§4.3薛定谔方程
《薛定谔方程》PPT课件
1993年 用STM 技术镶嵌了48个 Fe 原子的 Cu 表 面的扫描隧道显微镜照片。Fe 原子形成“电子围栏” （半径7.13nm），可看到围栏中的同心圆状驻波， 直观地证实了电子的波动性。
由于这一贡献，宾尼、罗赫尔和鲁斯卡 三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖。
前两人是扫描隧穿显微镜的直接发明者， 第三人是 1932年电子显微镜的发明者， 这里是为了追朔他的功劳。
没有向-x方向的
可以想见，原来在Ⅰ区的粒子也可以在势垒 的另一边Ⅲ 区出现！这在经典物理是不可想象的！
这称为“量子隧道效应”。
计算结果表明（不证）， 粒子的穿透率为
T e
2a
2m(U0 E)
若 m、a、( U0 – E ) 越小，则穿透率 T 越大。
实验完全证实了“量子隧道效应”现象的存在。 例如，★ 放射性核的 粒子衰变 ★ 隧道二极管 ★ 扫描隧穿显微镜
1 2
2
x
2
，
Hn是厄密（Hermite）多项式， 最高阶是 (x)n，
上两式相加得 2 (l1 l2 ) π l π
式中 l 也是整数。 所以有 l π
2 l 0 时，有 o Asin kx --奇函数 l 1 时，有 e Acos kx --偶函数
l 的其他数值所对应的解都不是独立的，
因为它们和 0、 e 的形式一样，只可能有正负 的区别，这并不影响 2 ,即概率密度的分布不变。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧 道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化 就能反映样品表面的起伏；若控制针尖高度不变，通 过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布。
0 10
30
50
70
90
大学物理薛定谔方程(老师课件)
P2 E U (x , t ) 2m
一般的薛定谔方程：
▽
( r , t ) 2 2 i U ( r , t ) ( r , t ) t 2m
U(x)
n很大
n
2
E2 E1 E0
0
2
2
1 2 0
2
符合不确定关系 概率分布特点:
x
E < U 区有隧道效应
通过扫描可观 测固体表面的 微观结构. 探 针头还可吸附 并搬动原子， 形成人工微结 构.
1986年获诺贝尔物理学奖
显示器
压电 控制 隧道 电流
加电压 反馈传感 器 参考信号
扫描隧道显微镜示意图
某种型号的扫描隧道显微镜
原子搬迁：操纵原子不是梦
“原子书法”
硅单晶 表面直 接提走 硅原子 形成2 纳米的 线条 1994年中国科学院科学家“写”出的
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在 量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是 一样的。 同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基 本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确 性也只能靠实验来检验。
一、自由粒子的薛定谔方程 由自由粒子波函数
i ( Et px) Ψ( x, t ) Ψ e 0
2 2 d 阱外： ( x ) E ( x ) 2 2 m dx 2 2 阱内： d 2 ( x ) E ( x ) 2m dx
2. 求通解 阱外: 根据波函数有限 ( x ) 0 x a , x 0 2mE 2 阱内: 令 k 2 则： ( x ) k 2 (x ) 0 其通解为 (x ) A cos kx B sin kx
薛定谔方程
薛定谔方程薛定谔方程推导薛定谔方程（Schrdinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。
是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
目录薛定谔方程在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x,t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定，因此波函数成为量子力学研究的主要对象。
力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。
这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一，在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。
薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。
简介量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。
薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。
薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。
当计及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。
.薛定谔提出的量子力学基本方程。
建立于 1926年。
它是一个非相对论的波动方程。
它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样，是量子力学的基本假设之一。
设描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r，t），质量为m的微观粒子在势场V（r，t）中运动的薛定谔方程为。
在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下，可解出波函数Ψ（r，t）。
由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值（期望值）。
薛定谔方程
§含时间的薛定谔方程一 Schr ödinger 方程的建立量子力学的基本定律是波函数所满足的偏微分方程---Schr ödinger 方程，是量子力学的一个基本假设。
薛定谔方程不是从基本原理导出来的，它的正确性是靠由它所推出的结果及预言的正确性来证实的。
考虑质量为m , 具有确定动量p的自由粒子： 由根据de Broglie 关系和Einstein 关系 ∴ 22pp E mω== h p n k λ==（2k n πλ= ） 得到它对应于一个相应的de Broglie ’s 波(平面单色波):()(,)e x p p pi r t A p r E t ψ⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦由这波函数可得 ()(,)e x p(,)p pp pi i r t iA p rE t E r t t t ψψ∂∂⎧⎫⎡⎤=⋅-=⎨⎬⎢⎥∂∂⎣⎦⎩⎭(,)(,)ppi r t E r t tψψ∂⇒=∂但从另一方面()()(,)ppi p r E t ip r E t pi r t i Ae pAeψ⋅-⋅--∇=-∇=222()()22(,)(,)222p pi p r E t i p r E t p ppp r t AeAeE r t m mmψψ⋅-⋅---∇=∇==2(,)(,)2p pp i r t r t t mψψ∂⇒=∂这方程不仅对有确定动量的自由粒子的波函数成立，对最普遍的自由粒子的波函数也成立。
在一般情况下, 用一个波包来描述自由粒子的运动状态, 即多个单色波的线性叠加 ()()3321(,)()exp 2p r t p i p r E t d p ψϕπ⎡⎤=⋅-⎣⎦⎰()()()()332332(,)()exp 21()exp 2p p p i i r t p i p r E t d pttp E i p r E t d p ψϕπϕπ∂∂⎡⎤=⋅-⎣⎦∂∂⎡⎤=⋅-⎣⎦⎰⎰此外()()()()222233223321(,)()exp 2221()exp 22p pr t p i p r E t d pmmp p i p r E t d p mψϕπϕπ--⎡⎤∇=⋅∇⋅-⎣⎦⎡⎤=⋅⋅-⎣⎦⎰⎰而自由粒子的能量-动量关系: 2/2pE p m = , 所以22(,)(,)2i r t r tt mψψ∂-=∇∂ 可见这一微分方程是自由粒子的波函数所满足的方程, 它决定了自由粒子的运动状态随时间演化过程。
薛定谔方程的推导过程
薛定谔方程的推导过程
《薛定谔方程的推导过程》
薛定谔方程是一个重要的量子力学方程，它是由德国物理学家薛定谔于1925年提出的。
它可以用来描述物质的量子性质，并且推导出物质的能量状态。
首先，薛定谔方程的推导过程是基于原子模型，即原子由电子、质子和中子组成，而电子又是由电子云组成的。
这个模型认为，电子在原子内部以某种规律运动，并且电子的运动受到原子内部的电场和磁场的影响。
其次，薛定谔方程的推导过程是基于量子力学的原理，即电子的运动是有限的，而且它的能量只能处于一定的能量状态。
这意味着，电子在原子内部的运动受到原子内部的电场和磁场的限制，因此，电子的能量也只能处于一定的能量状态。
最后，薛定谔方程的推导过程是基于量子力学的假设，即电子在原子内部的运动受到原子内部的电场和磁场的影响，而这些电场和磁场可以用一个偏微分方程来描述，这就是薛定谔方程。
薛定谔方程是基于原子模型、量子力学和偏微分方程推导出来的，它可以用来描述物质的量子性质，并且推导出物质的能量状态。
薛定谔方程的含义和求解方法
薛定谔方程的含义和求解方法薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，描述了微观粒子（如电子）的行为。
本文将介绍薛定谔方程的含义及其求解方法。
一、薛定谔方程的含义薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，用来描述微观粒子的运动和性质。
该方程是一个偏微分方程，包含粒子的波函数（Ψ）和哈密顿量（H）。
薛定谔方程的一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数，t是时间。
Ψ是粒子的波函数，H是系统的哈密顿量。
薛定谔方程描述了一个量子系统的演化过程。
通过对波函数的求解，我们可以得到粒子在不同位置和时间的概率分布，从而理解其行为和性质。
二、薛定谔方程的求解方法薛定谔方程是一个高度复杂的偏微分方程，一般情况下无法通过解析方法求解。
但可以通过一些近似方法和数值方法来求解。
1. 解析方法对于简单的系统，可以通过解析方法求解薛定谔方程。
例如，对于自由粒子，可以得到平面波的解。
对于一维谐振子，可以得到谐振子波函数的解。
然而，对于复杂的系统，如多电子体系或相互作用体系，解析方法往往不适用。
因此，需要使用近似方法和数值方法来求解。
2. 近似方法常用的近似方法包括变分法、微扰法和量子力学近似等。
变分法通过选取适当的波函数的形式和参数，使得波函数的能量最小化。
微扰法将系统的哈密顿量分解为一个已知的部分和一个微扰项，通过级数展开的方式求解波函数。
3. 数值方法数值方法是求解薛定谔方程的重要手段之一。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和动态变分法等。
这些方法通过将波函数和哈密顿量离散化，将偏微分方程转化为一组代数方程，然后通过迭代求解来得到波函数的数值解。
数值方法的优点是适用于各种复杂系统，并且可以提供较高的精度。
但需要注意选择合适的离散化方法和参数，以及控制误差和收敛性。
总之，薛定谔方程是研究微观粒子的基本工具之一，可以描述粒子的运动和性质。
通过适当的求解方法，我们可以获得粒子的波函数，从而深入理解量子力学中的各种现象和行为。
薛定谔方程
薛定谔方程薛定谔方程(Schrödinger equation)是一个由奥地利物理学家薛定谔在1926年[1]描述量子力学中波函数的运动方程，被认为是量子力学的奠基理论之一。
薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。
含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。
不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。
波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。
而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。
薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。
量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。
薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。
薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。
海森堡表述比较没有这么严重的问题;而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。
目录[隐藏], 1 含时薛定谔方程, 2 不含时薛定谔方程, 3 历史背景与发展, 4 含时薛定谔方程导引o 4.1 启发式导引, 4.1.1 假设, 4.1.2 波函数以复值平面波来表达波函数o 4.2 薛定谔的导引, 5 特性o 5.1 线性方程, 5.1.1 证明o 5.2 实值的本征态o 5.3 幺正性, 5.3.1 证明o 5.4 完备基底, 6 相对论性薛定谔方程, 7 解析方法, 8 实例o 8.1 自由粒子o 8.2 一维谐振子o 8.3 球对称位势, 8.3.1 角部分解答, 8.3.2 径向部分解答, 9 参阅, 10 参考文献, 11 外部链接[编辑] 含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。
理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。
在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为;(1) 其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
薛定谔方程
1936年他回到奥地利任格拉茨大学理论物理教授。不到两年，奥地利被纳粹并吞后，他又陷入了逆境。1939 年10月流亡到爱尔兰首府都柏林，就任都柏林高级研究所所长，从事理论物理研究。在此期间还进行了科学哲学、 生物物理研究，颇有建树。出版了《生命是什么》一书，试图用量子物理阐明遗传结构的稳定性。1956年薛定谔 回到了奥地利，被聘为维也纳大学理论物理教授，奥地利政府给予他极大的荣誉，设定了以薛定谔命名的国家奖 金，由奥地利科学院授予。
背景与发展
1900年，马克斯·普朗克在研究黑体辐射中作出将电磁辐射能量量子化的假设，因此发现将能量与频率关联 在一起的普朗克关系式。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦从对于光电效为hν；其中，因子h是普朗克常数。这一点子成为后来波粒二象性概念的早期路标之一。 由于在狭义相对论里，能量与动量的关联方式类似频率与波数的关联方式，因此可以揣测，光子的动量与波长成 反比，与波数成正比，以方程来表示这关系式。
主量子数n和能量有关的量子数。原子具有分立能级，能量只能取一系列值，每一个波函数都对应相应的能量。 氢原子以及类氢原子的分立值为：
，n越大能量越高电子层离核越远。
希尔伯特空间与薛定谔方程
一般，物理上将物理状态与希尔伯特空间上的向量（vector），物理量与希尔伯特空间上的算符相对应。这 种形式下的薛定谔方程为
薛定谔方程名词解释
薛定谔方程名词解释
薛定谔方程是一个重要的理论模型，它使物理学家们能够更进一步地了解和解释量子力学中的现象。
它于1926年被提出，由荷兰物理学家薛定谔提出。
薛定谔方程描述了量子力学中描述双原子共振和双原子退相干特性时所需的方程，从而解释普朗克定律中自由粒子的行为。
薛定谔方程是一个基于能量的矩阵方程，它是由薛定谔推导出来的。
它的公式是：
HΨ = EΨ
其中，H是原子的能级矩阵，Ψ是量子态的矢量，E是能量的标量。
薛定谔方程有三个重要的功能：
首先，它可以用来描述量子力学中的双原子共振，它可以用来解释双原子间的能量级和轨道混合情况，从而解释量子力学中双原子结构的概念。
其次，它可以用来解释双原子退相干特性。
双原子退相干指的是，在两个原子相互作用时，他们的总能量会减少，这一特性由薛定谔方程可以解释。
最后，薛定谔方程还可以应用于电子结构性质的计算，用来计算杂化理论中的电子结构性质。
薛定谔方程对于量子力学的研究有重要意义，它为物理学家们提供了量子力学中最基本的模型，使他们能够更深入地了解和研究相关
现象。
薛定谔方程也为建立一个现实世界中可行的量子力学模型打下了基础，从而为量子力学的研究提供了一条新的发展道路。
总之，薛定谔方程是一个重要的理论模型，它可以用来描述量子力学中的双原子共振和双原子退相干特性，并且可以用来计算杂化理论中的电子结构性质。
它的出现，是量子力学研究的一个重大突破，也为量子力学的未来发展提供了指引。
薛定谔方程
一维运动是指 在某一方向上 的运动
h2 d 2 [− + V 1 ( x )] X ( x ) = E x X ( x ) 2 2 µ dx
Î
h [− 2µ 2 h [− 2µ
2
d + V2 ( y )]Y ( y ) = E yY ( y ) 2 dy 2 d + V3 ( z )]Z ( z ) = E z Z ( z ) 2 dz
h d − ψ ( x ) = Eψ ( x ) 2 2 µ dx
或
x ∈ ( 0, a )
a a x ∈ (− , ) 2 2
11/16
2 µE ⎧ 例1无限深势阱 ⎪ψ ′′( x ) + 2 ψ ( x ) = 0, x ∈ (0, a ) h ⎨ ⎪ ⎩ψ (0) = 0, ψ (a ) = 0
2 2 2 2 h ∂ Ψ p ∂ Ψ ∂Ψ ip = EΨ = − 2 Ψ Î− = Ψ Î 2 2 2 µ ∂x h ∂x ∂x h
Î
∂Ψ h 2 ∂ 2 Ψ ih + =0 2 ∂t 2 µ ∂x
自由粒子的波函数满足二阶微分方程
h 2 ∂ 2Ψ ∂Ψ ih =− 2 µ ∂x 2 ∂t ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 + 2+ 2 Î 一维 Î 三维： 2 2 ∂x ∂x ∂y ∂z 2 2 2 ∂ ∂ ∂ 2 ∇ = 2+ 2+ 2 记 ∂x ∂y ∂z
1 d 1 h2 d 2 ih f (t ) = [− + V ]ψ ( x ) = 2 f ( t ) dt ψ ( x ) 2 µ dx
Î
E
6/16
d − iEt / h f (t ) = e ih f ( t ) = Ef ( t ) Î dt h2 d 2 [− + V ]ψ ( x ) = Eψ ( x ) 2 2 µ dx
薛定谔方程及其解法
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载薛定谔方程及其解法地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容关于薛定谔方程定义及重要性薛定谔方程（Schrdinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提出的HYPERLINK "/view/2785.htm" \t "_blank" 量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。
是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到 HYPERLINK "/view/24951.htm" \t "_blank" 波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。
表达式定态方程所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。
其中，E是粒子本身的能量；v(x，y，z)是描述势场的函数，假设不随时间变化。
可化为薛定谔方程的解法初值解法；欧拉法，龙格库塔法边值解法；差分法，打靶法，有限元法龙格库塔法（对欧拉法的完善）给定初值问题有限元方法有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。
有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。
经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。
量子力学中的薛定谔方程
量子力学中的薛定谔方程量子力学是研究微观世界的一门物理学科，它的理论基础就是薛定谔方程。
薛定谔方程由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，是量子力学的核心方程之一。
本文将介绍薛定谔方程的基本概念、数学表达及其在量子力学中的重要意义。
一、薛定谔方程的基本概念薛定谔方程描述的是微观粒子的运动状态和行为规律。
它是在三维空间中描述波函数（ψ）随时间演化的偏微分方程。
薛定谔方程的形式可以如下所示：Ĥψ = Eψ，其中，Ĥ是哈密顿算符，ψ是波函数，E是对应的能量本征值。
薛定谔方程中的哈密顿算符代表了粒子的总能量运算符。
它的形式为：Ĥ = -（h²/2m）∇² + V(x)，其中，h是普朗克常量，m是粒子的质量，∇²是拉普拉斯算符，V(x)是粒子所受势场的势能函数。
二、薛定谔方程的数学表达薛定谔方程是一个偏微分方程，求解它需要使用数学上的一些工具和方法。
我们先来看一维情况下的薛定谔方程：-（h²/2m）d²ψ(x)/dx² + V(x)ψ(x) = Eψ(x)。
其中，x代表粒子的位置坐标。
要得到波函数ψ(x)的解，可以采用变分法、数值计算或者一些特殊情况下的解析求解方法。
对于多维情况，如三维空间中的薛定谔方程，形式如下：-（h²/2m）∇²ψ(x, y, z) + V(x, y, z)ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z)。
解一维薛定谔方程可以得到单粒子的波函数，而解三维薛定谔方程则可以得到多粒子的复合波函数。
三、薛定谔方程的重要意义薛定谔方程是量子力学的基石，它揭示了微观粒子的波粒二象性和不确定性原理。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子的波函数，从而计算出粒子的能级、概率密度分布和运动轨迹等物理量。
薛定谔方程还能描述量子力学中的一些奇特现象，例如原子和分子的能级结构、粒子在势阱中的驻波现象、量子隧穿效应等。
薛定谔方程解析
薛定谔方程解析薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，描述了量子体系的演化规律。
它由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，被誉为量子力学的基石之一。
薛定谔方程在解释微观粒子的运动和性质方面起着重要的作用。
薛定谔方程是对量子体系的波函数进行数学描述的方程。
波函数是描述微观粒子行为的数学函数，它包含了粒子的位置和动量等信息。
薛定谔方程可以用来计算波函数在时间和空间上的演化。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = ĤΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常量除以2π，Ψ是波函数，t是时间，Ĥ是哈密顿算符。
薛定谔方程的左侧表示波函数随时间的变化率，右侧表示哈密顿算符作用在波函数上得到的结果。
哈密顿算符包含了粒子的动能和势能等信息。
薛定谔方程的解析解通常较为复杂，只有在一些特殊情况下才能得到解析解。
对于大多数真实的物理系统，需要采用数值方法求解薛定谔方程。
薛定谔方程的解析解可以用来计算粒子的能级和波函数。
能级是粒子在不同能量状态下的取值，波函数则描述了粒子的位置和动量分布。
薛定谔方程的解析解在量子力学的发展中起到了重要的作用。
它为解释微观世界的现象提供了基础，例如描述原子和分子的结构和性质。
薛定谔方程的解析解还被应用于量子力学中的各种问题，如谐振子、氢原子等。
薛定谔方程的解析解还引发了一些深入的思考和讨论。
例如，波粒二象性的概念，即微观粒子既可以表现为粒子又可以表现为波动的性质。
波函数的坍缩和量子纠缠等现象也是基于薛定谔方程得到的。
薛定谔方程是量子力学中的一个重要方程，用于描述量子体系的演化规律。
它的解析解可以用来计算粒子的能级和波函数，为解释微观世界的现象提供了基础。
薛定谔方程的发展和应用推动了量子力学的发展，对物理学和其他相关领域产生了深远的影响。
薛定谔方程名词解释
薛定谔方程名词解释薛定谔方程，又被称为神奇的薛定谔方程，是一种有着深刻历史意义的重要数学方程。
它最早是由俄国物理学家沙洛斯拉夫薛定谔提出，他是如今量子力学领域中最重要的人物之一，也是其中最有创造力的科学家之一。
薛定谔方程描述的是一个粒子系统的行为，这个“系统”可以是原子、分子、原子团等。
它可以准确地解释物理系统中粒子的性质和运动规律，并被用来描述关于这些系统的量子性态变化。
薛定谔方程的最大特点在于它能建立时空的关系，而典型的物理方程只表达物理量的关系。
在解决难题的时候，由于薛定谔方程考虑了同时空的因素，它的精准度要远高于以往的方法，因此它成为研究中子和原子能量水平的有力工具，也成为量子力学研究的重要基础。
除了用于研究物质粒子运动规律，薛定谔方程还被用于研究其他领域，例如量子电动力学、量子机器人设计等，以及量子纠缠等。
由于薛定谔方程的普适性，在未来的研究中，它也将发挥重要作用。
薛定谔方程的构成如下：它是一个带有时间变量t的复变函数，由一个称为沙米科（Schrdinger）方程的非线性泛函微分方程保证，它具有解析性质，它具有量子算符表达式的形式，包括质量、动能和势能等。
准确地说，薛定谔方程只是一种物理方程，但它可以提供一个精准的量子力学系统的模型，这一点非常重要。
这些数学方程可以用来描述这些系统的性质，它提供的信息非常有用，可用来研究物质的性质。
它也可以用来描述一个系统受外力影响时的状态，研究这些系统的变化规律，从而推断出特定系统的性质。
薛定谔方程涉及到的领域非常广泛，从原子物理研究，化学研究，到生物科学研究，都可以从薛定谔方程中获得有用的信息，这些信息可以用来提高我们对物质性质的认识。
此外，它还可以用来模拟物质的行为，从而更好地理解物理现象，帮助我们更好地利用物理现象的能量。
因此，薛定谔方程是一种具有重要意义的数学方程，其应用非常广泛，可以被应用于多个领域，是量子力学研究和科学实验研究的重要支柱。
薛定谔方程
p 2 2 x
2 2
i E t
对于非相对论粒子
E p 2m
2
2 2
i 2 t 2m x
（2）粒子处在外场中的薛定谔方程
1 2 p U (r , t ) 在外力场中粒子的总能量为： E 2m
7
波函数的性质
1）波函数具有归一性 粒子在整个空间出现的几率：W dw
2）单值性： 3）连续性 4）有限性 波函数的统计解释（波恩诠释）
波函数本身并无物理意义，而波函数的 模的平方（波的强度）代表时刻t、在空间 r点处，微观粒子出现的几率，
（玻恩把“颗粒性”与 “可叠加性” 统一起 来）
波函数的平方表征了t 时刻，粒子在空间r处出现的概 率（密度）
6
物质波是什么呢？
物质波既不是机械波，又不是电磁波，而是几率波！ 几率波是描写微观体系的统计行为，而不是单个 粒子的单次过程.
结论
对微观粒子，讨论其运动轨道及速度是没有意义的。 波函数所反映的只是微观粒运动的统计规律。 区别 宏观物体：讨论它的位置在哪里 微观粒子：研究它在那里出现的几率有多大
理解：波函数和微粒的波粒二象性 弱电子流衍射实验 电子双缝衍射实验
9
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1）1949年，前苏联物理学家费格尔曼做了一个非 常精确的弱电子流衍射实验．
电子几乎是一个一个地通过双缝，底片上出现 一个一个的点子。（显示出电子具有粒子性）
开始时底片上的点子“无规”分布，随着电子 增多，逐渐形成双缝衍射图样。 衍射图样说明每个电子到达屏上各点有一定几率， 衍射图样是大量电子出现几率的统计结果。
2 ( r ) 粒子在空间出现的几率密度
薛定谔方程
∂ f (t ) 1 h 2 ∂ 2 ψ (x ) 1 ih =− ∂ t f (t ) 2 m ∂ x 2 ψ (x )
引进常数 E
定 态
df (t ) 1 ih =E dt f (t )
h 2 d 2ψ ( x ) − = E ψ (x ) 2 2 m dx
d 2ψ ( x ) 2 m + 2 E ψ (x ) = 0 2 ∂x h
2.推广 一维力场中的粒子 推广(一维力场中的粒子 推广 一维力场中的粒子)
P x2 E = 2m
∂ψ h ∂ ψ =− ih ∂t 2 m ∂x 2
2 2
P x2 + V (x , t ) E = 2m
P x2 + V (x , t ) E = 2m
∂ψ h 2 ∂ 2ψ ih + V (x , t ) ψ =− 2 ∂t 2 m ∂x
ψ (r , t ) = ψ (r )e
2 2 i − Et h
= ψ (r )e
i − Et h
*
i − Et 2 h ψ (r )e = ψ (r )
2.有确定能量 有确定能量 3.波函数满足定态方程 ψ ( x , t ) = ψ ( x )e 波函数满足定态方程
第二十二章
薛定谔方程
（Schrodinger equation） ）
薛定谔
Erwin Schrodinger 奥地利人 1887-1961 创立量子力学
获1933年诺贝尔 年诺贝尔 物理学奖
薛定谔方程? 薛定谔方程?
波粒二象性 概率波 波函数 波动方程
第一节
自由粒子的薛定谔方程
− i (E t − p x ) h
原子物理学——薛定谔方程
§3.4 薛定谔方程一、薛定谔方程的建立 1．自由粒子的薛定谔方程 自由粒子的波函数:)(0)(0Et zp yp xp iEt p r i z y x ee-++-⋅==ψψψ (1)对x 、y 、z 分别求二次偏导：ψψx p ix =∂∂ ψψψ2222 x xp x p i x -=∂∂=∂∂ ψψy p iy=∂∂ ψψψ2222 y yp y p i y -=∂∂=∂∂ ψψz p iz =∂∂ ψψψ2222z zp x p i z -=∂∂=∂∂ 三者相加：ψψψψψ222222222222)(1p p p p z y x z y x -=++-=∂∂+∂∂+∂∂ 拉普拉斯算符：2222222zyx∂∂+∂∂+∂∂=∇ψψ222p -=∇ (2)对t 求一次偏导：ψψE i t -=∂∂ ψψE ti =∂∂ (3)自由粒子，m p m E 22122==υ ψψm p E 22=(4) 由(3)(4)式: ψψmp t i 22=∂∂ (5) (2)式代入(5)得:ψψ222∇-=∂∂mt i ――自由粒子的薛定谔方程。
(6) 2．一般粒子的薛定谔方程一般粒子常受到力场的约束，用),(t r V表示力场，则粒子在力场中受到的力为：),(t r V F -∇=，假设处于这种力场中的微观粒子的波函数为),t r（ψ，假设),t r（ψ仍满足方程：ψψE t i =∂∂ ψψ222p -=∇ 但此时 V mp E +=22 (7)即一个质量为m 动量为p ,在势场V 中运动的非相对论粒子的能量:动能(mp 22)+势能(V ). 则有：ψψψV mt i +∇-=∂∂222 (8)――处在以势能V 表征的力场中的微观粒子所满足的运动方程，称之为薛定谔方程。
如果已知V 和微观粒子的初始条件0ψ，原则上，可以求出粒子在任何时刻t 的状态ψ。
可见，薛定谔方程在量子力学中的地位相当于经典力学中的牛顿第二定律。
薛定谔方程的基本解读
薛定谔方程的基本解读薛定谔方程是量子力学的基础方程之一，描述了微观粒子的行为。
它由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出，是量子力学的重要里程碑。
本文将对薛定谔方程进行基本解读，介绍其数学形式、物理意义以及应用领域。
薛定谔方程的数学形式是一个偏微分方程，通常用Ψ表示波函数，可以写成如下形式：iħ∂Ψ/∂t = -ħ^2/2m∇^2Ψ + VΨ其中，i为虚数单位，ħ为约化普朗克常数，t为时间，m为粒子的质量，∇^2为拉普拉斯算子，V为势能。
这个方程描述了波函数Ψ随时间演化的规律。
薛定谔方程的物理意义在于，它描述了微观粒子的波粒二象性。
根据波粒二象性理论，微观粒子既可以表现出粒子的特性，如位置和动量，又可以表现出波的特性，如干涉和衍射。
波函数Ψ描述了粒子的状态，它的模平方|Ψ|^2表示了在某个位置找到粒子的概率。
薛定谔方程的解可以分为定态解和非定态解。
定态解对应于粒子的能量本征态，可以用一个复数函数表示。
非定态解则描述了粒子的时间演化，需要用到波包的概念。
波包是一种局域化的波函数，可以看作是许多不同频率的波叠加而成。
它在空间上具有有限的范围，可以用高斯函数表示。
波包的形状和演化受到薛定谔方程的影响，可以通过数值计算得到。
薛定谔方程的应用领域非常广泛。
在原子物理中，薛定谔方程被用来解释原子的能级结构和光谱现象。
在凝聚态物理中，薛定谔方程被用来研究晶体中的电子行为，如导电性和磁性。
在量子力学的基础研究中，薛定谔方程是研究量子纠缠和量子计算的基础。
除了基础研究，薛定谔方程还有许多实际应用。
在材料科学中，薛定谔方程可以用来模拟材料的电子结构和性质，为新材料的设计和开发提供理论指导。
在化学领域，薛定谔方程被用来研究分子的结构和反应动力学。
在生物物理学中，薛定谔方程被用来研究生物大分子的结构和功能。
总之，薛定谔方程是量子力学的基础方程，描述了微观粒子的波粒二象性。
它的数学形式简洁而优美，物理意义深远。
薛定谔方程在各个领域都有重要的应用，为我们深入理解微观世界提供了强大的工具。
薛定谔方程的基本概念
薛定谔方程的基本概念薛定谔方程是描述微观粒子运动的基本方程之一，它的提出是量子力学的重要里程碑。
本文将介绍薛定谔方程的基本概念，包括方程的起源、数学形式以及其在量子力学中的应用。
1. 薛定谔方程的起源量子力学是研究微观世界的物理学分支，旨在解释微观粒子的行为和性质。
20世纪初，量子力学的奠基人之一薛定谔（ErwinSchrödinger）提出了薛定谔方程，以描述微观粒子的运动和状态演化。
2. 薛定谔方程的数学形式薛定谔方程是一个偏微分方程，它用于描述微观粒子的波函数随时间和空间的演化。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m∇²ψ + Vψ其中，ψ是微观粒子的波函数，t代表时间，m代表粒子的质量，V代表势能。
方程右边第一项描述了粒子的动能，第二项描述了势能对波函数的影响。
3. 波函数和可观测量波函数是薛定谔方程的解，它包含了微观粒子的全部信息。
通过波函数，我们可以计算得到粒子的各种可观测量，如位置、动量、能量等。
这些可观测量是通过对波函数进行数学操作得到的。
4. 薛定谔方程的解和物理意义薛定谔方程的解即波函数可以用于描述微观粒子的各种性质和行为。
波函数的平方的模的绝对值的平方表示了粒子在不同位置出现的概率密度。
因此，薛定谔方程不仅提供了描述微观世界的工具，也提供了一种概率解释。
5. 应用举例：粒子在势阱中的行为薛定谔方程在量子力学中有广泛的应用。
一个典型的例子是研究粒子在势阱中的行为。
势阱是一个具有一定势能的区域，它可以代表原子、分子等微观体系。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子在势阱中的能级、波函数的形状等信息。
结语：薛定谔方程作为量子力学的基本方程，为我们理解微观世界提供了重要的工具。
它的提出使得我们能够描述和预测微观粒子的行为，并且在研究原子、分子等微观体系时有着广泛的应用。
通过深入研究薛定谔方程，我们可以更好地理解和探索量子世界的奥秘。
（注：本文参考了量子力学和薛定谔方程的基本概念，并根据题目要求进行了适当的调整和结构化。
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§4.3 薛定谔方程在这一节，我们讨论态随时间变化的规律问题。
大家知道，在经典力学中，当质点的初始状态为已知时，由其运动方程就可以知道以后任一时刻的运动状态。
在量子力学中的情况也是这样的，即当粒子在初始时刻的态为已知时，在以后任一时刻的态也要由一个相应的方程来决定。
所不同的是：在经典力学中，质点的状态用质点的坐标和速度描写，质点的运动方程就是我们所熟知的牛顿运动方程。
而在量子力学中，微观粒子的状态则用波函数来描写，决定粒子状态变化的方程不再是牛顿运动方程，而是下面我们要建立的薛定谔方程。
从物理上，这个方程式必须满足下述条件：一、在非相对论条件下，薛定谔方程应该满足的条件1、在粒子的速度v c 时，质量为m 的粒子的总能量为：22pE U m =+2、方程是线性的由于波函数满足态叠加原理，而态叠加原理对任何时间都成立，因此描述波函数随时间变化的方程应该是线性方程。
即如果1ψ和2ψ是方程的解，那么它们的线性迭加1122c c ψ+ψ也是方程的解。
3、方程的系数仅含有质量、电荷等内禀量，不应含有和个别粒子运动状态特定性质有关的量，如动量、能量等。
4. 方程应当是波函数 (,)r t ψ对时间的一阶微分方程因为我们所要建立的是波函数(,)r t ψ随时间变化的运动方程，而波函数完全描述态，因此方程必须波函数 ),(t rψ对时间的一阶微分方程。
也就是说方程必然包含(,)r t t ∂ψ∂，但方程不包含22(,)r t t ∂ψ∂ ，否则需要利用两个初始条件(,0)r ψ和0(,)|t r t t=∂ψ∂ 才能确定),(t r ψ，这就意味着体系的初始状态不能由波函数(,0)r ψ完全描述，违反了波函数完全描述态体系运动状态的基本假设。
二、自由粒子波函数所满足的微分方程下面，就以自由粒子为例，来建立满足上述条件的运动方程。
自由粒子的波函数就是德布罗意平面波函数()()·,i p r Et r t Ae -ψ=（1）它应是我们所要建立的微分方程的解。
我们试由解来建立方程，为此 将上式两边对时间t 求一次偏导，得：()·i p r Et i iEAe E t -∂ψ=-=-ψ∂或 i E t∂ψ=ψ∂（2） 因为上式还包含状态参量—能量E ，故不是我们所要求的方程。
将（1）式两边对x 求二次偏导，得到：()()()·x y z x y z i p r Et ixp yp zp Et ixp yp zp Et x x Ae x x Ae x i p Ae ip -++-++-⎡⎤∂ψ∂=⎢⎥∂∂⎣⎦⎡⎤∂=⎢⎥∂⎣⎦==ψ22222x x p i p x ∂ψ⎛⎫=ψ=-ψ ⎪∂⎝⎭同理： 2222y p y ∂ψ=-ψ∂2222z p z ∂ψ=-ψ∂上三式相加得： 22222222p x y z ⎛⎫∂∂∂++ψ=-ψ ⎪∂∂∂⎝⎭ （3）令 2222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂≡∇ ——Laplace 算符则（3）式简化为：222p ∇ψ=-ψ（4）对自由粒子： 2222K p E E p mE m==⇒= （5）将（5）代入（4）得：222E μ-∇ψ=ψ （6）比较（2）、（6）两式得：222i t μ∂ψ=-∇ψ∂ （7）显然它满足前面所述条件。
这就是非相对论条件下自由粒子应满足的微分方程。
三、力场中波函数所满足的微分方程设力场可以用势能为()U r来表示，粒子的能量是动能和势能之和()22p E U r μ=+ （8）假定在力场()U r中（2）式和（4）式仍然成立，则有()22p i E U r t μ∂ψ=ψ=ψ+ψ∂将（4）式代入上式得：()222i U r t m∂ψ=-∇ψ+ψ∂ （9） 这个方程就是薛定谔方程。
它描述粒子的状态随时间的变化规律。
大家注意（2）式和（4）式是针对自由粒子而得到的，我们把它推广到力场中的粒子，这纯粹是设想。
换句话说，我们并没有从逻辑上推导薛定谔方程。
在这里，薛定谔方程是作为一种基本假设而被接受的。
其正确性有已被非相对论量子力学在各方面的实验所证实。
淡然，所谓“正确性”是相对的，它只在粒子的运动速度远小于光速的情况下成立。
在以后的讨论中将以薛定谔方程作为基本微分方程。
为了将(9)式写的更简洁些，我们引入一个算符 H， ()222H U r m=-∇+ （10） 于是（9)式就可以写为i H t∂ψ=ψ∂我们称 H为能量算符或不含时间的哈密顿算符。
薛定谔 薛定谔(S c h r o d i n g ,1897-1961)奥地利人,因发现原子理论的有效的新形式一波动力学与狄拉克(D i r a c ,1902-1984)因创立相对论性的波动方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度诺贝尔物理学奖四、定态波函数下面我们讨论一下定态情况：若势能),(t r U不显含时间t ，则薛定谔方程可用分离变量法求解，此时可令 ： )()(),(t f r t rψ=ψ。
（1）将上式代入薛定谔方程 ),()](2[),(22t r r V t r t i ψ+∇-=ψ∂∂μ中得：())()(]2[)()(22r t f r U r t t f i ψμψ+∇-=∂∂用)()(),(t f r t rϕψ=遍除等式两边，可得()221[]2i f U r f t ψψψμ∂=-∇+∂ 由于上式的左边只与t 有关，而其右边只与r有关，故只有当其两边都等于同一个常数时，上式才能被满足。
设这个常数为E ，则有：dfi Ef dt =（2） ()()H r E r ψψ= 定态薛定谔方程 （3）方程（1）的解为：/)(iEt Ce t f -= （4）C 为任意常数，将（4）代入（1）式，并将C 吸收入()r ψ中去，得到薛定谔方程的特解：Etier t r -=ψ)(),(ψ （5） 按照德布罗意关系，E 就是体系处于这个波函数所描写的状态时的能量。
由此可见，体系处于上述波函数所描述的状态时，能量具有确定值，这种状态称为定态。
具有这种形式的波函数称为定态波函数。
它所描写的状态称为定态。
处于定态时 定态的特点：1）粒子的几率密度与时间无关∵ 222)()(),(r e r t r Etiψ==ψ-ψ2）能量具有确定的值将定态波函数Etie r t r -=ψ)(),(ψ对时间取偏微分，得到i E t∂ψ=ψ∂ ，将此式与我们前面讲薛定谔方程时得到的一个方程i E t∂ψ=ψ∂（此方程中E 是能量）对比知，作为常数引进的E 是处于定态的粒子的能量。
换句话说，处于定态的粒子具有确定的能量值。
五、哈密顿算符的本征方程以()rψ乘方程（2）两边，Et i e -乘方程（3）两边，可以看出定态波函数)()(),(t f r t rψ=ψ满足下列两方程i E t∂ψ=ψ∂（6） ()22[]2U r H E μ-∇+ψ=ψ=ψ（7）所以这种算符又称为哈密顿算符，通常以H表示，这样（6）式可写为：ψψE H =（10） 在数学上，若算符 L作用于函数Φ得到的是一个常数λ与Φ的乘积（ LλΦ=Φ)，则称λ是算符 L 的本征值而Φ是相应的本征函数。
一般地我们把 满足方程 ()()H r E r ψψ= 的n E 称为能量算符H 的本征值，相应的n ψ称为本征函数。
一般的说算符H 有多个本征值和本征函数，故我们在n E 和n ψ注以脚标，以n E 和n ψ表示第n 个本征值和第n 个本征函数。
结合某一具体问题的边界条件，求解定态薛定谔方程，给出所有可能的n E 和n ψ，则薛定谔方程的一般解可写为一般解，可以写成这些定态波函数的线性迭加：tE in nn n er C t r -∑=ψ)(),(ψ n C 为常数。
六 几率流密度本节我们将进一步讨论粒子在一定区域内出现的几率将怎样随时间变化。
设描述粒子状态的波函数是),(t rψ，并且波函数是归一化的，则根据波函数的统计解释，在t 时刻、在r点周围单位体积内粒子出现的几率是 2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω?下面我们看几率密度随时间的变化率。
此式对t 求偏微商，可得 （1） 则：ψψψψωtt t ∂*∂+∂∂*=∂∂ （2）由薛定谔方程 ()22[]2i U r t m∂ψ=-∇+ψ∂可得()212i U r t m i ∂ψ=∇ψ+ψ∂（3） 及 ()212i U r t m i ***∂ψ=-∇ψ-ψ∂（4） （3）、（4）代入（2）式有：()22**2i t mω∂=ψ∇ψ-ψ∇ψ∂()·**2i μ=∇ψ∇ψ-ψ∇ψ （5） 令： ][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J （6） 则（5）式可写成：0·=∇+∂∂J t ω（7） 这方程具有连续性方程的形式为了说明（7）式和矢量J的意义，下面考察（7）式对空间任意的一个体积V 的积分：ττωτωd J d td t v v v ⎰⎰⎰∇-=∂∂=∂∂ ·由高斯定理：⎰⎰=∇svs d A d A ··τ 可得到： ds J s d J d t sn v ⎰⎰⎰-=-=∂∂ ·τϖ（8） 面积分是对包围体积V 的封闭面S 进行的，（8）式左边表示单位时间内体积V 中几率的增加，右边是矢量J在体积V 的边界S 上法向分量的面积分，因而很自然的可以把J 解释为几率流密度矢量。
J的法向分量表示单位时间内流过S 面上单位体积的几率。
（8）式也说明单位时间内体积V 中增加的几率，等于从体积V 的边界S 上而流进V 内的几率。