2018年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题

求 a 的取值范围. 13.（本小题满分 20 分）设实数 x1 , x2 , · · · , x2018 满足 xn+1 2 ≤ xn xn+2 (n = 1, 2, · · · , 2016) 和 xn = 1, 证明：x1009 x1010 ≤ 1. 14.（本小题满分 30 分）将 2n (n ≥ 2) 个不同整数分成两组 a1 , a2 , · · · , an : b1 , b2 , · · · , bn , 证明： ∑ ∑ |ai − bj | − (|aj − bi | + |bj − bi |) ≥ n.
1≤i≤n 1≤j ≤n 1≤i<j ≤n
2018 ∏ n=1
15.（本小题满分 30 分）如图所示将同心圆环均匀分成 n (n ≥ 3) 格，在内环中固定数字 1 ∼ n, 问能 否将数字 1 ∼ n 填入外环格，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同.
图1
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二、解答题
11.（本小题满分 20 分）已知动直线 l 与圆 O : x2 + y 2 = 1 相切，与椭圆 两点 A、B ，求原点到 AB 的中垂线的最大距离. 12.（本小题满分 20 分）设 a ∈ R, 且对任意实数 b 均有
x∈[0,1] x2 9
+ y 2 = 1 相交于不同的
max x2 + ax + b ≥ 1,
n=1
−
1 ax +1
. .
ã ( 3π 4 π ) 12 , π , cos (α + β ) = , sin α − , = 4 5 4 13
4. 在八个数字 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13 中任取两个组成分数，这些分数中有 个既约分数. ä2018 Ä ä2018 Ä 1 z + = . 5. 已知虚数 z 满足 z 3 + 1 = 0, 则 z− 1 z −1 − − → − → − − → − → − − → 6. 设 AB = 10, 若平面上点 P 满足，对于任意 t ∈ R, 有 AP − tAB ≥ 3, 则 P A · P B 的最小值 − → − − → ，此时 P A + P B = . 为 7. 在 △ABC 中，AB + AC = 7, 且三角形的面积为 4，则 sin A 的最小值为 . 个不同的根. 8. 设 f (x) = |x + 1| + |x| − |x − 2| , 则 f (f (x)) + 1 = 0 有 √ √ 9. 设 x, y ∈ R 满足 x − 6 y − 4 x − y + 12 = 0, 则 x 的取值范围为 . √ √ √ 10. 四面体 P − ABC, P A = BC = 6, P B = AC = 8, P C = AB = 10, 则该四面题外接球的半 径为 .
2018 年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题
一、填空题（每题 8 分，共 80 分。 ）
1. 已知 a 为正实数，且 f (x) =
1 a
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2. 设数列 {an } 满足 a1 = 1, an+1 3. 已知 α, β ∈ ( ) 则 cos β + π 4 = . Å
是奇函数，则 f (x) 的值域为 2018 ∑ = 5an + 1 (n = 1, 2, · · ·) , 则 an =