ＝1时，41+q ＝53，得p ＝3，q ＝499，均为质数.当41+p ＝5时，41+q ＝52，得p ＝19，q ＝99，q 为合数，不合题意.综上可知，p ＝3，q ＝499.代入①得k 2＋ak ＋502＝0. ④依题意，方程④有惟一的实数解.故△＝a 2－4×502＝0.有a ＝25022.利用“两根为整数时，其和、积必为整数”.例9 求满足如下条件的整数k ，使关于x 的二次方程(k －1)x 2＋( k －5) x ＋k ＝0的根都是整数.解：设方程的两根为x 1﹑x 2.则x 1＋ x 2＝－15--k k ＝－1＋14-k ， x 1 x 2＝1-k k ＝1＋11-k ， 且 x 1＋x 2和x 1 x 2都是整数.从而，14-k 和11-k 都是整数. 于是，k －1为4和1的约数.故k －1＝±1⇒ k ＝0或2.检验知，k ＝0或2时，方程的两根均为整数.所以，k ＝0或2. 2.3 途径三：联想二次函数因为一元二次方程与二次函数联系密切，所以适时地借助二次函数知识解决方程问题，往往十分奏效.例10 已知b ，c 为整数，方程5x 2＋bx ＋c ＝0的两根都大于－1且小于0.求b 和c 的值.(1999，全国初中数学联赛)解：根据二次函数y ＝5x 2＋bx ＋c 的图像和题设条件知：当x ＝0时，5x 2＋bx ＋c ＞0，有c ＞0；①当x ＝－1时，5 x 2＋bx ＋c ＞0，有b ＞5＋c .②因抛物线顶点的横坐标－52⨯b 满足1－＜－52⨯b ＜0，则0＜b ＜10.③又因△≥0，即b 2－20c ≥0,故b 2≥20c.④由①、③、④得100＞b 2≥20c ，c ＜5.若c ＝1，则由②、④得0＜b ＜6且b 2≥20,得b ＝5；若c ＝2，则0＜b ＜7且b 2≥40，无整数解；若c ＝3，则0＜b ＜8且b 2≥60，无整数解；若c ＝4，则0＜b ＜9且b 2≥80，无整数解.故所求b 、c 的值为b ＝5，c ＝1.2.4 途径四：变更主元法当方程中参数的次数相同时，可考虑以参数为主元求解.例11 试求所有这样的正整数a ，使方程ax 2＋2(2a －1)x ＋4(a －3)＝0至少有一个整数解.(第三届祖冲之杯数学竞赛)解： 因为方程中参数a 是一次，所以可将a 用x 表示，即a ＝2)2()6(2++x x . ①又a 是正整数，则2)2()6(2++x x ≥1. 解得－4≤x ≤2且x ≠－2.故x ＝－4,－3,－1,0,1,2.分别人入①得a ＝1,3,6,10.3 其他类型3.1 分类讨论型当方程中最高次项的系数含有变参数时，应先分系数为0或不为0讨论.例12 求使关于x 的方程kx 2＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数的k 值.(第十三届江苏省初中数学竞赛)解：分k ＝0和k ≠0两种情况讨论.当k ＝0时，所给方程为x －1＝0，有整数根x ＝1.当k ≠0时，所给方程为二次方程.设两个整数根为x 1和x 2,则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--=+-=+②① .111,1112121k k k x x k k k x x 由①－②得x 1＋x 2－x 1x 2＝－2⇒(x 1－1)(x 2－1)＝3.＝1×3＝(－1)×(－3).有⎩⎨⎧=-=-;31,1121x x ⎩⎨⎧-=--=-;31,1121x x ⎩⎨⎧=-=-;11,3121x x ⎩⎨⎧-=--=-.11,3121x x 故x 1＋x 2＝6或x 1＋x 2＝－2，即 －1－k 1＝6或－1－k1＝－2. 解得k ＝－71或k ＝1. 又△＝(k ＋1)2－4k (k －1)＝－3k 2＋6k ＋1，当k ＝－71或k ＝1时，都有△＞0. 所以，满足要求的k 值为k ＝0，k ＝－71，k ＝1. 3.2 数形结合型当问题是以几何形式出现，或容易联想到几何模型的时候，可考虑用数形结合法.这是一种极为重要的解题方法，它具有形 象直观的特点，可使许多问题获得巧解. 例13 以关于m 的方程m 2＋(k －4)m ＋k ＝0整数根为直径作⊙O.P 为⊙O 外一点，过P 作切线PA 和割线PBC ，如图1，A 为切点.这时发现PA 、PB 、PC 都是整数，且PB 、BC 都不是合数，求PA 、PB 、PC 的长. 解： 设方程两根为m 1、m 2则图1⎩⎨⎧=-=+②① .,42121k m m k m m 又设PA ＝x ，PB ＝y ，BC ＝z ，则x ﹑y ﹑z 都是正整数.由切割线定知PA 2＝PB •PC ＝PB (PC ＋BC )，即 x 2＝y 2＋yz ⇒(x ＋y )(x －y )＝yz . ③ 消去①和②中的k ，得m 1m 2＝4－m 1－m 2.整理分解，得(m 1＋1)(m 2＋1)＝5.因为⊙O 的直径是方程的最大整数根，不难求得最大整根m ＝4.进而，z ＝BC ≤4.又正整数z 不是合数，故z ＝3，2，1. 当z ＝3时，(x ＋y )(x －y )＝3y ，有⎩⎨⎧=-=+;,3y y x y x ⎩⎨⎧=-=+;3,y x y y x ⎩⎨⎧=-=+.1,3y x y y x 可得适合题意的解为x ＝2，y ＝1.当z ＝1和z ＝2时，没有适合题意的解， 所以，PA ＝x ＝2，PB ＝y ＝1，PC ＝y ＋z ＝4.3.3 综合探索型当已知方程不止一个或结论不明确时，常用综合分析、假设探索法求解.例14 已知关于x 的方程4x 2－8nx －3n ＝2和x 2－(n ＋3)x －2n 2＋2＝0.问是否存在这样的n 的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n 值；若不存在，请说明理由.(2000，湖北省初中数学选拔赛)解： 由△1＝(－8n )2－4×4×(－3n －2)＝(8n ＋3)2＋23＞0，知n 为任意实数时，方程(1)都有实数根.设第一个方程的两根为βα、.则α＋β＝2n ，αβ＝42n 3--. 于是，(βα-)2＝(βα+)2－4αβ＝4n 2＋3n 2＋2.由第二个方程得[x －(2n ＋2)][x ＋(n －1)]＝0解得两根为x 1＝2n ＋2，x 2＝－n ＋1.若x 1为整数，则4n 2＋3n ＋2＝2n ＋2.于是n 1＝0，n 2＝－41. 当n ＝0时，x 1＝2是整数；n ＝－41时，x ＝23不是整数，舍去.若x 2为整数，则4n 2＋3n ＋2＝1－n .有n 3＝n 4＝－21.此时x 2＝23不是整数，舍去. 综合上述知，当n ＝0时，第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根.练 习 题1. 设a 为整数. 若存在整数b 和c ，使(x ＋a)(x －15)－25＝(x ＋b )(x ＋c )，则a 可取的值为_________(1998，上海市鹏欣杯数学竞赛)(提示：变形后用因式分解法. a ＝9，－15，－39)2. 设关于x 的二次方程(k 2－6k ＋8)x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋k 2＝4的两根都是整数. 求满足条件的所有实数k 的值.(2000，全国初中数学联赛)(提示：求出二根x 1＝－1－42-k ，x 2＝－1－24-k ，从中消去k 得x 1x 2＋3x 1＋2＝0，分解得x 1(x 2＋3)＝－2.借助方程组得k ＝6，3，310) 3. 求所有的正整数a 、b 、c ，使得关于x 的方程x 2－3ax ＋2b ＝0，x 2－3bx ＋2c ＝0，x 2－3cx ＋2a ＝0的所有的根都是正整数. (2000，全国初中数学联赛)(提示：从根与系数的关系入手，结合奇偶性分析，得a ＝b ＝c ＝1.)4. 已知方程：x 2＋bx ＋c ＝0及x 2＋cx ＋b ＝0分别各有二整数根x 1、x 2及x ’1、x ’2，且x 1x 2＞0，x ’1x ’2＞0.(1)求证：x 1＜0，x 2＜0，x ’1＜0，x ’2＜0.(2)求证：b －1≤c ≤b ＋1.(3)求b 、c 的值.(1993，全国初中数学竞赛)(答案：b ＝5，c ＝6或b ＝6，c ＝5.)5.x 、y 为正整数，100111=-y x .则y 的最大值为_________. (1998，重庆市初中数学竞赛)(提示：用因式分解法，结果为9 900.)6.k 为什么整数时，方程(6－k )(9－k )x 2－(117－15k )x ＋54＝0的解都是整数？(1995，山东省初中数学竞赛)(提示：对系数(6－k )(9－k )分为0与不为0讨论，得k 值为3，6，7，9，15.)一元二次方程的整数根问题(本讲适合初中)迄今为止，尚未找到使得整系数一元二次方程有整数根的充分条件，通常的方法都是通过讨论其判别式，利用根与系数的关系进行分析和归纳，即使用必要条件解题，然后通过检验确定答案.下面举例说明常用的几种方法，并指出每种方法适合的范围.整系数一元二次方程有整数根的必要条件：(1)两个根都是整数；(2)判别式是整数；(3)判别式是整数的完全平方；(4)两根和是整数，两根积是整数.例1 设方程mx 2－(m －2)x ＋m －3＝0有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程的所有整数解.分析：若m ＝0，则2x －3＝0，此时方程无整数解；当m ≠0时，考察△＝－3m 2＋8m ＋4，注意到二次项系数为负，方程有解，则－3m 2＋8m ＋4≥0. 解得3724-≤m ≤3724+.+ 因为m 是整数，故只能取1，2，3.当m ＝1时，方程有解：－2和1；当m ＝2时，方程无整数解：当m ＝3时，方程有整数解：0.注：当判别式二次系数为负时，解不等式得关于参数的一个有限长区间，又因为参数为整数，可以讨论得解.例2 当x 为何有理数时，代数式9x 2＋23x －2的值恰好为两个连续的偶数积.(1998，山东省初中数学竞赛)分析：设两个连续的偶数为n ，n ＋2，问题转化为：当n 为何值时，方程9x 2＋23x －2＝n (n ＋2)有有理数根.有理根问题本质上也是整数根的问题，要求方程的根的判别式必须为一个整数或有理数的完全平方.考察判别式△ ＝232＋36(n 2＋2n ＋2)＝36(n ＋1)2＋565.由于n 是整数，所以判别式应为整数的完全平方.设36(n ＋1)2＋565＝m 2(m 为大于565的自然数). 移项因式分解，得(m ＋6n ＋6)(m －6n －6)＝1×5×113.只有⎩⎨⎧=--=++566,11366n m n m或 ⎩⎨⎧=--=++.166,56566n m n m 解得n ＝8，或n ＝46.分别代入原方程得方程有理数解为－941，2或9130，－17. 注：当判别式为关于某一参数的二次式，且二次项系数为正时，可采用配方法变形为：ƒ2(α) ＋常数(α是整数).然后采用例1的方法，通过分析得解.例3 求一实数p ，使用三次方程5x 3－5(p ＋1)x 2＋(71p －1)x＋1＝66p 的三个根均为自然数.(1995，全国高中数学联赛)分析：观察可知，1是方程的解，方程可转化为(x －1)(5x 2－5px ＋66p －1)＝0问题转化为：求一切实数p 使方程5x 2－5px ＋66p －1＝0的解为自然数.由韦达定理知，p 为方程两根之和，即p 是自然数.仿例2得△＝(5p －132)2－17 404.设(5p －132)2－17 404＝n 2(n ＞0，n 为自然数).移项分解可得(5p －132＋n)(5p －132－n)＝22×19×229.又(5p －132＋n)，(5p －132－n)同奇偶，所以，⎩⎨⎧⨯=--⨯=+-.1921325,22921325n p n p 解得p ＝76.注：从表面上看，此题中的p 是一切实数，但由韦达定理判断它实际上是自然数，故可采用前法求得.例4 设m 为整数，且4＜m ＜40，又方程x 2－2(2m －3)x ＋4m 2－14m ＋8＝0有两个整数根.求m 的值及方程的根.(1993,天津市初中数学竞赛)分析：考察判别式△＝4(2m ＋1)，因是关于m 的一次式，故例1，例2的方法均不可用.由已知4＜m ＜40，可知9＜2m ＋1＜81.为使判别式为完全平方数，只有2m ＋1＝25或2m ＋1＝49. 当2m ＋1＝25时，m ＝12，方程两根分别为16，26； 当2m ＋1＝49时，m ＝24，方程两根分别为38，52. 注：当判别式不是二次式时，可结合已知条件通过讨论得出参数的范围，进而求解；当判别式较复杂时，则应改用其他办法，参见例5.例5 α是大于零的实数，已知存在惟一的实数k ，使得关于x 的方程x 2＋(k 2＋αk )x ＋1 999＋k 2＋αk ＝0的两根为质数.求α的值.(1999，全国初中数学联赛)分析：因为α、k 均为实数，判别式法不能解决.设方程两根为x 1、x 2，且x 1≤x 2，x 1、x 2均为质数，则⎪⎩⎪⎨⎧++=--=+.9991,221221k k x x k k x x αα 消掉参数得x 1＋x 2＋x 1x 2＝1 999，即 (x 1＋1)(x 2＋1)＝2 000＝24×53.显然，x 1≠2. 于是，x 1＋1，x 2＋1都是偶数且x 1＋1≤x 2＋1.故只有如下可能：⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+=+;521,2132221x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+=+;521,213231x x ⎩⎨⎧⨯=+⨯=+;521,5212321x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+;521,52122221x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+22221521,521x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+.521,5212231x x 符合题意的只有⎩⎨⎧==.499,321x x 于是，3＋499＝－k 2－αk .因为存在惟一的k ，故方程k 2＋αk ＋502＝0有两等根.判别式△＝α2－4×502＝0，解得α＝2502.注：应用韦达定理的关键在于消去参数，首先求得方程的解，在消去参数之后，要注意因式分解的使用.例6 设关于x 的二次方程(k 2－6k ＋8)﹒x 2＋(2k 2－6k －4)x＋k 2＝4的两根都是整数.求满足条件的所有实数k 的值.(2000，全国初中数学联赛)分析：方程的表达式比较复杂，判别式法和韦达定理均不可用.将原方程变形得(k －2)(k －4)x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋(k －2)(k ＋2)＝0.分解因式得[(k －2)x ＋k ＋2][(k －4)x ＋k －2]＝0.显然，k ≠2，k ≠4.解得x 1＝－42--k k , x 2＝－22-+k k .消去k 得x 1x 2＋3x 2＋2＝0∴ x 2(x 1＋3)＝－2.讨论得⎩⎨⎧=+-=;13,212x x或⎩⎨⎧-=+=;13,221x x 或⎩⎨⎧-=+=.23,121x x 解x 1、x 2，代入原式得k 值为6，3，310. 注：当判别式与韦达定理均难解决时，这时反而意味着可用因式分解法求出方程的根，然后再整理转化. 例7 设α为整数，若存在整数b 和c ，使得(x ＋α)(x －15)－25＝(x ＋b )(x ＋c )成立，求α可取的值.(1998，上海市初中数学竞赛)分析：此题可转化为：当α为何值时，方程(x ＋α)(x －15)－25＝0有两个整数根.方程可化为x 2－(15－α)x －15α－25＝0视其为关于α的一次方程，整理得α(x －15)＝－x 2＋15x ＋25.易知x ≠15，∴α＝1525152-++-x x x ＝－x ＋1525-x .注：此解法为分离参数法，它适合于参数与方程的根均是整数，且参数较易于分离的情况.如此题变形为α＝ƒ(x )，然后利用函数的性质求解，这是一种应用较广泛的方法.上面只介绍了处理整数根问题的常用解法，这些解法的基本依据是：方程有整数根的必要条件. 基本方法是：(1)判别式讨论法(主要讨论由判别式决定的参数范围，由判别式为完全平方数求参数)；(2)韦达定理法；(3)判别式与韦达定理结合法；(4)分离参数法(通过分离参数，利用根为整数的条件讨论).需说明的是，每个题的解法都不是惟一的，本文所给的只是较简洁的一种.同学们在解题时，应因题而定方法，不断求新，才能领悟数学的美感.练习题1. 求满足如下条件的所有k 值，使关于x 的方程kx ＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数.(第十三届江苏省初中数学竞赛)(k ＝0，k ＝－71，k ＝1) 2. 关于x 的方程(m 3－2m 2)x 2－(m 3－3m 2－4m ＋8)x ＋12－4m ＝0的根均为整数，求实数m 的值.(提示：应用求根消参法，得m ＝1，或m ＝2.)3. 求所有正实数α，使方程x 2－αx ＋4α＝0仅有整数根. (1998，全国初中数学联赛)(提示：分离参数法. α＝42-x x ＝x ＋4＋416-x ，讨论得α＝25，或18，或16).4. 已知方程x 2＋bx ＋c ＝0及x 2＋cx ＋b ＝0分别各有两个整数根x 1、x 2及x ’1、x ’2，且x 1x 2＞0，x ’1x ’2＞0.①求证：x 1＜0，x 2＜0，x ’1＜0，x ’2＜0；②求证：b －1≤c ≤b ＋1；③求b 、c 所有可能的值.(1993，全国初中数学联赛)(提示：应用韦达定理，得⎩⎨⎧==65c b ⎩⎨⎧==56c b ⎩⎨⎧==44c b ) 5.某顾客有钱10元，第一次在商店买x 件小商品花去y 元，第二次再去买该小商品时，发现每打(12件)降价0.8元，他比第一次多买了10件，花去2元.问他第一次买的小商品是多少件？(x 、y 为正整数)(提示：列方程128.0102=+-x x y 问题转化为：y 为何值时，方程x 2＋(40－15y )x －150y ＝0有正整数解，利用判别式可求得x ＝5，或x ＝50.)。
二元一次方程的整数解专题讲解
二元一次方程的整数解专题讲解甲内容提要1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中，若a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。
即 如果（a,b ）|c 则方程ax+by=c 有整数解显然a,b 互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。
返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。
2， 二元一次方程整数解的求法：若方程ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。
k 叫做参变数。
方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解解：x=5111y -=y yy y 2515101--=-- (1) , 设k k y(51=-是整数），则y=1-5k (2) , 把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2∴原方程所有的整数解是⎩⎨⎧-=-=ky k x 51211（k 是整数）方法二，公式法：设ax+by=c 有整数解⎩⎨⎧==00y y x x 则通解是⎩⎨⎧-=+=ak y y bkx x 00（x 0,y 0可用观察法）3， 求二元一次方程的正整数解：① 出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值 ② 用观察法直接写出。
乙例题例1求方程5x －9y=18整数解的能通解解x=53235310155918yy y y y -++=-++=+ 设k y =-53（k 为整数），y=3－5k, 代入得x=9－9k ∴原方程整数解是⎩⎨⎧-=-=k y kx 5399 （k 为整数）又解：当x=o 时，y=－2，∴方程有一个整数解⎩⎨⎧-==20y x 它的通解是⎩⎨⎧--=-=ky yx 5290（k 为整数）从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。
三元一次不定方程的整数解例题
三元一次不定方程的整数解例题三元一次不定方程是指具有三个未知数和一次项的方程，其一般形式为ax + by + cz = d，其中a、b、c、d为整数，且至少存在一组整数解。
解决三元一次不定方程的整数解例题是探索整数解的有效方法之一。
本文将从实际例题入手，详细讨论三元一次不定方程的整数解例题，并给出解题思路和步骤。
例题1：解方程2x + 3y + 4z = 13。
解题思路：由于题目中未给出具体要求整数解的范围，我们可以先从整数区间较小的范围开始尝试，逐渐扩大范围来寻找整数解。
由于方程中的系数和常数项皆为正数，且已知方程有整数解，我们可以通过逐一遍历来寻找符合条件的整数解。
解题步骤： 1. 假设x的取值范围为0至6（根据后续计算结果决定是否需要扩大取值范围），逐一代入方程。
2. 根据方程，得到y = (13 - 2x - 4z) / 3。
3. 找出符合整数解条件的y和z的组合，同时满足y和z都为整数。
4. 根据计算结果，判断是否存在整数解。
若存在，则给出解的具体值。
通过计算得出的整数解为x = 3，y = 1，z = 2。
验证方程2x + 3y + 4z = 13，可以发现等式成立，因此该解为方程的整数解。
例题2：解方程5x + 8y + 10z = 57。
解题思路：同样地，我们先从整数区间较小的范围开始尝试，逐渐扩大范围来寻找整数解。
根据方程，我们可以发现系数5、8和10都是偶数，而常数项57也是奇数。
根据奇数与偶数相加的结果为奇数，并没有整除规律可循，因此我们需要更加细致的计算来找到解。
解题步骤： 1. 假设x的取值范围为0至9。
2. 根据方程，得出y = (57 - 5x - 10z) / 8。
3. 代入x和z 的取值范围，逐一计算y的可能取值。
4. 判断y是否为整数，若为整数则继续下一步骤，否则继续尝试下一组解。
5. 判断z是否为整数，若为整数则继续下一步骤，否则继续尝试下一组解。
特殊方程的正整数解
特殊方程的正整数解特殊方程是指一类形式为f(x,y)=k的方程，其中f是一些数论函数，k是一个常数。
正整数解是指方程的解中x和y都是正整数。
在数论中，有许多经典的特殊方程，其中一些具有非常有趣的性质。
下面我们将介绍其中三种常见的特殊方程，并给出它们的正整数解。
1.费马方程：费马方程是指形如x^n+y^n=z^n的方程，其中n是一个大于2的正整数。
这个方程最早是由数学家费马在17世纪提出的，直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯才证明了它的一个重要结论：当n大于2时，该方程没有正整数解。
2.佩尔方程：佩尔方程是指形如 x^2 - ny^2 = 1 的方程，其中 n 是一个正整数。
佩尔方程是由法国数学家佩尔在18世纪提出的，它的一个著名解是当n=3 时的解 (2, 1)。
实际上，佩尔方程有无穷多个正整数解，可以用基本解 (2, 1) 和递推公式 x(k+1) = 2x(k) + ny(k)，y(k+1) = x(k) +y(k) 来生成。
3.斯特恩-布洛卡迪方程：斯特恩-布洛卡迪方程是指形如 x^2 + ny^2 = z^2 的方程，其中 n是一个正整数。
斯特恩-布洛卡迪方程由德国数学家斯特恩和法国数学家布洛卡迪在19世纪提出，它的一个著名解是当 n=1 时的解 (3, 4, 5)。
和佩尔方程类似，斯特恩-布洛卡迪方程也有无穷多个正整数解，可以用基本解 (3, 4, 5) 和递推公式 x(k+1) = x(k) + 2ny(k)，y(k+1) =2x(k) + y(k)，z(k+1) = x(k) + y(k) + z(k) 来生成。
特殊方程的研究不仅仅局限于上述三种方程，还包括椭圆方程、模方程、齐次二次方程等等。
这些方程的正整数解涉及到了整数论、代数数论、模形式等多个数学领域的知识。
研究这些方程的正整数解，不仅帮助我们更好地了解其数学性质，也有助于解决其他数论问题和应用于密码学、编码理论等领域中。
聚焦一元二次方程的整数解问题
聚焦一元二次方程的整数解问题一元二次方程是一种形式为ax²+bx+c=0的二次方程，其中a、b、c为常数，且a≠0。
求解一元二次方程的整数解问题是数学中的一个重要课题。
在本文中，我们将讨论一元二次方程的整数解问题，并介绍一些解决这类问题的方法和技巧。
要解决一元二次方程的整数解问题，我们需要首先了解整数解的概念。
在数学中，整数解指的是使方程成立的整数。
对于一般的一元二次方程，它可能有零个、一个或两个不同的整数解。
我们可以通过因式分解、配方法、求根公式等多种方法来求解一元二次方程，但是对于整数解问题，我们需要特别注意解的整数性。
对于一般的一元二次方程ax²+bx+c=0，为了求解其整数解，可以通过观察其因式分解的形式来选择适当的方法。
首先，我们可以先对系数进行约定，确保a、b、c都是整数。
然后，我们可以考虑方程的因式分解的形式，如(x+d)(x+e)=0，其中d、e为整数。
如果方程确实可以表示为这种形式，那么我们可以利用因式分解的性质来求解。
具体地，当我们观察到方程的系数b和c满足b=-(d+e)和c=de时，我们可以得到(x+d)(x+e)=0的形式。
这时，我们就可以通过考察d和e的不同组合来找到使方程成立的整数解。
我们可以通过列举d和e的可能取值来尝试求解整数解。
例如，当c=6时，我们可以通过列出所有的因子对(1,6)(2,3)(-1,-6)(-2,-3)来尝试求解。
此外，我们还可以通过配方法来求解一元二次方程的整数解问题。
配方法的核心思想是通过添加适当的常数项将方程转化为一个可以因式分解的形式。
具体地，我们可以根据方程的系数来求得配方法的加法因子，然后将方程转化为完全平方的形式。
例如，对于方程x²+9x+18=0，我们可以观察到18=3*6、为了使方程的系数能够与3和6相加，我们可以在方程中添加3²-3²=0这一恒等式，并将方程转化为(x+3)²-9=0的形式。
一元一次方程整数解问题
一元一次方程整数解问题一元一次方程是初中数学中的基础知识，它是解决实际问题的基础。
在解一元一次方程时，我们通常需要求出方程的解集，而当方程的系数和常数都是整数时，我们就需要考虑整数解的问题。
一、整数解的定义所谓整数解，就是指方程的解集中只包含整数。
例如，方程2x+1=5就有整数解x=2，因为x=2是方程的唯一解，且x是整数。
二、整数解的判定对于一元一次方程ax+b=c，其中a、b、c均为整数，我们可以通过以下方法来判定它是否有整数解：1. 如果a=0且b≠c，则方程无解；2. 如果a=0且b=c，则方程有无数个解，即x∈Z；3. 如果a≠0且a不能整除b-c，则方程无整数解；4. 如果a≠0且a能整除b-c，则方程有唯一的整数解，即x=(b-c)/a。
三、整数解的求解对于一元一次方程ax+b=c，其中a、b、c均为整数，如果方程有整数解，我们可以通过以下方法来求解：1. 如果a=0且b=c，则方程有无数个解，即x∈Z；2. 如果a≠0且a能整除b-c，则方程有唯一的整数解，即x=(b-c)/a；3. 如果a≠0且a不能整除b-c，则方程无整数解。
四、整数解的应用一元一次方程的整数解在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在商场促销活动中，我们常常会遇到“满减”优惠，即满一定金额后可以减去一定金额。
如果我们设购物金额为x元，优惠金额为y元，满减条件为x≥100且y=20，则可以列出一元一次方程x-20=100，解得x=120，即购物金额至少为120元才能享受优惠。
另外，一元一次方程的整数解还可以用于解决分配问题。
例如，某公司有100个任务需要分配给10个员工完成，每个员工完成的任务数不同，但总任务数必须为100。
如果我们设第i个员工完成的任务数为xi，则可以列出一元一次方程x1+x2+...+x10=100，其中xi为整数。
通过求解这个方程，我们可以得到每个员工应完成的任务数，从而实现任务的合理分配。
综上所述，一元一次方程的整数解问题是初中数学中的基础知识，它在实际问题中有着广泛的应用。
初中数学 什么是方程的解的特殊情况
初中数学什么是方程的解的特殊情况方程的解的特殊情况是指在解的类型中具有特殊性质或特殊取值的情况。
在初中数学中，我们遇到的一些特殊情况包括无解、唯一解、恒等解、无穷多解、有理数解、整数解、正数解和正整数解等。
下面，我们将详细讨论这些方程解的特殊情况。
一、无解无解是指方程无法找到使其成立的解的情况。
在一元一次方程中，无解的情况发生在以下两种情况下：1. 系数为零，常数项不等于零的情况。
例如，方程0x + 3 = 0，由于0乘以任何数都等于0，所以无论x取什么值，方程都无法成立。
2. 系数相等，常数项不相等的情况。
例如，方程2x + 3 = 2x + 5，由于等式两边的系数相等，但常数项不相等，所以无论x取什么值，方程都无法成立。
无解的情况在实际问题中也是存在的，例如，两条平行直线的方程就是无解的。
二、唯一解唯一解是指方程存在且只存在一个解的情况。
在一元一次方程中，唯一解的情况发生在以下两种情况下：1. 系数不为零，常数项为零的情况。
例如，方程2x = 0，由于任何数乘以零都等于零，所以只有x = 0是方程的解。
2. 系数不相等，常数项不相等的情况。
例如，方程2x + 3 = 2x + 3，由于等式两边的系数和常数项都相等，所以方程只有一个解，即x可以取任何实数。
唯一解的情况在实际问题中也是常见的，例如，两条直线相交于一个点的方程就是唯一解的。
三、恒等解恒等解是指方程对于任何数都成立的情况。
在一元一次方程中，恒等解的情况发生在以下两种情况下：1. 系数为零，常数项为零的情况。
例如，方程0x = 0，由于任何数乘以零都等于零，所以方程对于任何数都成立。
2. 系数相等，常数项相等的情况。
例如，方程2x + 3 = 2x + 3，由于等式两边的系数和常数项都相等，所以方程对于任何数都成立。
恒等解的情况在实际问题中也是存在的，例如，两条直线重合的方程就是恒等解的。
四、无穷多解无穷多解是指方程存在无限个解的情况。
一元二次方程的整数解
一元二次方程的整数解解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略：1、从求根入手，求出根的有理表达式，利用整数求解，形成12()()0x x x x --=的形式；2、从判别式入手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数（设2k ∆=），通过穷举，逼近求解3、从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因式分解求解。
4、从变换主元入手，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解。
注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关。
1、若关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数，求符合条件的整数k 的值。
2、已知a 、b 为质数且是方程2130x x c -+=的根，求a b b a+的值。
3、试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程2(2)10rx r x r +++-=有根且只有整数根。
4、当m 为整数时，关于x 的方程2(21)(21)10m x m x --++=是否有有理根？如果有求出m 的值；如果没有，请说明理由。
5、已知a 是正整数，如果关于x 的方程3(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根。
6、若关于x 的方程222(3)(13)0ax a x a --+-=至少有一个整数根，求非负整数a 的值。
解析：①当0a ≠时，变换主元得到2136(1)x a x -=-，此时1a ≥，则21361(1)x x -≥-，得到 (6)(2)0x x ++≤解得62x -≤≤且1x ≠，因为至少有一个x 的值为整数，则这个整数x 的值可能为6-、5-、4-、3-、2-、1-、0、2，②当0a =时，136x =（舍）课后作业1、已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的跟都是整数，求符合条件的所有整数a 。
二元一次方程组的整数解
第四讲 二元一次方程（组）的整数解学习目标：1、理解二元一次方程整数解存在的条件2、掌握二元一次方程整数解的求法一、知识回顾1、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中，若a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。
即如果（a,b ）|c 则方程ax+by=c 有整数解，显然a,b 互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x －2y=7, 9x+3y=6都有整数解。
反过来也成立，方程9x+3y=10和 4x －2y=1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。
2二元一次方程整数解的求法：若方程ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。
k 叫做参变数。
方法一：整除法：求方程5x+11y=1的整数解解：x=5111y -=y y y y 2515101--=-- (1) , 设k k y (51=-是整数），则y=1－5k (2) , 把（2）代入（1）得x=k －2(1－5k)=11k －2∴原方程所有的整数解是⎩⎨⎧-=-=ky k x 51211（k 是整数） 方法二：公式法： 设ax+by=c 有整数解⎩⎨⎧==00y y x x 则通解是⎩⎨⎧-=+=ak y y bk x x 00（x 0,y 0可用观察法） 3、 求二元一次方程的正整数解：i.求出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值 ii. 用观察法直接写出。
二、例题辨析例1、我们知道方程2312x y +=有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解。
例：由2312x y +=，得1222433x y x -==-，（x 、y 为正整数） 01220x x >⎧∴⎨->⎩则有06x <<. 又243y x =-为正整数，则23x 为正整数. 由2与3互质，可知：x 为3的倍数，从而3x =，代入2423y x =-=. 2312x y ∴+=的正整数解为32x y =⎧⎨=⎩问题：（1）请你写出方程25x y +=的一组正整数解：（2）若62x -为自然数，则满足条件的x 值有 个 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5（3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？变式练习：求方程的正整数解：5x+7y=87；例2、求方程5x+6y=100的正整数解变式练习：求11x+15y=7的整数解．例3、甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？。
三元一次不定方程的整数解
三元一次不定方程的整数解
三元一次不定方程指的是形如ax+by+cz=d的方程，其中a、b、c、d为已知整数，而x、y、z为未知整数。
解决这个方程就是要找到x、y、z的整数解。
对于一个三元一次不定方程，要求其整数解，需要先判断其是否有解。
如果有解，那么可以使用欧几里得算法来求解。
具体来说，通过求a、b、c的最大公因数gcd(a, b, c)，判断是否能被d整除。
如果能被整除，那么就有整数解。
否则，无解。
如果有解，可以使用扩展欧几里得算法来求解。
这个算法可以求出关于a、b、c的贝祖等式ax + by + cz = gcd(a, b, c)的解，然后通过乘以d/gcd(a, b, c)来得到关于原方程的解。
具体来说，可以先求出gcd(a, b, c)以及一组解(x0, y0, z0)，然后根据贝祖等式的性质，得到ax0 + by0 + cz0 = gcd(a, b, c)的所有解，然后乘以d/gcd(a, b, c)即可得到原方程的所有解。
需要注意的是，对于三元一次不定方程的整数解，往往有多组解。
因此，在求解时需要注意判断是否得到了所有解。
- 1 -。
一元三次方程有整数解
一元三次方程有整数解一元三次方程是指形如ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的方程，其中a、b、c和d都是整数，且a ≠ 0。
这篇文章将探讨一元三次方程有整数解的情况。
我们来看一元三次方程的一般形式。
对于任意给定的整数a、b、c 和d，我们可以通过求解方程来确定方程的解。
解方程的方法有很多种，其中一种常用的方法是代数方法，即通过代数运算将方程化简为更简单的形式。
当然，并不是所有的一元三次方程都有整数解。
有一些特殊的情况下，方程可能没有整数解或者只有一个整数解。
但是，在某些特定条件下，一元三次方程可以有整数解。
我们考虑方程的系数a、b、c和d的取值范围。
由于题目要求系数为整数，所以我们只需要考虑整数解的情况。
假设方程有整数解x = p，那么根据方程的定义，我们可以得到以下等式：ap^3 + bp^2 + cp + d = 0由于p是整数，所以方程右边的值也必须是整数。
因此，我们可以得出结论：方程的系数a、b、c和d必须是同时满足整数解的条件。
接下来，我们来考虑方程的解的个数。
根据代数学的基本原理，一元三次方程在复数域上一定有三个根（包括重根）。
但是，我们只关注方程的整数解。
根据整数解的定义，整数解是指方程的解是整数的情况。
所以，对于一元三次方程来说，整数解的个数可能是0、1、2或3个。
下面，我们来具体分析一下整数解的情况。
首先考虑整数解为0个的情况。
当方程没有整数解时，我们可以通过解方程来验证。
首先，我们可以尝试因式分解、配方法等常用的解方程的方法，如果无法找到整数解，那么方程就没有整数解。
考虑整数解为1个的情况。
当方程有一个整数解时，我们可以通过试除法来确定这个整数解。
具体来说，我们将方程左边的多项式进行因式分解，如果能够得到一个整数解，那么方程就有一个整数解。
考虑整数解为2个的情况。
当方程有两个整数解时，我们可以通过试除法、配方法等多种方法来确定这两个整数解。
具体的解法可以根据方程的具体形式来确定。
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以x为主元，将方程整理为 3x2 (3y 7)x (3y2 7y) 0 分析：
， 7) 4 3(3y2 7y) 0 因x是整数，则 Δ (3y ，
2
解得 21 14 3 y 21 14 3 所以整数y=0，1，2，3，4，5.
9 9
3.选取主元法
n 1
m 4 n 2
m 1 n 3
进一步求得 x 245 x 80 x 5 y 2 0 y 5 y 45
二、含参数的二次方程的 整数解
这类问题涵盖了一元二次方程的相关 理论，整数的性质，融合了丰富的数学思 想方法，备受命题者的青睐。
x 1 1 y 1 7
(x 1)(y 1) 7
x 1 7 y 1 1
x 4 -8 y 4 -2
故原方程的整数解由下列方程组确定：
， ，
x 1 7 y 1 1
x 1 1 y 1 7
xy 3 的所有整数解。 例3.求方程 2 2 7 x xy y
以x为主元，将方程整理为 3x2 (3y 7)x (3y2 7y) 0 分析：
， 7) 4 3(3y2 7y) 0 因x是整数，则 Δ (3y ，
2
3.选取主元法
xy 3 的所有整数解。 例3.求方程 2 2 7 x xy y
3.选取主元法
xy 3 的所有整数解。 例3.求方程 2 2 7 x xy y
3.选取主元法
xy 3 的所有整数解。 例3.求方程 2 2 7 x xy y
以x为主元，将方程整理为 3x2 (3y 7)x (3y2 7y) 0 分析：
， ，
3.选取主元法
，
（一）从判别式入手
1.当Δ=m2时，直接求方程的解
例1. 已知方程 ax 2 (3a2 8a)x 2a2 13a 15 0 （其中a为非负整数）至少有一个整数根，求a的值。 (3a2 8a) a(a 2) 2 分析：Δ a(a 2) ，故 x 2a 2 2a 3 3 a 5 5 x1 2 x2 1 a a a a 从而可知a=1，3或5.
数学竞赛
方程整数解
方法策略
一、不定方程的整数解
一般地，不定方程有无数组 解。但是，若加上限制条件如 整数等，就可以求出确定的解。
1.因式分解法
例1.求方程
xy x y 6
的整数解。
1.因式分解法
例1.求方程
， ，
xy x y 6
y 1 7
，
的整数解。
，
xy x 分析：
x 3 -2 y 3 -8
x 1 0 y1 6
x 2 6 y 2 0
2.字母分离法
例2.求方程 5x 3y 1Hale Waihona Puke 的正整数解。2.字母分离法
例2.求方程 5x 3y 18 的正整数解。 分析：y 18 5x 6 x 2 x 3 3 3 ，所以x=3，进一步求得y=1 由18-5x>0得0<x< 3 5
（一）从判别式入手
1.当Δ=m2时，直接求方程的解
例1. 已知方程 ax 2 (3a2 8a)x 2a2 13a 15 0 （其中a为非负整数）至少有一个整数根，求a的值。
，
（一）从判别式入手
1.当Δ=m2时，直接求方程的解
例1. 已知方程 ax 2 (3a2 8a)x 2a2 13a 15 0 （其中a为非负整数）至少有一个整数根，求a的值。 分析：Δ a(a 2)2
n 1
m 4 n 2
m 1 n 3
4.转化法
例4.求方程 x 3 y 500 的正整数解。 分析：化简得 x 3 y 10 5
， 因为x，y都是正整数，所以可设
x m 5
y n 5
因此原方程变形为 ， m 3n 10 解得 m 7
， 因为x，y都是正整数，所以可设
x m 5
y n 5
因此原方程变形为 ， m 3n 10
4.转化法
例4.求方程 x 3 y 500 的正整数解。 分析：化简得 x 3 y 10 5
， 因为x，y都是正整数，所以可设
x m 5
y n 5
因此原方程变形为 ， m 3n 10 解得 m 7
xy 3 的所有整数解。 例3.求方程 2 2 7 x xy y
以x为主元，将方程整理为 3x2 (3y 7)x (3y2 7y) 0 分析：
， 7) 4 3(3y2 7y) 0 因x是整数，则 Δ (3y ，
2
解得 21 14 3 y 21 14 3 所以整数y=0，1，2，3，4，5.
9 9
进一步求得只有两组解：x 1 5
y1 4
x 2 4 y 2 5
4.转化法
例4.求方程 x 3 y 500 的正整数解。
，
4.转化法
例4.求方程 x 3 y 500 的正整数解。 分析：化简得 x 3 y 10 5
，
，
4.转化法
例4.求方程 x 3 y 500 的正整数解。 分析：化简得 x 3 y 10 5
，
（一）从判别式入手
1.当Δ=m2时，直接求方程的解
例1. 已知方程 a 2 x 2 (3a2 8a)x 2a2 13a 15 0 （其中a为非负整数）至少有一个整数根，求a的值。 (3a2 8a) a(a 2) 2 分析：Δ a(a 2) ，故 x 2a 2
，
（一）从判别式入手
1.当Δ=m2时，直接求方程的解
例1. 已知方程 ax 2 (3a2 8a)x 2a2 13a 15 0 （其中a为非负整数）至少有一个整数根，求a的值。 (3a2 8a) a(a 2) 2 分析：Δ a(a 2) ，故 x 2a 2 2a 3 3 a 5 5 x1 2 x2 1 a a a a