2018年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题

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2018年浙江省高中数学联赛试题

2018年浙江省高中数学联赛试题一．填空题1. 已知a 为正实数，且11()1xf x a a =-+是奇函数，则()f x 的值域为______________. 2. 设数列{}n a 满足11151(12)n n a a a n +==+= ，，，，则20181n n a ==∑______________.3. 已知3()4παβπ∈，，，412cos()sin()5413παβα+=-=，，则cos()4πβ+=______________. 4. 在八个数字24678111213，，，，，，，中任取两个组成分数，则这些数中有_______文化既约分数. 5. 已知虚数z 满足310z +=，则20182018111z z z ⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭_____________.6. 设||10AB = ，若平面上点P 满足，对于任意t R ∈，有||3AP t AB -≥，则当PA PB ⋅ 取得最小值时，||PA PB +=____________.7. 在ABC ∆中，7AB AC +=，且其面积4ABC S ∆=，则sin A 的最小值为____________. 8. 设()|1||||2|f x x x x =++--，则(())10f f x +=有__________个不同的解.9. 设x y R ∈，满足120x -=，则x 的取值范围为____________.10. 四面体P ABC -，PA BC ==PB AC ==PC AB ==则该四面体P ABC - 外接球的半径为____________. 二．解答题11. 已知动直线l 与圆221O x y +=：相切，与椭圆2219x y +=相交于不同的两点A B ，.求原点到线段AB 的中垂线的最大距离.12. 设a R ∈，且对任意实数b 均有2[01]max ||1x x ax b ∈++≥，，求a 的取值范围.13. 设实数122018x x x ，，，满足212(122016)n n n x x x n ++≤= ，，，和201811n n x ==∏，证明：100910101x x ≤.14. 将2(2)n n ≥个不同整数分成两组1212n n a a a b b b ，，，；，，，. 证明：111||(||||)ij i j i j i ni j nj nab a a b b n ≤≤≤<≤≤≤---+-≥∑∑.15. 如图所示将同心环均匀分成(3)n n ≥格，在内环中固定数字1~n .问能否将数字1~n 填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？。

2018年浙江省高中数学竞赛预赛真题含答案

2 f (1) 1 a b f (0) b ，所以 f (1) 1 a b 1，
解得 a 1 . （2）当 0 a 1 时，即 1 a 0 ，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对
22 b 0 有 f (1) 1 a 1， f ( a ) a2 1 .
24 （3）当 1 a 1时，即 2 a 1，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对
22 b 0 有 f (0) b 1 ， f ( a ) a2 1 .
24 （4）当 a 1 时，即 a 2 ，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意 b 1有
2018
13.设实数
x1
，
x2
，…，
x2018
满足
x2 n1

xn xn2 (n

1,
2, ,
2016)
和
xn 1，证明： x x 1009 1010 1.
n1
14.将 2n(n 2) 个不同整数分成两组 a1 ， a2 ，…， an ； b1 ， b2 ，…， bn .证明
．
8.设 f (x) x 1 x x 2 ，则 f ( f (x)) 1 0 有
个不同的解．
9.设 x, y R 满足 x 6 y 4 x y 12 0 ，则 x 的取值范围为
．
10.四面体 P ABC ， PA BC 6 ， PB AC 8 ， PC AB 10 ，则该四面体外接球的半径
2 f (0) b 1 ，所以 f (1) 1 a b 1，解得 a 3 .

2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

2018年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2018A1、设集合{}99,,3,2,1 =A ，集合{}A x x B ∈=|2，集合{}A x x C ∈=2|，则集合C B 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，{}48,,6,4,2 =C B ，故C B 的元素个数为24。

2018A 2、设点P 到平面α的距离为3，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与平面α所成角不小于030且不大于060，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 ◆答案：π8★解析：设点P 在平面α上的射影为O ，由条件知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=∠3,33tan OQ OP OQP ，即[]3,1∈OQ ，所以区域的面积为πππ81322=⨯-⨯。

2018A 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是偶数的概率为 ◆答案：109★解析：先考虑def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为101!672=，故所求为1091011=-2018A 4、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 1:2222=+by a x （0>>b a ）的左右焦点分别是21,F F ，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴和y 轴，且相交于点P ，已知线段PT PV PS PU ,,,的长分别为6,3,2,1，则21F PF ∆的面积为◆答案：15★解析：由对称性，不妨设点P ()00,y x 在第一象限，则220=-=PSPT x ，120=-=PUPV y即()1,2P 。

进而可得()2,2U ，()1,4S ，代入椭圆方程解得：202=a ，52=b ，从而151152212102121=⨯⨯=⨯=∆y F F S F PF 。

2018年浙江省高中数学竞赛预赛真题

2018年浙江省高中数学竞赛试卷一、填空题1.已知a 为正实数，且11()1xf x a a =-+是奇函数，则()f x 的值域为． 2.设数列{}n a 满足11a =，151(1,2,)n n a a n +=+=⋅⋅⋅，则20181nn a==∑ ．3.已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，4cos()5αβ+=，12sin 413πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．4.在八个数字2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数.这些分数中有个既约分数．5.已知虚数z 满足310z +=，则20182018111z z z ⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭．6.设10AB =，若平面上点P 满足，对于任意t R ∈，有3AP t A B -≥，则P AP B ⋅的最小值为，此时PA PB += ．7.在ABC ∆中，7AB AC +=，且三角形的面积为4，则sin A ∠的最小值为． 8.设()12f x x x x =++--，则(())10f f x +=有个不同的解． 9.设,x y R ∈满足64120x y x y ---+=，则x 的取值范围为． 10.四面体P ABC -，6PA BC ==，8PB AC ==，10PC AB ==，则该四面体外接球的半径为．二、解答题11.已知动直线l 与圆O ：221x y +=相切，与椭圆2219x y +=相交于不同的两点A ，B .求原点到AB 的中垂线的最大距离.12.设a R ∈，且对任意实数b 均有2[0,1]max 1x x ax b ∈++≥，求a 的取值范围.13.设实数1x ，2x ，…，2018x 满足212(1,2,,2016)n n n xx x n ++≤=⋅⋅⋅和201811n n x ==∏，证明：100910101x x ≤.14.将2(2)n n ≥个不同整数分成两组1a ，2a ，…，n a ；1b ，2b ，…，n b .证明111()i j j i j i i n i j nj na b a a b b n ≤≤≤<≤≤≤---+-≥∑∑.15.如图所示将同心圆环均匀分成(3)n n ≥格.在内环中固定数字1n .问能否将数字1n 填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？2018年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、填空题1. 11(,)22-2. 2019580771616-3. 5665- 4. 36 5. 1- 6. 16-；6 7.728. 3 9. 1421314213x -≤≤+ 10. 3 二、解答题11.解：依题意可设l ：(0)y kx m k =+≠.因为直线l 与圆O 相切，所以，O 到直线l 的距离为1，即211m k=+.原点到AB 的中垂线的最大距离为43. 12.解1：设2()f x x ax b =++，对于1(0)1b f ≥⇒≥，所以只要考虑1b <. （1）当02a-≤时，即0a ≥.此时函数()f x 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b <有(1)1(0)f a b f b =++>=，所以(1)11f a b =++≥，解得1a ≥. （2）当1022a <-≤时，即10a -≤<，此时函数()f x 的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对0b =有(1)11f a =+<，2()124a a f --=<. （3）当1122a<-≤时，即21a -≤<-，此时函数()f x 的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对0b =有(0)1f b =<，2()124a a f --=<. （4）当12a-≥时，即2a ≤-，此时函数()f x 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b <有(0)1f b =<，所以(1)11f a b =++≤-，解得3a ≤-.综上1a ≥或3a ≤-.解2：设2[0,1]max x m x ax b ∈=++，则有m b ≥，1211m a b m b a b a ≥++⇒≥+++≥+依题意，1112aa +≥⇒≥，或3a ≤-. 13.证明：由条件n x ，2n x +同号.反证法，假设100910101x x >.（1）若1009x ，1010x 同为正数，由n x ，2n x +同号可知1x ，2x ，…，2018x 同号. 由212121n n n n n n n x x x x x x x +++++≤⇒≤100910101011100810091010x x xx x x ⇒≤≤ 1009101010111008101110081x x x x x x ⇒≤⇒>，同理100910091008101110121012100710081007101010111010x x x x x x x x x x x x =⋅≤⋅=100710121x x ⇒>. 类似可证明：100610131x x >，100510041x x >，…，120181x x >. 因此201811nn x=>∏，矛盾.（2）若1009x ，1010x 同为负数，由n x ，2n x +同号可知1x ，2x ，…，2018x 均为负数，仍然有212121n n n n n n n x x x x x x x +++++≤⇒≤，类似（1）可证得. 14.证明：令111()n i j j i j i i n i j nj nT a b a a b b ≤≤≤<≤≤≤=---+-∑∑，下面用归纳法证明n T n ≥.当2n =时，不妨设12a a <，12b b <，22a b <.2212211T b a b a b a =-+-+-122121b a a a b b +-----，当1121112122a b T b a b b b a <⇒=-+++->；当11222112a b T b a a b >⇒=-++>. 假设对正整数n 成立，对正整数1n +，不妨设121n a a a +<<⋅⋅⋅<，121n b b b +<<⋅⋅⋅<，11n n a b ++<.再设11k n k b a b ++<<，则有11111n n n n i n i i i T b a a b +++===-+-∑∑111111n nn i n i n n n i i a a b b b a T ++++==----+-+∑∑，下证1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑11110n nn i n i i i a a b b ++==----≥∑∑.由（1）11(1,2,,)k n k b a b k n ++<<=⋅⋅⋅，得到1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑1111n nn i n i i i a a b b ++==----∑∑112()0ni n i k b a +=+=->∑；（2）若11n a b +<，则1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑1111n nn i n i i i a a b b ++==----∑∑11()0ni n i b a +==->∑.15.解：设对应于内环1，2，…，n 的外环数字为1i ，2i ，…，n i ，它是数字1，2，…，n 的一个排列.对1,2,,k n =⋅⋅⋅，记外环数字k i 在按顺时针方向转动k j 格时，和内环数字相同，即mod k k i k j n -=，1,2,,k n =⋅⋅⋅.根据题意，1j ，2j ，…，n j 应是0，1，2，…，1n -的排列.求和11()mod n nk k k k i k j n ==-=∑∑(012(1))mod n n =+++⋅⋅⋅+-1(1)mod 2n n n =-. 于是n 必须是奇数.对于奇数n ，我们取n i n =，m i n m =-，(1,2,,1)m n =⋅⋅⋅-，可以验证mod k k i k j n -=，0n j =，12n j -=，24n j -=，…，121n n jn --=-，12j n =-，14n j n -=-，36j n =-，…，121n j -=，符合题目要求！。

2018年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试题+答案

|m|
l
O
O
l
1√
= 1.
5
1+ k2
y = kx + m
A(x1, y1), B(x2, y2)
x2 + 9y2 − 9 = 0
(1 + 9k2)x2 + 18kmx + (9m2 − 9) = 0
第3页
(
)
18km
9km m
x1 + x2 = − 1 + 9k2
AB
(
− 1 +)9k2 , 1 + 9k2 .
f (x) = −2
x = −1 f (x) = 0
1
x = −3, x =
3
3
9. x, y ∈ R
x
−
6√y
−
√ 4x
−
y
+
12
=
0
x
√
√
答案 14 − 2 13 ≤ x ≤ 14 + 2 13.
解析
x
−
6√y
−
√ 4x
−
y
+
12
=
0
⇒
√ (x
−
y
−
2)2
+
(√y
−
3)2
=
1
.
. . √ x − y − 2 = cos θ
1≤i≤n,1≤j≤n
1≤i<j≤n
证明
∑
∑
Tn =
|ai − bj| −
(|aj − ai| + |bj − bi|)
1≤i≤n,1≤j≤n
1≤i<j≤n

浙江省高中数学联赛试题及参考答案

1
2018
− 1
= ______________。
解 z3 + 1 = 0 ⇒ (z + 1)(z2 − z + 1) = 0 ⇒ z2 − z + 1 = 0 ，所以
z
z
2018
−1
+
z
1
2018
−1
= z( z2021)82+0181 = ( z(3z)637)213z425 z+ 1
取值范围。解 1 设 f (x) = x2 + ax + b ，对于 b ≥ 1 ⇒ f (0) ≥ 1，
所以只要考虑 b < 1。……………………………………………………5 分
（1）当 − a ≤ 0 时，即 a ≥ 0, 此时函数 f (x) 的最值在抛物线的左右端点取得，对 2
任意 b < 1有 f (1) =1 + a + b > f (0) =b, 所以 f (1) =1 + a + b ≥ 1，
A(
x1 ,
y1 ),
B( x2
,
y2
)
，联立
x2
+
9
y2
−
9
， =0
得 (1 + 9k 2 )x2 + 18kmx + (9m2 − 9) = 0 ，得到 x1 + x2 =− 11+8k9mk 2 。
所以
AB
的中点坐标为
(−
1
9km + 9k
2
,
1
m + 9k
2
)
，…………………………10

2018年全国高中数学联赛浙江省预赛高三数学试题(解析版)

2018年全国高中数学联赛浙江省预赛高三数学试题一、填空题1 1= 一-；—1 .已知a 为正实数，且 “1是奇函数，则⑷的值域为.1111 1 1 ― --- ----------- =- - + f （x ）=--— 由小）为奇函数可知a - + 19「+ 1,解得a= 2,即 22、由此得f （x ）的值域为। 2 2'.2018「2%1.3 ) 鼻二1 3- 5a +1£ 南满足］一，n*i- a (n=1, 2,…)，则 n = 1520198077【答案】16 16 【解析】【详解】1 / 八■ +［二5皆十1小二1+『5阿+1=%由4" 4"56故答案为：.2.设数列所以 2018V Lu1<-2c201S=不5 +5 +... + S20185x c 2018 1t=—行口-162018 S 2019£07 71616(3n \小 4风0 E —cos(a + p)=3.已知 '4",56I 4.J 13,则【解析】【详解】%£ E (彳再)孙3 +位二Mi 7Tcos\p + —I = cos (a + 所以 sin(a + B)——，得.J71 a—4亡叫cr 一: 6二 - 13, 5665【解析】【详解】加索-34.在八个数字2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13中任取两个组成分数.这些分数中有个既约分数.【答案】36【解析】【详解】在7, 11, 13中任取一个整数与在2, 4, 6, 8, 12中任取一个整数构成既约分数，共有3 5 种；在7, 11, 13中任取两个整数也构成既约分数，共有A3,6中.合计有36种不同的既约分数./ 1 ^2018 + (1/01S _5,已知虚数z满足P+1=Q,则上』H .【答案】I【解析】【详解】1 2018 上r , 3^72 2.1 之上[/ 1 \2018 + ( 1 JOIS _ 工 ,1 _(Z)- _ . . I _ 1I? - 1 l z _ 1 _ t2,2018 - t3,1345 _ z-所以^ .6.设明=1。

2018年浙江省高中数学竞赛预赛真题Word版含答案

2018年浙江省高中数学竞赛试卷一、填空题1.已知a 为正实数，且11()1x f x a a =-+是奇函数，则()f x 的值域为． 2.设数列{}n a 满足11a =，151(1,2,)n n a a n +=+=⋅⋅⋅，则20181nn a==∑ ．3.已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，4cos()5αβ+=，12sin 413πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则c o s 4πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．4.在八个数字2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数.这些分数中有个既约分数．5.已知虚数z 满足310z +=，则20182018111z z z ⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭．6.设10AB =，若平面上点P 满足，对于任意t R ∈，有3AP t AB -≥，则PA PB ⋅的最小值为，此时PA PB += ．7.在ABC ∆中，7AB AC +=，且三角形的面积为4，则sin A ∠的最小值为． 8.设()12f x x x x =++--，则(())10f f x +=有个不同的解．9.设,x y R ∈满足120x -=，则x 的取值范围为．10.四面体P ABC -，PA BC =，PB AC ==PC AB ==接球的半径为．二、解答题11.已知动直线l 与圆O ：221x y +=相切，与椭圆2219x y +=相交于不同的两点A ，B .求原点到AB 的中垂线的最大距离.12.设a R ∈，且对任意实数b 均有2[0,1]max 1x x ax b ∈++≥，求a 的取值范围.13.设实数1x ，2x ，…，2018x 满足212(1,2,,2016)n n n xx x n ++≤=⋅⋅⋅和201811n n x ==∏，证明：100910101x x ≤.14.将2(2)n n ≥个不同整数分成两组1a ，2a ，…，n a ；1b ，2b ，…，n b .证明111()i j j i j i i n i j nj na b a a b b n ≤≤≤<≤≤≤---+-≥∑∑.15.如图所示将同心圆环均匀分成(3)n n ≥格.在内环中固定数字1n .问能否将数字1n 填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？2018年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、填空题1. 11(,)22-2. 2019580771616- 3. 5665- 4. 36 5. 1-6. 16-；67.728. 39. 1414x -≤+二、解答题11.解：依题意可设l ：(0)y kx m k =+≠.因为直线l 与圆O 相切，所以，O 到直线l 的距离为11=.原点到AB 的中垂线的最大距离为43. 12.解1：设2()f x x ax b =++，对于1(0)1b f ≥⇒≥，所以只要考虑1b <. （1）当02a-≤时，即0a ≥.此时函数()f x 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b <有(1)1(0)f a b f b =++>=，所以(1)11f a b =++≥，解得1a ≥. （2）当1022a <-≤时，即10a -≤<，此时函数()f x 的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对0b =有(1)11f a =+<，2()124a a f --=<.（3）当1122a<-≤时，即21a -≤<-，此时函数()f x 的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对0b =有(0)1f b =<，2()124a a f --=<.（4）当12a-≥时，即2a ≤-，此时函数()f x 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b <有(0)1f b =<，所以(1)11f a b =++≤-，解得3a ≤-. 综上1a ≥或3a ≤-.解2：设2[0,1]max x m x ax b ∈=++，则有m b ≥，1211m a b m b a b a ≥++⇒≥+++≥+依题意，1112aa +≥⇒≥，或3a ≤-. 13.证明：由条件n x ，2n x +同号.反证法，假设100910101x x >.（1）若1009x ，1010x 同为正数，由n x ，2n x +同号可知1x ，2x ，…，2018x 同号. 由212121n n n n n n n x x x x x x x +++++≤⇒≤100910101011100810091010x x xx x x ⇒≤≤ 1009101010111008101110081x x x x x x ⇒≤⇒>，同理100910091008101110121012100710081007101010111010x x x x x x x x x x x x =⋅≤⋅=100710121x x ⇒>. 类似可证明：100610131x x >，100510041x x >，…，120181x x >. 因此201811nn x=>∏，矛盾.（2）若1009x ，1010x 同为负数，由n x ，2n x +同号可知1x ，2x ，…，2018x 均为负数，仍然有212121n n n n n n n x x x x x x x +++++≤⇒≤，类似（1）可证得. 14.证明：令111()n i j j i j i i n i j nj nT a b a a b b ≤≤≤<≤≤≤=---+-∑∑，下面用归纳法证明n T n ≥.当2n =时，不妨设12a a <，12b b <，22a b <.2212211T b a b a b a =-+-+-122121b a a a b b +-----，当1121112122a b T b a b b b a <⇒=-+++->；当11222112a b T b a a b >⇒=-++>. 假设对正整数n 成立，对正整数1n +，不妨设121n a a a +<<⋅⋅⋅<，121n b b b +<<⋅⋅⋅<，11n n a b ++<.再设11k n k b a b ++<<，则有11111nnn n i n i i i T b a a b +++===-+-∑∑111111nnn i n i n n n i i a a b b b a T ++++==----+-+∑∑，下证1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑11110n nn i n i i i a a b b ++==----≥∑∑.由（1）11(1,2,,)k n k b a b k n ++<<=⋅⋅⋅，得到1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑1111n nn i n i i i a a b b ++==----∑∑112()0ni n i k b a +=+=->∑；（2）若11n a b +<，则1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑1111n nn i n i i i a a b b ++==----∑∑11()0ni n i b a +==->∑.15.解：设对应于内环1，2，…，n 的外环数字为1i ，2i ，…，n i ，它是数字1，2，…，n 的一个排列.对1,2,,k n =⋅⋅⋅，记外环数字k i 在按顺时针方向转动k j 格时，和内环数字相同，即mod k k i k j n -=，1,2,,k n =⋅⋅⋅.根据题意，1j ，2j ，…，n j 应是0，1，2，…，1n -的排列.求和11()mod n nk k k k i k j n ==-=∑∑(012(1))mod n n =+++⋅⋅⋅+-1(1)mod 2n n n =-. 于是n 必须是奇数.对于奇数n ，我们取n i n =，m i n m =-，(1,2,,1)m n =⋅⋅⋅-，可以验证mod k k i k j n -=，0n j =，12n j -=，24n j -=，…，121n n jn --=-，12j n =-，14n j n -=-，36j n =-，…，121n j -=，符合题目要求！。

2018年全国高中数学联合竞赛试卷(一试)(B卷)(附答案详解)

2018年全国高中数学联合竞赛试卷（一试）（B 卷）一、单空题（本大题共8小题，共64.0分）1. 设集合A ={2,0,1,8}，B ={2a|a ∈A}，则A ∪B 的所有元素之和是______．2. 已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1，在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ与底面所成角不大于45°，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为______． 3. 将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，则abc +def 是奇数的概率为______．4. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，n⃗ =(3,1)是l 的一个法向量，已知数列{a n }满足：对任意的正整数n ，点(a n+1,a n )均在l 上，若a 2=6，则a 1a 2a 3a 4a 5的值为______．5. 设α，β满足tan(α+π3)=−3，tan(β−π6)=5，则tan(α−β)的值为______． 6. 设抛物线C ：y 2=2x 的准线与x 轴交于点A ，过点B(−1,0)作一直线l 与抛物线C 相切于点K ，过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点M ，N ，则△KMN 的面积为______． 7. 设f(x)是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[1,2]上严格递减，且满足f(π)=1，f(2π)=0，则不等式组{0≤x ≤10≤f(x)≤1 的解集为______．8. 已知复数z 1，z 2，z 3满足|z 1|=|z 2|=|z 3|=1，|z 1+z 2+z 3|=r ，其中r 是给定实数，则z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1的实部是______(用含有r 的式子表示)．二、解答题（本大题共3小题，共56.0分） 9. 已知数列{a n }，a 1=7，a n+1a n=a n +2，n =1，2，3，⋯.求满足a n >42018的最小正整数n ．10. 已知定义在R +上的函数f(x)={|log 3x −1|,0<x ≤94−√x,x >9，设a ，b ，c 是三个互不相同的实数，且满足f(a)=f(b)=f(c)，求abc 的取值范围．11.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A、B与C、D分别是椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点与上、下顶点，设P，Q是Γ上且位于第一象限的两点，满足OQ//AP，M是线段AP的中点，射线OM与椭圆交于点R.证明：线段OQ，OR，BC能构成一个直角三角形．答案和解析1.【答案】31【解析】解：因为集合A={2,0,1,8}，B={2a|a∈A}={0,2,4,16}，所以A∪B={0,1,2,4,8,16}，所以A∪B的所有元素之和是0+1+2+4+8+16=31．故答案为：31．先求出集合B，然后由集合并集的定义求出A∪B，即可得到答案．本题考查了集合的运算，主要考查了集合并集的定义，属于基础题．2.【答案】3π【解析】解：圆锥的顶点P在底面上的投影即为底面中心，设为O，所以∠OQP即为直线PQ与底面所成的角，因为直线PQ与底面所成角不大于45°，则tan∠OQP=OPOQ≤1，即OQ≥1，所以所求的区域面积为π⋅22−π⋅12=3π．故答案为：3π．圆锥的顶点P在底面上的投影即为底面中心，设为O，由线面角的定义可知，∠OQP即为直线PQ与底面所成的角，由题意求出OQ≥1，由圆的面积公式求解即可．本题考查了动点轨迹的求解，直线与平面所成角的理解与应用，圆的面积公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．3.【答案】110【解析】解：将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a，b，c，d，e，f，基本事件总数n=6!，当abc+def为奇数时，abc，def必为一奇一偶，若abc为奇数，则a，b，c为1，3，5的排列，这样有3！×3！=36种情况，由对称性可知满足条件的情况有：36×2=72种，∴abc+def是奇数的概率为P=726!=110．故答案为：110．基本事件总数n=6!，当abc+def为奇数时，abc，def必为一奇一偶，求出满足条件的情况有72种，由此能求出abc+def是奇数的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】−32【解析】【分析】本题主要考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基本知识的考查与应用．由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程，求得a n+1=−13a n，则数列{a n}为公比q为−13的等比数列，运用等比数列的通项公式可得所求值．【解答】解：直线经过坐标原点，n⃗=(3,1)是l的一个法向量，可得直线l的斜率为−3，即有直线l的方程为y=−3x，点(a n+1,a n)均在l上，可得a n=−3a n+1，即有a n+1=−13a n，则数列{a n}为公比q为−13的等比数列，可得a3=a2q=6×(−13)=−2．所以a1a2a3a4a5=(−2)5=−32．故答案为：−32．5.【答案】−74【解析】解：因为α，β满足tan(α+π3)=−3，tan(β−π6)=5，所以由两角差的正切公式可知tan[(α+π3)−(β−π6)]=tan(α+π3)−tan(β−π6)1+tan(α+π3)tan(β−π6)=−3−51+(−3)×5=47，所以tan(α−β+π2)=47，即cot(α−β)=−47，所以tan(α−β)=−74故答案为：−74．由已知利用两角差的正切公式，诱导公式即可计算得解．本题主要考查了两角差的正切公式，诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6.【答案】12【解析】解：设直线l与MN的斜率为k，则l：x=1k y−1，MN：x=1ky−12，将l于C联立，得方程y2−2ky+2=0，由△=4k2−8=0可得k=±√22，将MN于C联立，得方程y2−2ky+1=0，于是|y M−y N|=√(y M+y N)2−4y M y N=√4k2−4=2，结合l与MN平行，可知S△KMN=S△BMN=|S△BAM−S△BAN|=12|AB|⋅|y M−y N|=12⋅12⋅2=12故答案为：12．设出直线l与，MN的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理、面积公式即可求解．本题考查了直线与抛物线位置关系，考查了计算能力，属于中档题．7.【答案】[2π−6,4−π]【解析】解：由f(x)为偶函数且在区间[1,2]上严格递减，可得f(x)在[−2,−1]上严格递增，又因为f(x)是以2为周期的函数，所以f(x)在[0,1]上严格递增， f(4−π)=f(π−4)=f(π)=1，f(2π−6)=f(2π)=0，所以0≤f(x)≤1⇔f(2π−6)≤f(x)≤f(4−π)，而0<2π−6<4−π<1，所以原不等式组∈[2π−6,4−π]．故答案为：[2π−6,4−π]．根据函数的奇偶性、单调性和周期性可得f(x)在[0,1]上严格递增，由f(π)=1，f(2π)=0得出f(4−π)=1，f(2π−6)=0，从而由0≤f(x)≤1得出f(4−π)≤f(x)≤f(2π−6)，从而可得原不等式组的解集．本题主要考查函数的单调性、奇偶性与周期性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．8.【答案】r 2−32【解析】解：记w =z 1z 2+z 2z 3+z3z 1，由复数模的性质可知，z 1−=1z 1，z 2−=1z 2，z 3−=1z 3，故w =z 1z 2− +z 2z 3−+z 3z 1−，r 2=(z 1+z 2+z 3)(z 1−+z 2−+z 3−)=|z 1|2+|z 2|2+|z 3|2+w +w −=3+2Rew ，解得Rew =r 2−32，故z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1的实部是r 2−32．故答案为：r 2−32．根据已知条件，结合复数模公式，以及复数实部的概念，即可求解．本题主要考查复数模公式，以及复数实部的概念，属于难题．9.【答案】解：由a n+1a n=a n +2知a n+1+1=(a n +1)2，故a n +1=(a 1+1)2n−1=82n−1=23×2n−1，故a n =23×2n−1−1，显然{a n }单调递增，由于a 11=23072−1<24036=42018， a 12=26144−1>24036=42018，故满足a n >42018的最小正整数n 为12．【解析】略略10.【答案】解：不妨设a <b <c ，由于f(x)在(0,3]上严格单调递减，在[3,9]上严格单调递增，在[9,+∞)上严格打电脑递减，又f(3)=0，f(9)=1，结合图象可知a ∈(0,3)，b ∈(3,9)，c ∈(9,+∞)，所以f(a)=f(b)=f(c)∈(0,1)，由f(a)=f(b)得，1−log 3a =log 3b −1，取log 3a +log 3b =2，所以ab =32=9，所以abc =9c ，又0<f(x)=4−√c <1，所以c ∈(9,16)，所以abc =9c ∈(81,144)，所以abc 的取值范围为(81,144)．【解析】先判断函数的性质以及图象的特点，设a <b <c ，由图象得ab 是个定值，利用数形结合思想去解决即可．本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．11.【答案】证明：设点P 坐标为(x 0,y 0)，由于OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OR ⃗⃗⃗⃗⃗ //OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OP⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，故存在实数λ，μ，使得OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),OR ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，此时点Q ，R 的坐标可分别表示为(λ(x 0+a),λy 0)，(μ(x 0−a),μy 0)，由于Q ，R 都在椭圆上，于是λ2[(x 0+a)2a 2+y 02b 2]=μ2[(x 0−a)2a 2+y 02b 2]=1，结合x 02a 2+y 02b2=1知，上式可化为λ2(2+2x 0a)=μ2(2−2x 0a)=1，解得λ2=a2(a+x 0),μ2=a2(a−x 0)，因此|OQ|2+|OR|2=λ2[(x 0+a)2+y 02]+μ2[(x 0−a)2+y 02]， =a 2(a+x 0)[(x 0+a)2+y 02]+a2(a−x 0)[(x 0−a)2+y 02]=a(a+x 0)2+ay 022(a+x 0)+a(a−x 0)2+ay 022(a−x 0)=a 2+ay 022(1a+x 0+1a−x 0)=a 2+ay 022⋅2aa 2−x 02=a 2+a 2b 2(1−x 02a 2)a 2−x 02=a 2+b 2=|BC|2，∴线段OQ ，OR ，BC 能构成一个直角三角形．【解析】设点P 坐标为(x 0,y 0)，依题意，存在实数λ，μ，使得OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),OR ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则点Q ，R 的坐标分别为(λ(x 0+a),λy 0)，(μ(x 0−a),μy 0)，然后再验证|OQ|2+|OR|2=|BC|2即可得证．本题考查椭圆性质以及平面向量在解析几何中的运用，对运算能力要求较高，属于较难题目．。

浙江省高中数学联赛预赛试题

2018年浙江省高中数学竞赛一、填空题(每题8分，共80分)1.已知a 为正实数，且f (x )=1a －1a x +1是奇函数，则f (x )的值域为 . 2.设数列{a n }满足a 1=1，a n +1=5a n +1(n =1，2，…)，则∑n =12018a n = .3.已知α、β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，cos(α+β)=45，sin(α－β)=1213，则cos ⎝⎛⎭⎫β+π4= . 4.在八个数2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数，这些分数中有个既约分数.5.已知虚数z 满足z 3+1=0，则⎝⎛⎭⎫z z －12018+⎝⎛⎭⎫1z －12018= . 6.设|AB |→=10.若平面上点P 满足对任意的t ∈R ，有||AP →－tAB →≥3，则P A →·PB →的最小值为，此时，|P A →+PB →|= .7.在△ABC 中，AB +AC =7，且三角形的面积为4，则sin A 的最小值为 .8.设f (x )=|x +1|+|x |－|x －2|，则f (f (x ))+1=0有个不同的解.9.设x ，y ∈R 满足x －6y －4x －y +12=0，则x 的取值范围为 .10.四面体P －ABC ，P A =BC =6，PB =AC =8，PC =AB =10，则该四面体外接球的半径为 .二、解答题：(11、12、13题各20分，14、15各30分)11.已知动直线l 与圆x 2+y 2=1相切，与椭圆x 29+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，求原点到AB 的中垂线的最大距离.12.设a ∈R ，且对任意实数b 均有max x ∈[0，1]|x 2+ax +b |≥1，求a 的取值范围.13.设实数x 1，x 2，…，x 2018满足x 2n +1≤x n x n +2(n =1，2，…，2018)和 n =12018x n =1，证明：x 1009x 1010≤1.14.将2n (n ≥2)个数分成两组a 1，a 2，…，a n 和b 1，b 2，…，b n .证明：∑1≤i ≤n 1≤j ≤n |a i －b j |－∑1≤i <j ≤n(|a i －a j |+|b j －b i |)≥n .15.如图所示，将同心圆环均匀分成了n(n≥3)格.在内环中固定数字1~n.问能否将数字1~n 填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环中数字相同?…n4321。

2018年全国高中数学联赛模拟试题与参考答案

解得− ≥ ��＞ − 4.
注意：函数的定义域不能为空集。
2.已知函数��(��) = 1 −
（��＞��）若��(��) = 2 ln √�� − ��(��)，则��(��)的取值范围为____________.
P
注：也可采用联立直线与圆锥曲线的方法解答，但过于繁琐，本解
答采用熟知的结论：�� + �� = ��. 7.对于 ≤ �� ≤ 1，则(1 + ��) (1 − ��)(1 − 2��) 的最大值为___________.
的等腰三角形，则三棱锥 A-BCD 的高与其外接球的直径的比值为_____________.
A
【解答】如图，易得 AE⊥BE，由等量关系，CE=ED=2，AF=BF=4，AE=BE=2√2.
由垂径定理，OF⊥AB，OE⊥CD，由对称性得 O 在 EF 上.
F
由勾股定理，OF + AF = AO = R = OC = （4 − OF）² + CE²
故�� =
=
=
=
2
²
，若��＜0，则��＜0，这不可能.
∴ ��＞0. �� ≤ √ .
在 BDP 中由正弦定理得 1 x
sin 2 60