第一章 随机事件的概率 《概率论》PPT课件

2. 在试验进行之前，不能确定哪一种结果会出现。 （结果的随机性） 3. 在相同条件下，可以重复进行。（重复性）
概率论与数理统计
§1.1 随机事件
E 1 ：观察某储蓄所一天的营业额(元)； E 2 ：掷一颗骰子，观察出现的点数； E 3 ：抛掷一枚硬币，观察正反面出现的情况；
E 4 ：连续两次抛一枚硬币，观察正反面出现的情况； E 5 ：连续两次抛一枚硬币，观察正面出现的次数；
积逆=逆和
德·摩根定理可推广到有限或可列个随机事件上
即
Aj Aj
j
j
Aj Aj
j
j
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例1 证明：
AB
§1.1 随机事件
AB
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§1.1 随机事件
例2 射击3次,事件
表示第i次击中
目标，下列各事件表示什么意思。
1. A1 A2 A3
2. ( A1 A2 ) A3
（2）不可能事件：在一次试验中必然不发生的
事件称为不可能事件，记作 ；
（3）基本事件： 由一个样本点组成的单点集 称为基本事件，例如，E3 中的 基本事件{H}， {T}；
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§1.1 随机事件
四、 事件的关系与运算 ➢研究原因：希望通过对简单事件的了解掌握较
复杂的事件
随机事件与集合的关系：
• 帕斯卡、费马、惠更斯被认为是概率论的 概率论早期创始人。
• 惠更斯于1657年写成《论掷骰子游戏中的 计算》一书，这本书成为概率论的最早的 论著。
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引言
十八世纪由欧拉、拉普拉斯等人的研究，使
概率论取得进展。十九世纪末和二十世纪初， 在概率论引进随机变量，所使用的方法也进一 步为解析方法，在理论上获得巨大的成就，在 实践上也找到了广泛的应用。1933年，科尔莫格罗夫给
试验次数 频数(A发生的次数) 频率
500
251
0.502
序号 1 2
3
4 5 6 7 8 9 10
试验次数 500 500
500
500 500 500 500 500 500 500
频数 频率
251
0.502
249
0.498
256
0.512
频 率
253
0.506 的
251
0.502 不
246
0.492
解：（1） ABC 或 A-B-C 或 （2）ABC 或 AB C . （3）AU B UC. （4）AB U AC UBC （5）AB U AC U BC （6）ABC U B AC U C AB （7）(A UB) C . （8）A B C 或 ABC .
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§1.1 随机事件
B ABA A B AB AB AB
A
B AB
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§1.1 随机事件
6. 对立事件（逆事件） 如果事件A与B满足A B ,且AB ,则称 事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事
件记作 A 。
A
A
[注] 1.对立事件一定是互 不相容事件，而互不 相容事件未必是对立 事件。
2. A A
符号
集合论
概率论
全集
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§1.1 随机事件
二、 样本空间
随机试验 E 每个可能的结果 ，称为随机
试验的样本点，由所有的样本点组成的集合，
称为试验E 的样本空间，记作 。
[注1] 样本空间是古典概率的关键的概念，一定 要理解。
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§1.1 随机事件
E1 : 1 {t | t 0}
E2 : 2 {1, 2,3, 4,5, 6}
引言
在我们的生活中经常会遇到这些现象.
A. B. Байду номын сангаас.
太阳从东方升起； 上抛物体一定下落；
必定发生现象
在标准大气压下，水在摄氏 必定不发生现象
确 定 性 现 象
80度一定不会沸腾；
D. 明天的最高温度；
不确定性现象
E. 投掷一枚硬币,正面向上。
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引言
我们将（不确定）偶然现象称为随机现象。 随机现象：
AB
A B(B A）
若事件B 包含事件A且事件A包含事件B，则称 事件A与B相等，记作A=B。
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§1.1 随机事件
2. 和事件
事件 A B {w | w A或w B} 称为事件A与事B的 和事件。
含义：事件 A B 发生
B
A
事件 A 发生或事件 B 发生
事件A，B至少有一个发生
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§1.1 随机事件
§1.1 随机事件及其运算 一、随机试验
在引言中我们了解到，随机现象有其偶然性
的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现 在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性， 称为随机现象的统计规律性. 而概率论正是研究 随机现象统计规律性的一门学科. 现在，就让我 们一起，步入这充满随机性的世界，开始第一步 的探索和研究.
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§1.2 随机事件的概率
一、频率与概率
1. 频率
在相同条件下，进行 n 次试验，事件A
发生了 nA 次，称 nA 为事件A发生的频数；称
比值
nA n
为事件A发/ 生的频率，记作
fn ( A).
即
fn ( A)
nA n
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§1.2 随机事件的概率
例1 将一枚均匀的硬币抛掷500次，A表示正面 向上，得到数据如下：
B
A A B C ABC ABC ABC
ABC ABC ABC ABC
C
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§1.2 随机事件的概率
§1.2 随机事件的概率
研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪 些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性 大小，也就是事件的概率.
概率是随机事件 发生可能性大小 的度量
事件发生的可能性 越大，概率就 越大！
基本事件 { }单点集
随机事件 A、B、C …集合；
必然事件 (全 集 ） 不可能事件 (空集)
➢研究规则：事件间的关系和运算应该按照集合 之间的关系和运算来规定
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§1.1 随机事件
1. 子事件
若 A B(B A）称事件 B 包含事件A 或 事件
A是事件B的子事件。其含义是事件 A 发生必 然导致事件B
4. A2 A3 5. A1 A2 A3
6. A1 A2 A2 A3 A1 A3 （至少两次射中）
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§1.1 随机事件
例3 甲、乙、丙三人同时破译密码，设A、B、 C分别表示甲、乙、丙译出密码，用事件 A、B、C表示下列事件。
1. 三人都译出密码；
2. 三人都未译出密码； 3. 甲译出，乙、丙未译出； 4. 密码被译出； 5.三人中至多有一人译出。
例4 设A,B,C为三个事件，用A,B,C的运算式表
示下列事件：
（1）A发生而B与C都不发生；
（2）A，B都发生而C不发生；
（3）A,B,C 至少有一个事件发生； （4） A,B,C至少有两个事件发生； （5）A,B,C 恰好有两个事件发生； （6） A,B,C恰好有一个事件发生； （7） A,B至少有一个发生而C不发生； （8） A,B,C都不发生；
B AB A AB
类似的，可以定义多个事件的和事件。
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§1.1 随机事件
3. 积事件
事件 A I B {w | w A 且w B} 称为事件
A与事件B的积事件，简记AB。
B
A
含义：事件AB发生当且 仅当事件A与B同时发生。
AB B AB A
AB 类似的，可定义多个事件的积事件。
概率论与数理统计
引言
引言
在我们所生活的世界上，充满了不 确定性现象
从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游 戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间 万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变 万化……，我们无时无刻不面临着不确定性和随 机性.
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引言
一、概率论的研究对象
概率论与数理统计
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§1.1 随机事件
这里我们把各种科学试验以及对某一事物某一特性
的观察都认为是一种试验。如果一个实验在相同 的条件下可以重复进行，其中每次试验的结果 事前不可预知，称该实验为随机试验 ,一般记 作随E机。试验具有的特点：
1. 每次试验的可能结果不止一个，并且事先能够 明确所有可能的结果；（结果可知性）
出概率的测度论定义和一套严密的公里体系，奠定了现代概率论的基础。
最近几十年来，数理统计飞速发展和它的方
法在生产实践和其它学科的多方面的应用，更 加证明了概率统计在各个领域的重要性 。
概率论与数理统计 第一章、随机事件的概率
第一章 随机事件的概率
§1.1 随机事件 §1.2 随机事件的概率 §1.3 条件概率 §1.4 独立性 主观概率
§1.1 随机事件
事件运算的规律： 1.交换律 A∪B=B∪A ； AB=BA 2. 结合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C)；
(AB)C=A(BC)
3. 分配律 (A∪B)C=AC∪BC；
A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)
概率论与数理统计
4.对偶律（德·摩根定理）
§1.1 随机事件
AB AB
和逆=逆积
【注】严格来说，随机事件是指 中满足某些条件
的子集，若 是有限集或可数集时，每个子集都可
看作为一个随机事件。若为不可数无穷时，某些子集 必须要排除在外。
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§1.1 随机事件
（1） 必然事件：样本空间 本身，由于
它包含了实验 所有可能的结果，所以在每 次试验中总能发生，称为必然事件。
（1）在一次或几次观察中，结果不能够确定。 （2）在大量地重复观察时，呈现一定的规律 性。 这种规律性称为随机现象的统计规律。
概率论是研究随机现象的统计规律的一门数学 学科。
表1-1 投掷硬币实验
实验者 实验次数 （H）
德·摩根
2048
1061
蒲丰
4040
2048
K.皮尔逊 12000
6019
fn (AH )
确 定
244
0.488 性
258
0.516
262
0.524
247
0.494
实验者 实验次数
德.摩根
2048
蒲丰
4040
K.皮尔逊 12000
频数 1061 2048 6019
K.皮尔逊 24000
12012
频率 0.5181 0.5059 0.5016 0.5005
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§1.2 随机事件的概率
0.5181 0.5059 0.5016
K.皮尔逊 24000
12012 0.5005
fn (AH )是 n 此实验中“正面出现”的次数与投掷总次数
n 的比值。
• 二、概率论的起源与发展
• 概率论开始产生于17世纪中叶。而它的基 本概念则是直接来自对于一些特殊问题特 别是赌博游戏的研究 （分赌注问题， 赌本输光问题等）。
样本空间，必然事件
{}
A A B
AB AB AB
A-B
空集
中的点
单点集
的子集
集合A包含于B 集合A与B交 集合A与B交为空 集合A与B并 集合A差B
不可能事件 样本点 基本事件 事件A 事件A发生导致B发生 事件AB同时发生 事件A与事件B互斥 事件A，B至少有一个发生 事件A发生但B不发生
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频率的性质：
§1.2 随机事件的概率
（1）(非负性)
fn(A) 0
（2）（正则性） fn ( ) 1
常数 p 为事件A的概率，记作 P( A) 。
概率的统计定义。
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§1.2 随机事件的概率
关于频率和概率的关系，需要强调以下事实：
1. 频率是随着试验的变化而发生变化的。试 验不同，频率的大小不同；而概率是先于试 验而客观存在的，无论进行多少次试验，概 率始终不变。
2. 对于较大的n， n次试验中事件A的频 率，一般与事件A的概率P相差不大，试验 次数n越大，频率与概率有较大偏差的情形 就越少见.
E4 : 4 {HH ,TT}
E5 : 5 {0,1, 2}
E3 : 3 {H ,T}
【注】 由 E4，E5 可看出试验的目的决 定试验的样本空间。
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三、随机事件
§1.1 随机事件
一般地，称样本空间的子集为试验 E 的随 机事件。在每次试验中，当且仅当这个子集中 的一个样本点出现时，称这一事件发生。
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§1.1 随机事件
4. 差事件
事件 A-B={w|w A且w B} 称为事件A与B的
差事件。
含义：事件A发生而事件
B
A
B不发生。
A-B B-A
AB A B A B
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§1.1 随机事件
5. 互不相容事件（互斥）
若事件A与B不可能同时发生，即 AB ,
称事件A与B互不相容（或称互斥）。
频率稳定性
在充分多次试验中，事件的频率总 在一个定值附近摆动，而且，试验次数 越多，一般来说摆动越小. 这个性质叫 做频率的稳定性.
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§1.2 随机事件的概率
2. 概率
定义1 在相同条件下，重复进行 n 次试验，
当试验的次数 n 增大，事件A发生的 频率在一个常数 p 附近摆动，称这个