导数证明

3 利用导数证明不等式

① 函数不等式的证明

a. 构造辅助函数

1 移项构造

例10 ()x x <+1ln ，()0>x 经典不等式 2 变形构造

例11 已知()()x a ax x x f ln 12

12-+-= ，51<

121->--x x x f x f 3 换元构造

4 控制变量构造

例12 若()2ln 2x mx x x f -+=有两个零点1x ，2x ()21x x <，且2210x x x +=。求证()00<'x f

例13 已知()x e x f =，设b a <，试比较⎪⎭

⎫ ⎝⎛+2b a f 与()()a b a f b f --的大小，并说明理由.

b. 利用充分性证明

例14 证明0>x 时，ex

e x x 21ln -> 例15 已知函数()x x x

f ln -=，()x x x

g ln =

，证明()()21+>x g x f . 正整数不等式的证明

1 直接构造函数证明

例16 证明*∈N n ，n

n n n +<+11ln

2 比较通项构造证明 例17 证明*∈N n ，2≥n 时，n n

ln 13121<+++

例18 证明()1

1ln 13ln 12ln 1+>++++n n n 例19 证明()1

11ln 43ln 32ln 2+-<++++n n n n 例20 证明()()()

12121ln 33ln 22ln 222222++-<+++n n n n n 3 利用经典不等式证明

例21 求证e n <⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222211811411211 4 零点问题

分类讨论 分离参数 数形结合 例22 已知函数()ax x x f -=ln 有两个零点，求a 的范围. 例23 已知函数mx ex x x +-=232ln 有两个零点，求a 的范围. 5 恒成立，存在性问题

① 单变量问题

1 分离参数

2 分类讨论

3 找充分证充要 例2

4 已知函数()ax x x f -=ln ，对0>∀x ，()0

5 已知函数()()()1ln 1++=x x x f ，若0≥x ，()ax x f ≥恒成立，求a 的取值范围.