文科高等数学重要知识点汇总演示教学

x→0 x
x→∞
x
lim
x→∞
⎛⎜⎝1
+
1 ⎞x x ⎟⎠
= lim (1+ x→0
1
x)x
=
e。
( ) 11．连续的定义为： lim Δx→0
f ( x0 + Δx) − f ( x0 )
= 0 ，其等价定义为 lim x → x0
f
(x) =
f
( x0 ) ，
在端点处以单侧极限的方式给出；不满足上式的点称为间断点，分为两类，第一类间断
第一章 函数与极限
一、内容提要
1．函数是微积分研究的对象，定义域、对应法则构成其两要素。 2．极限分成数列极限与函数极限，是微积分学的基础，以后的内容绝大多数与此紧密相关。 3．无穷小与无穷大是两个特殊的变量，为了更精细的研究它们之间的关系，必须讨论它们
之间比较时产生的阶的关系。 4．求极限的方法有多种，本章主要有利用极限运算法则及两个极限存在法则方法，并利用
x→+∞
lim f ( x) = A 的定义为： ∀ε > 0, ∃X > 0,∀x满足x < − X时,成立 f ( x) − A < ε 。
x→−∞
3．数列极限或函数极限若存在则必唯一。 4．收敛数列必为有界数列，函数极限存在有局部有界性。 5．函数极限若存在，则有局部保号性。
6．lim
f
(x)
一侧函数根本无定义，如[a, b] 的端点处.
4. 导数的计算主要是利用基本求导公式和求导法则按部就班地进行，其中复合函数的求导 法则是计算中的重要工具，而特殊点的导数则必须从定义出发，如分段函数连接点处等. 5. 不同方式定义的函数的求导法各不相同，如隐函数和参数方程定义的函数. 6. 微分的概念则从另一个角度讨论了函数的增量问题，从而使我们更加深对导数的理解.
dy 作为 Δy 的线性主部，其实质为当 Δx → 0 时 dy 是 Δy 的等价无穷小.
二、重要结论
1.
f
′(x0 )
=
lim
Δx→0
f
(x0
+ Δx) − Δx
f
(x0 )
=
lim
h→0
f (x0
+ h) − h
f
(x0 )
；
或
f
′( x0
)
=
lim
x → x0
f (x) − f (x0 ) x − x0
f
(x)
+
g
(
x))
=
A+
B
， lim
f
(x)
g
(x)
=
AB ， lim
f g
(x) (x)
=
A B
。
9．若自变量的同一变化过程中，α
~ α ′, β
~
β
′
，且
lim
α β
′ ′
存在，则
lim
α β
=
lim
α β
′ ′
。
10．夹逼准则，且由此得 lim sin x = lim x sin 1 = 1 ；单调有界数列必收敛，且由此得：
点是左右极限都存在的间断，其余是第二类的。
12．闭区间上的连续函数有最大、最小值，是有界的，且能取得介于最大、最小值之间的任
意值，当两端点函数值异号时，区间内部必有零点存在。
第二章 导数与微分
一、内容提要
1. 导数即变量的变化率问题，在计算上体现为一种 0 型的未定式的极限，即增量之比的极 0
限. 2. 导数的几何意义即导数在几何上的解释：曲线相应点的切线斜率. 3. 单侧导数概念的引入缘于在该点两侧函数的对应规则不同，如分段函数的连接点处；或
=
A
，当 n
→
∞ 时，xn 与上极限中的
x
有相同的变化趋势，则 lim n→∞
f
( xn
)
=
A。
7． lim f ( x) = A ⇔ f ( x) = A + o (1) 。
8．若自变量的同一变化过程中， lim f ( x) = A, lim g ( x) = B ，相除时分母须不为 0，
有 lim(
7. 四则运算的求导法则：
（1） (u ± v)′ = u′ ± v′
（2） (uv)′ = u′v + uv′
（3） (u )′ = vu′ − uv′ .
v
v2
8. 复合函数的求导法则：
设 y = f (u), u = ϕ (x) 可导，则 y = f (ϕ (x)) 可导，且有 y′ = f ′(u)ϕ ′(x) .
上述极限的左、右极限分别叫作 f (x) 在 x0 处的左、右导数，记为 f−′(x) 、 f+′(x) . 2. 函数 f (x) 在点 x0 处导数 f ′(x0 ) 的几何意义是曲线 y = f (x) 在点 (x0 f (x) 在点 x0 可导的充要条件是 f (x) 在点 x0 处的左、右导数存在且相等. 4. f (x) 在点 x0 可导则必在 x0 处连续. 5.若 f (x) 在点 x0 处的函数增量 Δy = kΔx + o(Δx) ，其中 k 为与 Δx 无关的量，则称 f (x) 在 点 x0 处可微，且微分 dy = kΔx . 6. f (x) 在点 x0 可导的充要条件是 f (x) 在点 x0 可微，且有 dy = f ′(x)dx .
> 0,∀x ∈ ( x0 − δ , x0 ),满足
f
(x)− A
<ε。
lim f ( x) = A 的定义为： ∀ε > 0, ∃X > 0,∀x满足 x > X时,成立 f ( x) − A < ε 。
x→∞
lim f ( x) = A 的定义为： ∀ε > 0, ∃X > 0,∀x满足x > X时,成立 f ( x) − A < ε 。
9. 反函数的导数：设单调连续函数 x = ϕ ( y) 在点 y 可导，且 ϕ ′( y) ≠ 0 ，则其反函数
y = f (x) 在对应点 x 处可导，且 f ′(x) = 1 . ϕ ′( y)
n
∑ 10. Leibniz 公式： (uv)(n) =
后者得到两个重要极限。 5．利用极限来描述连续这种直观现象是用极限对函数研究的第一次应用，并得到了初等函
数的连续性。作为连续函数，当其在闭区间上时具有特殊的性质。
二、重要结论
1．
lim
n→∞
an
=
a
的定义为： ∀ε
>
0, ∃N
>
0, ∀n
>
N , 满足
an
−a
<
ε
。
0
2． lim x → x0
f
(x) =
A 的定义为： ∀ε
> 0, ∃δ
> 0,∀x ∈U ( x0,δ ),满足
f
(x)− A
<ε 。
lim
x→ x0+
f
(x) =
A 的定义为： ∀ε
> 0, ∃δ
> 0,∀x ∈ ( x0 , x0 + δ ),满足
f
(x)− A
<ε
。
lim
x→ x0−
f
(x) =
A 的定义为： ∀ε
> 0, ∃δ