等比数列的前n项和优质课比赛课件

a1 5, q 110% 1.1, Sn 30
于是得到 5(11.1n ) 30.
Sn
a1(1 qn ) 1 q
1 1.1
整理后，得 1.1n 1.6
n lg 1.6 0.2041 5 lg 1.1 0.0414
lg1.1n lg1.6 n lg1.1 lg1.6
答：5年内可以使总产量达到30万吨.
和
知三求二
思考
远望巍巍塔七层，红光点点倍加增。 其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
这首古诗给大家呈现一 幅美丽的夜景的同时，也留 给了大家一个数学问题，你 能用今天所学的知识求出这 首古诗的答案吗？
第一层 n=1 第二层 n=2
… ……
思考
…… ……
第七层 n=7
……
数学建模：
已知等比数列{an}，公比q=2，n=7, S7=381,求a1
Thank you！
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等比数列的前n项和
想一想
和S设n 等a比1数列a2an公 比a为n ，q如，何它用的a前1,nq项, n
或 an来表示S n ？
问题讲解
错位相减法1 错位相减法2
等等比比数数列列{{aan}n,}公,公比比为为qq,它,它的的前前n n项项和和
SSnn aa11a1aq2a1qa23a1qann21 a1aqnn，1 qqSSnn a1aq2a1qa23a1qann21a1qann1aa1qnqn ，
(1(1 q)qS)nSnaa1 1aan1qq. n
当当qq11时时, sSnn nnaa11,
当当qq11时时, sSnna1a(1111qqaqnn)q .
例1、 求下列等比数列前８项和：
1,1,1, 1 2 4 8 16
解： 请学生填空
a1 (
1 2
), q (
1 2
), n (
8)
1 [1 (1 )8 ]
S8
2
2 1 1
2
1 (1)8 2
255 256
例２、已知等比数列 {an }的前4项和是 S4 40 ，公比
q 3 ，求首项 a1
解： 请学生填空
S4 40, q 3, n 4
S4
a1(1 qn 1 q
)
a1 1 34 13
40
a1 1
1 21 22 23 L 263
1 (1 264 ) 264 1 1 2
= 18446744073709551615(粒).
算
一
算
如果按1000颗麦粒 40克计算，这里大约有 700_0_亿_吨__麦粒；如果按人 均每天吃_10_0_0_克__粮食计 算,此棋盘上的粮食可 供全世界___7_0_亿人吃 上__27_4__年.
等比数列的前n项和例题3 第一年为5万吨，
例3 某制糖厂今年制糖5万吨，如果平均每年的第产二量年比为上
一年增加10%，那么从今年起，几年内可以使总产5量+5达×到103%0 =
万吨（保留到个位）.
5（1+10%）
解： 由题意可知，这个糖厂从今年起，平均每年的产量（万
吨）组成一个等比数列， 记为 an
①
ห้องสมุดไป่ตู้
2S64= 2+4+8+ ‥‥ ‥+263 + 264 ，
②
② －① 得S64= 264－1.
错位相减
当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时， 国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒 全拿来，也满足不了那位宰相的要求.
那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？ 第第 第 第 第
1 2 3 4 ……64 格格 格 格 格
等比数列的前n项和（1）
每个格子里放
…
的麦粒数都是
人陛你什赏几直前放搞下到一想么赐的粒第个定的赏子得样？6格麦24.倍小子个到的就，里格
OK
?
请问:国王需准备多少麦粒才能满足发明者的要求? 他能兑现自己的诺言吗?
上述问题实际上是求1,2,4,8‥‥263 这个等比数列的和.
令S64=1 +2+4+8+ ‥‥ ‥+263，
练习: 已知 {an } 是等比数列，请完成下表：
题号
a1
q
n
Sn
(1)
3
2
6
?
(2)
?
3
5
242
练习: 已知 {an } 是等比数列，请完成下表：
题号
a1
q
n
Sn
(1)
3
2
6
189
(2)
2
3
5
242
解：(1) a1 3, q 2, n 6
S6
31 26 1 2
3 26 1
189
回顾反思 我们学到了什么？
1.等比数列的前n项和公式； 2.公式的推导方法； 3.公式的简单应用——知三求二.
q≠1,q=1 分类讨论
有了这样一个公式, 我们可以解决哪些问题?
需注意什么?
Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
，q
1，或
Sn
a1 anq 1 q
，q
1，
na1，q 1.
na1，q 1.
(2) S5 242 , q 3, n 5
S5
a1 1 35 13
242
a1 2
练习: 已知 {an } 是等比数列，请完成下表：
题号
a1
q
n
Sn
(1)
3
2
6
189
(2)
2
3
5
242
在等比数列的通项公式和前n 项和公式中涉及到a1、q、 n、Sn这四个量,知三可求一.体现方程的思想