函数的定义域及函数值

【教学目的】

1、使学生理解函数的概念，明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；

2、理解函数符号的含义，能根据函数表达式求出定义域、值域；

3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号；

4、使学生明白静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。

【教学重点】

在对应的基础上理解函数的概念

【教学难点】

函数概念的理解

【教学过程】

一、复习引入

〖提问〗初中学习的（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？

〖回答〗设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数，并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数

值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义。

〖讲述〗初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。

〖提问〗问题1：

y=1（x∈R）是函数吗？

问题2：y=x与y=x

x2

是同一函数吗？

〖投影〗观察对应：

〖分析〗观察分析集合A 与B 之间的元素有什么对应关系？

二、讲授新课 函数的概念 （一）函数与映射

〖投影〗函数：设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集

合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =)(x f ，

x ∈A 。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数y =)(x f 的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，

函数值的集合{)(x f |x ∈A}，叫做函数y =)(x f 的值域。

函数符号

y =)(x f 表示“y 是x 的函数”

，有时简记作函数)(x f 。

函数的三要素：对应法则f 、定义域A 、值域{)(x f |x ∈A} 注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

映射：设,A B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素

y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射.

如果集合A 中的元素x 对应集合B 中元素y ,那么集合A 中的元素x 叫集合B 中元素y 的原象,集合B 中元素y

叫合A 中的元素x 的象. 映射概念的理解

(1)映射B A f →:包含三个要素:原像集合A,像集合B(或B 的子集)以及从集合A 到集合B 的对应法则f .两个集合A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则f 可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有:

(1)方向性:映射是有次序的,一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的; (2)任意性:集合A 中的任意一个元素都有像,但不要求B 中的每一个元素都有原像; (3)唯一性:集合A 中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”.

函数与映射的关系

函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出.

映射

B

A

f→

:函数B

y

A

x

x

f

y∈

∈

=,

),

(

集合A,B可为任何集合,其元素可以是物,人,

数等

函数的定义域和值域均为非空的数集

对于集合A中任一元素a,在集合B中都有唯一确定的像对函数的定义域中每一个x,值域中都有唯一确定的值与之对应

对集合B中任一元素b,在集合A中不一定有原像对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应

函数是特殊的映射,映射是函数的推广.

〖注意〗（1）函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应

f：A→B。这里A，B为非空的数集。

（2）A：定义域，原象的集合；{

)

(x

f|x∈A}：值域，象的集合，其中{)

(x

f|x∈A}⊆B；f：对应法则，x∈

A，

y∈B

（3）函数符号：y=)

(x

f，y是x的函数，简记)

(x

f

〖回顾〗（二）已学函数的定义域和值域：

1、一次函数

)

(x

f=ax＋b(a≠0)：定义域R，值域R

2、反比例函数

)

(x

f=x

k

(k≠0)：定义域{x|x≠0}，值域{y | y≠0}

3、二次函数

)

(x

f=ax2＋bx＋c(a≠0)：定义域R，值域：当a＞0时，｛y|y≥a

b

ac

4

42

-

｝；当a＜0时，

｛y|y≤a

b

ac

4

42

-

｝。

（三）函数的值：关于函数值

) (a f

例析：若

)

(x

f=x2＋3x＋1，求)2(f。

解：

)2(f=22＋3×2＋1=11

〖注意〗（1）在y=)

(x

f中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样；

（2）

)

(x

f不一定是解析式，有时可能是“列表”、“图象”；