理解定积分定义要注意以下三点
理解定积分定义要注意以下三点
yy A
C C
时，性质 3的公式的几何意义就是 曲边梯形面积
A
的可加性 . 如右图所示：曲边梯形 AabB 的面积等 于曲边梯形 AacC 的面积与 CcbB 的面积.
o oa
a
c c
a
a
b
2）、若规定： f (x)dx 0, f (x)dx f (x)dx.
a
b
a
推论：若 f在[ A，B]上可积，且 a、b、c [ A，B] ，
(a).
a
证
16
公式使用说明：
b
1、在应用公式求 f (x)dx 时，f (x)的原函数必须是初等函数，否则使用
a b
公式求 f (x)dx失效。即f (x)的原函数F (x)可由 f (x)dx求出。
a
2、 定理的条件还可适当减弱，如： 1）、对F的要求可减弱为：在[a, b]上连续，在（a, b）内可导，且： F (x) f (x). 不影响定理的证明。 2）、对 f 的要求可减弱为：在[a,b]上可积（不一定连续），这时 公式仍成立。 3）、若定理中的F与 f 同时减弱为：f在[a,b]上可积，F在[a,b]上连 续，且除有限个点外有F (x) f (x),则公式仍成立。 4）、在学习连续函数必存在原函数的定理后，定理中对F的假设 便是多余的条件。
b
c
b
则： f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
c
BB bx x b
27
于曲边梯形AacC的面积与CcbB的面积.
a
a
b
2）、若规定： f (x)dx 0, f (x)dx f (x)dx.
a
b
a
推论：若f在[ A，B]上可积，且a、b、c [ A，B] ，
数学《定积分》讲义
第九章 定 积 分1 定积分的定义一、背景1、曲边梯形的面积1()ni i i S f x ξ=≈∆∑2、变力所做的功 1()ni i i W F x ξ=≈∆∑上述问题均可归结为一个特定形式的和式逼近，思想方法：分割、近似求和、取极限.二、定积分的定义定义 1 设闭区间[],a b 内有1n -个点，依次为0121n n a x x x x x b -=<<<⋅⋅⋅<<=，其把[],a b 分成n 个小区间[]1,,1,i i i x x i n -∆==⋅⋅⋅.称这些点或小闭子区间构成[],a b 的一个分割，记为{}01,,n T x x x =⋅⋅⋅或{}12,,n ∆∆⋅⋅⋅∆，小区间i ∆的长度为1i i i x x x -∆=-，同时记{}1max i i nT x ≤≤=∆，称为分割T 的模(或细度).注1 ||||,1,i x T i n ∆≤=⋅⋅⋅. 因而，||||T 可用来刻画[],a b 被分割的细密程度，同时，若T 给定，则||||T 确定，而对同一细度(模), 相应的分割却有无穷多个.定义 2 设f 为[],a b 上的函数,对[],a b 上的分割{}12,,n T =∆∆⋅⋅⋅∆,任取点,i i ξ∈∆1,i n =⋅⋅⋅，作和式1()niii f x ξ=∆∑，称为函数f 在[],a b 上的一个积分和，也称为Riemann 和.注2. Riemann 和与分割T 及i ξ的取法有关. 对同一个分割T ，相应的Riemann 和有无穷多个.定义 3 设f 是[],a b 上的函数，J 为一个确定的数. 若对任给正数0ε>，存在正数0δ>，使得对[],a b 上的任何分割T ，以及其上任选的i ξ，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称f 在[],a b 上可积(或Riemann 可积) ，数J 称为f 在[],a b 上的定积分(或Riemann 积分) ，记作()baJ f x dx =⎰. 其中f 称为被积函数，x 称为积分变量，[],a b 称为积分区间，,a b 分别称为积分的下限、上限.注.1()lim ()nbi i aT i f x dx f x ξ→==∆∑⎰⇔0,0,,,,i i T T εδδξ∀>∃>∀<∀∈∆1()()nbi i ai f x f x dx ξε=∆-<∑⎰定积分的几何意义(f 可积)(1) 0f ≥时，()ba f x dx ⎰就是以,,x a xb x ==轴及()y f x =围成的曲边梯形的面积.(2) 0f ≤时，()baf x dx ⎰为x 轴下方的曲边梯形面积的相反数(负面积) .(3) ()baf x dx ⎰是曲线()y f x =在x 轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方所有曲边梯形的负面积的代数和. (4) 注.()()()bb baaaf x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰，定积分与积分变量无关.三、举例例 1 已知函数2()f x x =在区间[]0,1上可积，求120x dx ⎰.例 2 已知1()1f x x=+，()sin g x x π=在[]0,1上可积. 利用定积分的定义说明 1) 10111lim()1221n dx n n n x→∞++⋅⋅⋅+=+++⎰. 2) 10012(1)1lim (sin sin sin )sin sin n n xdx x dx n n n n ππππππ→∞-++⋅⋅⋅+==⎰⎰.给出一般公式().......ba f x dx =⎰例 3 讨论Dirichlet 函数1()0x D x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数 在[]0,1上的可积性.四、 定积分的计算 定理 (微积分基本定理)设[]:,f a b R →可积，存在可导函数[]:,F a b R →，使F f '=，则()()|()()bx bx a af x dx F x F b F a ====-⎰上式也称为Newton-Leibniz 公式.例 4 求例2中定积分的值.例 5 1) 211(ln )eex dx x⎰;2) 2⎰;3) 求11()f x dx -⎰，其中210()0x x x f x e x --<⎧=⎨≥⎩， ，;4) 0⎰;5) 221lim nn i in i→∞=+∑;6) 112lim[(1)(1)(1)]n n n n n n→∞++⋅⋅⋅+.2 可积性条件一、可积的必要条件定理1 若函数f 在[],a b 上可积，则f 在[],a b 上有界.注 有界仅是f 可积的必要条件，而非充分条件. 如[]0,1上的()D x . 定理2 设函数f 在[],a b 上可积，则f 在(),a b 内至少有一个连续点. [ 若函数f 在[],a b 上处处不连续，则f 必不可积. ] 二、可积的充要条件设{}12,,n T =∆∆⋅⋅⋅∆为[],a b 上的一个分割，设f 在[],a b 上有界，则f 在每个i ∆上必有上下确界，记{}sup ()ii x M f x ∈∆=，{}inf ()ii x m f x ∈∆=，1,i n =⋅⋅⋅.作和式1()n i i i S T M x ==∆∑，1()ni i i s T m x ==∆∑，分别称为f 关于T 的上和和下和(Darboux 上下和) , 从而i i ξ∀∈∆，1,i n =⋅⋅⋅，1()()()ni i i s T f x S T ξ=≤∆≤∑. (作图几何意义)注 当分割T 确定后，则上和与下和完全确定.性质1 对同一分割T ,上和()S T 是所有积分和1()ni i i f x ξ=∆∑的上确界(相对于i ξ取),下和()s T 是所有积分和1()ni i i f x ξ=∆∑的下确界, 即{}1()inf ()i i n i i i s T f x ξξ∈∆=⎧⎫=∆⎨⎬⎩⎭∑， {}1()sup ()i i n i i i S T f x ξξ∈∆=⎧⎫=∆⎨⎬⎩⎭∑，且 1()()()()()ni i i m b a s T f x S T M b a ξ=-≤≤∆≤≤-∑，其中,M m 分别为f 在[],a b 上的上、下确界.性质2 设T '为分割T 添加p 个新分点后所得到的分割. 则()()()()s T s T s T p M m T '≤≤+- ()()()()S T S T S T p M m T '≥≥--即分点增加后，下和不减，上和不增.性质3 若T 与T '为任意两个分割，T ''为T 与T '所有分点合并组成的分割，记为T T T '''=+，则 ()()s T s T ''≥， ()()S T S T ''≤；()()s T s T '''≥， ()()S T S T '''≤.性质4 对任意两个分割T 、T '，总有()()s T S T '≤.即：对任何两个分割，下和总不大于上和. 因而，所有的上和有下界，所有的下和有上界，从而分别有下、上确界，记为S 和s . 即{}inf ()TS S T =，{}sup ()Ts s T =，称S 和s 分别为f 在[],a b 上的上、下积分，记为()ba S f x dx -=⎰，()b a s f x dx -=⎰.性质5 ()()()()bbaa mb a f x dx f x dx M b a ---≤≤≤-⎰⎰性质6. [Darboux 定理] 0lim ()()b a T S T f x dx -→=⎰，0lim ()()ba T s T f x dx →-=⎰.定理 3 (第一充要条件) [],a b 上的有界函数f 可积⇔()()bb a a f x dx f x dx --=⎰⎰定理4 (可积的第二充要条件)[],a b 上的有界函数f 可积⇔ 0ε∀>，存在分割T ，使得()()S T s T ε-<.由于11()()()nni i i i i i i S T s T M m x x ω==-=-∆=∆∑∑，其中i i i M m ω=-称为f 在i ∆上的振幅. 从而有定理4' [],a b 上的有界函数f 可积⇔0ε∀>，存在分割T ，使得1ni i i x ωε=∆<∑.定理4'的几何意义：若f 可积，则曲线()y f x =可用总面积任意小的一系列小矩形覆盖. 反之亦然.三、可积函数类(充分条件)定理 5. 若f 在[],a b 上连续，则f 在[],a b 上可积.定理 6. 若f是[],a b上仅有有限个间断点的有界函数，则f在[],a b上可积.注.改变可积性函数在某些点处的值, 不改变可积性, 也不改变积分值. 定理7. 若f为[],a b上的单调函数，则f在[],a b上可积.例1试用两种方法证明函数0 0()1111xf xxn n n=⎧⎪=⎨<≤⎪+⎩，，，1,2n=⋅⋅⋅在[]0,1上可积.例2 设f 在[],a b 上有界，{}[],n a a b ⊂，lim n na c =.证明：若f 仅在{}n a 上间断，则f 在[],a b 上可积.例3 f 在[],a b 上可积，[][],,a b αβ⊂，则f 在[],αβ上可积.例4 证明定理2: 若f 在[],a b 上可积，则f 在(),a b 内至少有一个连续点(从而有无穷多个连续点) .例5 证明: Riemann 函数[]1, ()0 0,10,1p x p q q p q q f x x ⎧=>⎪=⎨⎪=⎩，和互素,，或中的无理数 在[]0,1上可积，且1()0f x dx =⎰.(第三充要条件)3 定积分的性质一、定积分的性质 1. 线性性质定理 1 设f 在[],a b 上可积，k 为常数，则kf 在[],a b 上可积，且 ()()bbaakf x dx k f x dx =⋅⎰⎰.定理 2 设,f g 在[],a b 上可积，则f g ±在[],a b 上可积，且()()()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰.推论. 设,f g 在[],a b 上可积，,αβ为常数，则f g αβ+在[],a b 上可积，且()()()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰.2. 乘积可积性定理 3 设,f g 在[],a b 上可积，则f g ⋅在[],a b 上可积. 注 一般情形下，()()()()b b baaaf xg x dx f x dx g x dx ⋅≠⋅⎰⎰⎰.定理 4 有界函数f 在[],a c 和[],c b 上可积f ⇔在[],a b 上可积，且()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰规定 1) ()0aa f x dx =⎰.2)()()baab f x dx f x dx =-⎰⎰，()b a <.则对任何,,a b c 均有 ()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.4. 关于函数的单调性定理5 设,f g 在[],a b 上可积，且()()f x g x ≤，[],x a b ∀∈，则()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰.推论 (积分值的估计) 设f 在[],a b 上可积，,M m 分别为f 在[],a b 上的上、下确界，则 ()()()ba mb a f x dx M b a -≤≤-⎰.定理6 若函数f 在[],a b 上可积，则f 在[],a b 上可积，且|()||()|bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰.注. 定理 6的逆不真.6. 积分第一中值定理定理 7 若函数f 在[],a b 上连续，则至少存在一点[],a b ξ∈，使得()()()baf x dx f b a ξ=-⎰.几何意义: 称1()ba f x dxb a -⎰为f 在[],a b 上的平均值.定理7' (推广的第一中值定理) 若,f g 在[],a b 上连续，且()g x 在[],a b 上不变号，则至少存在一点[],a b ξ∈，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.[()1g x ≡时，即为定理7.]二、应用举例例 1 求11()f x dx -⎰. 其中2110() 01x x x f x e x ---≤<⎧=⎨≤<⎩， ，.例 2 求()sin f x x =在[]0,π上的平均值.例 3 若f 在[],a b 上连续，()0f x ≥，且()0f x ≡/，则()0ba f x dx >⎰.例 4比较积分1⎰和21x e dx ⎰的大小.例 5证明：22ππ<<⎰.例 6 若f 在[],a b 上可积，()0f x >，则()0ba f x dx >⎰.例 7 若,f g 在[],a b 上可积，则{}()max (),()M x f x g x =在[],a b 上可积.*例 8 设f 在[],a b 上可积，且()0f x m >>，则1f可积.*例 9 证明：若f 在[],a b 上连续，且()()0b baaf x dx xf x dx ==⎰⎰，则在(),a b 内至少存在两点12,x x 使12()()0f x f x ==. 又若2()0bax f x dx =⎰，此时，f 在(),a b 内是否至少有三个零点?*例 10 设f 在[],a b 上二阶可导，且()0f x ''>，证明: 1) 1()()2ba ab f f x dx b a+≤-⎰ 2) 又若()0f x ≤，[],x a b ∈，则又有2()()ba f x f x dxb a ≥-⎰，[],x a b ∈.*例11证明：(1)11ln(1)11ln2n nn+<++⋅⋅⋅+<+(2)1112lim1lnnnn→∞++⋅⋅⋅+=*例13若f可积，m f M≤≤，g在[,]m M上连续，则复合函数h g f=可积.由此, 若f可积, 则2f,13,f||f, ()f xe, (0)f≥,1(inf0)ff>可积.4 微积分基本定理 定积分的计算一、微积分基本定理 1. 变限积分的可微性设f 在[],a b 上可积，则任何[],x a b ∈，f 在[],a x 上也可积，从而()()xa x f t dt Φ=⎰，[],x ab ∈定义了一个以x 为积分上限的函数, 称为变上限积分.定理1 若f 在[],a b 上可积，则()()xa x f t dt Φ=⎰在[],ab 上连续.定理 2 (原函数存在定理，微积分学基本定理)若f 在[],a b 上连续，则()()xa x f t dt Φ=⎰在[],ab 上处处可导，且()()()xa d x f t dt f x dx'Φ==⎰，[],x a b ∈.注. 1) 当f 在[],a b 上连续，则()()xax f t dt Φ=⎰为f 的一个原函数，且f 的任一原函数()()xaF x f t dt C =+⎰. 令x a =，则()F a C =. 从而()()()xaf t dt F x F a =-⎰——Newton-Leibniz .2) 定理2. 揭示了导数和定积分之间的深刻联系，同时证明了连续函数必有原函数，并说明变上限积分就是一个原函数. 由于它的重要作用而被称为微积分基本定理.3) 同样可定义变下限积分()()bxxbf t dt f t dt =-⎰⎰. 且当f 连续时，有()()bxd f t dt f x dx =-⎰ 4) 变上限积分()xaf t dt ⎰一般不写作()xaf x dx ⎰.例 1 1)⎰2) 220sin cos t tdt π⎰例 2 设f 在[],a b 上连续，()0f x ≥，且()0f x ≡/，证明: ()0baf x dx >⎰.例 3 设f 为连续函数，,u v 均为可导函数，且复合f u ，f v 均有意义，证明()()()(())()(())()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx''=⋅-⋅⎰.例 4 求1) 230limx x x +→⎰2) 222010cos limx x x t dtx →-⎰二、定积分的换元法定理 3 设f 在[],a b 上连续，Φ满足条件1) ()a αΦ=，()b βΦ=. [](),,a t b t αβ≤Φ≤∈ 2) ()t Φ在[],αβ上有连续导函数，则()(())()baf x dx f t t dt βα'=Φ⋅Φ⎰⎰.例 5 1)⎰2) 220sin cos t tdt π⎰3)10x x dx e e -+⎰4)3212(1)dx x x -+⎰5)120ln(1)1x dx x ++⎰6) 已知32()4f x dx =-⎰，求21(1)xf x dx +.注 在换元法计算定积分时，一要注意积分上下限的变化(这里只需要求,a b 的对应值为,αβ，而不计较,αβ的大小) . 二是要注意代入新变量，直接求定积分的值，而无需变量还原. (此与不定积分是不一样的. 这是因为不定积分求的是被积函数的原函数，其变量应一致，而定积分的结果是一个数值，只需求出即可) .注 定理3换元积分条件，f 可减弱为f 可积，ϕ可减弱为()t ϕ'在[],αβ上可积，且除有限个点外()0t ϕ'>(或()0t ϕ'<) . (保证[][]:,,a b ϕαβ→是11-的.) 例 6 设f 为[],a a -(对称区间) 上的连续奇(偶) 函数，则()0aaf x dx -=⎰(0()2()a aaf x dx f x dx -=⎰⎰) .如求22223(sin3cos 5arctan 1)x x x x x e x dx ππ--⋅+⋅--⎰.例 7 设f 为(,)-∞+∞上以T 为周期的可积函数，证明：对任何实数a R ∈，有()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰.例 8 设f 为连续函数，则1) 22(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰;2)(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰.由此计算2sin sin cos xdx x x π+⎰和20sin 1cos x x dx xπ⋅+⎰.例 9 设f 在[],a b 上连续，求证：()()bbaaf x dx f a b x dx =+-⎰⎰.由此计算362cos (2)xdx x x πππ-⎰.三、分部积分定理 4 若(),()u x v x 为[],a b 上的连续可导函数，则有定积分分部积分公式()()()()()()bbb a aau x v x dx u x v x u x v x dx ''⋅=⋅-⋅⎰⎰或()()()()()()bb b a aau x dv x u x v x v x du x =⋅-⎰⎰例 10 1) 10x xe dx ⎰ 2)21ln ex xdx ⎰3) 1ln eexdx ⎰4) 1arcsin xdx ⎰5) 2sin x x e dx π⋅⎰6)4⎰例 11 求20sin nxdx π⎰和2cos n xdx π⎰.注 由前两式可推出著名的Wallis 公式：2(2)!!1lim 2(21)!!21m m m m π→∞⎡⎤=⋅⎢⎥-+⎣⎦.四、Taylor 公式的积分型余项 推广的分部积分公式设(),()u t v t 在[,]a b 上有1n +阶连续导函数，则(1)()(1)()()()()()()()(1)()()bn n n n n baau t v t dt u t v t u t v t u t v t +-'⎡⎤⋅=⋅-⋅+⋅⋅⋅+-⋅⎣⎦⎰1(1)(1)()()bn n au t v t dt +++-⋅⎰.设f 在0x 处的某邻域0()U x 有1n +阶连续导函数，0()x U x ∈，则有(1)()1(1)()()()()()()!()0()xxn n n n n n xx x x x t ft dt x t f t n x t f t n f t f t dt +--⎡⎤-=-+-+⋅⋅⋅++⋅⎣⎦⎰⎰()00000()!()![()()()()]!n n f x n f x n f x f x x x x x n '=-+-+⋅⋅⋅+-!()n n R x =(1)1()()()!x n n n x R x f t x t dt n +⇒=-⎰ ——积分型余项注 1) 由推广的第一积分中值定理((1)()n f t +连续，()n x t -在[]0,x x 或[]0,x x 上保持同号) ，则(1)1()()()!x n n n x R x f x t dt n ξ+=-⎰(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++=-+ ——Lagrange 型余项2) 直接由积分第一中值定理，有(1)01()()()()!n n n R x f x x x n ξξ+=-- (1)10001(())(1)()!n n n f x x x x x n θθ++=+--- 00x =时，(1)11()()(1)!n n n n R x f x x n θθ++=-， 01θ≤≤——Cauchy 型余项五、积分第二中值定理 定理 5 设f 在[],a b 上可积,1) 若g 在[],a b 上减，且()0g x ≥，则存在[],a b ξ∈，使()()()()baaf xg x dx g a f x dx ξ=⎰⎰.2) 若g 在[],a b 上增，且()0g x ≥，则存在[],a b η∈，使()()()()bbaf xg x dx g b f x dx η=⎰⎰.推论. 设f 在[],a b 上可积，g 为单调函数，则存在[],a b ξ∈，使得()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰.例 12 设()f x 为[]0,2π上的单调递减函数，证明：对任何正整数n ，恒有20()sin 0f x nxdx π≥⎰.定理 6 设函数f 在闭区间[],a b 上连续，函数g 在[],a b 上可导，且导函数()g x '在[],a b 上非负且连续，则存在[],c a b ∈，使得()()()()()()bc baacf xg x dx g a f x dx g b f x dx =+⎰⎰⎰.例 13 证明：当0x >时，有不等式21sin x cxt dt x+≤⎰(0)c >.例 14 设()y f x =为[],a b 上严格增的连续曲线，试证：存在(),a b ξ∈使图中阴影部分面积相同.习 题1. 求)0(F '及)4(πF '. 其中⎰-=202sin )(x t tdt e x F2. 求下列极限(1) ⎰→xx dt t x 020cos 1lim (2) dxe dt e x txt x ⎰⎰∞→020222)(lim3. 求下列积分(1) ⎰⋅2042sin cos πxdx x (2)dx x ⎰-224(3) dx xx⎰+202sin 1cos π (4) dx xx ⎰+411(5) dx x x ⎰-1122)2( (6)dx x a x a2202-⎰(7)dx xx ⎰++311 (8)xdx x 3sin][3π⎰4. 求下列积分 (1) dx xe x⎰-2ln 0(2) ⎰210arccos xdx(3) ⎰-adx x a 022 (4) dx x x⎰-1221(5)⎰-2ln 01dx e x(6)dx ax x aa⎰-+222(7)dx xb x a xx ⎰+⋅202222sin cos cos sin π(8)dx x x ee⎰1ln(9)⎰+20cos sin cos πdx xx x(10)⎰+-adx xa xa 0arctan(11)dx e x x ⎰-⋅202sin π(12)dx xa xa x a⎰+-025. 求下列极限 (1) ∑=+∞→nk n nk 123lim (2) 2213lim k n nk nk n -∑=∞→6. 证明 (1)⎰⎰-=-11)1()1(dx x x dx x x m n n m(2) 若f 在R 上连续, 且⎰=x adt t f x f )()(, 则.0)(≡x f (3) 0sin sin ,m n mx nxdx m n N m nπππ-≠⎧=∈⎨=⎩⎰，(4)⎰-=ππ0cos sin nx mx(5) 设f 在],0[π上连续,且⎰⎰⎰===πππ0cos )(sin )()(xdx x f xdx x f dx x f求证f 在),0(π内至少两个零点.定积分1、定积分的定义1()lim ()nbi i aT i f x dx f x ξ→==∆∑⎰0,0,,,,di i T T εδδξ⇔∀>∃>∀<∀∈∆1()ni i i f x J ξε=∆-<∑. (())baJ f x dx =⎰2、可积函数(充要) 条件1) f 在[],a b 上可积⇒f 在[],a b 上有界⇒f 在(),a b 内至少有一个连续点2) f 在[],a b 上可积⇔()()b ba a f x dx f x dx --=⎰⎰⇔0,,()()T S T s T εε∀>∃-< ⇔10,,ni i i T w x εε=∀>∃∆<∑3) f 在[],a b 上连续⇒f 在[],a b 上可积f 在[],a b 上单调⇒f 在[],a b 上可积f 在[],a b 上仅有限个间断点(或间断点仅有限个聚点) ，则f 在[],a b 上可积. f 在[],a b 上可积，g 与f 仅有限个点处不相等，则g 在[],a b 上可积，且()()bbaag x dx f x dx =⎰⎰4) 可积函数复合未必可积.3、定积分性质1) 线性性质 2) 子区间可积性 3) 乘积可积 4) 区间可加性 5) 单调性 6) 绝对可积性4、微积分基本定理与Newton-Leibniz 公式定理. 若f 在[],a b 上连续，则()()xa x f t dt Φ=⎰在[],ab 上处处可导，且()()()xa d x f t dt f x dx'Φ==⎰. 由此可得()()()baf x dx F b F a =-⎰.注. 若f '可积，则()()()b af x dx f b f a '=-⎰.定理. 若f 在[],a b 上可积，则()()xax f t dt Φ=⎰在[],a b 上连续.结论 (变限积分的导数)()()(())(())()(())()h x g x f t dt f h x h x f g x g x '''=⋅-⋅⎰5、定积分的积分方法 1) 换元设()y f x =在[],a b 上可积，()x t ϕ=满足ϕ'在[],αβ上可积，且在[],αβ上至多除有限个点使()0t ϕ'=，其余点()0t ϕ'>，(),()a b ϕαϕβ==，则()(())()baf x dx f t t dt βαϕϕ'=⋅⎰⎰[ 注意：积分上下限只需对应，而不管大小. ] 2) 分部积分 (注意具体被积函数的形式) 设,u v ''为[],a b 上可积函数, 则 bbb a aaudv uv vdu =-⎰⎰.6、Taylor 公式与积分中值定理. 1) 可积函数未必有原函数.1, 01;() 1 , 1 2.x f x x -≤≤⎧=⎨<<⎩ 2) 有原函数的函数也未必可积.22211cos 2sin , 0;()0, 0.x x f x x x xx ⎧-+≠⎪=⎨⎪=⎩在[1,1]-上有原函数220, 0;()1sin , 0.x x F x x x =⎧⎪=⎨⋅≠⎪⎩ 但f 在[0,1]上不可积.3) 可积不连续的函数也可能有原函数.习 题 课一、定积分的计算 例 1 1)20πθ⎰2) 1t x t dt -⎰, (1,0,01)x x x ><≤≤3)arctana⎰4) 10(1)xdx x α+⎰5)10ln(1dx ⎰6)0⎰7)121⎰8)2-⎰9) 21,0() , 0x x x f x e x -⎧+<⎪=⎨>⎪⎩ , 求31(2)f x dx -⎰.10) 1(2)2f =，(2)0f '=，20()1f x dx =⎰. 求120(2)x f x dx ''⎰.二、利用定积分定义求和式极限11111()lim ()lim ()nn i i T n i i f x dx f x f n n ξ→→∞===∆=∑∑⎰1()lim ()n ban i b a b af x dx f a i n n→∞=--=+∑⎰例 2 1) 221lim nn i i n i→∞=+∑2) 11lim[(1)]n n n k k n -→∞=+∏3) 12lim 1knnn k n k→∞=+∑4) 444333124lim (12)5n n n n →∞++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+三、变限积分的导数例 3 1)2sin b a d x dx dx⎰ 2) 2sin x a d tdt dx ⎰3) 10(arctan )t x e tdt '⋅⎰4)23ln t t d dxdt x⎰ 例 4 1) 设0x ≥时，()f x 连续，且230()x f t dt x =⎰，求()f x .2) 设f 连续，31()x f t dt x c -=+⎰，求c 与(7)f .例 5 1) 设f 在[],a b 上连续，0()()()xF x f t x t dt =-⎰，[],x a b ∈.求证：()()F x f x ''=.2) 设f 在[)0,+∞上连续，且()0f x >，00()()()xx tf t dt x f t dtϕ=⎰⎰.试证：ϕ在()0,+∞上严格增.3) f 为连续可导函数. 试求：()()xa d x t f t dt dx'-⎰.四、求含变限积分未定型极限 例 6 1) 20cos limsin xx x x t dttdt→⎰⎰2) 222020()limxt x x t e dt e dt→∞⎰⎰例 7 1) 设f 在[],a b 上连续，求证：(),x a b ∈时，1lim ()()()()xa h f t h f t dt f x f a n+→+-=-⎰.2) ()f x 在R 上连续，且以T 为周期，求证：0011lim ()()x Tx f t dt f t dt x T→∞=⎰⎰.3)1lim bb -→⎰，(01)b << 存在.4) 设f 在[]0,A (0)A ∀>上可积，lim ()x f x a →+∞=，则01lim()xx f t dt a x →+∞=⎰.五、定积分的极限例 8 1) 求证: 1) 10lim 1nnx dx x +⎰ 2) 120lim (1)n n x dx →∞-⎰3) 2lim sin n n xdx π→∞⎰2) 设f 在[]0,2π上单调，求证：20lim ()sin 0f x xdx πλλ→∞⋅=⎰.六、某些积分不等式1、利用积分关于被积函数的单调性证明不等式.例 9 证明不等式 11201413n x dx n x x n-≤≤-+⎰，n ∈.例 10 证明:1) 211<⋅⋅⋅+< 2) 11ln(1)11ln 2n n n+<++⋅⋅⋅+<+[由此证明11lim(1ln )2n n n ++⋅⋅⋅+-存在，一般称此极限为Euler 常数，记为C ]2、某些不等式的积分形式设函数,f g 在[],a b 上可积，对[],a b 上n 等分, 取[]1,i i i x x ξ-∈，若对任何n ，1i n ≤≤，有11()()nn i i i i b a b af g n n ξξ==--⋅≤⋅∑∑，则有()()b b a a f x dx g x dx ≤⎰⎰. 例 11 1) 证明Schwarz 不等式.设,f g 在[],a b 上可积, 则222()()()()b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.而当,f g 连续时, 等号成立⇔c ∃，g cf =.2) 设f 在[],a b 上连续，且0f >，则21()()()bba af x dx dx b a f x ⋅≥-⎰⎰.3) 设f 在[]0,1上可积，证明：21120()()f x dx f x dx ≤⎰⎰.4) 设,f g 在[],a b 上可积，则有Minkowski 不等式()111222222()()()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+≤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰.例 12 若ϕ在[]0,a 上连续，f 二阶可导，且()0f x ''≥, 则有Jesen 不等式0011(())(())a af t dt f t dt a a ϕϕ≥⎰⎰.3、其它不等式例13 1) 设f 在[]0,1上连续可导，证明：10()()()f x f t f t dt '≤+⎰，[]0,1x ∈.2) 设0a >，f 在[]0,a 上连续可导，则01(0)()()aa f f x dx f x dx a '≤+⎰⎰.3) 设f 在[]0,1上连续可导, 且(0)0,(1)1f f ==, 求证：110()()f x f x dx e -'-≥⎰.4) 设f 二阶可导, 求证：3()()()()224baa b Mf x dx b a f b a +--≤-⎰. 其中[],sup ()x a b M f x ∈''=.。
定积分的概念和性质、,定理
b
a f ( x )dx a
b
b
18/29
例2
解
比较
0
x
2
e dx 和 0 xdx 的大小.
x
2 1
2
不计算的积分的值，比较 LX：
x dx与 xdx的大小。
2 1
2
e x,
x [2, 0],
2 e
0
x
dx
0
0
i 1
0
i 1
a
证毕
16/29
性质3（关于积分区间的可加性）
对a c b ，有
a f ( x )dx a f ( x )dx c
b
c
b
f ( x )dx .
（证明略） 补充：不论 a , b, c 的相对位置如何, 上式总成立.
17/29
性质4
a 1 dx a
a x x x x
0 1 2
n 1
x b
n
把[a , b]分成小区间，记 x i x i x i 1 ，( i 1,2,) ，
任取 i [ xi 1 , xi ] ，
作乘积
并求和
f ( i )x i
n i 1
( i 1,2,)
S f ( i )xi ，
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
b
b
b
（3）定积分与被积函数在积分区间上有限个点处的定 义无关.
11/29
存在定理
1、可积的充分条件 若 f 在[a , b] 上连续或分段连续，
则 f 在[a , b] 上可积。
高二数学 第一章1.5.3 定积分的概念
a2－ x2
(－a≤x≤a)．
于是椭圆在第一象限的部分与坐标轴围成的平面图形的
面积为
S1＝0aba a2－x2 dx＝ba0a a2－x2 dx，
栏目 导引
第一章 导数及其应用
令 g＝ a2－x2(0≤x≤a)，
得 x2＋g2＝a2(0≤x≤a，g≥0)，
依题意，得0a
a2－x2dx＝πa2， 4
(1)02 (3x3)dx； (2)14 (6x2 )dx； (3)12(3x2－ 2x3)dx.
[解] (1)02(3x3)dx
＝ 302x3 dx
＝ 3(01x3dx＋12x3 dx)
＝3×(1＋15)＝12. 44
栏目 导引
第一章 导数及其应用
(2)14(6x2)dx＝614x2dx
栏目 导引
第一章 导数及其应用
1．用定积分的定义证明abkdx＝k(b－a)．
证明：令 f(x)＝k，用分点 a＝x0<x1<x2<…<xi－1<xi<…<xn
＝b 将区间[a，b]等分成 n 个小区间[xi－1，xi](i＝1,2，…，
n)，在每个小区间上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)．
＝6(12x2dx＋24x2dx)＝6×(73＋536)＝126. (3)12(3x2－2x3)dx ＝12(3x2)dx－12(2x3)dx
＝
312x2dx－
212x3dx＝3×73－
2×15＝－1. 42
栏目 导引
第一章 导数及其应用
方法归纳
定积分与函数的奇 偶性
若函数 f(x)的奇偶性已经明确，且 f(x)在[－a，a]上连续，
a
∴ab3f(x)dx ＝ 3abf(x)dx＝ 3× 6＝ 18.
定积分的概念与性质
t = b所经过的路程 s.
15
定积分的概念与性质
四、关于函数的可积性
当函数
称()在区间 [, ]上
∈ [, ].
定理1
的定积分存在时
可积.或 ,黎曼可积,记为
()在区间 [, ]上
黎曼 德国数学家(1826–1866)
设()在[, ]上连续,
则()在[, ]上
න
න
25
定积分的概念与性质
性质5 如果在区间
则
性质5的推论1
如果在区间
则
证
[, ]上
[, ]上
න (); )
() ≤ (),
( < )
න () ≤ න ()
∵ () ≤ ()
∴ () − () ≥ 0
= − −1 , ( = 1,2, ⋯ , ),
在各小区间上任取
一点 ( ∈ ), 作乘积
(3)
并作和 = ( )
=1
(4)
= max 1 , 2 , ⋯ , ,
记
( ) ( = 1,2, ⋯ , )
在 x 轴上方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积
取负号.
()
+
+
−
14
定积分的概念与性质
例
解
y
求න
න
1 − 2
1 − 2 =
4
1
o
=
1
1 − 2
x
2. 物理意义
当() ≥ 0时,
= ()
定积分
න ()
表示以变速
作直线运动的物体从时刻 t = a 到时刻
1.5.3定积分的概念(教学用)
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例1 利用定义计算定积分
1
0
x 3 dx.
i 解 将[0,1]n 等分，分点为 x i ，(i 1,2, , n ) n 1 小区间[ x i 1 , x i ]的长度x i ，(i 1,2, , n ) n 取 i x i ，(i 1,2,, n )
轴的直线). 记xi xi xi 1 . y f ( x) y
o
a x1
x2
x i 1 x i
xn1
b
x
第二步
近似代替；
典型小区域面积
取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积.
y
y f ( x)
高
f ( i )
i
o
a x1
x2
xi 1底xi
x i
xn1
b
x
Si f (i )xi . 用矩形面积近似
b
例2 利用定积分的几何意义计算下列积分.
(1) xdx ;
0 1
(2)
1
0
1 x 2 dx .
表示由x 0, x 1, y x及x轴围成的三角形面积.
解 (1) xdx ，
0
1
y x
x0
0
1
0
1 1 xdx .1 1 2 2
A
y0
1
x 1
(2)
1
0
1 x 2 dx ,
曲边梯形面积为
A lim f ( i )xi
0 i 1
n
lim[ f (1 )x1 f ( 2 )x2 f ( 3 )x3 f ( n )xn ] .
定积分的知识点总结
定积分的知识点总结一、定积分的基本概念定积分是微积分学中的重要概念，可以用来计算曲线下的面积，曲线的弧长，质心等物理量。
定积分的基本思想是将曲线下的面积划分为无穷多个微小的矩形，然后求和得到整体的面积。
定积分的符号表示为∫。
对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b]f(x)dx其中，a和b为区间的端点，f(x)为函数在该区间上的取值。
定积分表示在区间[a, b]上的函数f(x)所确定的曲线下的面积。
二、定积分的计算方法1. 黎曼和定积分的计算基本思想是将曲线下的面积划分为很多个小矩形，然后对这些小矩形的面积求和。
这就是定积分的计算方法。
在实际计算中，根据黎曼和的定义，我们可以将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，然后在每个小区间上取一个样本点xi，计算f(xi)Δx的和：∑[i=1,n]f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，这个和就可以逼近定积分的值。
这就是黎曼和的基本思想。
2. 定积分的几何意义定积分可以用来计算曲线下的面积，也可以用来计算曲线的弧长。
对于一个函数f(x)，其在区间[a, b]上的定积分表示的是曲线y=f(x)和x轴之间的面积。
这个面积就是曲线下的面积。
如果函数f(x)在区间[a, b]上非负且连续，那么函数y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的区域的面积就是∫[a, b]f(x)dx。
3. 定积分的物理意义定积分还可以用来计算物理量，比如质量、质心等。
在物理学中，可以用定积分来计算物体的质量、质心等物理量。
对于一个连续的物体，将其质量密度函数表示为ρ(x)，则物体的质量可以表示为定积分：M=∫[a, b]ρ(x)dx三、定积分的性质1. 线性性定积分具有线性性质，即∫[a, b](c1f1(x)+c2f2(x))dx=c1∫[a, b]f1(x)dx+c2∫[a, b]f2(x)dx。
其中c1、c2为常数，f1(x)、f2(x)为函数。
第八讲 定积分的概念
y2
y1
O
h x1 h x2
x
S* y1h y2h S S*
y
y x2
y3
y2 y1
O h x1 h x2 h x3
x
S* y1h y2h y3h S S*
y
直观地看，
如 何 求 此 面
y x2
小矩形越多，其 面积和就越接近 于所求曲线下的 yn 面积。
积 的
lim ||x||0 i1
f (i )xi
( || x || m1iaxn {xi}) .
定积分符号：
b
n
a
f (x)d x
lim ||x||0
i1
f
(i )xi
.
b —定积分号；a —积分下限；b —积分上限； a
f (x)d x — 被积表达式； f (x) — 被积函数；
O a c bx
定理 3
若 f (x) R([a,b]), 则 | f (x) | R([a,b]) .
定理 3的逆不真.
例如,
f
( x)
1, 1，
x 为有理数, x 为无理数.
定理 4 若 f (x) R([a,b]), 则 [c,d ] [a,b] ,
f (x) R([c,d]) . y
y
y f (x)
Oa
c
bx
例1 若 f (x) 在下列所出现的区间上可积, 则
b
c
b
a f (x)d x a f (x)d x c f (x)d x .
b
b
c
a f (x)d x c f (x)d x a f (x)d x .
(整理)定积分的概念与性质.
第五章 定积分第一节 定积分的概念与性质教学目的：理解定积分的定义，掌握定积分的性质，特别是中值定理. 教学重点：连续变量的累积，熟练运用性质. 教学难点：连续变量的累积，中值定理. 教学内容：一、定积分的定义 １．曲边梯形的面积设)(x f y =在[]b a ,上非负，连续，由直线x a =，x b =，0y =及曲线)(x f y = 所围成的图形，称为曲边梯形．求面积：在区间[]b a ,中任意插入若干个分点b x x x x x a n n =<<<<=-1210 ，把[]b a ,分成n 个小区间[10,x x ],[21,x x ], … [n n x x ,1-]，它们的长度依次为：1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x经过每一个分点作平行于y 轴的直线段，把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形，在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i ξ，以[i i x x ,1-]为底，)(i f ξ为高的窄边矩形近似替代第i 个窄边梯形(1,2,,)i n =，把这样得到的n 个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值，即n n i x f x f x f A ∆++∆+∆≈)()()(221ξξξ =∑=∆ni i i x f 1)(ξ．设{}0,,,m ax 21→∆∆∆=λλn x x x 时，可得曲边梯形的面积∑=→∆=ni i i A x f A 1)(lim ξ．2．变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔[21,T T ]上t 的连续函数，且0v ≥，计算在这段时间内物体所经过的路程S在[21,T T ]内任意插入若干个分点212101T t t t t t T n n =<<<<=- ，把[21,T T ]分成n 个小段[10,t t ]，[21,t t ]，…， [n n t t ,1-]，各小段时间长依次为：,,,,1122011--=∆-=∆-=∆n n n t t t t t t t t t相应各段的路程为：n S S S ∆∆∆,,,21 ，在[i i t t ,1-]上任取一个时刻)(1i i i i t T t T ≤≤-，以i T 时的速度)(i T v 来代替[i i t t ,1-]上各个时刻的速度，则得：i i i t T v S ∆≈∆)( ),,2,1(n i =，进一步得到：n n t T v t T v t T v S ∆++∆+∆≈)()()(2211 =∑=∆ni t T v 111)(设{}0,,,,m ax 21→∆∆∆=λλ当n t t t 时，得：∑=→∆=ni i t T v S 1)(lim λ.3．定积分的定义由上述两例可见，虽然所计算的量不同，但它们都决定于一个函数及其自变量的变化区间，其次它们的计算方法与步骤都相同，即归纳为一种和式极限，即面积∑=→∆=ni iixf A 10)(limξλ，路程∑=→∆=ni iitT v S 1)(limλ.将这种方法加以精确叙述得到定积分的定义定义 设函数],[)(b a x f 在上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ，把区间[,]a b 分成n 个小区间],,[,],,[],,[12110n n x x x x x x -各个小区间的长度依次为1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x .在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i i i i x x ≤≤-εε1(),作函数值)(i f ε与小区间长度i x ∆的乘积),,,2,1()(n i x f i i =∆ε并作出和∑=∆=ni i i x f S 1)(ε.记},,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ,如果不论对[,]a b 怎样分法,也不论在小区间[i i x x ,1-]上点i ε怎样取法,只要当0λ→时,和S 总趋于确定的极限I ,这时我们称这个极限I 为函数)(x f 在区间[,]a b 上的定积分(简称积分)，记作⎰badx x f )(．即⎰badx x f )(=I =∑=→∆n i i i x f 1)(lim ελ,其中)(x f 叫做被积函数，dx x f )(叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间.注意 积分与积分变量无关，即：⎰⎰⎰==bab abadu u f dt t f dx x f )()()(.函数可积的两个充分条件：定理1 设],[)(b a x f 在上连续，则)(x f 在[,]a b 上可积．定理2 设],[)(b a x f 在上有界，且只有有限个间断点，则],[)(b a x f 在上可积． 例 利用定积分定义计算⎰12dx x .解 2()[0,1]f x x =是上的连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对[0,1]n 等分，分点i i n i nix ξ;1,,2,1,-==取相应小区间的右端点，故 ∑∑∑===∆=∆=∆n i i in i i ini i i x x x x f 12121)(ξξ=∑∑===ni ni in n ni 1232111)(=)12)(1(6113++n n n n =)12)(11(61n n ++, 时0→λ（即时∞→n ），由定积分的定义得：⎰12dx x =31. 二、定积分的性质：为方便定积分计算及应用，作如下补充规定：(1) 当a b =时，0)(=⎰badx x f ,(2) 当a b >时，-=⎰badx x f )(⎰abdx x f )(.性质1 函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即=±⎰dx x g x f b a)]()([±⎰badx x f )(⎰badx x g )(.证明=±⎰dx x g x f ba)]()([ini iix g f ∆±∑=→1)]()([lim ξξλ=±∆∑=→ini ixf 10)(limξλi ni i x g ∆∑=→1)(lim ξλ=±⎰badx x f )(⎰badx x g )(.性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即=⎰badx x kf )(k⎰badx x f )( (k 是常数).性质3 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和，即设a c b <<,则=⎰badx x f )(⎰+cadx x f )(⎰bcdx x f )(注意 我们规定无论,,a b c 的相对位置如何，总有上述等式成立. 性质4 如果在区间[,]a b 上，则,1)(≡x f =⎰badx x f )(a b dx ba-=⎰.性质5 如果在区间[,]a b 上，则,0)(≥x f0)(≥⎰badx x f )(b a <证明：因,0)(≥x f 故),,3,2,1(0)(n i f i =≥ξ，又因),,2,1(0n i x i =≥∆，故0)(1≥∆∑=i ni i x f ξ，设12max{,,,},0n x x x λλ=∆∆∆→时，便得欲证的不等式.推论1 如果在[,]a b 上，则),()(x g x f ≤≤⎰badx x f )(⎰badx x g )( )(b a <.推论2≤⎰badx x f )(⎰badx x f )(.性质6 设M 与m 分别是函数],[)(b a x f 在上的最大值及最小值，则≤-)(a b m ≤⎰badx x f )()(a b M - )(b a <性质7 （定积分中值定理）如果函数)(x f 在闭区间[,]a b 上连续，则在积分区间[,]a b 上至少存在一点ξ，使下式成立：))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ （b a ≤≤ξ）.证明：利用性质6，⎰≤-≤b aM dx x f a b m )(1；再由闭区间上连续函数的介值定理，知在[,]a b 上至少存在一点ξ，使⎰-=ba dx x f ba f )(1)(ξ，故得此性质. 显然无论ab >，还是a b <，上述等式恒成立. 做本节后面练习，熟悉上面各性质.积分中值定理的几何释意如下：在区间[,]a b 上至少存在一个ξ，使得以区间[,]a b 为底边, 以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(ξf 的一个矩形的面积，见下图．（在下面做p286图5--4）小结：简捷综述上面各性质．第二节 微积分基本公式教学目的：掌握微积分基本公式及其应用． 教学重点：公式的应用． 教学难点：公式的应用． 教学内容：一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体在一直线上运动，在这直线上取定原点，正方向，单位长度，使其成为一数轴，时刻t 时物体所处的位置()S t ，速度)0)()((≥t v t v 不防设.物体在时间间隔],[21T T 内经过的路程可以用速度函数)(t v 在],[21T T 上的定积分来表达，即21()T T v t dx ⎰另一方面，这段路程可以通过位置函数)(t s 在区间],[21T T 的增量来表示，即)()(12T S T S -故⎰21)(T T dx t v =)()(12T S T S -.注意到()()S t v t '=，即()S t 是)(t v 的原函数.二、积分上限的函数及其导数设)(x f 在],[b a 上连续，并且设x 为],[b a 上任一点，设⎰=Φxadt t f x )()(.则函数)(x Φ具有如下性质：定理1 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则积分上限函数⎰=Φxadt t f x )()(在],[b a 上具有导数，并且它的导数是()()()xad x f t dt f x dx 'Φ==⎰ （b x a ≤≤）.证明：（1）),(b a x ∈时，()()()x x x x ∆Φ=Φ+∆-Φ=()x xaf t dt +∆-⎰⎰xadt t f )(()()x xxf t dt f x ξ+∆==∆⎰,ξ在x x ∆与之间)()(ξf xx =∆∆Φ 0→∆x 时，有=Φ')(x )(x f .（2）时考虑或b a x =其单侧导数，可得=Φ')(a )(a f ，=Φ')(b )(b f由定理1可得下面结论定理2 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则函数=Φ)(x ⎰xadt t f )(是)(x f 的一个原函数．Newton 的积分上限函数的几何意义如下：（P209图5—5放在下面）. 三、Newton —Leibniz 公式定理3 如果函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数，则=⎰badx x f )(-)(b F )(a F证明 因)(x F 与)(x Φ均是)(x f 原函数，故-)(x F )(x Φ=c （b x a ≤≤）,又因=⎰badx x f )(-Φ)(b )(a Φ, 故 =⎰badx x f )(-)(b F )(a F .为方便起见，把-)(b F )(a F 记作[)(x F ]ba .上述公式就是Newton —Leibniz 公式，也称作微积分基本公式．例1 31303133310312=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰x dx x ． 例２ 计算 ⎰-+31211dx x . 解⎰-+31211dx x =[]π12731=-arctgx . 例3 计算⎰--12x dx.解 []2ln 2ln 1ln ln 11212-=-==⎰----x dx x.例4 计算x y sin =在[π,0]上与x 轴所围成平面图形的面积. 解 []2c o s s i n 00=-==⎰ππx x d x A .上例的几何释义如下：（书图P292， 5--4）.例5 汽车以每小时36km 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度2/5s m a -=刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少路程？解 0=t 时，s m v /100=,t at v t v 510)(0-=+=,2,510)(0=-==t t t v 故,故 =S )(10)510(22m dt t vtdt =-=⎰⎰.即刹车后，汽车需要走10m 才能停住.例6 设)(x f 在(0,)+∞内连续且()0f x >，证明函数⎰⎰=x xdtt f dt t tf x F 00)()()(在(0,)+∞内为单调增加函数．证明⎰xdt t tf dxd 0)(()xf x =，故)(x F '=()0020()()()()0()x xx xf x f t dt f x tf t dt f t dt->⎰⎰⎰. 故)(x F 在(0,)+∞内为单调增加函数.例7 求21cos 02lim xdt e t xx -→⎰.解dxd-=-⎰dt e t x21cos dxd dte t x 21cos 1-⎰=x xe 2cos sin -,利用Hospital 法则得21cos 02limx dt e t xx -→⎰=ex x exx 212sin lim2cos 0=-→.小结：Newton —Leibniz 公式.第三节 定积分的换元法与分部积分法教学目的：掌握换元积分法和分部积分法. 教学重点：熟练运用换元积分法和分步积分法. 教学难点：灵活运用换元法和分部积分法. 教学内容：一、换元积分定理 假设函数)(x f 在],[b a 上连续，函数)(t e x =满足条件： （1）,)(a d =ϕ;)(b =βϕ（2）)(t ϕ在[βα,]（或[αβ,]）上具有连续导数，且其值不越出],[b a , 则有=⎰badx x f )([]dt t t f ⎰'βαϕϕ)()(.例1 计算dx x a a⎰-022 （0a >）.解 设t a x sin =则dt a dx cos =且0=x 时0=t ；2,π==t a x ,故dx x a a⎰-022=dt t a tdt a ⎰⎰+=2022022)2cos 1(2cos ππ=42sin 2122202a t t a ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+. 换元公式也可以反过来使用，即[]='⎰b adx x x f )()(ϕϕ⎰βαdt t f )(.例2 计算dx x x ⎰25sin cos π.解 设x t cos =，则-dt t x d x ⎰⎰-=015205cos cos π=dt t ⎰105=616106=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t .例3 计算dx x x ⎰-π053sin sin .解dx x x ⎰-π53sin sin =()dx x x ⎰π223cos sin =()dx x x ⎰π23cos sin =()-⎰dx x x 2023cos sin πxdx x cos )(sin 223⎰ππ=()-⎰x d x sin sin 023πx d x sin )(sin 223⎰ππ=54. 例4 计算dx x x ⎰++4122.解 设12+=x t ，则=x 212-t ,10==t x 时；34==t x 时 故dx x x ⎰++4122=tdt t t ⎰+-312221=()d t t ⎰+312321=3223321313=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+t t . 例5 证明 1)若)(x f 在],[b a 上连续且为偶函数，则⎰-aadx x f )(=⎰adx x f 0)(22）若)(x f 在],[b a 上连续且为奇函数，则⎰-aadx x f )(=0.证明⎰-aadx x f )(=⎰-0)(a dx x f +⎰a dx x f 0)(=⎰--0)(a dx x f +⎰adx x f 0)(=⎰-adx x f 0)(+⎰a dx x f 0)(=⎰-+adx x f x f 0)]()([.1）)(x f 为偶函数时，)(x f +)(x f -=)(2x f ，故⎰-aadx x f )(=⎰adx x f 0)(2．2）)(x f 为奇函数时，)(x f +)(x f -=0，故⎰-aadx x f )(=0．例6 若)(x f 在[0,1]上连续，证明（1）⎰=2)(sin πdx x f ⎰20)(cos πdx x f ；（2）⎰=π)(sin dx x xf ⎰ππ)(sin 2dx x f ，由此计算⎰+π2cos 1sin dx xx x.证明（1）设dt dx t x -=-=则,2π且当0=x 时，2π=t ；当02==t x 时π,故⎰20)(sin πdx x f =t d t f ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--022sin ππ=()⎰02cos πdt t f =()⎰02cos πdx t f .（2）设t x -=π，则⎰π)(s i n dx x xf =⎰---0)()[sin()(πππt d t f t=⎰-)(sin ππdt t f ⎰0)(sin πdt t tf所以(sin )f t dx ππ=⎰⎰ππ)(sin 2dt t f . 利用此公式可得：20sin 1cos x x x dx π=+⎰⎰+ππ02cos 1sin 2dx x x 201cos 21cosx d x ππ=-+⎰ []0(cos )2arctg x ππ=-=42π.例7 设函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥-01,cos 110,2x xx xe x ，计算⎰-41)2(dx x f ． 解 设则,2t x =-41(2)f x dx -=⎰21()f t dt -=⎰+⎰-01)(dt t f 2()f t dt ⎰111cos dt t-=++⎰⎰-22dt te t 4111222tge -=-+. 二、分部积分法设)(),(x v x u 在],[b a 上具有连续导数)(),(x v x u ''，则有()v u v u uv '+'='故⎰='badx uv )(⎰+'bavdx u ⎰'badx v u ，⎰⎰-=bab ab a vdu uv udv ][．这就是定积分的分部积分公式．例1⎰21arcsin xdx ．解 设u=arcsin x ,,x v =则120a r c s i n x d x =⎰[]-21a r c s i n sx ⎰-210211dx x x12=arcsin 21+21⎰-21211dx xx112π=-. 例2 计算dx e x ⎰1.解 设t x =，则1d x =⎰210dt e t ⎰=dt te t⎰102102t tde =⎰1022t te ⎡⎤=-⎣⎦dt e t ⎰122(1)e e =--2=. 例3 证明定积分公式xdx I n n ⎰=20sin π1331,,24221342,1.253n n n n n n n n n n π--⎧⋅⋅⋅⎪⎪-=⎨--⎪⋅⋅⎪-⎩为正偶数为大于的正奇数证明 设xdx dv x u n sin ,sin1==-，由分部积分公式可得：--=⎰-xdx n I n n 202sin)1(πxdx n n ⎰-20sin )1(π2(1)(1)n n n I n I -=---故 21--=n n I nn I . 由此递推公式可得所证明等式.小结：分部积分公式.第四节 广义积分教学目的：理解无穷限广义积分和无界函数广义积分和定义及计算. 教学重点：利用广义积分的定义计算. 教学难点：概念产生的背景. 教学内容：一、无穷限广义积分定义1 设函数)(x f 在区间[,)a +∞上连续，取a b >.如果极限-∞→b lim⎰badx x f )(存在，则称此极限为函数)(x f 在无穷区间[,)a +∞上的广义积分,记作⎰+∞adx x f )(,即⎰+∞adx x f )(=-∞→b lim⎰badx x f )(．这时也称广义积分⎰+∞adx x f )(收敛；如果上述极限不存在，函数)(x f 在无穷区间[,)a +∞上的广义积分⎰+∞adx x f )(就没有意义，习惯上称为广义积分⎰+∞adx x f )(发散，这时记号⎰+∞adx x f )(不再表示数值了．类似地，设函数)(x f 在区间(,]b -∞上连续,取a b >，如果极限-∞→a lim⎰badx x f )(存在，则称此极限为函数)(x f 在无穷区间(]b ,∞-上的广义积分，记作⎰∞-bdx x f )(，即⎰∞-bdx x f )(=-∞→a lim⎰badx x f )(．这时也称广义积分⎰∞-bdx x f )(收敛；如果上述极限不存在，就称广义积分⎰∞-b dx x f )(发散．设函数)(x f 在区间（+∞∞-,）上连续，如果广义积分⎰∞-0)(dx x f 和⎰+∞)(dx x f都收敛，则称上述两广义积分之和为函数)(x f 在无穷区间（+∞∞-,）上的广义积分，记作⎰+∞∞-dx x f )(，即()f x dx +∞-∞=⎰⎰∞-0)(dx x f +⎰+∞)(dx x f lima →-∞=⎰-0)(adx x f +-∞→b lim⎰bdx x f 0)(．这时也称广义积分⎰+∞∞-dx x f )(收敛；否则就称广义积分⎰+∞∞-dx x f )(发散．例1 计算广义积分dx x ⎰∞+∞-+211． 解 211dx x +∞-∞=+⎰dx x ⎰∞-+0211+dx x ⎰∞++0211lim a →-∞=dx x a ⎰+0211+-∞→b limdx x b ⎰+0211lim a →-∞=[]+0a arctgx -∞→b lim []barctgx 0022πππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.上述广义积分的几何释义如下：（书图P316 5--12）. 例2 计算广义积分⎰+∞-0dt te pt （p 是常数，且0p >）解⎰+∞-0dt te pt l i m b →+∞=⎰-bpt dt te 0=+∞→b lim ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰--b pt bptdt e p e p t 0012001pt pt t e e p p +∞+∞--⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎣⎦1p =-221)10(10lim p p te ptt =----+∞→例3 证明广义积分⎰∞+>a p a dx x )0(1当1>p 时收敛；当1≤p 时发散. 证明 当1=p 时，⎰∞+=a pdx x 1⎰∞+a dx x 1=[]+∞=+∞0ln x ; 当1≠p ，⎰∞+=ap dx x1⎪⎩⎪⎨⎧>-<∞+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∞+-1,11,111p p a p p x p ap,故命题得证.无界函数的广义积分定义2 设函数)(x f 在],[b a 上连续，而在点a 的右邻域内无界，取0>ε，如果+∞→εlim⎰+ba dx x f ε)(存在，则称此极限为函数)(x f 在],[b a 上的广义积分，仍然记作⎰badx x f )(，即⎰badx x f )(=+∞→εlim⎰+ba dx x f ε)(．这时也称广义积分⎰badx x f )(收敛．如果上述极限不存在，就称广义积分⎰badx x f )(发散．类似地，设函数)(x f 在],[b a 上连续，而在点b 的左邻域内无界，取ε>0,如果极限+∞→εlim⎰-εb adx x f )(存在，则定义=⎰badx x f )(+∞→εlim⎰-εb adx x f )(．否则，就称广义积分⎰badx x f )(发散．设函数)(x f 在],[b a 上除点)(b c a c <<外连续，而在点c 的邻域内无界，如果两个广义积分⎰cadx x f )(与⎰bcdx x f )(都收敛，则定义()baf x dx =⎰⎰cadx x f )(+()bcf x dx =⎰+∞→εlim⎰-εc adx x f )(++∞→'εlim⎰'+bc dx x f ε)(否则，就称广义积分发散.例4例5 计算广义积分⎰-axa dx 022（0>a ）解⎰-axa dx 0220l i m ε→+=⎰--εa x a dx 0220l i m ε→+=ε-⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a x 0a r c s i n0lim ε→+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0arcsina a εarcsin12π==. 例6例7 讨论广义积分⎰-1121dx x 的收敛性.解 1211dx x-=⎰+⎰-0121dx x ⎰121dx x ，而0lim+→ε-=⎰--ε121dx x 0lim +→εε--⎥⎦⎤⎢⎣⎡11x =0lim +→ε⎪⎭⎫ ⎝⎛-11ε=∞+ 故所求广义积分⎰-1121dx x 发散．例8 证明广义积分⎰-baqa x dx)(当1<q 时收敛；当1≥q 时发散．证明 当,1时=q []+∞=-=-⎰ba baa x ax dx )ln(，发散;当,1时≠q ⎰-baq a x dx )(=11(),1()11,1qbqa b a q x a q qq --⎧-<⎡⎤-⎪=-⎨⎢⎥-⎣⎦⎪+∞>⎩, 故命题得证.小结：无穷限广义积分与无界函数广义积分的定义.。
5-1-定积分的概念与性质
分的理解．假定函数在所讨论的区间上可积，则有
性质 1
b
kf (x)dx k
b f (x)dx(k为常数)
a
a
性质 2
b f (x) g(x)dx
b
f (x)dx
b
g ( x)dx
a
a
a
以上两个性质，由定积分的定义不难证明，请读者自行完
成． 性质 3 性质 4
b
c
b
对任意实数 c，a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
O
（如图 5-2）．
y
若在a,b上
f
(x)
ห้องสมุดไป่ตู้
0，则 b a
f
( x)dx
O
为负值，（如图 5-3），其绝对值是以
y f (x)为曲边，与直线 x a, x b, y 0
所围曲边梯形的面积．
y
若在a,b上( ) b有正有负，则
b f (x)dx的值表示由 y f (x), x a, x b
第一节 定积分的概念与性质
一、定积分问题实例分析
y
1． 曲边梯形的面积
设 y f (x)在区间a,b上非负
且连续，由曲线 y f (x)及直线
x a 、 x b和 y 0所围成的平面
f (n ) f (1) f (i )
图形（如图 5-1）称为曲边梯形，
其中曲线弧称为曲边，x 轴上对应 O x0 x1 xi1i xi n xn x
b
b
b
变量的记号无关，如a f (x)dx ，a f (t)dt ，a f (u)du 等
n
都表示同一个定积分，这是因为和式 f (i )xi 中变量
高数定积分知识点总结
高数定积分知识点总结一、定积分的定义定积分是微积分中的一个重要概念，它是对一个函数在一个区间上的积分结果进行计算的过程。
在数学上，定积分是用来计算曲线下面的面积或者函数在某一区间上的平均值的方法。
定积分可以写成以下形式：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx \]其中，\( f(x) \)是被积函数，\( a \)和\( b \)是积分区间的端点。
定积分的计算过程就是求解被积函数在给定区间上的曲线下面的面积。
定积分在物理学、工程学和经济学等领域都有着广泛的应用，是微积分中不可或缺的重要工具。
二、定积分的性质1. 定积分的可加性如果函数\( f(x) \)在区间\([a, b]\)上是可积的，那么对于任意的\( c \)满足\( a \leq c \leq b \)，都有：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx \]这个性质表明了定积分的可加性，即在一个区间上进行积分的结果可以根据任意划分点\( c \)进行分割。
2. 定积分的线性性对于任意的实数\( \alpha, \beta \)和函数\( f(x), g(x) \)，如果\( f(x), g(x) \)在区间\([a, b]\)上是可积的，那么有：\[ \int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)dx \]这个性质表明了定积分的线性性，即在一个区间上进行线性组合的函数的积分等于线性组合的函数的积分的线性组合。
3. 定积分的保号性如果在区间\([a, b]\)上有\( f(x) \geq 0 \)，那么有：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx \geq 0 \]这个性质表明了定积分的保号性，即当被积函数在一个区间上非负时，其积分结果也是非负的。
定积分的概念与性质(1)
a = x0 < x1 < x 2 < ⋯ < xi −1 < xi < ⋯ < x n −1 < x n = b
把曲边梯形的底[a,b]分成 个小区间 ： [ xi −1 , xi ] 分成n个小区间 把曲边梯形的底 分成 小区间长度记为： ∆x i = x i − x i −1 (i = 1,2,3, ⋯ , n ) 过各分点作垂直于x轴的直线段， 过各分点作垂直于 轴的直线段，把整个曲边梯形分 轴的直线段 个小曲边梯形， 成n个小曲边梯形，其中第 个小曲边梯形的面积记为 ∆ A i 个小曲边梯形 其中第i个小曲边梯形的面积记为 y y=f(x)
确定的极限 I ， 我们称这个极限 I 为函数 f ( x ) 上的定积分 定积分， 在区间[a , b ]上的定积分， 记为
积分上限
积分和
∫a f ( x )dx = I = lim ∑ f (ξ i )∆xi λ → 0 i =1
积分 限
b
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
[a , b] 积分
∫a f ( x )dx = A
b
曲边梯形的面积
∫a
b
f ( x )dx = − A 曲边梯形的面积
的负值
17
一般情形, 一般情形
∫
b
a
的几何意义为： f ( x)dx 的几何意义为：
它是介于 x 轴、函数 f ( x )及两条直线 x = a , x = b 之间的各部分面积的代 数和． 数和． 轴上方的面积取正号； 在 x 轴上方的面积取正号； 在 x 轴下方的面 积取负号． 积取负号．
1≤i≤n
对上述和式取极限就得物体以变速v(t)从时刻 到时刻 这段 对上述和式取极限就得物体以变速 从时刻a到时刻 从时刻 到时刻b这段 时间内运动的距离s, 时间内运动的距离 即
华东师大教育信息技术专业数学B考研笔记(精华资料)
华东师范大学数学（B）考研复习笔记一、华东师范大学数学（B）考试范围a.高等数学（函数、极限、连续、一元函数微积分、多元函数微积分、无穷级数、常微分方程）；b.线性代数（行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量）。
参考教材为《线性代数》科学出版社《高等数学》同济出版社二、数学（B）考试特点及考生应对策略数学（B）考试试题难度一般，重视考生基础，考试难度基本上与国家统考数学（四）差不多，数学题量较大。
考生在复习时，按照同济版本的教材认真复习，把书上的题要弄会弄懂。
牢固掌握书上的基本概念，基本原理，掌握解题的常规方法，要善于总结。
例如，对求极限的题共有哪些方法，考生必须会灵活应用。
在复习时挑一本比较好的练习册，不用做太多的题，但是做一道要讲究质量，不要做太难的题，考试考的都比较基础。
考生在平时的复习时要提高自己的做题速度，前提是保证质量。
由于考试的题量较大，再加上考试时或多或少的会紧张，因此打好平时的基本功是考试获得高分的关键。
考生还要注意一点，华东师范大学数学（B）出题的难度一年比一年有所加大，但是增加难度的幅度不是很大。
考生不要因为做哪一年的真题觉得简单就掉以轻心，就少用时间复习。
要时刻记住，你考得是华东师大，没那么容易就让你拿分，每道题都需要自己动脑其琢磨，认认真真地做。
至于真题，建议考生只要把04、05、06年的真题认真做做，研究研究，其他的真题就不用研究了，没必要。
看看数学（B）出题的难度，题型，以及出题难度的逐年变化。
心里有个底，知道复习的时候应该怎么样复习，复习到什么难度。
对于具体的考试内容，将在数学（B）考研笔记中有所反映，有些知识点考生不用看的，在笔记中有所标记。
考生可以按照考研笔记的顺序复习。
肯定不考的知识有向量代数和空间解析几何，曲面积分，二次型。
在高数种所有关于微积分的物理应用知识都不考，方向导数和梯度也不考。
在本人编写的考研笔记中对有些章节中不考的会有所标记，对于考的知识点会标记出能出哪些题型，出题的难度如何。
1.5.3 定积分的概念
到曲边梯形的曲边,然后通过求曲边梯形的面积得到相应的定积分
的值,但要注意,当f(x)≥0时,
������ ������
f(x)dx=S;当
f(x)<0
时,
������ ������
f(x)dx=-S.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
变式训练 2 利用定积分的几何意义计算:
(1)
2 0
(1)
1 0
2dx;(2)
2 1
xdx;(3)
1 -1
1-������2dx.
分析:画出被积函数的图象以及相应的区间,根据定积分的几何 意义,通过平面图形的面积得到相应的积分值.
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
课堂篇探究学习
解:(1)
1 0
2dx
表示的是图①中阴影所示长方形的面积,由于这个
长方形的面积为
f(x)dx
的几何意义.
名师点拨
������ ������
f(x)dx,
������ ������
|f(x)|dx,|
������ ������
f(x)dx|几何意义的区别:
������ ������
f(x)dx,
������ ������
|f(x)|dx,|
������ ������
f(x)dx|的几何意义是不同的,绝不能等同
(2)
������ ������
������1(������) ±
������2(������)
dx=
������ ������
f1(x)dx±
������ ������
3.4 定积分的概念和性质
的平均值，且
b
a
f ( x ) dx = f (x) (b - a)．
其中 f (x ) 称为连续函数y=f (x)在[a, b]上
b 1 f (x ) f ( x )dx ba a
证
因为 b – a > 0，由估值定理得
y a b x
轴下方，此时该定积分为 负值，它在几何上表示 x 轴下方的曲边梯形面积的 负值，即 f ( x )dx A.
a b
O
A
y=f (x)
B
当 f (x) 在 [a, b] 上有正有负时， f ( x )dx a
b
在几何上表示 x 轴上方的曲边梯形面积减去
x 轴下方的曲边梯形面积：
a
b
三、定积分的性质
下面各性质中的函数都假设是可积的. 性质 1 （线性性质）
Af ( x ) Bg( x )dx A
b a
b
a
f ( x ) dx B g( x )dx
a
b
（其中A、B为常数） 性质1可推广到有限个函数代数和的情形，即
A f ( x ) A
b a 1 1
A
x1
x2
xi
x i- 1 x i
xn
x n= b x
O a = x 0 x1
(3) 求和（“积零为整”）
得 f (x i ) xi , 把 n 个小矩形面积相加，
i 1
n
它就是曲边梯形面积的近似值， 即
A Ai f (x i ) xi .
i 1 i 1 n n
第四章 §1 定积分的概念
b a b a
2．定积分的几何意义
x＝a 与_____ x＝b ， y＝0 (1)当 f(x)≥0 时， f(x)dx 表示的是_______ ______ y＝f(x) 所围成曲边梯形的面积． 和________
[一点通] 解决这类问题， 是通过分割自变量的区间求得过剩 估计值和不足估计值，分割得越细，估计值就越接近精确值；当 分割成的小区间的长度趋于 0 时，过剩估计值和不足估计值都趋 于要求的值．
1．把区间[0,1]n 等分，所得 n 个小区间，每个小区间的长度为 ( 1 A.n 3 C.n 2 B.n 1 D. 2n )
f(x)dx± g(x)dx (3) [f(x)± g(x)]dx＝________________；
f(x)dx＋ f(x)dx (4) f ( x )d x ＝ ________________. b b a
b a b a
b a b a
f(x)dx＋ g(x)dx＝3， f(x)dx－ g(x)dx＝－5，
1 0 1 0
1 0
两式相加，得2 f(x)dx＝－2， 故 f(x)dx＝－1.
1 0
(2)∵ 2f(x)dx＝2 f(x)dx＝5， 5 ∴ f(x)dx＝ . 2
b 1 1 b b ∫ ∫ 于是 [2－f(x)]dx＝ a2dx－ afxdx 3a 3
1 1 1 ×12＋ ×1.22＋ × 2 2 2 1 1 2 2 1.4 ＋ ×1.6 ＋ ×1.8 ×0.2＝ 2 2
2
定积分辅导
第4讲 定积分与微积分的基本定理★ 知 识 梳理 ★1、定积分概念定积分定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= ，将区间[,]a b 等分成几个小区间，在每一个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ= ，作和1()()ni i i b af xi f n ξξ=-∆=∑，当n →∞时，上述和无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作1[,]i i x x -()b a f x dx ⎰，即1()l im ()nba i n ib a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰，这里a 、b 分别叫做积分的下限与上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式.2、定积分性质（1）()()bb a akf x dx k f x dx =⎰⎰；（2）1212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （3）()()()()c b b a c a f x dx f x dx f x dx a c b +=<<⎰⎰⎰3、微积分基本定理一般地，如果()f x 是在[,]a b 上有定义的连续函数，()f x 是在[,]a b 上可微，并且'()()F x f x =，则()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式，为了方便，常常把()()F b F a -，记作()|ba F x ，即()()|()()b b a af x dx F x F b F a ==-⎰. 4．、常见求定积分的公式（1）11|(1)1b nn b aa x dx x n n +=≠-+⎰ （2）|b ba a cdx cx =⎰（C 为常数）（3）sin cos |b ba a xdx x =-⎰（4）cos sin |b b a a xdx x =⎰（5）1ln |(0)b b a a dx x b a x=>>⎰ （6）|b x x ba a e dx e =⎰ （7）|(01)ln xb xb a a a a dx a a a=>≠⎰且 ★ 重 难 点 突 破 ★1.重点：定积分的计算和简单应用。
37知识导学 定积分的概念与微积分基本定理
b
b
b
分变量用什么字母表示无关，即 f (x)dx f (u)du f (t)dt （称为积分形式
a
a
a
b
的不变性），另外定积分 f (x)d (x) 与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，定积 a
分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如 1(x2 1)dx 与 3 (x2 1)dx 的值就不同.
一般地，给定一个在区间a，b 上的函数 y=f (x) ，如图所示.将
a，b 区间平分成 n 份，分点为：
a x0 x1 x2 xi1 xi xn b
则每个小区间长度为 x （ x b a ），在每个小区间
n
xi1 , xi
上任取一点
i
i 1, 2,, n ，作和式： Sn
1
（2） xdx ； 0
（3） 1 x3dx ； 0
（4） 1 x3dx . 1
【答案】（1）
1
1dx
x1
1
0
1；
0
0
（2）
1
xdx
1
x2
1
1
12
1
02
1
；
0
2 02 2
2
（3）
1 x3dx
0
1 x4 1
1 14 1 04
1；
4 04 4
4
（4） 1 x3dx 1 x4 1 1 14 1 (1)4 0 .
5
计算可得
A
的面积为
5 2
5
25
，B
的面积为
3 2
3
9
，
24
24
从而 3 (2x 1)dx 25 9 4 .
第四节 定积分的概念与性质
1 n
n1 n
1e n
n 1 n 1 n
-e
1 n
e -1
当 = max{xi}0 + 时，即 n + 有 1 lim n 1.
n
e -1
1 n
于是有
e xdx lim
1 0
0
f (x )x e - 1.
i 1 i i
n
例2
利用定积分的定义计算
y B
y = f
曲线 y = f (x) 是连续的， 所以，当点 x 在区间 [a, b] 上某处变化很小时， 则相应的高 f (x) 也就变 化不大. 基于这种想法， 可以用一组平行于 y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形， 只要分割得较细， 每个小曲边梯形很窄， 则 其 高 f (x) 的变化就很小. 这样，可以在每个小曲边梯形 上作一个与它同底， 底上某点函数值为高的矩形，
解： f ( x ) x 2在[0,1]连续,
f ( x )可 积
1
x dx
y f(x)=x2
2
0
(1)把区间 a, b]n等分, [
则 每 个 小 区 间 的 长 度相 等 均
O x
1 i , 取x i 即 x i n n
i 21 (2)取近似 Ai f (xi )x ( ) n n
定理2 若函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上有界，
且只有有限个间断点， 则 f ( x ) 在
区间[a , b ]上可积.
根据定积分的定义，上面两个例子都可以表 示为定积分：
(1) 曲边梯形面积 A 是曲边函数 f (x) 在区间 [a, b]上的定积分，即
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例 1、利用牛 —莱 顿布尼茨公式 积求 分下列定
b
1）、 xndx (nN),
a
b
2)、exd,x
b
3)、
1dx（ 0ab).
a
a x2
2
4)、sinxd,x 5)、x 4x2dx
0
0
利用定积分的定义可求某些数列的极限：若待求极限的数列 通过适当的变形，能化成某一函数在某一区间上关于某一特定分 割的积分和时，则可用定积分的定义来求数列的极限。
变力作功问题可表示为 例 用定义求积分 解 分法与介点集选法如例 1, 有
13
上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积 分
三．理解定积分定义要注意以下三点：
1）定积分定义与我们前面讲的函数极限的“
”定义形式
上非常相似，但是两者之间还是有很大差别的。对于定积分来说，
给定了细度 以后，积分和并不唯一确定，同一细度分割有无穷
b
1、在应用公式求 f ( x)dx 时， f ( x)的原函数必须是初等函 数，否则使用
a b
公式求 f ( x)dx失效。即 f ( x)的原函数 F ( x)可由 f ( x)dx求出。
a
2、 定理的条件还可适当减 弱，如： 1）、对 F的要求可减弱为：在 [a, b]上连续，在（ a, b）内可导，且： F ( x) f ( x). 不影响定理的证明。 2）、对 f 的要求可减弱为：在 [a, b]上可积（不一定连续） ，这时 公式仍成立。 3）、若定理中的 F与 f 同时减弱为： f在[a, b]上可积， F在[a, b]上连 续，且除有限个点外有 F ( x) f ( x), 则公式仍成立。 4）、在学习连续函数必 存在原函数的定理后， 定理中对 F的假设 便是多余的条件。
10
定义 设 是定义在区间 上任取n-1个分点
上的一个函数，在闭区间
把 [a,b] 分成 n个小闭区间，我们称这些分点和小区间构成的
一个分割，用T表示, 分割的细度用
表示，
在分割T所属的各个小区间内各取一点
称为介点，
作和式:
以后简记为
11
此和式称为
在
上属于分割T的积分和（或黎曼和，
设 是一个确定的数，若对任意总存在某个
（ 有 关 上 、 下 和 性 质 的 详 细 讨 论 参 见 课 本 P231— 236）
22
定理9.3 (可积准则）函数f 在[a,b]上可积的充分条件是：任给 0，
总 相应的一个分割T，使得：S（T）s(T) .
设 i Mi mi , 称为 f 在i上的振幅，这样 S（T）s(T)
n
ixi,因此可积准则改写为： i1
7
由此可知，分割越细，越接近面积准确值
再看一个变力做功的问题
设质点m受力
的作用，沿直线由A点运动到B 点，求变力
的做的功。
F 虽然是变力，但在很短一段间隔内 ，F的变化不大，可近似
看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想，
1） 对
作分割：
8
当每个小区间 的长度都很小时，小区间
上的力：
在
上，力F作的功
27
等式
b
c
b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
c
证
性质 3说明：
yy
1）性3及 质其公式称为可 积加 分性 区 f。 间 0当 A
和 , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, T且与分法 i 及介点
无关的条件 。
方案: 定义上和S (T ) 和下和s(T ) ，研究它们的和:
设 T i i 1 ,2 , ,n 为 对 [a ,b ]的 任 一 分 割 ， 由 f在 [a ,b ]上 有 界 ， 它 在
每 一 个 i上 存 在 上 、 下 确 界 ： M i s x u p i f(x),m i ix n fi f(x),i 1 ,2 , ,n .
21
作 和
n
n
S(T)Mi, s(T)mi
i1
i1
分 别 称 为 f关 于 分 割 T的 上 和 与 下 和 （ 或 称 为 达 布 上 和 与 达 布
不定积分联系了起来。
定理 9.1 若函数 f 在[a,b]上连续，且存在 F(x原 ),即 函 F(数 x)f(x),
x[a,b],则f 在[a,b]上可积，且：
b
f(x)dxF(b)F(a).
a
b
称为牛莱 顿布尼茨公式， 成它 ： f(x常 )dx写 F(x) baF(b)F(a).
a
证
17
公式使用说明：
下 和 ， 统 称 为 达 布 和 ）
由达布和定义可知，达布和未必是积分和 .但达布 和由分法 唯一确定. 则显然有：
n
s(T) f(i)xi S(T) (1) i1
由 此 可 见 ， 只 要 通 过 上 、 下 和 当T0时 的 极 限 就 揭 示 f在 [a,b]上 是 否
可 积 了 。 所 以 可 积 性 理 论 总 是 从 讨 论 上 和 与 下 和 的 性 质 入 手 的 。
lim
T 0
i1
f
(
i
)
x
是否存在
i
了。
常用定理 9 .3' 证明有界函数的可积性
较方便。
三、 可积函数类
23
三、 可积函数类
根据可积的准则，我们
可以证明下面三种类型
的函数必是可积的。
定理 9 .4 若 f在 [ a , b ]上连续，则 f在 [ a , b ]上必可积。
证
定理 9 .5 若 f是区间 [ a , b ]上只有有限个间断点的
即
，这时又从“直”回到了“曲”。“分割、近似求
和、取
极限”是定积分的核心思想。
16
§2 牛顿—莱布尼兹公式
b
若用定积分定义求 f ( x ) dx ，一般来说是比较困难的。是否有
b
a
较简便的方法求 f ( x ) dx ？下面介绍的牛顿—莱布尼兹公式不仅
a
为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与
例2
证明： f (x)在[0， 1]上可积。
25
例3 证明黎曼函数
f
(x)
1 q
,
x p, q
p、q互质，q p,
0, x 0, 1 以及（0，1）内的无理数，
1
在[0,1]上可积，且： f (x)dx 0
0
（先画出f(x)的图形，结合直观的图形给出证明的思路，
再作证明。）
26
§4定积分性质 一、定积分的基本性质
2）求 和
力F在
上作的功
分割越细，近似程度越好，分割无限细时，即分割细 度：
时，
9
3）取极限 对上面和式取极限，极限值就是力在
上作的功。
从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变 力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、 取极限”，或者说都归结为形如：
的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来， 作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可 以给定积分下一个定义（下页）
第九章 定 积 分 § 1 定积分的概念
教学内容： 1) 定积分概念的引入 2） “分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 3) 定积分的数学定义
重 点： 定积分的数学定义 难 点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立
定积分概念的引入 一、背景
1、曲边梯形的面积 2、变力所做的功
1
1 曲边梯形的面积 中学里我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算 ，这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生 活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计
学习定积分，不仅要理解、记住定积分的定义，还要学习建 立定积分概念的基本思想，我们以后的学习中还会遇到其它 类型的积分，比如勒贝格积分、斯蒂疌斯积分等，只要理解 了定积分的思想，其他类型的积分就很容易理解了。现在我 们再来总结一下定积分建立的的思想和方法：从定积分的实 例和概念中看到定积分的基本思想是：首先作分割然后用 “直”的长方形去近似代替小曲边梯形，以“直” 代“曲”； 然后把所有长方形加起来，近似求和，得到曲边梯形面积的 一个近似值；当分割无限加细时，就得到曲边梯形的准确值，
多种，即使分割确定，介点 仍可以任意选取，所以积分和的极
限比前面讲的函数极限要复杂的多。
2）定积分是积分和的极限，积分值与积分变量的符号无关
14
3)
表示分割越来越细的过程，
，但反过来
，并不能保证
分点个数 ，所以：
不能写成：
4)、定积分的几何意义 (作图并解释）
y y f (x)
o
a
。
bx
15
四．小结：
定可积。如：狄利克雷函数
D（x）
1， 0,
x x
Q R
Q
, 在[0，1]上有界，但不可积。
由此可见，有界是函数可积的必要条件，但不充分。
二、 可积的充分条件 以下讨论函数的可积性时，总是假设函数是有界的。
20
1. 思路与方案:
思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应 于分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分
，使得
上的任何分割T，只要它的细度
，属于分割T的所有积分
和
都有
则称
在
上可积 ,称J为函数
在
上的定积分(或黎曼积分)，记作
其f中 (x)称为积 x为 分 积 函 分 [a 数 ,b]变 称 ， 量 为， 积 a、 分 b分区 别 称为积分的下、上限。