数值计算 第一章 绪论
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*
*
强近似值 弱近似值
e = x − x ≤ ε ____ 误差限 绝对误差限 ( )
x − ε ≤ x ≤ x + ε or x = x ± ε
* * *
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误差的一般描述 用毫米刻度的米尺测量一长度x， 如：用毫米刻度的米尺测量一长度 ，读出的数为 123mm，它是 的近似值，它的误差限是 ，它是x的近似值 它的误差限是0.5mm,即 的近似值， 即
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误差的分类 则数值方法的截断误差是
(ξ ) n+1 f Rn (x) = f (x) − P (x) = x n (n +1)!
(n+1)
ξ在0与x之间
(4) 舍入误差 数字计算过程中产生的误差 舍入误差__数字计算过程中产生的误差
π ≈ 3.14159265358979323846
有效数字 例1.3 问: x1 = 3.142, x2 = 3.141, x3 = 22 分别作为 的 π 7 近似值各具有几位有效 ? 数字
解: π = 3.14159265358979323846…
1 Q π − x1 = 0.0004 0... ≤ ×10−3 = 0.0005 2 4 . ∴x1具有 位有效数字 1 π − x2 = 0.000 59... ≤ ×10−2 = 0.005 2 3 . ∴x2具有 位有效数字 1 π − x3 = 0.001 26... ≤ ×10−2 = 0.005 2 3 . ∴ x3具有 位有效数字
| x* − x2 |=| 3 − 1.7321|= 0.0000491... = 0.491.. ×10−4 . ≤ 0.5×10−4 , 故x2有五位有效数字
| x* − x3 |=| 3 − 1.7320 |= 0.0000508... = 0.508.. ×10−4 . ≤ 0.5×10 , 故x3有四位有效数字
误差的来源
第1节
误 差 的 来 源
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误差的分类 (1)模型误差 数学模型与实际问题之间出现的误差 模型误差—数学模型与实际问题之间出现的误差 模型误差 数学模型与实际问题之间出现的误差.
实验： 实验：交通流量问题 问题分析与建立模型： 问题分析与建立模型： 模型假设： 模型假设： （1）全部流入网络的流量 ） 全部流出网络的流量； ＝全部流出网络的流量； （2）全部流入一个节点的流量 ） 全部流出此节点的流量。 ＝全部流出此节点的流量。该 问题满足10个变量的线性方程组 问题满足 个变量的线性方程组
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误差的分类
(2)观测误差 由观测产生的误差 观测误差—由观测产生的误差 观测误差 已知实验数据如下： 已知实验数据ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ下：
xi
yi
100 45 110 51 120 54 130 61 140 66 150 70 160 74 170 78 180 85 190 89 200 93
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研究内容
一 数值计算方法的研究对象
5在计算机上是否根据数学公式编程就能得到正
确结果? 确结果?
研究例子:求解线性方程组 研究例子:
1 2 1 3 1 1 11 x1 + x2 + x3 = 2 3 6 1 1 13 x1 + x2 + x3 = 3 4 12 1 1 47 x1 + x2 + x3 = 4 5 60
求符合数据的4次拟合曲线 求符合数据的 次拟合曲线. 次拟合曲线
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误差的分类 (3)截断误差 由简化问题（公式）所引起的解的 截断误差—由简化问题 公式） 截断误差 由简化问题（ 误差(也称方法误差). 误差(也称方法误差). 展成的幂级数. 将函数 f ( x ) = (1 + x ) ln(1 + x ) 展成的幂级数
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−3
有效数字 定义2: 设x的近似值x * 为 x 定义 的近似值
*
= ±0.a1a2a3 ...an ×10m
a1 ≠ 0
其中: a1 , a2 ,...an ∈{0,1,2,...,9},
x , 如果 *的绝对误差不超过末位 的半个单位即 1 * − x − x ≤ ×10m−n 2 则称 *近似 时具有 位有效数字 x x n .
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误差的分类
注 意
避免“过失误差” 避免“过失误差”。
数值计算中会出现各种误差，它们可分为两大类： 数值计算中会出现各种误差，它们可分为两大类： （1）过失误差 （2）非过失误差 ） ）
人为造成
数值计算中无法避免
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n 6 4 4位4 48 4 47 4 4 * x = ± 0. ∗ ∗ ∗ ∗ ... ∗
第一个数非零 误差限不超过该位的半个单位
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有效数字 按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效 例1.2 按四舍五入原则写出下列各数具有 位有效 数字的近似数： 数字的近似数： 187.9325，0.03785551，8.000033，2.7182818. ， ， ， 解 按定义，上述各数具有 位有效数字的近似数 按定义，上述各数具有5位有效数字的近似数
相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异. 相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异. 绝对误差限和相对误差限均无穷多,自然越小越好. 绝对误差限和相对误差限均无穷多,自然越小越好. 误差估计的任务就是提供好的误差限, 误差估计的任务就是提供好的误差限,对于任何一个近 似值,如果得到一个好的误差限, 似值,如果得到一个好的误差限,那么就可以肯定这些数 据是准确可靠的! 据是准确可靠的!
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有效数字 例1.1
x 设x* = 3 = 1.7320508L 1=1.73, x2=1.7321,
x3=1.7320是其近似值 问它们分别有几位有效数字 是其近似值,问它们分别有几位有效数字 是其近似值 问它们分别有几位有效数字?
| x* − x1 |=| 3 − 1.73 |= 0.0020508... = 0.20508..×10−2 ≤ 0.5×10−2 , 故x1有三位有效数字，准确 有三位有效数字， 到小数点后两位。 到小数点后两位。
数值计算方法的主要特点
三、数值计算方法的主要特点
借助计算机提供切实可行的数学算法. 借助计算机提供切实可行的数学算法. 所提出的算法必须具有：可靠的理论分析; 所提出的算法必须具有：可靠的理论分析;理 想的精确度;收敛且稳定;误差可以分析或估计. 的精确度;收敛且稳定;误差可以分析或估计. 时间复杂性好__指节省时间； 时间复杂性好__指节省时间； __指节省时间 计算复杂性好 空间复杂性好__指节省存储量。 空间复杂性好__指节省存储量。 __指节省存储量
如把方程组的系数舍 入成两位有效数字
x1 + 0.50x2 + 0.33x3 = 1.8 0.50x1 + 0.33x2 + 0.25x3 = 1.1 0.33x + 0.25x + 0.20x = 0.78 1 2 3
它的解为x 它的解为 1 =-6.222... x2=38.25… x3=-33.65...
通过数值实验证明算法行之有效. 通过数值实验证明算法行之有效.
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学习数值计算方法的准备知识
四、学习数值计算方法的准备知识
数学分析(或微积分) 数学分析(或微积分) 高等代数 常微分方程数值解 数学软件
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x 2 − x 3 + x 4 = 300 x 4 + x 5 = 500 x 7 − x 6 = 200 x 1 + x 2 = 800 x 1 + x 5 = 800 x 7 + x 8 = 1000 x 9 = 400 x 10 − x 9 = 200 x 10 = 600 x 8 + x 3 + x 6 = 1000
分别是： 分别是： 187.93，0.037856，8.0000，2.7183。 ， ， ， 。 注意： 位有效数字近似数是8.0000 注意： 8.000033 的5位有效数字近似数是 位有效数字近似数是 而不是8，因为8只有 位有效数字. 只有1位有效数字 而不是 ，因为 只有 位有效数字
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其准确解为： 其准确解为：x1=x2=x3=1
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数值计算方法的主要内容
二、数值计算方法的主要内容 函数的数值逼近 数值微积分 非线性方程数值解 数值线性代数 常微和偏微数值解等… 常微和偏微数值解等
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刘春凤
河北理工大学
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绪 论
第一章 绪论 1 3 数值计算方法的研究对象 2 误差的来源与分类
相对、绝对误差， 3 相对、绝对误差，有效数字
4 误差的传播 5 3 避免误差的准则
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一 数值计算方法的研究对象 研究求数学问题近似解的方法和过程 实际问题 数学模型 数值计算方法的理论 程序设计 上机计算求出结果
绪 论
第2节
1 2 3
绝对误差 相对误差 有效数字
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误差的一般描述
一、误差的一般描述
1 , 定义 . x ____ 近似值 x ____ 近似值
*
*
e = x − x* _____ 误差 绝对误差 ( )
> 0 e = x− x < 0
x − x ≤ 0.5 ⇒122.5 ≤ x ≤ 123.5
*
另外， 经过四舍五入得到的数，其误差必定不超 另外， 经过四舍五入得到的数， 过被保留的最后数位上的半个单位，即最后数位上的 过被保留的最后数位上的半个单位， 半个单位为其误差限。 半个单位为其误差限。
3 ， 0 如: 取π的近似值为.14 则误差限为.5×10 ，
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有效数字
二、有效数字
称近似数x准确到 ≤ 定义: 如果|e| 定义: 如果 = |x* - x|≤ 0.5 ×10-k 称近似数 准确到 小数点后第k位 从这小数点后第k位数字直到最 小数点后第 位, 从这小数点后第 位数字直到最 左边非零数字之间的所有数字都称为有效数字. 左边非零数字之间的所有数字都称为有效数字. 用四舍五入得到的数都是有效数字; 用四舍五入得到的数都是有效数字; 有效数字越多,误差越小 计算结果越精确 有效数字越多 误差越小,计算结果越精确 误差越小 计算结果越精确.
x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x+ − + − + − + − + − + o( x11 ) 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110
再如：函数f(x)用泰勒多项式近似代替 再如：函数 用泰勒多项式近似代替
f ′(0) f ′′(0) 2 f (n) (0) n x pn ( x) = f (0) + x+ x +L+ 1! 2! n!
−2
因为
π − 3.14 ≤ 0.0016 ≤ 0.5×10−2
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误差的一般描述
e x − x* er = = __ x*的相对误差理论式 ( ) x x
e x − x* er = * = __ x*的相对误差(应用式 ) * x x
e x* − x * er = * = ≤ εr __ x 的相对误差限 * x x
*
强近似值 弱近似值
e = x − x ≤ ε ____ 误差限 绝对误差限 ( )
x − ε ≤ x ≤ x + ε or x = x ± ε
* * *
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误差的一般描述 用毫米刻度的米尺测量一长度x， 如：用毫米刻度的米尺测量一长度 ，读出的数为 123mm，它是 的近似值，它的误差限是 ，它是x的近似值 它的误差限是0.5mm,即 的近似值， 即
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误差的分类 则数值方法的截断误差是
(ξ ) n+1 f Rn (x) = f (x) − P (x) = x n (n +1)!
(n+1)
ξ在0与x之间
(4) 舍入误差 数字计算过程中产生的误差 舍入误差__数字计算过程中产生的误差
π ≈ 3.14159265358979323846
有效数字 例1.3 问: x1 = 3.142, x2 = 3.141, x3 = 22 分别作为 的 π 7 近似值各具有几位有效 ? 数字
解: π = 3.14159265358979323846…
1 Q π − x1 = 0.0004 0... ≤ ×10−3 = 0.0005 2 4 . ∴x1具有 位有效数字 1 π − x2 = 0.000 59... ≤ ×10−2 = 0.005 2 3 . ∴x2具有 位有效数字 1 π − x3 = 0.001 26... ≤ ×10−2 = 0.005 2 3 . ∴ x3具有 位有效数字
| x* − x2 |=| 3 − 1.7321|= 0.0000491... = 0.491.. ×10−4 . ≤ 0.5×10−4 , 故x2有五位有效数字
| x* − x3 |=| 3 − 1.7320 |= 0.0000508... = 0.508.. ×10−4 . ≤ 0.5×10 , 故x3有四位有效数字
误差的来源
第1节
误 差 的 来 源
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误差的分类 (1)模型误差 数学模型与实际问题之间出现的误差 模型误差—数学模型与实际问题之间出现的误差 模型误差 数学模型与实际问题之间出现的误差.
实验： 实验：交通流量问题 问题分析与建立模型： 问题分析与建立模型： 模型假设： 模型假设： （1）全部流入网络的流量 ） 全部流出网络的流量； ＝全部流出网络的流量； （2）全部流入一个节点的流量 ） 全部流出此节点的流量。 ＝全部流出此节点的流量。该 问题满足10个变量的线性方程组 问题满足 个变量的线性方程组
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误差的分类
(2)观测误差 由观测产生的误差 观测误差—由观测产生的误差 观测误差 已知实验数据如下： 已知实验数据ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ下：
xi
yi
100 45 110 51 120 54 130 61 140 66 150 70 160 74 170 78 180 85 190 89 200 93
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研究内容
一 数值计算方法的研究对象
5在计算机上是否根据数学公式编程就能得到正
确结果? 确结果?
研究例子:求解线性方程组 研究例子:
1 2 1 3 1 1 11 x1 + x2 + x3 = 2 3 6 1 1 13 x1 + x2 + x3 = 3 4 12 1 1 47 x1 + x2 + x3 = 4 5 60
求符合数据的4次拟合曲线 求符合数据的 次拟合曲线. 次拟合曲线
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误差的分类 (3)截断误差 由简化问题（公式）所引起的解的 截断误差—由简化问题 公式） 截断误差 由简化问题（ 误差(也称方法误差). 误差(也称方法误差). 展成的幂级数. 将函数 f ( x ) = (1 + x ) ln(1 + x ) 展成的幂级数
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−3
有效数字 定义2: 设x的近似值x * 为 x 定义 的近似值
*
= ±0.a1a2a3 ...an ×10m
a1 ≠ 0
其中: a1 , a2 ,...an ∈{0,1,2,...,9},
x , 如果 *的绝对误差不超过末位 的半个单位即 1 * − x − x ≤ ×10m−n 2 则称 *近似 时具有 位有效数字 x x n .
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误差的分类
注 意
避免“过失误差” 避免“过失误差”。
数值计算中会出现各种误差，它们可分为两大类： 数值计算中会出现各种误差，它们可分为两大类： （1）过失误差 （2）非过失误差 ） ）
人为造成
数值计算中无法避免
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n 6 4 4位4 48 4 47 4 4 * x = ± 0. ∗ ∗ ∗ ∗ ... ∗
第一个数非零 误差限不超过该位的半个单位
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有效数字 按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效 例1.2 按四舍五入原则写出下列各数具有 位有效 数字的近似数： 数字的近似数： 187.9325，0.03785551，8.000033，2.7182818. ， ， ， 解 按定义，上述各数具有 位有效数字的近似数 按定义，上述各数具有5位有效数字的近似数
相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异. 相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异. 绝对误差限和相对误差限均无穷多,自然越小越好. 绝对误差限和相对误差限均无穷多,自然越小越好. 误差估计的任务就是提供好的误差限, 误差估计的任务就是提供好的误差限,对于任何一个近 似值,如果得到一个好的误差限, 似值,如果得到一个好的误差限,那么就可以肯定这些数 据是准确可靠的! 据是准确可靠的!
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有效数字 例1.1
x 设x* = 3 = 1.7320508L 1=1.73, x2=1.7321,
x3=1.7320是其近似值 问它们分别有几位有效数字 是其近似值,问它们分别有几位有效数字 是其近似值 问它们分别有几位有效数字?
| x* − x1 |=| 3 − 1.73 |= 0.0020508... = 0.20508..×10−2 ≤ 0.5×10−2 , 故x1有三位有效数字，准确 有三位有效数字， 到小数点后两位。 到小数点后两位。
数值计算方法的主要特点
三、数值计算方法的主要特点
借助计算机提供切实可行的数学算法. 借助计算机提供切实可行的数学算法. 所提出的算法必须具有：可靠的理论分析; 所提出的算法必须具有：可靠的理论分析;理 想的精确度;收敛且稳定;误差可以分析或估计. 的精确度;收敛且稳定;误差可以分析或估计. 时间复杂性好__指节省时间； 时间复杂性好__指节省时间； __指节省时间 计算复杂性好 空间复杂性好__指节省存储量。 空间复杂性好__指节省存储量。 __指节省存储量
如把方程组的系数舍 入成两位有效数字
x1 + 0.50x2 + 0.33x3 = 1.8 0.50x1 + 0.33x2 + 0.25x3 = 1.1 0.33x + 0.25x + 0.20x = 0.78 1 2 3
它的解为x 它的解为 1 =-6.222... x2=38.25… x3=-33.65...
通过数值实验证明算法行之有效. 通过数值实验证明算法行之有效.
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四、学习数值计算方法的准备知识
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x 2 − x 3 + x 4 = 300 x 4 + x 5 = 500 x 7 − x 6 = 200 x 1 + x 2 = 800 x 1 + x 5 = 800 x 7 + x 8 = 1000 x 9 = 400 x 10 − x 9 = 200 x 10 = 600 x 8 + x 3 + x 6 = 1000
分别是： 分别是： 187.93，0.037856，8.0000，2.7183。 ， ， ， 。 注意： 位有效数字近似数是8.0000 注意： 8.000033 的5位有效数字近似数是 位有效数字近似数是 而不是8，因为8只有 位有效数字. 只有1位有效数字 而不是 ，因为 只有 位有效数字
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其准确解为： 其准确解为：x1=x2=x3=1
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数值计算方法的主要内容
二、数值计算方法的主要内容 函数的数值逼近 数值微积分 非线性方程数值解 数值线性代数 常微和偏微数值解等… 常微和偏微数值解等
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绪 论
第一章 绪论 1 3 数值计算方法的研究对象 2 误差的来源与分类
相对、绝对误差， 3 相对、绝对误差，有效数字
4 误差的传播 5 3 避免误差的准则
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第2节
1 2 3
绝对误差 相对误差 有效数字
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误差的一般描述
一、误差的一般描述
1 , 定义 . x ____ 近似值 x ____ 近似值
*
*
e = x − x* _____ 误差 绝对误差 ( )
> 0 e = x− x < 0
x − x ≤ 0.5 ⇒122.5 ≤ x ≤ 123.5
*
另外， 经过四舍五入得到的数，其误差必定不超 另外， 经过四舍五入得到的数， 过被保留的最后数位上的半个单位，即最后数位上的 过被保留的最后数位上的半个单位， 半个单位为其误差限。 半个单位为其误差限。
3 ， 0 如: 取π的近似值为.14 则误差限为.5×10 ，
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有效数字
二、有效数字
称近似数x准确到 ≤ 定义: 如果|e| 定义: 如果 = |x* - x|≤ 0.5 ×10-k 称近似数 准确到 小数点后第k位 从这小数点后第k位数字直到最 小数点后第 位, 从这小数点后第 位数字直到最 左边非零数字之间的所有数字都称为有效数字. 左边非零数字之间的所有数字都称为有效数字. 用四舍五入得到的数都是有效数字; 用四舍五入得到的数都是有效数字; 有效数字越多,误差越小 计算结果越精确 有效数字越多 误差越小,计算结果越精确 误差越小 计算结果越精确.
x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x+ − + − + − + − + − + o( x11 ) 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110
再如：函数f(x)用泰勒多项式近似代替 再如：函数 用泰勒多项式近似代替
f ′(0) f ′′(0) 2 f (n) (0) n x pn ( x) = f (0) + x+ x +L+ 1! 2! n!
−2
因为
π − 3.14 ≤ 0.0016 ≤ 0.5×10−2
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误差的一般描述
e x − x* er = = __ x*的相对误差理论式 ( ) x x
e x − x* er = * = __ x*的相对误差(应用式 ) * x x
e x* − x * er = * = ≤ εr __ x 的相对误差限 * x x