矩阵的相似对角化

注意 A有n个相异特征值只是A可化为对角矩阵的充分条件,
而不是必要条件.
1 -3 3
1
-1
1
例如，A= 3 -5 3 ，x1= 1 ，x2= 0 ，x3= 1 ，
6 -6 4
0
1
2
且有Ax1= -2x1， Ax2= -2x2， Ax3= 4x3，向量组是A的线性
无关的特征向量. 所以当P=(x1, x2, x3 )时，有
P-1AP=L， 即矩阵A与对角矩阵L相似.
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定理2 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln)
相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.
讨论： 根据定理证明，怎样取可逆矩阵 P及对角矩阵L ？
提示：
设 ξ1，ξ2，，ξn为A 的 n个线性无关特征向量，它们所
因为P可逆，所以x1, x2, , xn 都是非零向量，因而都是 A的特征向量，并且这n个特征向量线性无关.
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充分性. 设x1，x2，，xn为A的n个线性无关的特征向量，
它们所对应的特征值依次为l1，l2，，ln，则有
Axi =lixi (i=1, 2, , n) . 令 P=(x1, x2, , xn)，则
对应的特征值依次为l1，l2，，ln，则取
P=(ξ1, ξ2, , ξn)，
L=diag(l1 , l2 , , ln)。
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例如，矩阵A=
31 5 -1
有两个不同的特征值l1=4,l2=-2,
其对应特征向量分别为x1=
1 1
，x2=
1 -5
.
取P=(x1, x2)=
P-1AP=B 成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B.
定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项 式，从而有相同的特征值.
证明：因为P-1AP=B，
|lE-B| =|lE-P-1AP| =|P-1(lE)P -P-1AP | =|P-1(lE-A)P| =|P-1||lE-A||P| =|lE-A|，
1 1 ，则 1 -5
P-1AP =- —1 -5 -1 6 -1 1
31 5 -1
11 1 -5
=
40 0 -2
，
所以A与对角矩阵相似.
问题：若取P=(x2, x1)，问L=？
L＝
-2 0
0 4
.
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推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1，l2，，ln，则 A与对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln) 相似.
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注意：有相同特征值的同阶矩阵未必相似
反例
A
=

1 0
1 1
1 0
B
=
ห้องสมุดไป่ตู้
0
1

注意：单位矩阵只能和它自己相似
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例1.
若矩阵
A
=

22 y
31
x

,
B
=
1

3
2 4
相似，求x,y.
解：由于A和B相似，所以Tr(A)=Tr(B), |A|=|B| , 即
第2节 相似矩阵与矩阵的相似对角化
一、相似矩阵及其性质 二、n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件
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2.1 相似矩阵及其性质 定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得
P-1AP=B 成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B.
例如， A= 3 1 ，B= 4 0 ，P= 1 1 ， 相似关系是矩阵5间-的1 一种等价0关-2系，满足 1 -5
AP =A(x1, x2, , xn) =(Ax1, Ax2, , Axn) l1 0 0
=(l1x1, l2x2, , ln xn) = (x1, x2, , xn) 0 l2 0

=PL .
0 0 ln
因为x1, x2, , xn线性无关,所以P可逆.用P-1左乘上式两端得
A与B有相同的特征多项式，所以它们有相同的特征值.
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定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项 式，从而有相同的特征值.
相似矩阵还具有下述性质： (1)相似矩阵有相同的秩； ( r(A)=r(B) ) (2)相似矩阵的行列式相等； ( |A|=|B| ) (3)相似矩阵的迹相等； ( tr(A)=tr(B) ) (4)相似矩阵或都可逆或都不可逆.当它们可逆时，它们 的逆矩阵也相似. 易见，|A|=|B|， 且B-1=(P-1AP)-1 =P-1A-1(P-1)-1 =P-1A-1P .
2.2 n阶矩阵与对角矩阵相似的条件
引理：n阶方阵A～diag(l1 , l2 , , ln）则l1 , l2 , , ln是A的特征值
定理2 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln)
相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.
证明：必要性. 设存在可逆矩阵P=(x1, x2, , xn)使
22 x = 1 4 22x - 31y = 4 - 6 ,
解得
x = -17

y
=
-12
.
1 -1 0
例2.
设3阶方阵A相似于
D
=

2
2
0

,求|A|.
0 0 3
解：由于矩阵A和D相似，所以|A|=|D|, 即
|A|=|D|＝12.
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P-1AP=L，
l1 0 0
则有 A(x1, x2, , xn)= (x1, x2, , xn)
0
l2

0 ，
0 0 ln
(Ax1, Ax2, , Axn) = (l1 x1, l2 x2, , lnxn)
可得 Axi =lixi (i=1, 2, , n) .
因为自P反-1A性P： A~ A
对传称 递=性 性-：：—16若若--AA15~~-BB11， ，则 B53~BC-~1，1A则11
1 -5
=
A~C
-
—1 6
-20 -4 2 -2
11 1 -5
=- —1 -24 0 = 6 0 12
40 0 -2
，
所以A~B .
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2.1 相似矩阵及其性质 定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得