固体物理基础第3章 晶格振动理论

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第3章 晶格振动理论
3.1.2 长波近似
下面将验证方程(3.1)具有下列“格波”形式的解：
n Aei(tnaq)
(3.2)
考虑一种极限情形，假设晶格常数a相对于波长λ足够小
(λ>>a)，即把晶体视为连续媒质，称之为长波近似。于是可
以把方程(3.1)中的离散量过渡到连续量：
a→Δx
na→x
μn=μ(na，t)→μ(x，t) μn-1=μ(na-a，t)→μ(x-Δx，t) μn+1=μ(na+a，t)→μ(x+Δx，t)
22(1cosqa)4sin2(qa)
m
m2
式(3.5)与n无关，表明方程(3.1)的N个特解的角频率ω与波数
q之间都满足式(3.5)
通常把角频率ω与波数q之间的关系称为色散关系。
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综上可知，一维单原子链振动时产生格波，格波总数等 于方程(3.1)独立解的个数N，即一维单原子链的自由度。格 波具有与连续媒质中弹性波完全相同的形式，区别在于式 (3.4)所表示的连续波中x可以是空间任意点，而在式(3.2)所 表示的格波中只能取x=na(n=1~N)的格点位置。由此可知， 一个格波解表示所有原子同时做频率为ω的振动，而每一个 原子又都同时参与N个格波的振动。对于一个格波解而言， 不同原子之间存在相位差，相邻原子间相位差为qa。格波与 连续波的一个重要区别就在于波数q的涵义不同，可以注意 到，如果在式(3.2)中把qa改变一个2π的整数倍，则所有原子 的振动实际上完全没有任何不同。这表明qa可以限制在下面 的范围内：
第3章 晶格振动理论
第3章 晶格振动理论
3.1 一维单原子链 3.2 一维双原子链 3.3 三维晶格的振动 3.4 声子 3.5 晶格振动谱的实验测定 3.6 晶格热容的量子理论 3.7 晶体的非简谐效应 热膨胀和热传导
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2源自文库
第3章 晶格振动理论
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图3.1 一维单原子链模型
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第3章 晶格振动理论 将μ(x-Δx，t)和μ(x+Δx，t)在x处泰勒展开，并且只保留到二 阶项，这种假设称为简谐近似，于是有
(x-x, t)(x, t)-12dd(xt,t)x-12d2d(t2x,t)x2 (x+x, t)(x, t)+12dd(xt,t)x+12d2d(t2x,t)x2
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
率。
根据这种长波近似的极限情形，就可以设想，当长波近
似的条件λ>>a不成立时，方程(3.1)的解仍应具有类似的形式，
即只需在式(3.4)的简谐波的解中用na替代x即可，也就是式
(3.2)
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3.1.3 色散关系 为了进一步研究一维单原子链振动的特点，可以将式
(3.2)所示的格波形式的解代入振动方程(3.1)，得：
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经过上面的分析，就可以根据牛顿第二定律直接建立第
n个原子的运动状态方程，即
mdd2t2n fn1 fn1 (n1 n)(n1 n) (n1 n1 2n)
(3.1)
每一个原子对应一个这样的方程，因此式(3.1)实际上代 表着N个联立的线性奇次方程，该方程组应该有N个独立解， 而独立解的个数也称为自由度，即一维单原子链的自由度为 N。同时方程(3.1)还反映了晶格中原子振动的一个共同特点， 即第n个原子的运动状态不仅与μn有关，而且与μn-1和μn+1有 关，这就是晶格原子运动的相关性(耦合)。
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-π＜qa≤π
即
-π q π
(3.6)
a
a
而
-
π a
，π a
正好是一维单原子链的第一布里渊区。该范围以
外的q并不能提供其他不同的波。晶体中的格波之所以具有
这样的特点，可以用图3.2来说明。为了便于图示，图中把
每个原子的振动位移画在垂直于原子链的方向(即为横波，
实际晶格振动中同时存在横波和纵波)，图中实线和虚线分
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基于如下的物理考虑：首先，晶体的宏观热性质取决于 组成晶体的绝大多数原子的运动状态；其次，晶体边界(表 面)原子的数目远小于晶体内部原子数目，因此对晶体热性 质的影响很小；第三，按照近邻作用近似，边界原子对内部 原子运动状态的影响很小。于是，玻恩-卡曼提出了这样的 周期性边界条件：假定由数目巨大的N个原子组成的一维单 原子链首尾衔接(间距也为a)，构成一个如图3.3所示的半径 很大的圆环，局部范围内原子沿环方向的振动仍然可以看做
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图3.2 格波波数q的不唯一性的图示
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第3章 晶格振动理论 3.1.4 周期性边界条件
在求解一维单原子链振动问题的过程中，有一个问题不 难发现，即在建立式(3.1)所示的原子运动状态方程时，按照 近邻作用近似，原子链两端原子的受力情况与内部原子是不 同的。尽管只有少数原子的运动方程发生了变化，但却给联 立方程组的求解制造了很大的困难。这就是数理方程中所涉 及到的边界条件的问题。历史上曾针对这一问题提出了多种 边界条件的模型，比如双端原子固定或单端固定等，而玻恩 -卡曼(Born-Von Karman)提出的周期性边界条件更能反映晶
m 2 ( t2 x ,t) 2 x (x 2 ,t)a 2 2 ( t2 x ,t)0 2 2 x (x 2 ,t)
(3.3)
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这是数理方程中的波动方程，其中
2 0
程的特解为
a2 m
为波速度，该方
(x,t)Aei(tqx)
(3.4)
这是一个简谐波，其中A为振幅， q = 2 π 为波数，ω为角频
别表示 q π (对应波长λ=4a)和 q 5 π(对应波长 4 a
2a
2a
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第3章 晶格振动理论 的两个波。对于连续波而言，这是两个完全不同的波，然而， 由于晶格的周期性，这两个波反映一维单原子链中原子的振 动情况却是完全相同的，这就是为什么要把波数q的取值限 定在一个周期内，也就是第一布里渊区的原因。
m ( i ) 2 A e i ( t n a q ) [ A e i ( t ( n 1 ) a q ) A e i ( t ( n 1 ) a q ) 2 A e i ( t n a q ) ]
m 2 [ e i a q e i a q 2 ] 2 ( c o s q a 1 ) (3.5)