基本不等式ppt课件(自制)
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19、上天不会亏待努力的人，也不会 同情假 勤奋的 人，你 有多努 力时光 它知道 。 20、成长这一路就是懂得闭嘴努力， 知道低 调谦逊 ，学会 强大自 己，在 每一个 值得珍 惜的日 子里， 拼命去 成为自 己想成 为的人 。6.凡 是内心 能够想 到.相信 的，都 是可以 达到的 。――[NapoleonHill]
§3.4基本不等式: ab a b
2
24.03.2022
ICM2002会标
赵爽：弦图
24.03.2022
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@163.com
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
B
B
基本不等式1： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2b2 2ab
3.证明：a4 b4 c4 a2b2 b2c2 a2c2 abc(a b c)
24.03.2022
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人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自 己不奋 斗，终 归是摆 设。无 论你是 谁，宁 可做拼 搏的失 败者， 也不要 做安于 现状的 平凡人 。 18、过自己喜欢的生活，成为自己喜 欢的样 子，其 实很简 单，就 是把无 数个"今 天"过 好，这 就意味 着不辜 负不蹉 跎时光 ，以饱 满的热 情迎接 每一件 事，让 生命的 每一天 都有滋 有味。
例4、 求函数 y 1 x(x3)的最小值
x3
思考：求函数 y x 2 5 的最小值 x2 4
24.03.2022
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构造和为定值，利用基本不等式求最值
例5、已知 0x1，求 x 1 x2 的最大值
练习：
已知 x0,y0且 2x5y20，则 lgxlgy
最大值是多少？
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利用基本不等式证明不等式
1.已知a、b是正数，且a x
b y
1(x,
y
R
)，
求证：x y ( a b)2 2.已知a 0,b 0,c 0,d 0,求证：
ad bc bc ad 4 bd ac
应用二：解决最大（小）值问题
例2、已知 x, y 都是正数，求证
（1）如果积 xy是定值P，那么当 xy时，
和 xy有最小值2 P
（2）如果和 xy 是定值S，那么当 xy时， 积 xy有最大值 1 S 2
4
小结：利用 ab2a(b a0,b0)求最值时要注意下面三条：
（1）一正：各项均为正数
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。
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练习：
1、当x>0时， x 1 的最小值为 x
2 ，此时x= 1 。
2、(04重庆）已知 2 x 3 y 2 (x 0 ,y 0 )
1
则x y 的最大值是
6
。
3、若实数 x, y ，且 xy5，则 3x 3y 的最小值是（D）
A、10
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基本不等式的几何解释： D
A
aCb B
E 半弦CD不大于半径
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应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
例1.(1) 已知 x0,求证x12, 并指出等号
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例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池， 其容积为4800立方米，深为3米，如果池底 每平方米的造价为150元，池壁每平方米的 造价为120元，怎样设计水池能使总造价最 低？最低总造价是多少？
24.03.2022
B、 6 3
C、 4 6
D、18 3
4、在下列函数中，最小值为2的是（ C ）
A、 yx5(xR,x0) 5x
B、ylgx 1 (1x10) lgx
C、 y3x3x(xR)
D、ysixn 1 (0x)
sixn
2
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构造积为定值，利用基本不等式求最值
成立的条件.
x
(2) 已知 ab0,寻找 ab与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
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练习1：设a>0，b>0，给出下列不等式
(1)a 1 2 (2)(a1)(b1)4
当且仅当a=b时，等号成立。
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基本不等式2：
abab(a0,b0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
注意： （1）两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同
（2） a b 称为正数a、b的几何平均数
a b 称为它们的算术平均数。 2
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，否
则会出现错误
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例3、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，
问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最 短篱笆是多少？ （2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩 形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积 是多少？
a
ab
(3)(ab)(11)4 ab
(4)a2
1
1a2
2 1
其中恒成立的 （1）（2）（3） 。
练习2：若 ab1,Plg alg b,
Q 1(lag lg b)R ,lga (b)
2
2
，则（
B）
A、RPQ B、PQR C、RPQ D、PQR
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77.一个客观的艺术不只是用来看的 ，而是 活生生 的。但 是你必 须知道 如何去 靠近它 ，因此 你必须 要做静 心。― ―[OSHO] 78.烦恼使我受着极大的影响……我 一年多 没有收 到月俸 ，我和 穷困挣 扎；我 在我的 忧患中 十分孤 独，而 且我的 忧患是 多么多 ，比艺 术使我 操心得 更厉害 ！――[米开朗 基罗]
§3.4基本不等式: ab a b
2
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赵爽：弦图
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D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
B
B
基本不等式1： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2b2 2ab
3.证明：a4 b4 c4 a2b2 b2c2 a2c2 abc(a b c)
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人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自 己不奋 斗，终 归是摆 设。无 论你是 谁，宁 可做拼 搏的失 败者， 也不要 做安于 现状的 平凡人 。 18、过自己喜欢的生活，成为自己喜 欢的样 子，其 实很简 单，就 是把无 数个"今 天"过 好，这 就意味 着不辜 负不蹉 跎时光 ，以饱 满的热 情迎接 每一件 事，让 生命的 每一天 都有滋 有味。
例4、 求函数 y 1 x(x3)的最小值
x3
思考：求函数 y x 2 5 的最小值 x2 4
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构造和为定值，利用基本不等式求最值
例5、已知 0x1，求 x 1 x2 的最大值
练习：
已知 x0,y0且 2x5y20，则 lgxlgy
最大值是多少？
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利用基本不等式证明不等式
1.已知a、b是正数，且a x
b y
1(x,
y
R
)，
求证：x y ( a b)2 2.已知a 0,b 0,c 0,d 0,求证：
ad bc bc ad 4 bd ac
应用二：解决最大（小）值问题
例2、已知 x, y 都是正数，求证
（1）如果积 xy是定值P，那么当 xy时，
和 xy有最小值2 P
（2）如果和 xy 是定值S，那么当 xy时， 积 xy有最大值 1 S 2
4
小结：利用 ab2a(b a0,b0)求最值时要注意下面三条：
（1）一正：各项均为正数
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。
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练习：
1、当x>0时， x 1 的最小值为 x
2 ，此时x= 1 。
2、(04重庆）已知 2 x 3 y 2 (x 0 ,y 0 )
1
则x y 的最大值是
6
。
3、若实数 x, y ，且 xy5，则 3x 3y 的最小值是（D）
A、10
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基本不等式的几何解释： D
A
aCb B
E 半弦CD不大于半径
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应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
例1.(1) 已知 x0,求证x12, 并指出等号
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例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池， 其容积为4800立方米，深为3米，如果池底 每平方米的造价为150元，池壁每平方米的 造价为120元，怎样设计水池能使总造价最 低？最低总造价是多少？
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B、 6 3
C、 4 6
D、18 3
4、在下列函数中，最小值为2的是（ C ）
A、 yx5(xR,x0) 5x
B、ylgx 1 (1x10) lgx
C、 y3x3x(xR)
D、ysixn 1 (0x)
sixn
2
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构造积为定值，利用基本不等式求最值
成立的条件.
x
(2) 已知 ab0,寻找 ab与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
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练习1：设a>0，b>0，给出下列不等式
(1)a 1 2 (2)(a1)(b1)4
当且仅当a=b时，等号成立。
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基本不等式2：
abab(a0,b0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
注意： （1）两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同
（2） a b 称为正数a、b的几何平均数
a b 称为它们的算术平均数。 2
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，否
则会出现错误
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例3、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，
问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最 短篱笆是多少？ （2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩 形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积 是多少？
a
ab
(3)(ab)(11)4 ab
(4)a2
1
1a2
2 1
其中恒成立的 （1）（2）（3） 。
练习2：若 ab1,Plg alg b,
Q 1(lag lg b)R ,lga (b)
2
2
，则（
B）
A、RPQ B、PQR C、RPQ D、PQR
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77.一个客观的艺术不只是用来看的 ，而是 活生生 的。但 是你必 须知道 如何去 靠近它 ，因此 你必须 要做静 心。― ―[OSHO] 78.烦恼使我受着极大的影响……我 一年多 没有收 到月俸 ，我和 穷困挣 扎；我 在我的 忧患中 十分孤 独，而 且我的 忧患是 多么多 ，比艺 术使我 操心得 更厉害 ！――[米开朗 基罗]