反比例函数-反比例函数系数k的几何意义
反比例函数中比例系数k的几何意义
反思小结
在反比例函数 y 10 的图象上,有一系列点A1，A2， x A3…..An，An+1，若A1横坐标为2,且以后每点的 横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2. 现分别 过点A1，A2，A3…..An，An+1作X轴与Y轴的垂线 段，构成若干个矩形如图10所示，将图中阴影部 分的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、…Sn， 5 5 15 2 5 2 (5 _____, ) 则S1=________, S +S +S =____ S1+S2 2 1 2 3 4 2 5 10 n 2 (5 ) +S3+….+Sn=________________.( 用n的代数式表 n 1 n 1 A 示)
C
S SOAD SABD SBCD SOCD 4 1 4
达标测试
已知几何图形的面积S，求比例系数k
5、如图，已知双曲线 （k>0） 经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E， 且四边形OEBF的面积为2，则k的值为（ B ）。
y
y
k x
A 1
所以
B 2
C 4
S OAB 4
O
y
已知几何图形的面积S，求比例系数k k y 变式、如图，已知双曲线 x ( k＞0 )经
B
D
C E A
x
而
SOAB SOBC SOAC
即
S ODE 1 S OAB 1 4 k 3 2
1 k 2
相似三角形的面积比 等于相似比的平方 k 4;
k 0 k 4
k 0 k 4
4 y x
达标测试
4、如图，在平面直角坐标系中， 点O为原点，菱形OABC的对角线 OB在x轴上，顶点A在反比例函数 2 的图像上，求菱形的面积。 y B
反比例函数中k的几何意义的应用
反比例函数中k的几何意义的应用
k在反比例函数中具有重要的几何意义，以下列举一些它的应用。
1. 直线反比例函数：k反映直线斜率的倒数，即斜率m=-k。
当给定直
线k值时，由定点和k值可以求出斜率m，从而可以绘制出这条直线。
2. 圆反比例函数：k反映圆半径r的倒数，即r=1/k。
当给定圆k值时，由定点和k值可以求出圆半径，从而可以绘制出这个圆。
3. 抛物线反比例函数：k反映抛物线的开口方向，当k > 0时，抛物线
向右开口；当k < 0时，抛物线向左开口。
4. 双曲线反比例函数：k反映双曲线的开口方向，当k＞0时，双曲线
开口向右；当k＜0时，双曲线开口向左。
5. 其他函数反比例函数：k可以反映此类函数中曲线的凹凸，当k > 0时，曲线是凹曲线；当k < 0时，曲线是凸曲线。
总之，k在反比例函数中应用广泛，几乎所有的函数都可以用反比例函
数表示。
它的几何意义非常重要，不仅仅可以根据k值绘制出各种曲线，而且可以了解曲线的开口方向以及凹凸方向。
因此，k在反比例函
数绘制中发挥着重要的作用。
反比例函数中K的几何意义课件
k值决定了反比例函数图像的形状和 位置。
详细描述
在反比例函数y=k/x中，k值决定了图 像的形状和位置。当k>0时，图像出 现在第一象限和第三象限；当k<0时 ，图像出现在第二象限和第四象限。
k的正负与图像的位置
总结词
k的正负决定了图像所在的象限。
详细描述
当k>0时，图像分布在第一象限和第三象限；当k<0时，图像分布在第二象限和 第四象限。
拓展反比例函数的应用领域
随着科学技术的发展，反比例函数的应用领域也在不断扩大。未来我们可以尝试将反比例 函数应用于其他领域，如经济学、生物学等，以解决实际问题。
探索与其他数学知识的联系
反比例函数作为数学中的一个重要概念，与其他数学知识有着密切的联系。未来我们可以 进一步探索反比例函数与其他数学知识之间的联系，以促进数学学科的发展。
k值对反比例函数图像的影响
随着k值的增大或减小，反比例函数的图像会向内或
反比例函数在实际生活中有着广泛的应用，如电流与电阻、电容与电压
等物理量之间的关系可以用反比例函数来描述。
对反比例函数的研究展望
深入探究反比例函数的性质
尽管我们已经对反比例函数的性质有了一定的了解，但仍有许多未知的性质等待我们去发 现和研究。例如，反比例函数的极限行为、奇偶性等性质。
反比例函数的性质
反比例函数具有以下性质：当 x 增大时，y 值会减小；当 x 减小 时，y 值会增大。这是因为 xy =
k 的关系。
在图像上，反比例函数的两个分 支在 x 轴和 y 轴上分别趋于无穷
大和无穷小。
反比例函数在坐标系中的图像是 不闭合的，且无限接近于坐标轴
。
Part
02
反比例函数中k的几何意义
【主干必备】 反比例函数中比例系数k的几何意义 设点P(m,n)是双曲线y= k (k≠0)上任意一点
x
(1)过点P作x轴或y轴的垂线,垂足为点A,则
S△OAP=
1 2
·OA·AP=
1 |m|·|n|=
2
1 |mn|=
2
1 2
|k|.
(2)过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为A,B,
值为 世纪金榜导学号( D )
A.5
B.-5
C.10
D.-10
3.(2019·哈尔滨木兰期末)已知P是反比例函数y= k
x
(k≠0)图象上一点,PA⊥x轴于A,若S△AOP=4,则这个反
比例函数的解析式是 ( C )
A.y= 8
x
C.y= 8 =- 8
x
D.y= 4 或y=- 4
则S矩形OAPB=OA·AP=|m|·|n|=|mn|=|k|.
【微点警示】 因为反比例函数y= k (k是常数,k≠0)中的k有正、负之
x
分,所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时,都应 加上绝对值符号;已知矩形或三角形的面积求反比例函 数的解析式或k的值时,要根据函数的图象所在的象限 确定k的正负.
x
x轴于点B交反比例函数y= 2 的图象于点C,连接OA,OC,
x
则△OAC的面积为 ( B )
A.2
B.3
C.6
D.8
2.(2019·达州达川区期末)如图所示,点A是反比例函
数y= k 的图象上的一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B,点
x
C为y轴上的一点,连接AC,BC.若△ABC的面积为5,则k的
【核心突破】
反比例函数比例系数k的几何意义探究教学设计
反比例函数系数k的几何意义探究教学任务分析教学目标知识技能1、理解和运用反比例函数的图像和性质；2、掌握求反比例函数的解析式的方法；3、会用待定系数法求反比例函数表达式。
过程方法让学生经历从反比例函数上任一点向坐标轴的作垂线所得矩形或三角形面积大小的过程，体会反比例函数系数的几何意义。
情感态度1、让学生进一步体会数形结合和转化的数学思想；2、通过探究反比例函数系数的几何意义，培养学生的探索能力。
评价方式纸笔测试A、B、C组练习题。
重点探究反比例函数系数的几何意义难点探究反比例函数系数的几何意义流程、思路与理念流程思路理念复习回顾引入新课通过简单题目复习回顾反比例函数的图像和性质，为本节课的学习做准备。
并以最后一题面积问题，有特殊到一般引入新课。
从旧知识到新知识，充分运用已学过的反比例函数的图像和性质，为本节课的探究做好准备，并以最后一题面积的求解引入新课。
让学生感受从特殊到一般的数学思考方法。
小组合作探究新知分两点位于反比例函数图像同一支和不同支，及函数在一、三象限和二、四象限等不同情况进行分类探究反比例函数系数的几何意义。
让学生通过讨论和探究过程体会反比例函数系数的几何意义，进一步体会分类讨论和数形结合的数学思想。
分层练习提高技能通过技能的训练，巩固反比例函数系数的几何意义。
通过分层递进练习，让每个学生都有可以做的题目，使不同程度的学生通过练习得到不同程度的发展和提高。
体现人人学不同数学的新课程理念。
典例分析深化理解通过两个不同类型的例题让学生灵活运用反比例函数的几何意义。
使学生正确理解反比例函数系数的几何意义及函数交点的意义，规范学生的解题步骤，让学生进一步体会数形结合和转化的思想。
概括总结画龙点睛通过师生互动的形式再次呈现本节课的主要知识。
概括是课堂教学的核心，适时的总结利于学生对知识学习的升华。
1。
反比例K的几何意义
反比例函数比例系数k 的几何意义知识梳理：如图所示，过双曲线)0(k≠=k xy 上任一点),(y x P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN,垂足为M 、N ，所得矩形PMON 的面积S=PM •PN=|y|•|x|.,y xk=∴||k S k xy ==，。
反比例函数图像上任意一点“对应的直角三角形的面积”S=21│k │ 反比例函数图像上任意一点“对应的矩形的面积”S=│k │这就说明，过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数|k|。
这是系数k 几何意义,明确了k 的几何意义，会给解题带来许多方便。
典例精析专题一 K 值与面积直接应用 例1：已知如图，A 是反比例函数ky x=的图象上的一点，AB 丄x 轴于点B ，且△ABO 的面积是3，则k 的值是（ ）A 、3B 、﹣3C 、6D 、﹣6变式练习1：如图，点P 是反比例函数6y x=图象上的一点，则矩形PEOF 的面积是 ．变式练习2： 如图：点A 在双曲线 ky x=上，AB 丄x 轴于B ，且△AOB 的面积S △AOB =2，则k= ．变式练习3：如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上:△ABP的面积为2，则这个反比例函数的解析式为______________．OABxy:变式练习4：如图反比例函数4y x=-的图象与直线13y x =-的交点为A ，B ，过点A 作y 轴的平行线与过点B 作x 轴的平行线相交于点C ，则ABC △的面积为（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2B 为双曲线x12-y =上的点，AD ⊥x 轴于D,BC ⊥y 轴于点C ，则四边形ABCD 的面积为 。
例2：如图1所示，直线l 与双曲线)0(ky >=k x交A 、B 两点，P 是AB 上的点，试比较⊿AOC 的面积S 1，⊿BOD 的面积S 2，⊿POE 的面积S 3的大小： 。
培优专题(一) 反比例函数比例系数k的几何意义
A．1 C.2
B．32 D．52
图9
三、k 与矩形的面积 9．如图 10，点 A 是双曲线 y＝kx在第二象限分支上的任意一点，点 B，C，D 分别是点 A 关于 x 轴、坐标原点、y 轴的对称点．若四边形 ABCD 的面积是 8， 则 k 的值为( D )
A．－1 C．2
B．1 D．－2
图 10
∴一次函数的表达式为 y＝－x－5.
(2)由y＝4x， y＝－x－5，
解得xy＝＝－－14， 或xy＝＝－－41，，
∴点 P(－1，－4)．
在一次函数 y＝－x－5 中，令 y＝0，
得－x－5＝0，解得 x＝－5，∴A(－5,0)．
∴S△OPQ＝S△OPA－S△OAQ ＝12×5×4－12×5×1
x>0)的图象分别相交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点．若
△ABC 的面积为 4，则 k1－k2 的值为( A )
A．8
B．－8
C.4
D．－4
图6
6．[2018·贵阳]如图 7，过 x 轴上任意一点 P 作 y 轴的平行线，分别与反比例 函数 y＝3x与 y＝－6x的图象交于点 A 和点 B.若 C 为 y 轴上任意一点，连接 AC，BC， 则△ABC 的面积为 4．5 .
S△BCF＝CF2·BC＝43a×2 ka1＝23k1， S△ABE＝AB2·AE＝2a×2－ka2＝－k2. ∵S△BEF＝7， ∴2k1＋23k2－23k1＋k2＝7，
整理，得43k1＋53k2＝7，① ∵k1＋3k2＝0， ∴k2＝－13k1，代入①，得 43k1＋53×－13k1＝7， 解得 k1＝9.
点 O 的对称点)
应用归纳： 一、k 与三角形的面积
《反比例函数图像性质-k的几何意义》课件
随着x的增大或减小，曲线会逐渐靠近 坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。
曲线形状
图像是由两支分别位于第一和第三象 限的曲线组成，这两支曲线关于原点 对称。
k<0时图像特征
1 2
图像位于第二、四象限
当k<0时，反比例函数的图像会出现在第二和第 四象限。
曲线形状
图像同样是由两支分别位于第二和第四象限的曲 线组成，这两支曲线也关于原点对称。
图像的性质。
总结
反比例函数的图像性质与 $k$ 的 正负有关。当 $k > 0$ 时，图像 位于第一、三象限；当 $k < 0$
时，图像位于第二、四象限。
涉及综合应用问题
01
例题5
已知反比例函数 $y = frac{k}{x}$ 的图像与一次函数 $y = ax + b$ 的
图像交于点 $M(2,1)$ 和 $N(-1,-2)$，求这两个函数的解析式。
反比例函数的极限与连续性问题
讨论反比例函数在特定点的极限行为，以 及在定义域内的连续性。
反比例函数与其他函数的复合问 题
研究反比例函数与其他基本函数（如幂函 数、三角函数等）的复合性质及图像特征 。
THANK YOU
06
总结回顾与拓展延伸
重点知识点总结回顾
反比例函数图像的基本性质
反比例函数图像为双曲线，当k>0时，图像位于第一、三象限；当k<0时，图像位于第二 、四象限。
k的几何意义
k的绝对值表示双曲线与坐标轴所围成的矩形的面积。当k>0时，矩形在第一象限；当 k<0时，矩形在第二象限。
反比例函数图像的对称性
通过中心对称性，我们可以更好 地理解反比例函数的性质和行为 ，以及它在解决实际问题中的应
《反比例函数中比例系数k的几何意义》优课一等奖教案
?反比例函数中比例系数k 的几何意义?教学设计 本微课通过研究反比例函数()0≠=k xk y 中k 的几何意义，来解决反比例函数与面积类综合问题，能更好地考察学生灵活运用数学知识的能力及对数学思想方法掌握的情况，进一步让学生感悟数形结合分析数学问题的意识，培养学生把实际问题中的文字语言、符号语言、图形语言进展“互译〞并 “转换〞成有效的解题信息链，培养学生建立合理适宜的数学模型去解决实际问题的能力和方法。
教学目标：1、理解和掌握反比例函数()0≠=k xk y 中k 的几何意义 2、能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题学情分析：学生已有对一次函数和反比例函数关系式和图象认识的根底，再通过研究反比例函数()0≠=k xk y 中k 的几何意义，可以进一步唤醒学生数形结合分析数学问题的意识，培养学生把实际问题中的文字语言、符号语言、图形语言进展互译转换并形成有效的解题信息链，并通过建立合理适宜的数学模型，顺利解决问题的能力和方法。
教学重点、难点：1．重点：理解并掌握反比例函数 〔k ≠0〕中k 的几何意义；并能利用它们解决一些综合问题2．难点：通过反比例函数与矩形面积的对应关系渗透数形结合思想，感受理解反比例函数的比例系数 k 、函数解析式和函数图形之间的内在联系，并通过建立反比例函数模型解决实际几何问题。
教学过程：一、反比例函数中k 的几何意义xk y =y x B A P (m ,n )O 反比例函数()0≠=k xk y ，点),(n m P 是图像上的任意一点. (1)过点P 分别做x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点A ，B,那么 k n m nm OB OA S OAPB =⋅=⋅=⋅=矩形结论：任意一点横纵坐标的乘积是一个定值.〔2〕过点P 分别做x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点A ，B,连接OP,那么k n m n m AP OA S OAP 21212121=⋅=⋅=⋅=∆结论：k S S OBP OAP 21==∆∆通过构造学生熟悉的特殊多边形，并把k 值构造成特殊多边形的面积，从而可以发现过反比例函数()0≠=k xk y 的图象上任一点P 〔m,n 〕向x 轴、y 轴作垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积k n m S OAPB =⋅=矩形，△OAP 和△OBP 面积k S S OBP OAP 21==∆∆让学生通过此题让学生感悟k 值与反比例函数图象的一一对应关系，核心感悟：k 值确定，图象确定，进而图形上从任意一点向坐标轴构造的特殊图象面积确定；图象确定或者图形上从任意一点向坐标轴构造的特殊图象面积确定， 那么k 值也随之确定。
反比例函数中k的几何意义是什么
反比例函数中k的几何意义是什么
反比例函数中k的几何意义是什么
过反比例函数y=k/x(k≠0)，图像上一点P(x，y)，作两坐标轴
的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=x的绝
对值*y的绝对值=(x*y)的绝对值=|k|
研究函数问题要透视函数的本质特征。
反比例函数中，比例系数
k有一个很重要的`几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点
P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积
S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。
所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。
从而有k
的绝对值。
反比例函数K的几何意义
【山东·全国考题回访】
1.(2014·济南中考)如图,△OAC和△BAD都是等
如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴 的平行线，分别与反比例函数y=-4/x和 y=2/x交于点A和点B，若点C是x轴上任意一 点，连接AC、BC，则△ABC的面积为
点B，D在反比例函数y=b/x（b＜0）的图象上，
AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=3，CD=2，
AB与CD的距离为5，则a-b的值是
则S△OBC=
1·(-x)·22y=6.解得k=xy=-6. 2
答案:-6
如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数 y1=k1/x(x>0)及y2=k2/x(x>0)的图像分别交于点A， B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k1-k2 的值等于（ ）
如图△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1， P2在函数y=4/x（x＞0）的图象上，斜边OA1，A1A2 都在x轴上，则点A2的坐标是______．
答案:6
（1）直接写出B、C、D三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同 时落在反比例函数的图象上，猜想是哪两个点， 并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．
（1）∵四边形ABCD是矩形，平行于x轴，且AB=2，AD=4， 点A的坐标为（2，6）． ∴AB=CD=2，AD=BC=4， ∴B（2，4），C（6，4），D（6，6）；
腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°,反比例函数 y= k 在第一象限的图象经过点B，若OA2-AB2=12， 则kx的值为_______.
反比例函数中K的几何意义
反比例函数中K的几何意义作者：杨高朋来源：《世界家苑》2019年第02期摘要：反比例函数是数学知识的重点和难点之一，理解起来难度较大，也是考试活动中重点考察内容之一。
“K”是反比例函数的重要组成部分，在整个反比例函数中具有重要的几何意义，加大对“K”值的了解，有助于学生学生在日常数学知识学习过程中灵活展开数形结合，高效、精确解决数学问题，更能够为学生进行其他数学知识的学习奠定良好基础。
鉴于此，本文详细探讨了反比例函数中K的几何意义以及反比例函数在集合图形中的应用，以供参考。
关键词：反比例函数；K；几何意义初等函数中，反比例函数占据基础地位，学生通过对反比例函数的特点、性质等的深刻理解，对于以后更加顺利、快捷的进行三角函数以及二次函数等数学知识点的学习具有促进作用。
而系数“K”在反比例函数中具备较强的几何意义，能够将“数形结合”的数学思想充分的体现出来。
因此，学生在积极进行反比例函数学习的过程中，深入进行“K”几何意义的探讨与分析具有重要意义。
1 反比例函数中K的几何意义在y=k/x（k≠0）这一反比例函数函数当中，要想对系数k的几何意义进行全面掌握，就必须掌握以下几点：第一，应促使学生明确当y=k/x这一双曲线距离坐标轴越远时，就会产生越大的|k|值；第二，在对一般情况下和特殊情况下的反比例函数进行分析的过程中，能够对方程所形成的过程产生深刻认知，在此基础上学生才可以灵活应用反比例函数表达式进行图形面积的计算，在这一过程中，学生可以通过观察图像面积的方式，对反比例函数中K值进行确定。
例如，图一所示例题中“在y=k/x（k≠0）这一反比例函数函数当中，其中K值呈现出重要的几何意义，即在y=k/x这一反比例函数中取P点（P属于任意一点），假设PM、PN分别为P与x轴和y轴之间的垂线，在此基础上形成的PMON这一矩形，以S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|，将O、P相连，得出S△POM=S△PON=k/2”。
反比例函数中比例系数k的几何意义
19.6反比例函数中比例系数k的几何意义一、复习旧知：1.反比例函数的表达式有______种形式，分别是_________________________.2.反比例函数的图象是_______________.3.反比例函数的图象性质是:_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 二、创设情境---自主探究1.已知：如图1，∠AED=∠B ，AD=y ，AE=2，AB=x ，AC=6，写出y 与x 的函数关系式.2.已知：如图2，在△ABC 中，∠C=90°，BC=x ，AC=y ，S △ABC =6，则y 与x 的函数 表达式为：________________.3.已知：如图3，在矩形ACBH 中，BC=x ，AC=y ，S 矩形ACBH =12，则y 与x 的函数 表达式为：4观察2题和3题中图形面积与函数表达式中的k 值有怎样的关系.三、学习新知---合作探究已知点A （-6,2）、B （3，m ）是反比例函数图象上的两点，根据要求完成下列问题： 1.反比例函数的表达式：________________________; 点B 坐标__________. 2.在平面直角坐标系中画出函数图象.图1图2图33.过点A 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足为点C 和点H ，连接AO （1）则S △AOC =_________. （2）则S 矩形ACOH =__________.4. 过点B 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足为点E 和点F ，连接BO （1）则S △BOF =__________. （2）则S 矩形BEOF =___________.5.观察问题3和问题4的结果有怎样的关系，它们的结果与反比例函数解析式中的k 又有怎样的关系？小结：如图，在反比例函数xky =（k ≠0）上任意一点P(x,y)，过这一点分别作x 轴和y 轴的垂线PM 、PN ，连接OP ，则S △POM =___________ ； S 矩形PMON =___________.四、学以致用—自主练习1.已知：反比例函数图象上一点A ，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，作AB ⊥y 轴于 点B ，连接AO.（1）若点A （2,3），则反比例解析式k=_____; S △AOC =____； S 矩形ABOC =_____.（2）若S △AOC =4，且反比例函数图象在一、三象限内，则反比例函数表达式：__________ （3）若S 矩形ABOC =5，则反比例函数表达式：______________________________________ 2.计算与双曲线xky =（k ≠0）上的点有关的图形面积.。
反比例函数中K的几何意义
,PA⊥x轴于A, PB⊥y轴于B.求长方形PAOB的面积。
解：S矩形PAOB =OA·.PA
y
= m•n
=k
=
P(m,n) B
o
A
x
1、过反比例函数y k 中,任意一点 x
P(m, n)分别作x轴, y轴的垂线,
垂足分别为A, B,
2、如图，连接OM，则
则S矩形OAPB OA• AP
m•n
PA=( 2 ),S矩形OAPB=（ 6 ）
y
B
P(3,2)
oA
x
yE
2、若E(1，6)也在该图像上，则绿色矩形
面积为（ 6 ）
B
P(3,2)
o
A
x
F（4，-1.5）
3、若F(4，-1.5) 在 y - 6 图像上，则 x
黄色矩形面积为（ 6 ）
例1、如图,点P是反比例函y数
2 x
图象上的一点
⑶若P的坐标是（x，y），则PM=y____,PNx=____
y
平面直角坐标系内任意一点P(x,y)
P到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值即 y
是
.x
P到y轴的距离是这点横坐标的绝对值即 是
p
N
M
ox
1.如图，点P(3，2)在反比例 函数 y k 图像上
x
则K=( 6 ),过P作PA⊥x轴，
PB⊥y轴,则OA=( 3 ),
已知面积求K值
y
2、若四边形OABC是边长为1的正
方形，反比例函数 y k 的 x
B
A
的图象过点B，则k的值为（ ）
解： S正方形OABC 12 k
Co
x
知识点 反比例函数意义,比例系数k的几何意义
的积．
5. （2011 辽宁阜新,6,3 分）反比例函数 y 6 与 y 3 在第一象限的图象如图所示，作一条平行于 x 轴的直线
x
x
分别交双曲线于 A、B 两点，连接 OA、OB，则△ AOB 的面积为（ ）
3
A.
B.2
C.3 D.1
2
考点：反比例函数系数 k 的几何意义。
专题：探究型。
分析：分别过 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 D、E，过 B 作 BC⊥y 轴，点 C 为垂足，再根据反比例函
∴y=- ，
故答案为：y=- ，
点评：此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．
2. （2011 江苏扬州，6，3 分）某反比例函数的图象经过点（-1,6），则下列各点中，此函数图象也经过的点是（ ）
A. （-3,2） B. （3,2）
C.（2，3） D.（6,1）
考点：反比例函数图象上点的坐标特征。
B、﹣3
C、6
D、﹣6
考点：反比例函数系数 k 的几何意义。
分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 是个定值，
即 S＝ 1 |k|． 2
解答：解：根据题意可知：S△ AOB＝ 1 |k|＝3， 2
又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，
则 k＝6．
数系数 k 的几何意义分别求出四边形 OEAC、△ AOE、△ BOC 的面积，进而可得出结论．
解答：解：分别过 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 D、E，过 B 作 BC⊥y 轴，点 C 为垂足，
∵由反比例函数系数 k 的几何意义可知，S 四边形 OEAC=6，S△ AOE=3，S△ BOC= 3 ， 2
17.2反比例函数的图象和性质(3)【系数k的几何意义】
)0(k ≠=k xy :17.2反比例函数的图象和性质（3）【系数k 的几何意义】学习目标：掌握反比例函数中的比例系数k 的几何意义。
一、引例1、直线y ＝2x 与双曲线xy 8=有一交点(2，4)，则它们的另一交点为___ ___． 2、如图，已知反比例函数xy 4-=的图象上一点P （-2，a ），过P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN,垂足为M 、N ，所得矩形PMON 的面积为 ；过另一点E 作y 轴的垂线EF,垂足为F ，则△OEF 的面积为 。
二、经典例题例1：如图，P 、C 是函数x4y =（x>0）图像上的任意两点，过点P 作x 轴的垂线PA,垂足为A ，过点C 作x 轴的垂线CD,垂足为D ，连接OC 交PA 于点E ，设△POA 的面积为1S ,△COD 的面积为2S ，则1S 与2S 的大小关系是 。
例2：如图，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF 的面积为8，则反比例函数的表达式是（ ） A ．x y 4-= B ．x y 4=C ． xy 8= D ．x y 8-=例3：如图，函数y=-kx （k ≠0）与y=-1x的图像交于A 、B 两点．过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为C ，则△BOC 的面积为 .例4：点A 是反比例函数图象上的一点，过A 作AB ⊥y 轴于B 点，若△ABO 面积为2，则反比例函数解析式为 。
变形1：如图,点A 是反比例函数图象上的一点，过A 作AB ⊥y 轴于B 点，点P 在x 轴上，△ABP 的面积为2，则反比例函数解析式为 。
变形2：如图，点D 、C 为反比例函数上两点，DF ⊥x 轴于点F ，CE ⊥y 轴于E ，则△DEF 与△CEF 面积的大小关系为 。
例5：如图是三个反比例函数312,,k k ky y y x x x===，在x 轴上方的图像，由此观察得到k l 、k 2、k 3的大小关系为（ ）A.k 1>k 2>k 3B. k 3>k 2>k 1C. k 2>k 3>k 1D. k 3>k 1>k 2例6：已知双曲线x y 2=和xky =的部分图象如图所示，P 是y 轴正半轴上一点，过点P 作AB ∥x 轴，分别交两个图象于点A 、B 两点，若PB=2PA ，则k= 。
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反比例函数-反比例函数系数k的几何意义
一．选择题（共30小题）
1．如图，A、B是双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的
=9．则k的值是（）
延长线交x轴于点C，若S
△AOC
A．9 B．6 C．5 D．4
2．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x 轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k=（）
A．B．C．D．12
3．如图，矩形OABC的顶点A在y轴上，C在x轴上，双曲线y=与AB交于点D，与BC交于点E，DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于点G，交DF于点H．若矩形OGHF 和矩形HDBE的面积分别是1和2，则k的值为（）
A．B．+1 C．D．2
4．如图，Rt△AOC的直角边OC在x轴上，∠ACO=90°，反比例函数y=经过另
=3，则k=（）
一条直角边AC的中点D，S
△AOC
A．2 B．4 C．6 D．3
5．如图，正方形OABC的边长为6，A，C分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q，函数y=的图象经过点Q，若S△BPQ=S△OQC，则k的值为（）
A．﹣12 B．12 C．16 D．18
6．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y=
图象上一点，AO的延长线交函数y=的图象交于点C，CB⊥x轴，若△ABC的面积等于6，则k的值是（）
A．B．2 C．3 D．4
7．如图，平面直角坐标系中，点M是x轴负半轴上一定点，点P是函数y=﹣，（x＜0）上一动点，PN⊥y轴于点N，当点P的横坐标在逐渐增大时，四边形PMON
的面积将会（）
A．逐渐增大B．始终不变C．逐渐减小D．先增后减
8．如图，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），P为反比例函数y=（x＞0）图象上的动点，PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，则四边形ABCD面积的最小值为（）
A．12 B．13 C．24 D．26
9．如图，平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点C（3，4），边OA落在x 正半轴上，P为线段AC上一点，过点P分别作DE∥OC，FG∥OA交平行四边形各边如图．若反比例函数的图象经过点D，四边形BCFG的面积为8，则k 的值为（）
A．16 B．20 C．24 D．28
10．如图，过原点O的直线与双曲线y=交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴，
=5，则k的值是（）
垂足为C，连接AC，若S
△ABC
A．B．C．5 D．10
11．如图，A点在y=（x＜0）的图象上，A点坐标为（﹣4，2），B是y=（x ＜0）的图象上的任意一点，以B为圆心，BO长为半径画弧交x轴于C点，则△BCO面积为（）
A．4 B．6 C．8 D．12
12．如图，点A是反比例函数y=图象上一点，AB垂直于x轴，垂足为点B，AC垂直于y轴，垂足为点C，若矩形ABOC的面积为5，则k的值为（）
A．5 B．2.5 C．D．10
13．如图，已知点A在反比例函数y=（x＜0）上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8，则k的值为（）
A．8 B．12 C．16 D．20
14．如图，四边形OABC是矩形，四边形CDEF是正方形，点C，D在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，点F在BC上，点B，E在反比例函数y=的图象上，OA=2，OC=1，则正方形CDEF的面积为（）
A．4 B．1 C．3 D．2
15．如图，在平面直角坐标系中，点B在y轴上，第一象限内点A满足AB=AO，反比例函数y=的图象经过点A，若△ABO的面积为2，则k的值为（）
A．1 B．2 C．4 D．
16．如图，点A是反比例函数y=（x＞0）图象上一点，AB⊥x轴于点B，点C 在x轴上，且OB=OC，若△ABC的面积等于6，则k的值等于（）
A．3 B．6 C．8 D．12
17．已知，A是反比例函数y=的图象上的一点，AB⊥x轴于点B，O是坐标原点，且△ABO的面积是3，则k的值是（）
A．3 B．±3 C．6 D．±6
18．如图，是反比例函数y=和y=（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB
=2，则k2﹣k1的值是（）
∥x轴，并分别交两条曲于A、B两点，若S
△AOB
A．1 B．2 C．4 D．8
19．如图，已知反比例函数y=的图象过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连结AD、OC，若△ABO的周长为4+2，AD=2，则△ACO的面积为（）
A．B．C．1 D．2
20．Rt△ABC在平面坐标系中摆放如图，顶点A在x轴上，∠ACB=90°，CB∥x
=4，则k的值为（）轴，双曲线经过CD点及AB的中点D，S
△BCD
A．8 B．﹣8 C．﹣10 D．10
21．如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）
A．B．C．3 D．4
22．以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y=经过点D，则正方形ABCD的面积是（）
A．10 B．11 C．12 D．13
23．如图，两个反比例函数y=和y=（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（）
A．k1+k2B．k1﹣k2C．k1•k2D．
24．如图，直线y=mx与双曲线y=交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S
=2，则k的值是（）
△ABM
A．2 B．m﹣2 C．m D．4
25．如图，直线l和双曲线（k＞0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC面积是S1，△BOD面积是S2，△POE面积是S3，则（）
A．S1＜S2＜S3B．S1＞S2＞S3C．S1=S2＞S3D．S1=S2＜S3
26．如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
27．函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P是y=的图象上一动点，PC ⊥x轴于点C，交y=的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA=AP．其中所有正确结论的序号是（）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
28．如图，点A是反比例函数（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使B、C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形ABCD的面积为（）
A．1 B．3 C．6 D．12
29．如图，已知双曲线y1=（x＞0），y2=（x＞0），点P为双曲线y2=上的一点，且PA⊥x轴于点A，PA，PO分别交双曲线y1=于B，C两点，则△PAC的面积为（）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
30．如图，已知矩形OABC的面积为25，它的对角线OB与双曲线y=（k＞0）相交于点G，且OG：GB=3：2，则k的值为（）
A．15 B．C． D．9
反比例函数-反比例函数系数k的几何意义
参考答案与试题解析
一．选择题（共30小题）
1．如图，A、B是双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的
=9．则k的值是（）
延长线交x轴于点C，若S
△AOC
A．9 B．6 C．5 D．4
【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，设反比例函数解析式为y=（k＞0），根据反比例函数图象上点的坐标特征得A、B两点的纵坐标分别是、，再证明△CEB∽△CDA，利用相似比得到===，则DE=CE，由OD：OE=a：2a=1：2，则OD=DE，所以OD=OC，根据三角形面积公式得到S△AOD=S△AOC=
×9=3，然后利用反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义得|k|=3，易得k=6．【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，
设反比例函数解析式为y=（k＞0），
∵A、B两点的横坐标分别是a、2a，
∴A、B两点的纵坐标分别是、，
∵AD∥BE，
∴△CEB∽△CDA，
∴===，。