八年级数学上册第一章勾股定理2用勾股定理解古代趣题练习(新版)北师大版
北师大版八年级数学上册勾股定理练习题
第一章勾股定理第1课时认识勾股定理1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为.3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为.4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（）.A．30 cm2B．130 cm2C．120 cm2D．60 cm25．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离.6．一棵9 m高的树被风折断，树顶落在离树根3 m之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？7．折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处， 若AB =8 cm ，BC =10 cm ，求EC 的长.第2课时 验证勾股定理1.在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？ 它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC 的两条直角边的长分别为AC =7，BC =4，请你研究这个直角三角形的斜边AB 的长的平方是否等于42+72？2.下图甲是任意一个直角三角形ABC ，它的两条直角边的边长分别为a 、b ,斜边长为c .如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC 全等的三角形，放在边长为a +b 的正方形内. E CFB D A①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？③图中（1）（2）的面积之和是多少？④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？。
北师版八年级上册数学第一章勾股定理知识点以及练习题
八年级上册第一章勾股定理基础知识1、勾股定理直角三角形两直角边a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a 2b2 c 22、勾股定理的逆定理（直角三角形的判定条件）如果三角形的三边长a， b， c 有关系a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角。
3、勾股数：满足a2b2 c 2的三个正整数，称为勾股数。
常见勾股数：（3、4、5）（ 5、 12、 13）（ 7、 24、 25）（6、 8、 10）（ 15、 20、 25）（ 8、 15、 17）（ 9、 40、 41）（12、 35、 37）常见平方数：112=121122=144132=169142=196152=225 162=256172=289182 =324192=361102=100 152=225252=625242 =576【基础训练】1、在△ ABC中，∠ C＝ 90°，（ l ）若 a ＝ 5， b＝12，则 c ＝；（ 2）若 c＝ 15， a＝ 9，则 b＝.2、直角三角形的斜边长为17cm，一条直角边长为15cm，则直角三角形的面积为 _________cm23、如图，在 Rt ABC 中，AB=1,则 AB 2BC 2AC 2的值为（）AA、2B、4C、6D、 8BC4、如图，求等腰△ABC的面积。
5、如图，在ABC 中， B =90，ＡC＝17，ＢＣ＝15，求ＡB的长。
7、一个零件的形状如图所示，已知AC AB , BC BD , AC 12cm， AB 16cm , CD52cm ,求这个零件 ABCD 的面积。
b ccb8、如图，阴影长方形的面积是多少？9、有一个圆柱，它的高等于 5 厘米，底面圆的半径等于 4 厘米．在圆柱下底面 A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 A 点相对的 B 点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？( π的值取 3) ．10、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm ,8cm,30cm, 在 AB 中点 C 处有一滴蜜糖，一只小虫从 P处爬到 C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？11、如图，在棱长为10 厘米的正方体的一个顶点速度是 1 厘米 / 秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在A 处有一只蚂蚁，现要向顶点20 秒内从 A 爬到 B？B 处爬行，已知蚂蚁爬行的【巩固提高】一、选择题1. 下列结论错误的是（）.A. 三个角度之比为 1∶2∶ 3 的三角形是直角三角形B. 三条边长之比为 3∶4∶ 5 的三角形是直角三角形C. 三条边长之比为 8∶16∶ 17 的三角形是直角三角形D. 三个角度之比为 1∶1∶ 2 的三角形是直角三角形2. 小丰的妈妈买了一部 29 英寸 (74cm) 的电视机 , 下列对 29 英寸的说法中正确的是().A. 小丰认为指的是屏幕的长度B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度3. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( ).A.1.5,2,3B.7,24,25C.6,8,10D.9,12,154. 直角三角形两直角边长分别为3 和 4, 则它斜边上的高是 ( )A.3.5B.2.4C.1.2D.5.5. 长方形的一条对角线的长为 10cm ，一边长为 6cm ，它的面积是（） .A.60cm 2B.64 cm 2C.24 cm2D.48 cm26. 斜边为 17cm，一条直角边长为 15cm）.的直角三角形的面积是（A.60B.30C.90D.1207. 如果梯子的底端离建筑物 5 米 ,13 米长的梯子可以达到该建筑物的高度是( ).A.12 米B. 13 米 C .14 米 D. 15 米8. 小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了 10分钟，小芳先去家拿了钱去图书馆，小芳到家用了 6分，从家到图书馆用了 8分，小芳从公园到图书馆拐了个 ( ) 角. A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 不能确定9. 如图 , 一圆柱高 8cm,底面半径 2cm,一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食 , 要爬行的最短路程 ( 取 3)是（） . A.20cm B.10cm C.14cm D. 无法确定10. 小刚准备测量一段河水的深度, 他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远的水底 把竹竿的顶端拉向岸边 , 竿顶和岸边的水面刚好相齐 , 则河水的深度为 ( , 竹竿高出水面).0.5m,A .2mB. 2.5mC. 2.25mD. 3m二、填空题11. 如图，带阴影的正方形面积是.5 米3 米第11题第 12题第 13题第14题12. 如图为某楼梯 , 测得楼梯的长为 5米, 高 3米 , 计划在楼梯表面铺地毯, 地毯的长度至少需要米 .13.如图，在△ ABC中，∠ C=90°， BC=3， AC=4.以斜边 AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是________.14. 如图，由 Rt△ ABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm，则正方形M与正方形 N 的面积之和为cm2.15.传说 , 古埃及人曾用＂拉绳” 的方法画直角 , 现有一根长 24 厘米的绳子 , 请你利用它拉出一个周长为24 厘米的直角三角形, 那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_______厘米 ,______ 厘米 ,________厘米 .16.一座桥横跨一江，桥长 12m，一艘小船自桥北头出发，向正南方向驶去，由于水流原因，到达南岸以后，发现已偏离桥南头 5m，则小船实际行驶了 _________m.三、解答题17.如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽 4 米，高 3 米，长 20 米，棚的斜面用塑料布遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积 .3米4米20米18. 如图 , 长方体的长 BE=15cm,宽 AB=10cm,高 AD=20cm,点 M在 CH上 , 且 CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 M,需要爬行的最短距离是多少?C HMD CFAEB19. 如图，一架 2.5 米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足 B 到墙底端 C的距离为 0.7 米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 米，那么梯足将向外移多少米？AA1B1B C20.如图所示的一块地，∠ ADC＝ 90°， AD＝12m，CD＝ 9m， AB＝ 39m， BC＝ 36m，求这块地的面积 .21.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线 AD折叠，使它落在斜边 AB上,且与 AE重合,你能求出 CD的长吗？22. 如图，A城气象台测得台风中心在 A 城正西方向320km的 B 处，以每小时 40km的速度向北偏东 60°的 BF方向移动，距离台风中心 200km的范围内是受台风影响的区域 .(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？(2)若 A 城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？23、（本小题12 分）探索与研究（方法 1）如图 5：对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转且四边形 ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形90°所得，所以∠ BAE=90°，ABFE面积等于 Rt ⊿BAE和Rt ⊿ BFE的面积之和。
北师大版八年级上第一章勾股定理练习题分节练习带答案解析
第一章勾股定理分节练习第 1 节探究勾股定理一、求边长问题.★★★题型一：已知直角三角形的两边，求第三边.1、【基础题】求出以下两个直角三角形中x 和y 边的长度.1.1、【基础题】（ 1）求斜边长为（ 2）已知一个17 cm，一条直角边长为Rt△的两边长分别为 3 和15 cm 的直角三角形的面积.4，则第三边长的平方是________.1.2、【综合Ⅰ】已知一个等腰三角形的两腰长为 5 cm，底边长 6 cm，求这个等腰三角形的面积.1.3、【综合Ⅰ】如图，有两棵树，一棵高10 米，另一棵高 4 米，两树相距8 米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟起码飞翔（）A．8 米B．10 米C． 12 米D．14 米1.4、【综合Ⅰ】强盛的台风使得一根旗杆在离地面9 米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12 米处，求旗杆折断以前有多高？1.5、【综合Ⅱ】如图，某储蓄室进口的截面是一个半径为 1.2 m 的半圆形，一个长、宽、高分别是 1.2 m、 1 m、 0.8m的箱子能放进储蓄室吗？题型二：用“勾股定理+ 方程”来求边长.2、【综合Ⅱ】一个直角三角形的斜边为20 cm，且两直角边的长度比为3∶ 4，求两直角边的长.2.1【综合Ⅱ】如图，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳索垂到地面还多拉开 5 米后，下端恰巧接触地面，求旗杆AC 的高度 .1 米，当他把绳索的下端2.2、【综合Ⅱ】在我国古代数学著作《九章算术》中记录了一个风趣的问趣，这个问题的意思是：如左以下图，有一个边长是 10 尺的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它超出水面 1 尺，假如把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰巧抵达岸边中点的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2.3【综合Ⅲ】如右上图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm ， BC ＝ 8 cm ，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，求 CD 的长．2.4【提升题】（ 2011 年北京市比赛题）两张大小同样的纸片，每张都分红7 个大小同样的矩形，搁置如下图，重合的极点记作 A ，极点 C 在另一张纸的分开线上，若BC ＝ 28 ，则 AB 的长是 ______ ．种类三： “方程 ＋ 等面积” 求直角三角形斜边上的高 .3、 直角三角形两直角边分别为5、 12，则这个直角三角形斜边上的高为（） .（A ）6（ B ） 8.5（C ）20（D ）601313二、面积问题 . ★4、【基础题】求出左以下图中A 、B 字母所代表的正方形的面积 .4.1、【综合Ⅰ】如右上图，全部的四边形都是正方形，全部的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干图形，使它们的面积之和等于最大正方形 1 的面积，试试给出两种方案 .4.2、【综合Ⅰ】如左以下图，全部的四边形都是正方形，全部的三角形都是直角三角形，此中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形 A ， B ，C ，D 的面积之和为 ___________cm 2.4.3 、【综合题】如右上图 2，以 Rt △ ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝ 3，则图中暗影部分的面积为（） .（A ）9（B ）3（C ）9（D ）9425、【综合Ⅲ】如图，在直线l 上挨次摆放着七个正方形，已知斜搁置的三个正方形的面积分别是 1、 2、 3，正搁置的四个正方形的面积挨次是S 1、 S 2 、 S 3 、 S 4 ，则 S 1＋ S 2 ＋ S 3＋ S 4 ＝________三、证明问题6、【综合Ⅲ】 1876 年，美国总统加菲尔德利用右图考证了勾股定理，你能利用左以下图考证勾股定理吗？说一说这个 方法和本节的探究方法的联系.7 、【提升题】 如右上图，在 △ 中，∠ A ＝ 90 ， D 为斜边 BC 的中点，⊥，求证： EF 2＝ BE 2＋CF 2 .Rt ABC DE DF8、【提升题】 如图， AD 是△ ABC 的中线，证明： AB 2＋ AC 2＝（2 AD 2＋ CD 2）第 2 节必定是直角三角形吗9、【基础题】一个部件的形状如下图，按规定这个部件中∠ A 和∠ DBC 都应为直角，工人师傅量得这个部件各边的尺寸如下图，这个部件切合要求吗？并求出四边形ABCD 的面积.9.1、【综合Ⅰ】如左以下图， 6 个三角形分别标号，哪些三角形是直角三角形，哪些不是，请说明原由.9.2、【综合Ⅰ】如右上图，在正方形ABCD 中，AB＝4 ， AE＝2 ， DF ＝1 ，图中有几个直角三角形，说明原由.10、【基础题】以下各组中，不可以构成直角三角形三边长度的是（ A ） 9， 12， 15（B）15，32，39（C）16，30，34 （）（ D） 9， 40， 4110.1、【基础题】（ 1）假如将直角三角形的三条边长同时扩大一个同样的倍数，获得的三角形仍是直角三角形吗？（2）下表中第一列每组数都是勾股数，补全下表，这些勾股数的2 倍、 3 倍、 4 倍、 10 倍仍是勾股数吗？随意正整数倍呢？谈谈你的原由。
八年级数学上册 第一章 勾股定理知识点与常见题型总结及练习 (新版)北师大版
第1章 勾股定理一．知识归纳 1．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五〞形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBA方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，那么c =b，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形〞来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比拟，假设它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；假设222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；假设222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如假设三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+〔2,n ≥n 为正整数〕； 2221,22,221n n n n n ++++〔n 为正整数〕 2222,2,m n mn m n -+〔,m n >m ，n 为正整数〕 7．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线〔通常作垂线〕，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． 8．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比拟，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比拟而得到错误的结论． 9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵17AB =，15AC =，求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB =⑵8BC = 题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，那么这个三角形的面积为 ⑶直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，那么这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴4AC =， 2.4AC BCCD AB⋅==⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，那么17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DECD == 在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影局部面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，那么6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD 答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c == ∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c = 222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CBAAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=，90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=一、 选择题1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，那么以下结论中恒成立的是 ( )A 、2ab<c 2B 、2ab ≥c 2C 、2ab>c 2D 、2ab ≤c22、x 、y 为正数，且│x 2-4│+〔y 2-3〕2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为〔 〕A 、5B 、25C 、7D 、153、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，那么满足要求的直角三角形共有〔 〕A 、4个B 、5个C 、6个D 、8个4、以下命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，〔a>b=c 〕，那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。
八年级数学上册《第一章 探索勾股定理》练习题-带答案(北师大版)
八年级数学上册《第一章探索勾股定理》练习题-带答案(北师大版)一、选择题1.下列三角形中，可以构成直角三角形的有( )A.三边长分别为2，2，3B.三边长分别为3，3，5C.三边长分别为4，5，6D.三边长分别为1.5，2，2.52.如图，直角△ABC的周长为24，且AB：AC＝5：3，则BC＝( )A.6B.8C.10D.123.下列各组数为勾股数的是( )A.6，12，13B.3，4，7C.4，7.5，8.5D.8，15，164.在下列四组数中，不是勾股数的一组数是( )A.a＝15，b＝8，c＝17B.a＝9，b＝12，c＝15C.a＝7，b＝24，c＝25D.a＝3，b＝5，c＝75.若直角三角形的三边长分别为6、10、m，则m2的值为( )A.8B.64C.136D.136或646.直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的13，斜边长为10，则它的面积为( )A.10B.15C.20D.307.如图是边长为10 cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是( )8.直角三角形的三边为a﹣b，a，a＋b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为( )A.61B.71C.81D.91二、填空题9.若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积．10.在Rt△ABC中，∠C＝90o， AC＝6，BC＝8，则AB边的长是 .11.已知正方形①、②在直线上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别4cm2和15cm2，则正方形③的面积为．12.如图，直线上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和12，则b的面积为____.13.若直角三角形的两小边为5、12，则第三边为．14.如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面积为2、8、5，则正方形D的面积为______.三、解答题15.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…a，b，c根据你发现的规律，请写出(1)当a＝19时，求b、c的值；(2)当a＝2n＋1时，求b、c的值；(3)用(2)的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由.16.如图，在△ABC中，AB＝AC＝26，边BC上的中线AD＝24．求BC的长度．17.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°.请完成以下任务.(1)尺规作图：①作∠A的平分线，交CB于点D；②过点D作AB的垂线，垂足为点E.请保留作图痕迹，不写作法，并标明字母.(2)若AC＝3，BC＝4，求CD的长.18.如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D为AB边上的一点(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)若DE＝13，BD＝12，求线段AB的长．19.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.(1)求DE的长；(2)求△ADB的面积.20.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边中点，过D点做DE⊥DF，交AB于E，交BC于F．若AE＝4，FC＝3，求EF长.参考答案1.D.2.B3.D4.D5.D.6.B7.A.8.C.9.答案为：24.10.答案为：10.11.答案为：19．12.答案为：1713.答案为：13.14.答案为：1515.解：(1)观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1 ∵a＝19，a2＋b2＝c2∴192＋b2＝(b＋1)2∴b＝180∴c＝181；(2)通过观察知c﹣b＝1∵(2n＋1)2＋b2＝c2∴c2﹣b2＝(2n＋1)2(b＋c)(c﹣b)＝(2n＋1)2∴b＋c＝(2n＋1)2又c＝b＋1∴2b＋1＝(2n＋1)2∴b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1；16.解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线∴AD⊥BC，BD＝DC．∴AD2＋BD2＝AB2∵AD＝24，AB＝26∴BD2＝100∵BD＞0∴BD＝10∴DC＝10∴BC＝BD＋DC＝20．17.解：(1)如图所示：①AD是∠A的平分线；②DE是AB的垂线；(2)在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝5由作图过程可知：DE＝DC，∠AED＝∠C＝90°∵S△ACD ＋S△ABD＝S△ABC∴12AC•CD＋12AB•DE＝12AC•BC∴12×3×CD＋12×5×CD＝12×3×4，解得：CD＝32.18.证明：(1)∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形∴CE＝CD，AC＝BC，∠ACB＝∠ECD＝90°，∠B＝∠BAC＝45°∴∠ACE＝∠BCD＝90°﹣∠ACD在△ACE和△BCD中∴△ACE≌△BCD；(2)解：∵△ACE≌△BCD∴AE＝BD，∠EAC＝∠B＝45°∵BD＝12∴∠EAD＝45°＋45°＝90°，AE＝12在Rt△EAD中，∠EAD＝90°，DE＝13，AE＝12 由勾股定理得：AD＝5∴AB＝BD＋AD＝12＋5＝17．19.解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°∴AC⊥CD.又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB∴DE＝CD又∵CD＝3∴DE＝3；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8 ∴AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10∴S△ADB ＝12AB·DE＝12×10×3＝15.20.解：连接BD．∵D是AC中点∴∠ABD＝∠CBD＝45°，BD＝AD＝CD，BD⊥AC ∵∠EDB+∠FDB＝90°，∠FDB+∠CDF＝90°∴∠EDB＝∠CDF在△BED和△CFD中∠EBD＝∠C,BD＝CD,∠EDB＝∠CDF∴△BED≌△CFD(ASA)∴BE＝CF；∵AB＝BC，BE＝CF＝3 ∴AE＝BF＝4在Rt△BEF中，EF＝ 5.。
(2021年整理)八年级数学上册_第一章勾股定理练习题_北师大版
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八年级数学练习题一．选择题（12×3′=36′）1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( )A、25B、14C、7D、7或252．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（）A、a=1.5,b=2，c=3B、a=7,b=24，c=25C、a=6,b=8,c=10D、a=3,b=4,c=53．若线段a,b,c组成Rt△，则它们的比为( )A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶74．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（）A、121B、120C、132D、不能确定5．如果Rt△两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为( ）A、60∶13B、5∶12C、12∶13D、60∶1696．如果Rt△的两直角边长分别为n2－1,2n（n〉1)，那么它的斜边长是（）A、2nB、n+1C、n2－1D、n2+17．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm,则Rt△ABC的面积是（） A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm28．等腰三角形底边上的高为8,周长为32，则三角形的面积为（）A、56B、48C、40D、329．三角形的三边长为(a+b)2=c 2+2ab ，则这个三角形是（ ）A. 等边三角形； B 。
2021年 北师大新版 八年级上册 第1章勾股定理 勾股定理的证明练习题 (含答案)
2021年北师大新版八年级上册第1章勾股定理勾股定理的证明练习题（含答案）一．选择题（共4小题）1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．2．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（）A．1+B．2+C．5﹣D．3．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且S ＝21，则图中阴影部分的面积之和为（）正方形ABCDA．B．C．D．4．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形边长为1，大正方形边长为5，则一个直角三角形的周长是（）A．6B．7C．12D．15二．填空题（共2小题）5．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么（a+b）2的值为．6．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a＝9，小正方形ABCD的面积是9，则弦c长为．三．解答题（共2小题）7．如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE 的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．（1）求证：DF⊥AB；（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．8．知识探究：如图1是两直角边长分别为m，n（m＞n）的直角三角形，如果用四个与图1完全一样的直角三角形可以拼成如图2和图3的几何图形．其中图2和图3的四边形ABCD、四边形EFGH都是正方形．请你根据几何图形部分与整体的关系完成第（1）（2）题．请选择（m+n）2，（m﹣n）2，mn中的有关代数式表示：图2中正方形ABCD的面积：．图3中正方形ABCD的面积：．（2）请你根据题（1），写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．知识应用：（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：（a+b）2的值；②已知：a＞0，a﹣＝，求：a+的值．2021年北师大新版八年级上册第1章勾股定理勾股定理的证明练习题（含答案）参考答案一．选择题（共4小题）1．D；2．B；3．B；4．C；二．填空题（共2小题）5．29；6．15；三．解答题（共2小题）7．；8．（m﹣n）2+2mn；（m+n）2﹣2mn；（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn 或者（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn．；。
第一章 勾股定理 分类提升训练(含答案) 2024--2025学年 北师大版 八年级数学上册
第一章 勾股定理 分类提升训练 2024--2025学年 北师大版 八年级数学上册一、单选题1．学了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下：甲：如果是直角三角形，那么一定成立；乙：在中，如果，那么不是直角三角形．对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）A ．甲对，乙错B ．甲错，乙对C ．两人都错D ．两人都对2．如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则的长为（ ）A ．4B ．2CD ．33．为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为米的市民正对门缓慢走到离门米的地方时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离等于（ ）A ．米B ．米C ．米D ．米4．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠ABO ＝60°，若矩形的对角线长为6．则线段AD 的长是（ ）ABC V 222a b c +=ABC V 222a b c +≠ABC V ABC V 90ACB ∠=︒AC AB 1S 2S 13S =27S =BC A 3AB = 1.8CD 1.6 1.6BC =AD 2.0 2.2 2.25 2.5A ．3B ．4C ．2D ．35．如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，已知矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，，分别交于点，，且，则的长为（ ）A．B ．C ．D ．7． 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．28．如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面6cm 16cm 25cm 6cm 5cm 9cm (25cm -ABCD 4AB =3BC =P BC CDP V DP C E PE DE AB O F OP OF =DF 3911451317557173276256101尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面、求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是尺，根据题意，可列方程为（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，过矩形对角线的交点，作对角线的垂线，交于点，交于点，若，，则的长等于（ ）A ．B ．CD ．10．在Rt 中，.以为圆心，AM 的长为半径作弧，分别交AC ，AB 于点M ，N.再分别以M ，N 为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于点.连接AP ，并延长AP 交BC 于点.过点作于点，垂足为，则DE 的长度为（ ）A ．B ．C ．2D ．1二、填空题11．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1米，当他把绳子下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为 米．12．下图是公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角 ，而走“捷径 ”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路 ”.已知 米， 米，只为少走 米的路. x 222510x +=()2221015x -+=()22215x x -+=()22251x x +=-ABCD O BD AD E BC F 3AE =5BF =EF 48ABC V B ∠=90,8,10AB AC ︒==A P D D DE AC ⊥E E 8345ABC ∠AC AC 40AB =30BC =13．若的三边，，满足，则的面积是 ．14．如图，矩形ABCD 中， ， ，CB 在数轴上，点C 表示的数是 ，若以点C 为圆心，对角线CA 的长为半径作弧交数轴的正半轴于点P ，则点P 表示的数是 .15．有一根长7cm 的木棒，要放进长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱， (填“能”或“不能”)放进去。
八年级数学上册第1章勾股定理拔高练勾股定理的应用新版北师大版
1. [2024襄阳襄州区阶段练习]我国古代数学家赵爽为了证明
勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦
图”.如图是由弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三
角形拼接而成的，记图中正方形 ABCD ，正方形 EFGH ，
正方形 MNKT 的面积分别为 S1， S2， S3， 若EF ＝6，则 S1＋ S2＋ S3的值是( D )
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因为在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， AB ＝6， BC ＝10， 所以 AC ＝8， CQ ＝ AB ＝ AD ＝6. 所以 PB ＝ AC ＝ AI ＝8. 所以 IP ＝8＋6＋8＝22， DQ ＝6＋8＋6＝20. 所以长方形 KLMJ 的面积＝22×20＝440.
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3. 【问题探究】(1)如图①，在锐角三角形 ABC 中，分别以 AB ， AC 为边向外作等腰直角三角形 ABE 和等腰直角三 角形 ACD ，使 AE ＝ AB ， AD ＝ AC ，∠ BAE ＝∠ CAD ＝90°，连接 BD ， CE ，请判断 BD 与 CE 的数量关系，并说明理由；
( B) A.拨：如图，延长 AB 交 KL 于 P ，延长 AC 交 LM 于 Q ， 由题意得，∠ BAC ＝∠ BPF ＝∠ FBC ＝90°， BC ＝BF ， 所以∠ ABC ＋∠ ACB ＝90°＝∠ PBF ＋∠ ABC . 所以∠ ACB ＝∠ PBF . 所以△ ABC ≌△ PFB (AAS).所以 PB ＝ AC . 同理可得△ ABC ≌△ QCG . 所以 CQ ＝ AB .
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解： BD ＝ CE . 理由如下： 因为∠ CAD ＝∠ BAE ＝90°， 所以∠ BAD ＝∠ EAC ＝90°＋∠ BAC . 因为 AB ＝ AE ， AD ＝ AC ， 所以△ ABD ≌△ AEC (SAS). 所以 BD ＝ CE .
北师大版八年级上第一章勾股定理(附习题和答案)
第一章 勾股定理1、勾股定理（性质定理）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、勾股定理的逆定理（判定定理）如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意 （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为c ；（2）验证c 2和a 2＋b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2＜a 2＋b 2，则△ABC 为锐角三角形）。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
经典的勾股数：3、4、5（3n 、4n 、5n ） 5、12、13（5n 、12n 、13n ） 7、24、25（7n 、24n 、25n ） 8、15、17（8n 、15n 、17n ） 9、40、41（9n 、40n 、41n ） 11、60、61（11n 、60n 、61n ） 13、84、85（13n 、84n 、85n ）例1. 如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 C 5 D ．5练习1：如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C'处，BC'交AD 于E ，AD=8，AB=4，则DE 的长为( )A.3B.4C.5D.6FEDCBAC A B ED 练习2：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为例2. 三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是 ( ). A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形练习1：已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8100a b c ---=，则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形练习2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．例3. 将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是（ ）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cm练习：如图，圆柱形玻璃容器高20cm ，底面圆的周长为48cm ，在外侧距下底1cm 的 点A 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm 的点B 处有一只CABDS 3S 2S 1C B A 苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为________.例4. a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由练习：已知直角三角形的周长是62+，斜边长2，求它的面积．例5. 已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°， 求四边形ABCD 的面积。
北师大版八年级上册数学第一章 勾股定理含答案(各地真题)
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为（）A. B. C. D.2、如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）A.12米B.13米C.14米D.15米3、一木杆在离地面5m处析断，木杆顶端落在木杆底端12m处，则木杆析断前高为（）A.18mB.13mC.17mD.12m4、三角形的三边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是( )．A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形5、如图所示，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A. B. C. D.6、已知的三边长分别为9，40，41，则的面积为（）A.171B.180C.820D.不能确定7、如右图，△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2 , l2，l3之间的距离为3 ,则AC的长是（）A. B. C. D.8、下列几组数，能作为直角三角形的三边的是（）A.5，12，23B.0.6，0.8，1C.20，30，50D.4, 5，69、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A. B.2 C.3 D.210、如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（）A.4B.5C.D.11、如图，直线y=x+1分别与x轴、y轴相交于点A，B，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴于点A1，再过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以点A为圆心，AB1长为半径画弧交x轴于点A2，…，按此做法进行下去，则点B4的坐标是（）A.（2 ，2 ）B.（3，4）C.（4，4）D.（4 ﹣1，4 ）12、如图，△ABC为格点三角形（顶点皆在边长相等的正方形网格的交叉点处），则cosB等于（）A. B. C. D.13、同学甲要从A点出发到距离A点1000米的C地去，他先沿北偏东70°方向到达B地，然后再沿北偏西20°方向走了600米到达目的地C，由此可知AB 之间的距离为（）A.700米B.700 米C.800米D.800 米14、如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A.90°B.60°C.45°D.30°15、如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD的内部，将AF延长后交边BC于点G，且，则的值为________.17、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点，E、F分别为边AC、BC上的点，且AE＝AD，BF＝BD．若DE＝，DF＝2则∠EDF＝________°，线段AB的长度=________.18、如图，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则CM的长为________.19、如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2，，之间的距离为3，则的长是________.20、某同学掷出的铅球在平地上砸出一个直径约为10cm，深约为2cm的小坑，则该铅球的直径约为________.21、我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若BD=3，AE=4，则正方形ODCE的边长等于________．22、已知矩形OABC中，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，B的坐标为(10，5)，点P在边BC上，点A关于OP的对称点为A'，若点A'到直线BC 的距离为4，则点A'的坐标可能为________．23、矩形ABCD中，AB=10，BC=3，E为AB边的中点，P为CD边上的点，且△AEP是腰长为5的等腰三角形，则DP=________．24、如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向900米处，船C在点A南偏东15°方向1200米处，则船B与船C之间的距离为________米.25、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=1，则AB2+BC2+AC2=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，求AB与CD的长．27、如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？28、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度BC为多少米？29、计算:①已知：a+ =1+ ，求a2+ 的值．②如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四边形ABCD的面积。
第一章 勾股定理 测试卷北师大版八年级数学上册
第一章 勾股定理 测试卷一．填空题1.一个三角形三个内角的度数之比为1:2:3，则这个三角形一定是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形2.《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x 尺，则可列方程为（ ）A.x 2-6=(10-x)2B.x 2-6 2=(10-x)2C.x 2+6=(10-x)2D.x 2+62=(10-x)23.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若(a+b) 2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A.3B.4C.5D.64.如图所示，在Rt △ABC 中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 边的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A.35B. 25C.4D.55.下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ）A.3，5，6B.2，4，5C.6，7，8D.1.5，2，2.56.若△ABC 的三边长a ，b ，c 满足(a-b)2+|a 2+b 2-c 2|=0，则△ABC 是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形7.如图，已知圆柱的底面直径BC=6，高AB=8，小虫在圆柱表面爬行，从C 点爬到A 点，然后再沿另一面爬回C 点，则小虫爬行的最短路程为（ ）A.6B.8C.10D.148.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A.CD ，EF ，GHB.AB ，EF ，GHC.AB ，CD ，GHD.AB ，CD ，EF9.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米.则小巷的宽度为（ ）A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米10.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=2cm.点P 在边AC 上，从点A 向点C 移动，点Q 在边CB 上，从点C 向点B 移动，若点P 、Q 均以1cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ ，则线段PQ 2的最小值是（ ）A.400cmB.324cmC.20cmD.18cm二．填空题11.有一组勾股数，两个较小的数为8和15，则第三个数为______.12.若直角三角形的两直角边长为a 、b ，且满足 962+-a a +|b-4|=0，则该直 角三角形的斜边长为______.13.一个三角形的三边长分别是12cm ，16cm ，20cm ，则这个三角形的面积是______.14.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，点F 是AD 的中点，若AB=8，则EF=______.15.如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD 和四边形EFGH 都是正方形，△ABF 、△BCG 、△CDH 、△DAE 是四个全等的直角三角形.若EF=2，DE=8，则AB 的长为______.16.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是______尺.三．解答题17.如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求△ABC的面积.18.如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度沿北偏东40°的方向航行，乙船沿南偏东50°的方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？19.如图所示，正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.（1）正方形①的面积S1=______cm2，正方形②的面积S2=1cm2，正方形③的面积S3=25cm2.（2）S1，S2，S3之间存在什么关系？（3）猜想：如果Rt△ABC三边BC，AC，AB的长分别为a，b，c，那么它们之间存在什么关系？20.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车检测仪A正前方30米C处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为AB为50米，这辆小汽车超速了吗？21.如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积．22.学校要征收一块土地，形状如图所示，∠B=∠D=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，土地价格为1000元/m2，请你计算学校征收这块地需要多少钱？23.如图，在△ABC中，AD，AE分别是BC边上的高和中线，AB=9cm，AC=7cm，BC=8cm，求DE的长.24.如图，壁虎在一座底面半径为2米，高为5米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击.结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？（π取3）25.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗。
2023-2024学年八年级数学上册《第一章 勾股定理的应用》同步练习题附带答案-北师大版
2023-2024学年八年级数学上册《第一章勾股定理的应用》同步练习题附带答案-北师大版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．梯子的底端离建筑物6米，10米长的梯子可以到达建筑物的高度是（）A．6米B．7米C．8米D．9米2．一个长方形抽屉长3cm，宽4cm，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm3．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（）A．8m B．10m C．16m D．18m4．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（）A．4尺B．4.55尺C．5尺D．5.55尺5．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积41，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A．25 B．41 C．62 D．816．如图，斜坡BC的长度为4米．为了安全，决定降低坡度，将点C沿水平距离向外移动4米到点A，使得斜坡AB的长度为4√3米，则原来斜坡的水平距离CD的长度是（）米．A．2 B．4 C．2√3D．67．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（）A．20km B．14km C．11km D．10km8．如图，OP=1，过点P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=√2；再过点P，作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=√3；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2…依此法继续作下去，得OP2021=（）A．√2023B．√2022C．√2021D．√2020二、填空题9．一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距海里．10．如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是A→C→B时，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ACB(∠ACB=90°)，于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路AB.某学习实践小组通过测量可知，AC的长约为6米，BC的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行米．11．在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是尺．12．如图，一个长方体铁盒的长，宽，高分别是8 cm，6 cm，24 cm，-根长28 cm的木棒完全装进这个盒子里.（填“能”或“不能”）13．如图，山坡上，树甲从点A处折断，其树顶恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4m，BC ＝10m，已知两棵树的水平距离为6m，则树甲原来高．三、解答题14．如图，小旭放风筝时，风筝挂在了树上，他先拉住风筝线，垂直于地面，发现风筝线多出1米；把风筝线沿直线BC向后拉5米，风筝线末端刚好接触地面，求风筝距离地面的高度AB.15．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）．16．某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）.如图（2），已知云梯最多只能伸长到15m（即AB=CD=15m），消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m（即BE=12m）高的B处救人后，还要从15m（即DE=15m）高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？（延长AC交DE于点O，AO⊥DE点B在DE上，OE的长即为消防车的高3m）17．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．（1）求修建的公路CD的长；（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？18．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h．（1）求监测点A与监测点B之间的距离；（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由．参考答案1．C2．B3．C4．B5．D6．A7．D8．B9．3010．411．3.7512．不能13．(4+6√5)m14．解：设AB＝x米，则AC＝（x＋1）米由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5米在Rt△ABC中AB2+BC2=AC2即x2+52=(x+1)2解得x＝12答：风筝距离地面的高度AB为12米.15．解：如图设旗杆高度为x米，则AC=AD=x(m)，AB=(x−2)(m)而BC=8m 在Rt△ABC中AB2+BC2=AC2，即(x−2)2+82=x2解得：x=17(m)即旗杆的高度为17m．16．解：在 Rt △ABO 中∵∠AOB =90° AB =15m ，OB =12−3=9 （m ） ∴AO =√AB 2−OB 2=√152−92=12 （m ）在 Rt △COD 中∵∠COD =90°，CD =15m ，OD =15−3=12 （m ） ∴OC =√CD 2−OD 2=√152−122=9 （m ）∴AC =OA −OC =3 （m ）答：消防车从原处向着火的楼房靠近的距离 AC 为 3m .17．（1）解：∵AC=15km ，BC=20km ，AB=25km152+202=252∴△ACB 是直角三角形，∠ACB=90°∵12AC ×BC=12AB ×CD∴CD=AC ×BC ÷AB=12（km ）．故修建的公路CD 的长是12km ；（2）解：在Rt △BDC 中，BD= √BC 2−CD 2=16（km ）一辆货车从C 处经过D 点到B 处的路程=CD+BD=12+16=28（km ）． 故一辆货车从C 处经过D 点到B 处的路程是28km ．18．（1）解：在RtΔABC 中，AC =300km ，BC =400km ∴AB =√AC 2+BC 2=√3002+4002=500（km ）答：监测点A 与监测点B 之间的距离为500km ；（2）解：海港C 受台风影响理由：∵∠ACB =90°，CE ⊥AB∴S ΔABC =12AC ⋅BC =12CE ⋅AB ∴300×400=500CE∴CE =240km∵以台风中心为圆心周围260km 以内为受影响区域∴海港C 会受到此次台风的影响以C 为圆心，260km 长为半径画弧，交AB 于D ，F则DE =EF =260km 时，正好影响C 港口在RtΔCDE 中∵ED =√CD 2−CE 2=√2602−2402=100（km ）∴DF =200km∵台风的速度为25千米/小时∴200÷25=8（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为8小时．。
2021-2022学年上学期初中数学北师大新版八年级第一章勾股定理 经典题精练【含答案】
2021-2022学年上学期初中数学北师大新版八年级同步经典题精练之勾股定理一、选择题（共7小题）1．（2021春•巴南区期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为、，那么的值是 a b 2()a b -()A ．1B ．2C ．12D ．132．（岐山县期中）有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边处有健身B 器材，由于居住在处的居民践踏了绿地，小明想在处树立一个标牌“少走米，踏A A ¨ 之何忍”请你计算后帮小明在标牌的“”填上适当的数字是 ¨ ()A ．3米B ．4米C ．5米D ．6米3．（慈溪市期末）长度为下列三个数据的三条线段，能组成直角三角形的是 ()A ．1，2，3B ．3，5，7C ．1，3D ．1，54,334．（白云区期末）下列各组数中不是勾股数的是 ()A ．3，4，5B ．4，5，6C ．5，12，13D ．6，8，105．（郴州校级月考）一直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为12，则另一直角边长为 ()A ．13B ．12C ．4D ．56．（杭州期末）如图，中，，，，分别以，，Rt ABC ∆90C ∠=︒6AC =8BC =AB AC为边在的同侧作正方形，，，四块阴影部分的面积分别为BC AB ABRF ACPQ BDEC ，，，，则等于 1S 2S 3S 4S 1234S S S S +++()A ．42B ．64C ．72D ．807．（2010•铁岭）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，则树高为 B 2AB =()A米BC ．米D．3米1)+二、填空题（共8小题）8．（2020春•兖州区期末）若8，，17是一组勾股数，则 ．a a =9．（2020春•当涂县期末）三个正整数，，，如果满足，那么我们称这三abc 222a b c +=个数，，叫做一组勾股数．如，则3，4，5就是一组勾股数．请写出与a b c 222345+=3，4，5不同的一组勾股数 ．10．（株洲模拟）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正ABCD 方形．连接，相交于点、与相交于点．若，则EFGH EG BD O BD HC P GO GP =的值是 ．ABCDEFGH S S 正方形正方形11．（浦东新区期末）如果一个直角三角形的两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高的长度为 ．12．（临海市期末）如图，在四边形中，，，，=12=BC cmCD cm=3ABCD4AB cm，且，则四边形的面积为 ．∠=︒ABCDABC13DA cm=9013．（2011•巴中）直角三角形的斜边长为13，一直角边长为12，另一直角边长是方程+-=aa x(2)50的根，则的值为 ．14．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是和，那么的值为 ．a b ab15．如图，在四边形中，，，，，=3=4=CD cmBC cmABCD90AB cmC∠=︒12cm．求四边形的面积 ．=ABCD=2AD cm13三、解答题（共7小题）16．（2021春•望城区期末）定义：如图，点、把线段分割成、、，M N AB AM MN NB AM MN NB M N AB若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．AM=M N AB AM MN NB2（1）已知、把线段分割成、、，若，，、是线段的勾股分割点吗？请说明理由．MN=BN=M N AB4AB=5（2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，M N AB AM12AM=求的长．BN17．（2020秋•苏州期末）如图，四边形中，DEFG，，，，的长．120DEF ∠=︒135EFG ∠=︒6DE =5EF =FG =DG18．（溧阳市期中）如果，，为正整数，且满足，那么，、、叫做a b c 222a b c +=a b c 一组勾股数．（1）请你根据勾股数的意思，说明3、4、5是一组勾股数；（2）写出一组不同于3、4、5的勾股数 ；（3）如果表示大于1的整数，且，，，请你根据勾股数的m 4a m =241b m =-241c m =+定义，说明、、为勾股数．a b c 19．（温州）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：．90DAB ∠=︒222a b c +=证明：连接，过点作边上的高，则．DB D BC DF DF EC b a ==-．21122ACD ABC ADCB S S S b ab ∆∆=+=+ 四边形又()21122ADB DCB ADCB S S S c a b a ∆∆=+=+- 四边形∴221111()2222b abc a b a +=+-222a b c ∴+=请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中．90DAB ∠=︒求证：222a b c +=证明：连接 ACBED S = 五边形又 ACBED S = 五边形 ∴．222a b c ∴+=20．阅读理解：我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例如5，12，13；9，40，41；但其中也有⋯一些特殊的勾股数，例如：3，4，5是三个连续正整数组成的勾股数．解决问题：（1）在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？若存在，试写出一组勾股数；（2）在无数组勾股数中，是否还存在其他的三个连续正整数能组成勾股数？若存在，求出勾股数；若不存在，说明理由．21．中，，，，．证明：当，，为勾股数时，ABC ∆90C ∠=︒AB c =BC a =AC b =a b c ，，为正整数）也是勾股数．ka kb (kc k 22．在中，，，，分别是，，所对的三条边．Rt ABC ∆90C ∠=︒a b c A ∠B ∠C ∠（1）如果，，求的长；3a =4b =c （2）如果，，求的长．13c =12b =a2021-2022学年上学期初中数学北师大新版八年级同步经典题精练之勾股定理答案与试题解析一、选择题（共7小题）1．（2021春•巴南区期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为、，那么的值是 a b 2()a b -()A ．1B ．2C ．12D ．13A【考点】勾股定理的证明【分析】根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面22a b +积，即可得到的值，然后根据即可求解．ab 222()2a b a ab b -=-+解：根据勾股定理可得，2213a b +=四个直角三角形的面积是：，即：14131122ab ⨯=-=212ab =则．222()213121a b a ab b -=-+=-=方法二、小正方形的边长就是，其面积是1，||a b -故选：．A 【点评】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得和的值22a b +ab 是关键．2．（岐山县期中）有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边处有健身B 器材，由于居住在处的居民践踏了绿地，小明想在处树立一个标牌“少走米，踏A A ¨ 之何忍”请你计算后帮小明在标牌的“”填上适当的数字是 ¨ ()A ．3米B ．4米C ．5米D ．6米【考点】：勾股定理的应用KU 【专题】12：应用题【分析】根据捷径恰好与、构成直角三角形，由勾股定理即可求出的长．AB AC BC AB 解：因为是一块正方形的绿地，所以，由勾股定理得，米，90C ∠=︒25AB =计算得由点顺着，到点的路程是米，而米，则少走A AC CB B 24731+=25AB =米．31256-=故选：．D【点评】此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力，同时也增强了学生们要爱护草地的意识．3．（慈溪市期末）长度为下列三个数据的三条线段，能组成直角三角形的是 ()A ．1，2，3B ．3，5，7C ．1，3D ．1，54,33【考点】：勾股定理的逆定理KS 【专题】554：等腰三角形与直角三角形；64：几何直观【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这a b c 222a b c +=个三角形就是直角三角形进行分析即可．解：、，不能组成直角三角形，故此选项错误；A 222123+≠、，不能组成直角三角形，故此选项错误；B 222357+≠、，不能组成直角三角形，故此选项错误；C 22213+≠、，能组成直角三角形，故此选项正确．D 222451()(33+=故选：．D 【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．4．（白云区期末）下列各组数中不是勾股数的是 ()A ．3，4，5B ．4，5，6C ．5，12，13D ．6，8，10【考点】：勾股数KT 【分析】分别求出两小边的平方和、最长边的平方，看看是否相等即可．解：、，A 222345+= 以3、4、5为边能组成直角三角形，∴即3、4、5是勾股数，故本选项错误；、，B 222456+≠ 以4、5、6为边不能组成直角三角形，∴即4、5、6不是勾股数，故本选项正确；、，C 22251213+= 以5、12、13为边能组成直角三角形，∴即5、12、13是勾股数，故本选项错误；、，D 2226810+= 以6、8、10为边能组成直角三角形，∴即6、8、10是勾股数，故本选项错误；故选：．B 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．5．（郴州校级月考）一直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为12，则另一直角边长为 ()A ．13B ．12C ．4D ．5【考点】：勾股定理KQ 【分析】由勾股定理求出另一直角边长即可．解：一直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为12，由勾股定理得另一直角边长．∴5==故选：．D 【点评】本题考查了勾股定理；由勾股定理求出另一直角边长是解决问题的关键．6．（杭州期末）如图，中，，，，分别以，，Rt ABC ∆90C ∠=︒6AC =8BC =AB AC 为边在的同侧作正方形，，，四块阴影部分的面积分别为BC AB ABRF ACPQ BDEC ，，，，则等于 1S 2S 3S 4S 1234S S S S +++()A ．42B ．64C ．72D ．80【考点】：勾股定理KQ 【分析】过作的垂线交于，通过证明的面积，F AE AE N 1234Rt ABC S S S S +++=∆3⨯依此即可求解．解：可证，，，FPJ REK ∆≅∆FQA BCA ∆≅∆BDR BCA ∆≅∆则，413Rt ABC S S S S ∆=+=的左上方的顶点为，过作的垂线交于，2S F F AE AE N 可证明，而图中全等于，Rt ANF Rt ABC ∆≅∆Rt FNK ∆Rt ACJ ∆所以．2Rt ABC S S ∆=1234S S S S +++1324()S S S S =+++的面积的面积的面积Rt ABC =∆Rt ABC +∆Rt ABC +∆的面积Rt ABC =∆3⨯8623=⨯÷⨯．72=故选：．C【点评】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．7．（2010•铁岭）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，则树高为 B 2AB =()A 米B C ．米D ．3米1)+C 【考点】勾股定理的应用【分析】在中，根据勾股定理可求得的长，而树的高度为，的长Rt ACB ∆BC AC BC +AC 已知，由此得解．解：中，米，米；Rt ABC ∆1AC =2AB =由勾股定理，得：BC ==树的高度为：米；∴1)AC BC +=+故选：．C 【点评】正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．二、填空题（共8小题）8．（2020春•兖州区期末）若8，，17是一组勾股数，则 15 ．a a =【考点】：勾股数KT 【分析】分为最长边，17为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证a 两小边的平方和是否等于最长边的平方．解：①为最长边，，不是正整数，不符合题意；a a ==②17为最长边，，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．15a ==故15．【点评】考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．ABC ∆222a b c +=ABC ∆9．（2020春•当涂县期末）三个正整数，，，如果满足，那么我们称这三a b c 222a b c +=个数，，叫做一组勾股数．如，则3，4，5就是一组勾股数．请写出与a b c 222345+=3，4，5不同的一组勾股数 6，8，10（答案不唯一） ．【考点】：勾股数KT 【专题】69：应用意识；23：新定义【分析】根据题中所给勾股数的定义写出一组即可，注意答案不唯一．解：与3，4，5不同的一组勾股数可以为6，8，10．故答案为6，8，10（答案不唯一）．【点评】本题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．注意：222a b c +=①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足，但是它们不是正整数，所以222a b c +=它们不是勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；⋯10．（株洲模拟）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正ABCD 方形．连接，相交于点、与相交于点．若，则EFGH EG BD O BD HC P GO GP =的值是 ABCDEFGHS S 正方形正方形2．2+【考点】勾股定理的证明【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力；图形的全等；运算能力【分析】先证明，得出．设，则，()BPG BCG ASA ∆≅∆PG CG =OG PG CG x ===2EG x =，再由勾股定理得出，即可得出答案．FG=22(4BC x =+解：四边形为正方形，EFGH ，，45EGH ∴∠=︒90FGH ∠=︒，OG GP = ，67.5GOP OPG ∴∠=∠=︒，22.5PBG ∴∠=︒又，45DBC ∠=︒ ，22.5GBC ∴∠=︒，PBG GBC ∴∠=∠，，90BGP BGC ∠=∠=︒ BG BG =，()BPG BCG ASA ∴∆≅∆．PG CG ∴=设，OG PG CG x ===为，的交点，O EG BD ，，2EG x ∴=FG =四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， ，BF CG x ∴==，BG x ∴=，22222221)(4BC BG CG x x x ∴=+=+=+，∴2ABCDEFGH S S ==正方形正方形故．2【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．11．（浦东新区期末）如果一个直角三角形的两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高的长度为 ．6013【考点】：勾股定理KQ 【专题】554：等腰三角形与直角三角形【分析】利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法求出斜边上的高即可．解：直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，，∴13=三角形的面积为斜边上的高）， 1151213(22h h =⨯⨯=⨯．6013h ∴=故．6013【点评】此题考查了勾股定理，以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．12．（临海市期末）如图，在四边形中，，，，ABCD 4AB cm =3BC cm =12CD cm =，且，则四边形的面积为 ．13DA cm =90ABC ∠=︒ABCD 224cm【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观【分析】连接，在中，已知，的长，运用勾股定理可求出的长，AC Rt ABC ∆AB BC AC 在中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形ADC ∆的面积为与的面积之差．ABCD Rt ACD ∆Rt ABC ∆解：连接，AC ，，，90ABC ∠=︒ 4AB cm =3BC cm =，5AC cm ∴=，，12CD cm = 13DA cm =，22222251216913AC CD DA +=+===为直角三角形，ADC ∴∆ACD ABCABCD S S S ∆∆∴=-四边形1122AC CD AB BC =⨯-⨯115124322=⨯⨯-⨯⨯306=-．24=故四边形的面积为．ABCD 224cm 故．224cm【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，判断出的形状是解答此题的关键．ACD ∆13．（2011•巴中）直角三角形的斜边长为13，一直角边长为12，另一直角边长是方程的根，则的值为 ．(2)50a x +-=a 1-【考点】85：一元一次方程的解；：勾股定理KQ 【分析】现根据勾股定理求出直角三角形的一条直角边的长，再将该直角边代入方程，将方程转化为关于的一元一次方程，解方程即可．(2)50a x +-=a 解：直角三角形的斜边长为13，一直角边长为12，，∴5=将代入得，5x =(2)50a x +-=，5(2)50a +-=解得．1a =-故．1-【点评】本题考查了勾股定理和一元一次方程的解，方程中未知数的转化是解题的关键，要仔细对待．14．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是和，那么的值为 12 ．a b ab12．【考点】勾股定理的证明【专题】运算能力；推理填空题；推理能力；矩形 菱形 正方形【分析】根据大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，可得直角三角形的面积，即可求得的值．ab 解：大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的面积是，∴(251)46-÷=又直角三角形的面积是， 162ab =．12ab ∴=故12．【点评】本题考查了勾股定理，还要注意图形的面积和，之间的关系．a b 15．如图，在四边形中，，，，，ABCD 90C ∠=︒12AB cm =3BC cm =4CD cm =．求四边形的面积 36 ．13AD cm =ABCD =2cm【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理【专题】常规题型【分析】连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出是直角三角BD BD CBD ∆形，分别求出和的面积，即可得出答案．ABD ∆CBD ∆解：连接，BD 在中，BCD ∆，，，90C ∠=︒ 3BC cm =4DC cm =，5()BD cm ∴==，211346()22BCD S BC DC cm ∆=⋅=⨯⨯=在中，ABD ∆，，13AD cm = 12AB cm =5BD cm=，222BD AB AD ∴+=是直角三角形，ABD ∴∆，21112530()22ABD S AB BD cm ∆∴=⋅=⨯⨯=四边形的面积．∴ABCD 263036()ABD BCD S S cm ∆∆=+=+=故36．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出和的面积，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么ABD ∆CBD ∆这个三角形是直角三角形．三、解答题（共7小题）16．（2021春•望城区期末）定义：如图，点、把线段分割成、、，M N AB AM MN NB 若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股AM MN NB M N AB 分割点．（1）已知、把线段分割成、、，若，M N AB AM MN NB 2AM =，、是线段的勾股分割点吗？请说明理由．4MN =BN =M N AB （2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，M N AB AM 12AB =5AM =求的长．BN【考点】勾股定理的逆定理【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可判断．（2）设，则，分两种情形①当为最大线段时，依BN x =127MN AM BN x =--=-MN 题意；②当为最大线段时，依题意；分别列出方222MN AM NB =+BN 222BN AM MN =+程即可解决问题．解：（1）是．理由：，，2222216AM BN +=+= 22416MN ==，222AM NB MN ∴+=、、为边的三角形是一个直角三角形．AM ∴MN NB 故点、是线段的勾股分割点．M N AB （2）设，则，BN x =127MN AM BN x =--=-①当为最大线段时，依题意，MN 222MN AM NB =+即，解得；22(7)25x x -=+127x =②当为最大线段时，依题意．BN 222BN AM MN =+即，解得．2225(7)x x =+-377x =综上所述的长为或．BN 127377【点评】本题参考勾股定理的逆定理、解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．17．（2020秋•苏州期末）如图，四边形中，DEFG，，，，的长．120DEF ∠=︒135EFG ∠=︒6DE =5EF =FG =DG【考点】勾股定理【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力【分析】延长并反向延长，作于，于，作于，根据EF DA AE ⊥A GB FB ⊥B //DC AB C 邻补角的定义得到，，，解直角三角形即可得到结60DEA ∠=︒45GFB ∠=︒60DGC ∠=︒论．解：延长并反向延长，作于，于，作于，EF DA AE ⊥A GB FB ⊥B //DC AB C，，120DEF ∠=︒ 135EFG ∠=︒，，60DEA ∴∠=︒45GFB ∠=︒，90A B C ∠=∠=∠=︒，，，3AE ∴=AD =FB GB ==，CG BC BG AD BG ∴=-=-=8AB CD AE EF BF ==++=+DG ∴==【点评】本题考查了勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．18．（溧阳市期中）如果，，为正整数，且满足，那么，、、叫做a b c 222a b c +=a b c 一组勾股数．（1）请你根据勾股数的意思，说明3、4、5是一组勾股数；（2）写出一组不同于3、4、5的勾股数 12，16，20 ；（3）如果表示大于1的整数，且，，，请你根据勾股数的m 4a m =241b m =-241c m =+定义，说明、、为勾股数．a b c 【考点】：勾股数KT 【分析】（1）直接利用勾股数的定义去验证即可；（2）根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，即可写出一组勾股222a b c +=数；（3）得到即可得到这是一组勾股数．222a b c +=解：（1）、4、5是正整数，且，3 222345+=、4、5是一组勾股数；3∴（2），且12，16，20都是正整数，222121620+= 一组勾股数可以是12，16，20．答案不唯一；∴故答案为12，16，20（3）表示大于1的整数，m 由，，得到、、均为正整数；∴4a m =241b m =-241c m =+a b c 又，而2222224242(4)(41)1616811681a b m m m m m m m +=+-=+-+=++ ，22242(41)1681c m m m =+=++，222a b c ∴+=、、为勾股数．a ∴bc 【点评】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方．注意本题答案不唯一．19．（温州）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：．90DAB ∠=︒222a b c +=证明：连接，过点作边上的高，则．DB D BC DF DF EC b a ==-．21122ACD ABC ADCB S S S b ab ∆∆=+=+ 四边形又()21122ADB DCB ADCB S S S c a b a ∆∆=+=+- 四边形∴221111()2222b abc a b a +=+-222a b c ∴+=请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中．90DAB ∠=︒求证：222a b c +=证明：连接 ，过点作边上的高，则， BD B DE BF BF b a =-ACBED S = 五边形又 ACBED S = 五边形 ∴．222a b c ∴+=【考点】勾股定理的证明【专题】推理填空题【分析】首先连接，过点作边上的高，则，表示出，进BD B DE BF BF b a =-ACBED S 五边形而得出答案．证明：连接，过点作边上的高，则，BD B DE BF BF b a =-，2111222ACB ABE ADE ACBED S S S S ab b ab ∆∆∆=++=++ 五边形又，()2111222ACB ABD BDE ACBED S S S S ab c a b a ∆∆∆=++=++- 五边形，∴22111111()222222ab b ab ab c a b a ++=++-．222a b c ∴+=【点评】此题主要考查了勾股定理得证明，表示出五边形面积是解题关键．20．阅读理解：我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例如5，12，13；9，40，41；但其中也有⋯一些特殊的勾股数，例如：3，4，5是三个连续正整数组成的勾股数．解决问题：（1）在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？若存在，试写出一组勾股数；（2）在无数组勾股数中，是否还存在其他的三个连续正整数能组成勾股数？若存在，求出勾股数；若不存在，说明理由．（1）存在，6、8、10；（2）不存在，理由详见解答．【考点】勾股定理的证明【专题】运算能力；实数；一元二次方程及应用【分析】（1）设出三个连续的偶数，利用勾股定理列方程求解即可；（2）设出三个连续的正整数，利用勾股定理求解，检验即可．解：（1）设中间的偶数为，则较大的偶数为，较小的偶数为，由勾股定理m 2m +2m -得，，222(2)(2)m m m -+=+解得，（舍去）8m =0m =所以这三个连续偶数为6，8，10，因此存在三个连续偶数能组成勾股数，如6，8，10；（2）不存在．理由：假设在无数组勾股数中，还存在其他的三个连续正整数能组成勾股数．设这三个正整数分别为、、，1n -n 1n +由勾股定理得，，222(1)(1)n n n -+=+解得，（舍去）．4n =0n =所以三个连续正整数是3，4，5，所以除了3、4、5以外，不存在其他的三个连续正整数能组成勾股数．【点评】本题考查勾股定理，理解“勾股数”的意义是得出正确答案的前提．21．中，，，，．证明：当，，为勾股数时，ABC ∆90C ∠=︒AB c =BC a =AC b =a b c ，，为正整数）也是勾股数．ka kb (kc k 【考点】：勾股数KT 【专题】64：几何直观；554：等腰三角形与直角三角形【分析】只要求证出、的平方和等于的平方即可．ka kb kc 解：中，，，，，ABC ∆ 90C ∠=︒AB c =BC a =AC b =，222a b c ∴+=，222222222222()()()()ka kb k a k b k a b k c kc +=+=+== 当，，为勾股数时，，，为正整数）也是勾股数．∴a b c ka kb (kc k 【点评】此题主要考查了勾股定理与勾股数，关键是根据所给的数据证明．222a b c +=22．在中，，，，分别是，，所对的三条边．Rt ABC ∆90C ∠=︒a b c A ∠B ∠C ∠（1）如果，，求的长；3a =4b =c （2）如果，，求的长．13c =12b =a 【考点】：勾股定理KQ 【专题】69：应用意识；554：等腰三角形与直角三角形【分析】（1）利用勾股定理计算的长；c （2）利用勾股定理计算的长．a 解：（1）在中，，，，Rt ABC ∆90C ∠=︒3a =4b =；5c ∴===（2）在中，，，，Rt ABC ∆90C ∠=︒13c =12b =．5a ∴===【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即：如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那a b c 么．注意勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．222a b c +=考点卡片1．一元一次方程的解定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．2．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．3．勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．4．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．5．勾股数勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…6．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．。
北师版八年级数学上《验证并应用勾股定理》练习课
*5.如图，已知Rt△ABC中，AB＝4，分别以AC，BC为直 径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于 ( A)
A．2 π B．4 π C．8 π D．16 π 【点拨】根据圆的面积公式结合勾 股定理，可知S1＋S2等于以AB为 直径的半圆形的面积．
6．【中考•荆州】《九章算术》中的“折竹抵地”问题(如图)：今 有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是： 一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹 梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高
②当 AB＝BP＝3，且 P 在 AC 上时，如图②所示， 作△ABC 的高 BD，则 BD＝ABA·CBC＝3×54＝2.4， 所以 AD2＝DP2＝32－2.42＝3.24. 所以 AD＝1.8.所以 AP＝2AD＝3.6. 所以 S△ABP＝AACP·S△ABC＝35.6×6＝4.32；
③当 CB＝CP＝4 时，如图③所示， S△BCP＝ACCP·S△ABC＝45×6＝4.8. 综上所述：等腰三角形的面积可能为 3.6 或 4.32 或 4.8. 故答案为 3.6 或 4.32 或 4.8. 【答案】3.6或4.32或4.8
(2)以(1)中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C在格点上， 请画出所有满足条件的点C. 解：如图②， 当AB为等腰三角形的一腰时， 分两种情况： a．以A为圆心，AB长为半径画弧，与网格线除B外有3个 交点在格点上，分别是C1，C2，C3；
b．以B为圆心，AB长为半径画弧，与网格线除A外有2个交点 在格点上，分别是C4，C5； 当AB为等腰三角形的底边时，顶角的顶点C在AB的垂直平分线 上，而AB的垂直平分线与网格线的交点均不在格点处，故不合 题意． 综上所述，满足条件的点C有5个．
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2、用勾股定理解古代趣题
一、古代趣题
1、12世纪印度著名数学家婆什迦罗给出了一个歌谣式的问题：波平如镜一湖面，3尺高处出红莲。
亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边。
离开原处6尺远，花贴湖面像睡莲。
请君动脑想一想，湖水在此深若干尺？
2、《九章算术》中的“折竹抵地”问题上：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺。
问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远。
问折断后的竹子有多高？
3、苍鹰与蛇的问题：树根下有一蛇洞，树高15米，树顶有一只苍鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有三倍树高时，鹰向蛇直扑过去。
如果鹰、蛇的速度相等，鹰扑击蛇的路线是直线段，请说出，鹰向何处扑击才能恰好抓住蛇？
4、有一棵古树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从根处缠绕而上，缠绕5周到达树顶，请问这根藤条有多长？（注：古树可以看成圆柱体；树粗3尺指的是圆柱底面周长为3尺。
1丈＝10尺）
二、最短距离问题
5、如图，有一个底面半径为6cm，高为24cm的圆柱，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物后再返回到A点处休息，请问它需爬行的最短路程约是多少？（π取整数3）
6、有一个长宽高分别为2cm，1cm，3cm的长方体，如图，有一只小蚂蚁想从点A爬到点C1处，请你帮它设计爬行的最短路线，并说明理由。
7、一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？
8、若△ABC的三边长为a、b、c，根据下列条件判断△ABC的形状。
（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c
(2) a3－a2b+ab2－ac2+bc2－b3=0 B C
A
D。