离散数学第七章第五节详解
离散数学第七章计数
离散数学第七章计数离散数学7.1基本计数原理1.加法原理2.乘法原理离散数学加法原理加法原理又称为和计数原理，也称和规则，存在三种表述形式，其本质是说，整体等于其部分之和。
①若集合某是不相交非空子集S1,S2,…,Sm的并，则|某|=m|Si1i|②若E1,E2,…,Em是彼此互斥事件，并且E1发生有e1种方式，E2发生有e2种方式，…,Em发生有em种方式，则E1或E2或…或Em发生有e1+e2+…+em种方式。
应该指出的是，事件E1和E2互斥是说，E1和E2发生但两者不能同时发生。
离散数学③如果选择事物O1有n1种方法，选择事物O2有n2种方法，…,选择事物Om有nm种方法，并且选择诸事物方法不重叠，则选取O1或O2或…或Om有n1+n2+…+nm种方法。
离散数学加法原理例7.1.1一个学生想选修一门数学课或一门生物学课，但不能同时选修两门课。
如果该生对5门数学课和3门生物学课具有选课条件，试问该生有多少方式来选修课程？离散数学乘法原理乘法原理又称有序计数原理，也称积规则，类似加法原理，也有三种表述形式。
①若S1,S2,…,Sm是非空集合，则笛卡尔m积S1S2…Sm的元素个数是|Si|i1②若事件E1,E2,…,Em发生分别有e1,e2,…,em种方式，并且诸事件是独立的，则事件E1或E2或··m依次发生有e1e2…em·或E种方式。
离散数学乘法原理③如果选取事物O1,O2,…,Om分别有n1,n2,…,nm种方法，并且选取诸事物方法不重叠，则事物O1与O2与…与Om依次选取有n1n2…nm种方法。
离散数学乘法原理例7.1.2一个学生要选修两门课，第一门课在上午4小时内任选1小时，第二门课在下午3小时内也可任选1小时，试问该生有多少种可能的时间安排？离散数学乘法原理例7.1.3计数因特网地址。
在由计算机的物理网络互连而构成的因特网中，每台计算机的网络连接被分配一个因特网地址。
离散数学左孝凌答案
离散数学左孝凌第七章答案【篇一：离散数学（左孝凌）课后习题解答（详细）】1.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗⑶不存在最大素数。
⑷ 21+3 V5。
（5）老王是山东人或河北人。
⑹2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀！⑼请勿随地吐痰！⑽圆的面积等于半径的平方乘以。
何只有6是偶数，3才能是2的倍数。
⑫雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
㈣如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑪㈣㈣是命题，其中（1）（3）⑽㈣是真命题，⑷⑹⑫是假命题，⑸⑺㈣的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2.将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：⑴本命题为原子命题；⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶p：天在下雨；q：湿度很高；⑷p：刘英上山；q：李进上山；⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语;⑹p：你看电影；q：我看电影；⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。
3.将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。
⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形abcd是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p人q⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：pv q⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：？p-?q⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p?q⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：qv r—p⑹p：四边形abcd是平行四边形；q：四边形abcd的对边平行；原命题符号化为：p?q。
离散数学第7章
1 v2e4v4e3v3e2v2
初级回路(圈)
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
初级回路(圈)
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 复杂回路
…………
5、图中最短的回路。 如图：
6、性质。
定理：在一个
n
阶图中，若从顶点vi
到
v
存在
j
通路(vi vj ) ，则从 vi 到 vj 存在长度小于等于
n 1的通路。
推论：在一个
n
阶图中，若从顶点vi
到
v
存在
j
通路(vi vj ) ，则从 vi 到 vj 存在长度小于等于
n 1的初级通路。
6、性质。
定理：在一个 n 阶图中，若vi 到自身存在回路， 则从 vi 到自身存在长度小于等于n 的回路。 推论：在一个 n 阶图中，若vi 到自身存在一个 简单回路，则从vi到自身存在长度小于等于 n
如例1的(1)中，
v1
v5
e1与 v1, v2 关联的次数均为1， e1
e6
e2 与 v2 关联的次数为2， e2 v2 e4 e5
v4
边 e1, e4, e5, e6都是相邻的， v5 为孤立点，v4 为悬挂点，
e3 v3
e6 为悬挂边，e2 为环，e4, e5 为平行边，重数2，
G 为多重图。
孤立点——无边关联的点。
环——一条边关联的两个顶点重合，称此边
为环 (即两顶点重合的边)。
3、相关概念。 (2) 悬挂点——只有一条边与其关联的点，所
对应的边叫悬挂边。 (3) 平行边——关联于同一对顶点的若干条边
称为平行边。平行边的条数称为重数。 多重图——含有平行边的图。 简单图——不含平行边和环的图。
离散数学7-树
(b)
(a)
V5
2
1
V7
8
9
V2
V4
2
3
V8
5
V1
V1
V4
V5
1
3
V7
V6
8
V4
2
V8
5
6
V1
1
V5
6
V7
V6
8
3
V8
5
6
V7
9
V3
(e)
V3
(f)
(g)
22
V2
V3
(h)
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
23
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
成圈。
首先证明T无简单回路。对n作归纳证明。
(i) n=1时,m=n-1=0,显然无简单回路；
(ii)假设顶点数为n-1时无简单回路，现考察顶点数是n的情况：此时至少有一
个顶点v其次数d(v)=1。因为若n个顶点的次数都大于等于2，则不少于n条边，但这与
m=n-1矛盾。
删去v及其关联边得到新图T’，根据归纳假设T’无简单回路，再加回v及其关联
边又得到图T，则T也无简单回路。
再由图的连通性可知，加入任何一边后就会形成圈，且只有一个圈，否则原图
中会含圈。
9
二. 基本定理——证明
证明(4):(3)(4)，即证一个无圈图若加入任一边就形成圈，
则该图连通，且其任何一边都是桥。
若图不连通,则存在两个顶点vi和vj，在vi和vj之间没有路，若
加边(vi,vj)不会产生简单回路，但这与假设矛盾。由于T无简单回
离散数学课后习题答案第七章
第七章 特 殊 图 类习题7.11．解 因 m=n-1,这里m=6,所以n=6+1=7.2．解 不正确。
与平凡图构成的非连通图中有4个结点3条边，但是它不是树。
3K 3．证明 必要性。
因为G 中有n 个结点，边数m=n-1，又因为G 是连通的，由本节定理1可知，G 为树，因而G 中无回路。
再证充分性。
因为G 中无回路，又因为边数m=n-1，由本节定理1，可知G 为树，所以G 是连通的。
4．解 因 m=n-r,这里n=15,r=3,所以m=15-3=12，即G 有12条边。
5．解6个结点的所有不同构的树如图7-1所示。
图7-16．证明 由定理1，在任意的树中，边数),(m n 1−=n m；所以，由握手定理得)1(22)(1−==∑=n m v d ni i①⑴若T 没有树叶，则由于T 是连通图，所以T 中任一结点均有，从而2)(≥i v d n v d ni i2)(1≥∑= ②则①与②矛盾。
⑵若树T 仅有1片树叶，则其余1−n个结点的度数不小于2，于是121)1(2)(1−=+−≥∑=n n v d ni i③从而①、③相矛盾。
综合⑴，⑵得知T 中至少有两片树叶。
7．解 图7-2⑴中共有两棵非同构的生成树（如图7-3⑴，⑵）。
图7-2⑵中共有3棵非同构的生成树（如图7-3⑶，⑷，⑸）。
⑵⑴⑶⑷ ⑸图7-38．解 在图7-4中共有8棵生成树，如图7-5⑴～⑻所示，第i 生成树用表示。
，，，)8,,2,1( =iT i 7)(8=T W 8)()(61==T W T W 6)()(52==T W T W )()(73==T W T W 9)(4=T W 。
其中T 2，T 5是图中的最小生成树。
9．解 最小生成树T 如图7-7所示，W （T ）=18。
a bc da b cda ba bcdabc d⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺ ⑻图7-5图7-4图7-6图7-7习题7.21．解 不一定是。
如图7-8就不是根树.2．解 五个结点可形成3棵非同构的无向树，如图7-9⑴，⑵，⑶所示。
第7章 图论 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]
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6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
21
例：
a j i h c g d
1(a)
无 向 图
b
f
e
2(b)
7(j) 8(g) 9(d) 10(i)
6(e)
3(c) 4(h)
5(f)
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
22
例：
1(b)
有向图
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
6
[定义] 相邻和关联
在无向图G中，若e=(a, b)∈E，则称a与 b彼此相邻(adjacent)，或边e关联 (incident) 或联结(connect) a, b。a, b称为边e的端点或 结束顶点(endpoint)。 在有向图D中，若e=<a, b>∈E，即箭头 由a到b，称a邻接到b，或a关联或联结b。a 称为e的始点(initial vertex)，b称为e的终点 (terminal/end vertex)。
证明思路：将图中顶点的度分类，再利用定理1。
6/27/2013 6:02 PM 第四部分：图论（授课教师：向胜军） 9
[定理3] 设有向图D=<V, E>有n个顶点，m 条边，则G中所有顶点的入度之和等于所 有顶点的出度之和，也等于m。
即：
d ( v i ) d ( v i ) m.
i 1 i 1
n
n
证明思路：利用数学归纳法。
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
一些特殊的简单图：
(1) 无向完全图Kn(Complete Graphs)
离散数学(第二版)第7章格和布尔代数和
离散数学(第二版)第7章格和布尔代 数和
第七章 格和布尔代数
7.1 格 与 子 格
本章将讨论另外两种代数系统——格与布尔代数， 它 们与群、 环、 域的基本不同之处是： 格与布尔代数的基集 都是一个偏序集。 这一序关系的建立及其与代数运算之间 的关系是介绍的要点。 格是具有两个二元运算的代数系统， 它是一个特殊的偏序集， 而布尔代数则是一个 特殊的格。
于是， 我们有下列对偶原理。
第七章 格和布尔代数
定理7.1.2 如果命题P在任意格〈L， 〉上成立， 则
将L中符号∨， ∧，
∧， ∨，
P*在任意格〈L， 〉上也成立， 这里P*称为P的对偶式。
在上述对偶原理中， “如果命题P在任意格〈L， 〉
上成立”的含义是指当命题P中的变量取值于L中， 且上确
界运算为∨， 下确界运算为∧， 则P对于它们也成立。
第七章 格和布尔代数
再设a=a∧b， 则a∨b=(a∧b)∨b=b(由吸收律)， 即
a∨b=b。
最后， 设b＝a∨b， 则由a a∨b可得a b。
因此， (1)中3个命题的等价性得证。
(2) 因为 a a∨b， a a∨c, 故a (a∨b)∧(a∨c)。 又
因为
b∧c b a∨b b∧c c a∨c
条件是b a, 则〈L, 也是偏序集。 我们把偏序集〈L, 和〈L, 称为是相互对偶的。 并且它们所对应的哈
斯图是互为颠倒的。 关于格我们有同样的性质。 定理7.1.1 若〈L, 是一个格， 则〈L, 也是一
个格, 且它的并、 交运算∨r, ∧r对任意a, b∈L满足 a∨rb=a∧b，a∧rb=a∨b
证明 先证幂等性成立。 由吸收律知 a∧a＝a∧(a∨(a∧b))＝a a∨a＝a∨(a∧(a∨b))＝a
离散数学第七章课后答案
离散数学习题答案习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。
6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。
7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨解：原式()(()())p q r r p p q q r ⇔∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨∧()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ⇔∧∧⌝∨∧∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ⇔⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧ 13567m m m m m ⇔∨∨∨∨，此即主析取范式。
主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ⇔∧∧。
9、用真值表法求下面公式的主析取范式： （1）()()p q p r ∨∨⌝∧ 解：公式的真值表如下：由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式1234567m m m m m m m ⇔∨∨∨∨∨∨习题三及答案：（P52-54）11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
前提：,,,p q q r r s p ⌝∨⌝∨→结论：s证明：① p 前提引入②p q⌝∨前提引入③ q ①②析取三段论④q r⌝∨前提引入⑤ r ③④析取三段论⑥r s→前提引入⑦ s ⑤⑥假言推理15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理：（2）前提：()(),()∨→∧∨→p q r s s t u结论：p u→证明：用附加前提证明法。
《离散数学》课件-第七章 图的基本概念
• G1 G2。
• 显然，两图的同构是相互的，即G1同构 于G2，G2同构于G1。
• 由同构的定义可知，不仅结点之间要具 有一一对应关系，而且要求这种对应关 系保持结点间的邻接关系。对于有向图 的同构还要求保持边的方向。
V={a,b,c,d},E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}
e1=(a,b), e2=(a,c), e3=(b,d), e4=(b,c), e5=(d,c), e6=(a,d).
它的图形如下图(a)或(b)所示:
a
a
b
d
b
d
c
c
(a)
(b)
如果有些边是有向边，另一些边是无向边， 图G称为混合图。
第七章 图的基本概念
– 7.1 无向图及有向图 – 7.2 通路、回路、图的连通性 – 7.3 图的矩阵表示 – 7.4 最短路径及关健路径
7.1 无向图和有向图
• 什么是图?可用一句话概括，即：图是用 点和线来刻划离散事物集合中的每对事 物间以某种方式相联系的数学模型。
Konigsberg(哥尼斯堡)七桥问题
为偶数.
定理7.2 在任何有向图中,所有结点的入度之 和必等于它们的出度之和.
证明:因为有向图中的每一条有向边都恰好对应 一个出度和一个入度.故所有结点的出度之 和恰好等于有向边的总数.同样地, 所有结 点的入度之和恰好也等于有向边的总数.因 此它们相等.
设V={v1,…,vn}为G的顶点集，则称{d(v1),…d(vn)} 为G的度数序列。
• 如果G2无孤立结点，且由E2所唯一确定，即 以E2为边集，以E2中边关联的结点全体为顶 点集，则称G2是边集E2的导出子图。
离散数学第七章图的基本概念
4.无向图的连通性
若无向图G中任何两顶点都连通,则称G是连通图.
对于任意的无向图G.设V1,V2,…,Vk是顶点之间连通关系的 等价类,则称他们的导出子图为G的连通分支.用p(G)表示G 的连通分支数.
V1 e1
e2 e3
V3
e4 V2
V4
a
de
h
i
b
c
f
g
5.有向图的连通性
若略去有向图D中各边的键头,所得无向图是无向连通图,则 称D是弱连通图(或称D是连通图).
(2) mij d (vi )(i 1,2,..., n)
j 1
mn
nm
n
(3) mij mij d(vi ) 2m
j1 i1
i1 j1
i 1
m
(4) mij 0 vi是孤立点 j 1
(5)若第j列与第k列相同, 则说明e j与ek为平行边.
2.有向图的关联矩阵
设有向图D=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em} 1, vi为ej的始点
e1,e2,e3},{e1,e2,
e2
e4},{e9}等边割集 ,e9是桥.
e3 V4
e5 e6
V5 e4
V6
e9
V7
7.3 图的矩阵表示
1.无向图的关联矩阵
设无向图G=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em}
令mij为顶点vi与ej的关联次数, 则称(mij)n×m为G的关联矩阵.记为M(G)
若Γ 满足:vi-1,vi为ei的端点(若G为有向图,vi-1是ei的始 点,vi是ei的终点)i=1,2,…,k,则称Γ 为G中通路,v0,vk分 别称为通路的始点和终点,Γ 中边的数目k称为通路长度.
离散数学答案解析屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案解析
第一章部Байду номын сангаас课后习题参考答案
16 设 p、q 的真值为 0；r、s 的真值为 1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r) 0∨(0∧1) 0 （2）（p↔r）∧(﹁q∨s) （0↔1）∧(1∨1) 0∧1 0. （3）（ p∧ q∧r）↔(p∧q∧﹁r) （1∧1∧1） ↔ (0∧0∧0) 0 (4)（ r∧s）→(p∧ q) （0∧1）→(1∧0) 0→0 1
13. 给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。
(1) (F(x)
(2) x(F(x) G(x) H(x))
可编辑范本
解:(1)个体域:本班同学 F(x)：x 会吃饭, G(x)：x 会睡觉.成真解释 F(x)：x 是泰安人,G(x)：x 是济南人.（2）成假解释
(2)个体域:泰山学院的学生 F(x)：x 出生在山东,G(x):x 出生在北京,H(x):x 出生在江苏,成假解释. F(x)：x 会吃饭,G(x)：x 会睡觉,H(x)：x 会呼吸. 成真解释.
(1)在两个个体域中都解释为 xF(x) ，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为 xG(x) ，在（a）(b)中均为真命题。 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化:
可编辑范本
(1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x 能表示成分数
17．判断下面一段论述是否为真：“ 是无理数。并且，如果 3 是无理数，则 2 也是无 理数。另外 6 能被 2 整除，6 才能被 4 整除。”
答：p: 是无理数 1 q: 3 是无理数 0
r: 2 是无理数 1
离散数学屈婉玲第七章 ppt课件
离散数学屈婉玲第七章
6
笛卡儿积的性质
(1) 不适合交换律 AB BA (AB, A, B)
(2) 不适合结合律 (AB)C A(BC) (A, B, C)
(3) 对于并或交运算满足分配律 A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA) A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA)
(2) A在R下的像记作R[A], 其中
R[A]=ran(R↾A)
说明：
R在A上的限制 R↾A是 R 的子关系，即 R↾A R
A在R下的像 R[A] 是 ranR 的子集，即 R[A] ranR
离散数学屈婉玲第七章
19
实例
例7 设R={<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,2>}, 则
离散数学屈婉玲第七章
26
关系运算的性质
定理7.5 设F 为关系, A, B为集合, 则
(1) F ↾(A∪B) = F ↾A∪F ↾B
(2) F [A∪B] = F [A]∪F [B]
(3) F ↾(A∩B) = F ↾A∩F ↾B
(4) F [A∩B] F [A]∩F [B]
离散数学屈婉玲第七章
离散数学屈婉玲第七章
23
关系运算的性质
定理7.3 设R为A上的关系, 则 RIA= IAR=R
<x,y> <x,y>∈RIA
t (<x,t>∈R∧<t,y>∈IA) t (<x,t>∈R∧t=y∧y∈A) <x,y>∈R
离散数学屈婉玲第七章
24
关系运算的性质
离散数学第7章 格
4
2
3
7．2
格及其性质
1．格的定义
定义7-4
设<L；≤>是一个偏序集，如果L中任
意两个元素都存在着最大下界和最小上界，则称<L；≤> 是格. 在格上定义两个二元运算“˄” 和 “˅” 如下：
l1˄ l2=glb(l1, l2), l1˅ l2=lub(l1, l2). 因此 <L；≤>是一个格意味着 <L；≤> 也是一个形为<L； ˄ ,˅>的代数系统，其中˄和˅是L上的两个二元运算， 对于任意l1，l2 L ， l1˅ l2表示在偏序“≤”意义下， l1 和l2的最小上界， l1˄ l2表示l1和l2的最大下界.
l1 ≤ l 1 (7-1) (7-2) (7-3) (7-1')
若 l1 ≤ l2 , l2 ≤ l1, 则 l1= l2 若 l1 ≤ l2 , l2 ≤ l3, 则 l1 ≤ l3 l1 ≥ l1
若 l1 ≥ l2 , l2 ≥ l1 , 则 l1 = l2
若 l1 ≥ l2 , l2 ≥ l3, 则 l1 ≥ l3
非分配格非有补格75布尔代数布尔代数的定义定义710如果一个格是有补分配格则称其为布尔代数一般记作具有如下性质对于b中任意元素上定义的集合的并交和补运算与称作集合代数它是一个布尔代数
第7章 格和布尔代数
7.1 偏序集
7.2 格及其性质 7.3 格是一种代数系统 7.4 分配格和有补格 7.5 布尔代数
可以证明关系 ≤ 是 L 上的自反，反对称和可传递
的关系，因此 ≤ 是 L 上的偏序关系. 进一步还可以证明，对任意 l1 , l2 L ， l1 ∨ l2 是在 偏序关系 ≤ 意义下 l1 和 l2 的最小上界， l1 ∧ l2 是 l1
离散数学第七章图的基本概念知识点总结
图论部分第七章、图的基本概念7. 1无向图及有向图无向图与有向图多重集合：元素可以重复出现的集合无序积：{(x, y) |定义无向图Q<K£>,其中(1) 顶点集$0,元素称为顶点(2) 边集F为k&f的多重子集，其元素称为无向边，简称边.例如，如图所示，其中心⑷，…，心，&{(旳，匕)，(匕，匕),(迫，方)，(乃，方)，(迫，％), (s, %),(必，％)} 定艾有向图E>,其中(1) $同无向图的顶点集，元素也称为顶点(2) 边集F为的多重子集，其元素称为有向边，简称边.用无向边代替0的所有有向边所得到的无向图称作Q的基图，右图是有向图, 试写出它的！/和F注意：图的数学定艾与图形表示，在同构(待叙)的意狡下是一一对应的通常用G表示无向图，0表示有向图，也常用G泛指无向图和有向图，用6表示无向边或有向边.K6), E(G, Eg G和D的顶点、集,边集.77阶图：”个顶点的图有限图：K F都是有穷集合的图零图：吕0平凡图：1阶零图空图：^=0顶点和边的关联与相邻：定狡设e*,v)是无向图G^<V f E>的一条边，称v…匕为e*的端点，©与v, ( 16)关联.若Vi H V”则称故与Vi ( v)的关联次数为1;若匕=匕，则称6为环，此时称◎与匕的关联次数为2;若匕不是鸟端点, 则称鼓与匕的关联次数为0.无边关联的顶点称作孤立点.定义设无向图=<V, E>, v if K e“e《E,若©，匕)e£；则称乙匕相邻；若％ &至少有一个公共端点，则称6, 8/相邻.对有向图有类似定义.设6二〈乙匕〉是有向图的一条边，又称匕是牧的始点，V」是6的终点，K邻接到Vj.匕邻接于Vi.邻域和关联集邻域和关联集设无向图^veV(G)”的邻域谑克匕(6A3"(G)A亦}1 的闪邻域2V(V)=M V)U{V)丫的关联集7(v)=fej族要(G>e与咲联}设有向图空厲蚀)1的后绅元集石(护{边煖玖刀人今炉訪⑹付妙、的先驱元集纭(忙甸頰匕(D)人Y细>“(C)人T1的邻域E(v)=“e)u巧(巧'的丙邻域jv D(v) = 1V23(v)U{v}顶点的度数设G=<V,E>为无向图，keKy的度数(度)〃3): #作为边的端点次数之和悬挂顶点：度数为1的顶点悬挂边：与悬挂顶点关联的边G 的最大度zl(Q 二max {〃(“)| i/e HG的最小度&Q=min{d(访| keH例如〃(％)二3, 〃(乃)二4, 6/(I/.) =4,zl(6)=4, J(6)=1, r4是悬挂顶点，g是悬挂边,设^=<K £>为有向图，reKi/的出度dW: y作为边的始点次数之和1/的入度力3) ：#作为边的终点次数之和1/的度数(度)〃3)：#作为边的端点次数之和d(v)~ / (#) + d(v)。
离散数学-第七章-图论
5
离 例1、G1=<V,E>
散 数
V＝{v0, v1, v2,v3}
学 E＝{(v0,v2),(v0,v3),(v1,v2),(v1,v3),(v2，v3)}
v0
v3
v1
第
七
章
v2
图
论
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G1
6
离 例2、
散 数 学
G2=<V,E> V＝{v0, v1, v2,v3}
中的所有边，称为删除E´ 。
(2)设vV，用G-v表示从G中去掉v及所关联的 一切边，称为删除结点v；又设V´ V，用G-V´ 表示从G中删除V´中所有结点，称为删除V´ 。
学 u,v之间存在路，则称u,v是连通的，记作uv 。
定义2.3 设无向图Ｇ是平凡图或G中任何两个结 点都是连通的，则称G为连通图，否则称G为非连 通图或分离图。
第
任意一个连通无向图的任两个不同结
七 点都存在一条通路。
章
图
论
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38
离
非连通图Ｇ可分为几个不相连通的子图，
七 章
边，构成一个无向重图，问题化为图论中简单道路
的问题。
图
论
4/24/2020 2:55 PM
3
离 一、图的基本概念
散 数 学
旧金山
丹佛
洛杉矶
第 七 章
图
论
4/24/2020 2:55 PM
底特律
芝加哥
纽约 华盛顿
4
离
散 设A、B是两个集合，称
数
学
A&B={{a,b}|aA, bB}
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2、欧拉公式（2）
推论1 设G是有v个结点、e条边的连通简单平面图，且v3，则 e3v-6
证：设G的面数为r,当v=3,e=2时，公式成立。当e3时，因G为 简单图，每面的次数不小于3。根据定理1可知，2e3r,即 r2e/3。再应用欧拉公式得：
v-e+2e/32 即 e3v-6。
推论1给出了结点数大于等于3的连通简单平面图应满足的 必要条件，所以可用来判断某些图不是平面图。
将平面图G的一个边不交叉的图画在一个平面上，称为图G 的一个平面表示，也叫做相应于G的地图。
定义2 平面图G的某个平面表示将G所在的平面划分成若干区 域，每个区域叫图G的一个面；包围每个面的边称为该面的 边界；边界上边的条数叫该面的次数，面r的次数记作deg(r)。
面积为无限的面叫无限面，或外部面；面积为有限的面叫 有限面，或内部面。
第7-5讲 平面图
1. 平面图的概念 2. 欧拉公式 3. 库拉托夫斯基定理 4. 课堂练习 5. 第7-5讲 作业
1
1、平面图的概念（1）
定义1 能画在一个平面上且任何两边除端点外互不相交的图称 为平面图。 例：判断下面各图是否为平面图。
(1) (2) (3)是平面图，(4)不是平面图。
2
1、平面图的概念（2）
图(1)有6条边， 4个面，每面次 数皆为3。
图(2)有6条边，有3个面， 各面次数之和为12。
4
2、欧拉公式（1）
定理2 设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则 v-e+r=2 (欧拉公式)
证：对边数用归纳法证明。
若G为平凡图，则v=1,e=0,r=1,公式成立。 若G仅有一条边，则v=2,e=1,r=1,公式成立；或v=1,e=1,r=2,公式仍然成 立。 设G有k条边时公式成立。当G有k+1条边时，设其结点数为v，面数为r， 可分两种情况讨论： (1)如G中有度数为1的结点，删除该结点及其关联的一条边得图G’。显然， G’也是连通平面图，设G’的结点数、边数和面数依次为v’、e’=k、r’，按归 纳假设应满足欧拉公式，即 v’-e’+r’=2，亦即(v-1)-(e-1)+r=2，从而有v-e+r=2。 (2)如G中没有度数为1的结点，则在有限面的边界中删除一条边得图G’。 G’也是连通平面图且边数等于k，按归纳假设应满足欧拉公式，即 v’-e’+r’=2，亦即v-(e-1)+(r-1)=2，从而有v-e+r=2。 综上所述，当边数为k+1时公式成立。定理得证。
deg(r1)=3 deg(r2)=5 deg(r3)=4
图(1)有4个面。
图(2)有3个面。
3
1、平面图的概念（3）
定理1 有限平面图各面次数之和等于边数的2倍。
证：因一条边或是两个面的公共边，或在一个面中作为该面 的边界被计算过两次，所以各面次数之和等于边数的两倍。
deg(r1)=3 deg(r2)=5 deg(r3)=4
2=v-e+r v-e+e/2=v-e/2 即 e2v-4。
推论2给出了各面次数大于等于4的连通平面图应满足的必 要条件，所以可用来判断某些图不是平面图。
例如，应用推论1可知K3，3不 是平面图 。因K3，3是连通平面 图，每个面由四条边围成，v=6, 2v-4=8，而e=9，不满足推论给 出的条件。
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第7-5讲 作业
P317 3，5
13Leabharlann 93、库拉托夫斯基定理（3）
定理3 （Kuratowski定理）一个图是平面图，当且仅当它不 包含与K3,3或K5在二度结点内同构的子图。 用Kuratowski定理来判断某图是平面图的例子： 证明Petersen图是非平面图。
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4、课堂练习(1)
练习1 应用欧拉公式证明Petersen图是非平面图。
插入或删除2度结点示意图
8
3、库拉托夫斯基定理（2）
欧拉公式可用来判断某些图不是平面图。但不能用来判断 某图是平面图。波兰数学家给出了一个判断平面图的充分必 要条件。 定理3 （Kuratowski定理）一个图是平面图，当且仅当它不
包含与K3,3或K5在二度结点内同构的子图。
（定理3的证明非常复杂，从略）
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4、课堂练习(2)
练习2 设G是一个连通平面图，且至少有3个结点。则G必 有一个结点u，使得deg(u)5
证：设G=<V,E>，|V|=v，|E|=e。 假定G的每个结点的度数皆大于6，由握手定理可得2e6v，
所以，e3v>3v-6。这与推论1矛盾。故G至少有一个结点u， 使得deg(u)5。
解：Petersen图中，v=10，e=15，从 图上可以看出，每个面由五边围成， 根据定理7-5.1，有限平面图各面次 数之和等于边数的两倍。 如果Petersen图是平面图，则 2e=5r 所以 r=2e/5=6 但是 v-e+r=10-15+6=12 这说明Petersen图不满足欧拉公式， 故它不是平面图。
7
3、库拉托夫斯基定理（1）
欧拉公式可用来判断某些图不是平面图。但不能用来判断 某图是平面图。波兰数学家Kuratowski给出了一个判断平面 图的充分必要条件。为此，先介绍“在二度结点内同构”的 概念。 定义3 给定图G1、G2，如果它们同构，或通过反复插入或删除
度数为2的之后结点它们同构,则称G1与G2在二度结点内同 构。
例如，应用推论1可知K5不是平面图 (以前从直观上得到过这一结论)。因K5是 连通简单平面图，v=5, 3v-6=9，而e=10， 不满足推论给出的条件。
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2、欧拉公式（3）
推论2 设G是v个结点、e条边的连通平面图，且G的各面的次数 大于等于4，则e2v-4
证：由所设，G的各面边界边数的总和大于等于4r,这里r为G的 面数。因每边为两个面的边界或作为一个面的边界时按两条边 计算，所以2e4r，即re/2。再应用欧拉公式得：