集合含义

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四 朴素集合论的问题
目录
一 “集合” 溯源
二 数学危机与革命
三
康托尔与集合论
四
朴素集合论
五 集合中元素的特征（3）
五 集合元素的3大特征
（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者 在这个集合里，或者不在，不能模棱两 可。
（2）互异性： 集合中的元素没有重复。
（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通 常用正常的顺序写出）
建立数学分析基础的“逻辑顺序”： 实数理论—极限理论—微积分。
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一 “集合” 溯源
二 数学危机与革命
三
康托尔与集合论
四
朴素集合论
五 集合中元素的特征（3）
三 数学基础的曙光——集合论
到19世纪，数学从各方面走向成熟。 非欧几何的出现使几何理论更加扩展和完善； 实数理论（和极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础； 群的理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为明晰，……。
四 集合的定义
一般地，把研究的对象称为元素(element)； 通常用小写拉丁字母a，b，c，…，表示；
把一些元素组成的总体叫做集合(set), 简称集; 通常用大写拉丁字母A，B，C，…,表示.
四 初中数学的集合
回忆下初中时,学习过与“集合”有关的内容吗？
自然数的集合、 有理数的集合、 不等式x－7≤3的解的集合、 到定点的距离等于定长的点的集合（即球面）、 到定直线的距离等于定长的点的集合（即圆柱面）
毕达哥拉斯（约公元前580-前500） 古希腊哲学家、数学家、天文学家
二
革命成果：实数的体系诞生 彻底解决这一危机是在19世纪，依赖于数系 的扩张。直到人类认识了实数系，这次危机 才算彻底解决，这已经是两千多年以后的事 情了。
二 第二次数学危机
第二次数学危机发生在牛顿，莱布尼兹 创立微积分的十七世纪。第二次数学危机 则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提 出的，是对牛顿 “无穷小量”的批判引起 的。
核心概念：无穷小的性质 “无穷小”作为一个量，究竟是不是0？
莱布尼茨
（德，1646-1716）
牛顿
（英，1642-1727）
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二
危机的实质 第一次数学危机的实质是 “ 不是有理
数，而是无理数”。 第二次数学危机的实质是什么？应该说，
是极限的概念不清楚，极限的理论基础不 牢固。也就是说，微积分理论缺乏逻辑基 础。
1 集合与函数
1.1 集合的含义
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一 “集合” 溯源
二 数学危机与革命
三
康托尔与集合论
四
朴素集合论
五 集合中元素的特征（3）
一 上体育课
上体育课时用手打出“集合”手势： 左手握拳大小臂90度, 右手握拳伸展.大声喊：“集合”
一 最早集合观念的产生（数的产生）
两河流域：8000BC人们开始用陶筹——由粘土捏成的各种形状、代表各种事物的标志——记数记事，此 后五千年中无大变化。 4000BC，苏美尔陶筹也开始了由“朴素陶筹”向“复杂陶筹”的转化: 不但陶筹本身出现了形形色色的孔洞和刻道，而且被串连起来或包裹在空心泥球(hollow clay envelopes) 里保存。
四 常用集合的简称
四 朴素集合论的问题
研究的对象称为元素 把一些元素组成的总体叫做集合(set), 简称集
1元素的定义过于随意，不区分实体和符号，能指和所指。 2对比亚里士多德【类-实体-属性】，集合缺乏层次和结构的描述（罗素）
生物圈，水圈，大气圈，…地壳内部⊆地球 ⊆ 地月系 ⊆ 内太阳系 ⊆ 太阳圈 ⊆ 太阳系 ⊆ 本星际云 ⊆ 本地泡 ⊆ 古尔德带 ⊆ 猎户臂 ⊆ 银河系 ⊆ 银河系 次集团 ⊆ 本星系群 ⊆ 室女座超星系团 ⊆ 拉尼亚凯亚超星系 团 ⊆ 双鱼-鲸鱼座超星系团复合体[可疑 –讨论] ⊆ 可观测宇宙 ⊆ 宇宙
一 甲骨文，金文中的“集”与“合”
甲骨文 : 像一只飞鸟落在树枝上，表示栖息 的意思。 字形从三只鸟停在树上，表示聚集。
字的上部像器皿的盖子，整个字像盖子盖在 器皿上的样子。 房屋作为容器，指代房子里的人和物。
一 日常语境中的“集合”
物以类聚，人以群分
一 日常语境中的“集合”
蓝蓝的天空中，一群鸟在欢快的飞翔 茫茫的草原上，一群羊在悠闲的走动
如果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的 人，按宣称的原则，理发师不应该给他自己刮脸， 这与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自 己不给自己刮脸的，按宣称的原则，理发师应该给 他自己刮脸，这又与假设矛盾。
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一 “集合” 溯源
二 数学危机与革命
三
康托尔与集合论
四
朴素集合论
五 集合中元素的特征（3）
不过康托尔的集合论并不是完美无缺的，一方面，康托尔对“连续统假设”和“良序性定理” 始终束手无策；另一方面，19和20世纪之交发现的布拉利－福蒂悖论、康托尔悖论和罗素悖 论，使人们对集合论的可靠性产生了严重的怀疑。加之集合论的出现确实冲击了传统的观念， 颠倒了许多前人的想法，很难为当时的数学家所接受，遭到了许多人的反对，其中反对的最 激烈的是柏林学派的代表人物之一、构造主义者克罗内克。 法国数学家庞加莱（Poincare，J ules Henri,1854.4.29－1912.7.17）说：“我个人，而且还不只 我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西”。他把 集合论当作一个有趣的“病理学的情形”来谈，并且预测说：“后一代将把（Cantor）集合 论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了”。 德国数学家外尔（Weyl，Claude Hugo Hermann,1885.11.9－1955.12.8）认为，康托尔关于基数 的等级观点是“雾上之雾”。 克莱因（Klein，Christian Felix，1849.4.25－1925.6.22）也不赞成集合论的思想。
人们水到渠成地思索：整个数学的基础在哪里？
康托尔对数学的贡献是集合论和超穷数理论。 两千多年来，科学家们接触到无穷，却又无力去把握和 认识它，这的确是向人类提出的尖锐挑战。
康托尔以其思维之独特，想象力之丰富，方法之新颖绘 制了一幅人类智慧的精品——集合论和超穷数理论
令19、20世纪之交的整个数学界、甚至哲学界感到震惊。 可以毫不夸张地讲，“关于数学无穷的革命几乎是由他 一个人独立完成的。”
三 罗素悖论
• “异常集合” 1： 不多于29个字母表达的句子所构成的集合
（这一集合的定义是“不多于29个字母表达的句子”，它是这 一集合本身的成员）
• “异常集合” 2： 不是麻雀的东西所构成的集合
（“不是麻雀的东西所构成的集合”肯定不是麻雀，所以它是 这一集合本身的成员）
三 理发师悖论
罗素悖论的通俗化——“理发师悖论”：某村的 一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮 脸的人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？
（3）“book”中的字母构成一个集合，该集合的元素 是 b，o，k三个字母 还是b， o， o， k四个字母
• 1. {x²，3x+2，5x³－x}即{5x³－x，x²，3x+2}.
对 （无序性）
• 2.若方程x²－5x+6=0和方程x²－x－2=0 的解 • 为元素的集合为M，则M中元素的个数为
数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机， 都是数学的基本部分受到质疑。实际上，也恰恰 是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放， 大大推动了数学科学的发展。
二 第一次数学危机
第一次数学危机是 由 不2 能写成 两个整数之比引 发的。
《百牛定理》
学派：一切皆 数！
希伯斯，希帕索斯（Hippasus， 毕达哥拉斯（Pythagoras）的 得意门生。发现无理数第一人。
格奥尔格·康托尔
“没有人能把握从康托尔建立的伊甸园中赶出去！” --希尔伯特
三 康托尔的集合论
由康托尔首创的全新且具有划时代意义的集合论，是自古希腊时代的二千多年以来，人类认 识史上第一次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算，它从本质上揭示了无穷的特 性，使无穷的概念发生了一次革命性的变化，并渗透到所有的数学分支，从根本上改造了数 学的结构，促进了数学的其他许多新的分支的建立和发展，成为实变函数论、代数拓扑、群 论和泛函分析等理论的基础，还给逻辑和哲学带来了深远的影响。
五 集合元素的特征
思考1：某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？由 此说明什么？
集合中的元素必须是确定的 思考2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此 说明什么？ 集合中的元素是不重复出现的 思考3：高一1班的全体同学组成一个集合，调整座位后 这个集合有没有变化？由此说明什么？
集合中的元素是没有顺序的
数学家H．A．施瓦兹原来是康托尔的好友，但他由于反对集合论而同康托尔断交。集合论的 悖论出现之后，他们开始认为集合论根本是一种病态
他们以不同的方式发展为经验主义、半经验主义、直觉主义、构造主义等学派，在基础大战 中，构成反康托尔的阵营。
三 康托尔的命运
康托尔在学术上的成就，在最开始，并没有得到同行的认可，尤其是当时欧洲最杰出 的数学家之一，也是他的老师——克罗内克，早已流露过不满。克罗内克是一个有穷 论者，竭力反对康托尔的“超穷数”的观点。 在柏林，克罗内克几乎有无限的权力。他不仅对康托尔的工作进行粗暴的攻击，还一 再阻止康托尔论文的发表。由于他的攻击，还使数学家们对康托尔的工作总抱着怀疑 的态度，致使39岁的康托尔患了抑郁症。 在康托尔的余生中，他多次遭受不同程度的精神崩溃，不得不一次次出入精神病院。 然而，这位伟大的数学家并没有因为自己患病而放弃对数学的探索，在精神状态好的 时候，他完成了关于无穷理论的最好的那部分工作。
清清的湖水里，一群鱼在自由地游动 －－－－－
马克思名言:“人的本质不是单个人所固有的抽象物, 在其现实性上,它是一切社会关系的总和。