§4.3薛定谔方程

§4.3 薛定谔方程

在这一节，我们讨论态随时间变化的规律问题。大家知道，在经典力学中，当质点的初始状态为已知时，由其运动方程就可以知道以后任一时刻的运动状态。在量子力学中的情况也是这样的，即当粒子在初始时刻的态为已知时，在以后任一时刻的态也要由一个相应的方程来决定。所不同的是：在经典力学中，质点的状态用质点的坐标和速度描写，质点的运动方程就是我们所熟知的牛顿运动方程。而在量子力学中，微观粒子的状态则用波函数来描写，决定粒子状态变化的方程不再是牛顿运动方程，而是下面我们要建立的薛定谔方程。从物理上，这个方程式

必须满足下述条件：

一、在非相对论条件下，薛定谔方程应该满足的条件

1、在粒子的速度v c 时，质量为m 的粒子的总能量为：22p

E U m =+

2、方程是线性的

由于波函数满足态叠加原理，而态叠加原理对任何时间都成立，因此描述波函数随时间变化的方程应该是线性方程。即如果1ψ和2ψ是方程的解，那么它们的线性迭加

1122c c ψ+ψ也是方程的解。

3、方程的系数仅含有质量、电荷等内禀量，不应含有和个别粒子运动状态特定性质有关的

量，如动量、能量等。

4. 方程应当是波函数 (,)r t ψ

对时间的一阶微分方程

因为我们所要建立的是波函数(,)r t ψ

随时间变化的运动方程，而波函数完全描述态，因此方程必须波函数 ),(t r

ψ对时间的一阶微分方程。也就是说方程必然包

含(,)r t t ∂ψ∂

，但方程不包含22

(,)r t t ∂ψ∂ ，否则需要利用两个初始条件(,0)r ψ

和0(,)|t r t t

=∂ψ∂ 才能确定),(t r ψ，这就意味着体系的初始状态不能由波函数(,0)r ψ

完全描述，违反了波函数完全描述态体系运动状态的基本假设。 二、自由粒子波函数所满足的微分方程

下面，就以自由粒子为例，来建立满足上述条件的运动方程。自由粒子的波函数就是德布罗意平面波函数

()()·,i p r Et r t Ae -ψ=

（1）

它应是我们所要建立的微分方程的解。我们试由解来建立方程，为此 将上式两边对时间t 求一次偏导，得：

()·i p r Et i i

EAe E t -∂ψ=-=-ψ∂

或 i E t

∂ψ

=ψ∂

（2） 因为上式还包含状态参量—能量E ，故不是我们所要求的方程。将（1）式两边对x 求二次偏导，得到：

()()()·x y z x y z i p r Et i

xp yp zp Et i

xp yp zp Et x x Ae x x Ae x i p Ae i

p -++-++-⎡⎤∂ψ∂=⎢⎥∂∂⎣⎦

⎡⎤∂=⎢⎥∂⎣⎦

==ψ

2

2222x x p i p x ∂ψ⎛⎫

=ψ=-ψ ⎪∂⎝⎭

同理： 2222y p y ∂ψ

=-ψ∂

2222z p z ∂ψ

=-ψ∂

上三式相加得： 2222

2222p x y z ⎛⎫∂∂∂++ψ=-ψ ⎪∂∂∂⎝⎭ （3）

令 22

22222

z

y x ∂∂+∂∂+∂∂≡∇ ——Laplace 算符

则（3）式简化为：

2

2

2p ∇ψ=-ψ

（4）

对自由粒子： 2

222K p E E p mE m

==

⇒

= （5）

将（5）代入（4）得：

22

2E μ-∇ψ=ψ （6）

比较（2）、（6）两式得：

222i t μ∂ψ=-∇ψ∂ （7）

显然它满足前面所述条件。这就是非相对论条件下自由粒子应满足的微分方程。

三、力场中波函数所满足的微分方程

设力场可以用势能为()

U r

来表示，粒子的能量是动能和势能之和

()

2

2p E U r μ

=+ （8）

假定在力场()

U r

中（2）式和（4）式仍然成立，则有

()2

2p i E U r t μ∂ψ=ψ=ψ+ψ∂

将（4）式代入上式得：

()222i U r t m

∂ψ=-∇ψ+ψ∂ （9） 这个方程就是薛定谔方程。 它描述粒子的状态随时间的变化规律。大家注意（2）式和（4）式是针对自由粒子而得到的，我们把它推广到力场中的粒子，这纯粹是设想。换句话说，我们并没有从逻辑上推导薛定谔方程。在这里，薛定谔方程是作为一种基本假设而被接受的。其正确性有已被非相对论量子力学在各方面的实验所证实。淡然，所谓“正确性”是相对的，它只在粒子的运动速度远小于光速的情况下成立。

在以后的讨论中将以薛定谔方程作为基本微分方程。为了将(9)式写的更简洁

些，我们引入一个算符 H

， ()2

22H U r m

=-∇+ （10） 于是（9)式就可以写为

i H t

∂ψ=ψ∂

我们称 H

为能量算符或不含时间的哈密顿算符。 薛定谔 薛定谔(S c h r o d i n g ,1897-1961)奥地利人,因发现原子理论的有效的新形式一波动力学

与狄拉克(D i r a c ,1902-1984)因创立相对论性的波动方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度诺贝尔物理学奖

四、定态波函数

下面我们讨论一下定态情况：若势能),(t r U

不显含时间t ，则薛定谔方程可用分离变量

法求解，此时可令 ： )()(),(t f r t r

ψ=ψ。 （1）

将上式代入薛定谔方程 ),()](2[),(2

2t r r V t r t i ψ+∇-=ψ∂∂μ

中得：

())()(]2[)()(2

2r t f r U r t t f i ψμ

ψ+∇-=∂∂

用)()(),(t f r t r

ϕψ=遍除等式两边，可得

()221[]2i f U r f t ψψψμ

∂=-∇+∂ 由于上式的左边只与t 有关，而其右边只与r

有关，故只有当其两边都等于同一

个常数时，上式才能被满足。设这个常数为E ，则有：

df

i Ef dt =

（2） ()()H r E r ψψ= 定态薛定谔方程 （3）

方程（1）的解为：

/)(iEt Ce t f -= （4）

C 为任意常数，将（4）代入（1）式，并将C 吸收入()r ψ

中去，得到薛定谔方程

的特解：

Et

i

e

r t r -=ψ)(),(ψ （5） 按照德布罗意关系，E 就是体系处于这个波函数所描写的状态时的能量。由此可见，体系处于上述波函数所描述的状态时，能量具有确定值，这种状态称为定态。具有这种形式的