全称量词与特称量词

1.4 全称量词与存在量词
学习目标
1. 理解全称量词与存在量词的意义．
2. 能正确对含有一个量词的命题进行否定．
3. 知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.
学习重点
全称命题和特称命题真假的判定．
学习难点
对含有一个量词的命题进行否定.
知识梳理
一、请列举全称量词与全称命题、特称量词与特称命题的概念。

二、全称命题与特称命题的否定
1、全称命题的否定
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面结论：
全称命题p ：∀x ∈M ，p(x)，它的否定⌝p ：_________________ ，全称命题的否定是_____________
2．特称命题的否定
一般地，对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：
特称命题p ：∃0x M ∈，p 0()x ，它的否定
⌝p ：_________________
特称命题的否定是_____________
探究一 全称命题与特称命题的判断
例1、判断下列语句是全称命题，还是特称命题，并用量词符号“∀”“∃”表达下列命题：
1、对任意角α，都有1cos sin 22=∂+∂；
2、有一个函数，既是奇函数又是偶函数；
3、∀x ∈R ，2
x －1＝0
4、所有能被3整除的整数都是奇数
5、有的三角形是等边三角形
6、有一个实数α，tan α无意义
方法归纳：
__________________________________________________________________________________________________________________________________________探究二、全称命题与特称命题的真假判断
例2、判断下列全称命题或特称命题的真假
1、每个指数函数都是单调函数；
2、任何实数都有算术平方根；
3、∀x ∈0π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2，sin x ＋cos x ≥2
4、0,00≤∈∃x R x
5、
是无理数，}是无理数|{200x x x x ∈∃ 6、,x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦
2， tan x>sin x 方法归纳：
__________________________________________________________________________________________________________________________________________ 探究三、含有一个量词的命题的否定及应用
例3、写出下列命题的否定，并判断其真假：
1、P ：每一个四边形的四个顶点共圆
2、P ：23,x x N x >∈∀
3、P ：有的菱形是正方形
4、p ：∀x ∈R ，41
2+-x x ≥0；
5、p ：所有的正方形都是菱形；
6、p ：至少有一个实数0x ，使30x ＋1＝0
例4、若命题“2000,220x R x ax a ∃∈++-=”是真命题，则实数a 的取值范围是
________．
方法归纳：
__________________________________________________________________________________________________________________________________________当堂检测
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”
B ．若命题p ：∃x ∈R ，x 2－2x －1>0，则命题⌝p ：∀x ∈R ，x 2－2x －1<0
C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题
D ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件
2、 下列命题中，真命题是( )
A ．∃x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2，sin x ＋cos x ≥2 B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1 C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1 D ．∀x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，tan x >sin x 3．已知命题p ：∃n ∈N,2n >1 000，则⌝p 为( )
A ．∀n ∈N,2n ≤1 000
B ．∀n ∈N,2n >1 000
C ．∃n ∈N,2n ≤1 000
D ．∃n ∈N,2n <1 000
4．下列语句是真命题的是( )
A ．所有的实数x 都能使x 2－3x ＋6>0成立
B ．存在一个实数x 使不等式x 2－3x ＋6<0成立
C ．存在一条直线与两个相交平面都垂直
D ．有一条直线和两个相交平面都垂直
5. 命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )
A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1
B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1
C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1
D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1
6．下列四个命题中的真命题为( )
A．若sin A＝sin B，则A＝B B．∀x∈R，都有x2＋1>0
C．若lg x2＝0，则x＝1 D．∃x0∈Z，使1<4x0<3
7．有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x0∈N，使x20≤x0；④∃x0∈N
＋
，使x0为29的约数．其中真命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
8．下列命题，是全称命题的是__________；是特称命题的是__________．
①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．
9. 2
,210
x R x ax
∀∈-+≥，则实数a的取值范围是_______________
10．“存在一个实数x0，使sin x0>cos x0”的否定为________．
11．若命题“∀x∈(3，＋∞)，x>a”是真命题，则a的取值范围是________．
12．若“∀x∈[0，π
4]，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
三、解答题
13．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)二次函数的图象是抛物线；
(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；
(3)有些四边形存在外接圆；
(4)∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．
14.命题“2
,2390
x R x ax
∃∈-+<”为假命题，求实数a的取值范围？
15．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．。