2014专题四：立体几何(教师版)文科

2014专题四：立体几何（文科教师版）

一、2014年考纲解读

1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。

2、空间两条直线的三种位置关系，并会判定。

3、平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线平行及角相等的方法。掌握异面直线所成角的范围，会求异面直线的所成角。

4、异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，

5.理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘;了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算;掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.

6.了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.掌握棱柱,棱锥的性质,并会灵活应用,掌握球的表面积、体积公式;能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.

7.空间平行与垂直关系的论证.

8. 掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题,进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题.

9.理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法）.对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算距离。

二、考点分析

在高考中立体几何命题有如下特点：

1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系．

2.多面体中线面关系论证，空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现．

3.多面体及简单多面体的概念、性质、三视图多在选择题，填空题出现．

4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点．

此类题目分值一般在22分左右，题型一般为2个小题，1个解答题.

三、要点梳理

1.三视图：正俯一样长、正侧一样高、俯侧一样宽.

2.直观图:已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y轴的线段平行性不变,但

在直观图中其长度为原来的一半.

3.体积与表面积公式:

(1)柱体的体积公式:V=

柱Sh;锥体的体积公式: V=

锥

1

3

Sh;

台体的体积公式: V =

棱台1()3

h S SS S ''++;球的体积公式: V =球34

3r π.

(2)球的表面积公式: 2

4S R π=球.

4.有关球与正方体、长方体、圆柱、圆锥、圆台的结合体问题，要抓住球的直径与这些几何体的有关元素的关系.

5.平行与垂直关系的证明,熟练判定与性质定理. 6．利用空间向量解决空间角与空间距离

四、题型分析

考点一 三视图与表面积、体积

[2012·课程标准卷] 如图4－11－5，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )

A ．6

B ．9

C ．12

D ．18

错误！未指定书签。 ．（2013年高考重庆卷（文））某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为

A ．180

B ．200

C ．220

D ．240【答案】D

错误！未指定书签。 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是

(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为

A ．

B ．

C ．

D ．【答案】A

错误！未指定书签。 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为

（ ） A ．168π+

B ．88π+

C ．1616π+

D ．816π+【答案】A

考点二 球与空间几何体的“切”“接”问题

1．长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径． 2．正方体的内切球其棱长为球的直径．

3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线． 4．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 方法主要是“补体”和“找球心” 方法一：直接法

例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此球的表面积为 . 14π

练习：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ） A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π

方法二：构造法（构造正方体或长方体）

例3 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .

练习 （2010年全国卷）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

A. 3π

B. 4π

C. 33π

D. 6π

三、确定球心位置法

例4、在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，AC 沿将矩形ABCD 折成一个直二面角B-AC-D ，则四面体ABCD

的外接球的体积为( C )

四、构造直角三角形

例5、正四面体的棱长为a ，则其内切球和外接球的半径是多少,体积是多少？

练习 1 ．（2012新课标理）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为 （ ）

A ．

2

6

B ．

36

C ．

23

D ．

22

2．（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD,四边形ABCD 是边长为23正方形.

若PA=26,则△OAB 的面积为______________.

3．(2010年高考课标全国卷)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ________ 五、解答题

1、垂直问题

错误！未指定书签。．（2013年高考浙江卷（文））如图,在在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥面

ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G 为线段PC 上的点. (Ⅰ)证明:BD⊥面PAC ;

(Ⅱ)若G 是PC 的中点,求DG 与APC 所成的角的正切值; (Ⅲ)若G 满足PC⊥面BGD,求

PG

GC

的值.

【答案】解:证明:(Ⅰ)由已知得三角形

ABC

是等腰三角形,且底角等于30°,且

6030AB CB AD CD ABD CBD ABD CBD BAC BD DB =⎫

⎪

=⇒∆≅∆⇒∠=∠=∠=⎬⎪=⎭

且,所以;、

π12125.A π9

125

.B π6

125

.

C π3

125

.

D