(完整版)向量及向量的基本运算
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全向量是线性代数的重要概念，它具有方向和大小，并且可以进行各种基本运算，包括加法、减法、数量乘法、点乘、叉乘等等。
在本文中，我将详细介绍向量的基本运算公式，并给出详细的解释和推导。
1.向量的加法向量的加法是指两个向量相加，得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
设有两个向量A和B，其分量表示为A=(a1, a2, ..., an)和B=(b1, b2, ..., bn)。
则向量A和B的加法运算可以表示为：A +B = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)2.向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法可以通过向量的加法和数量乘法来表示。
设有两个向量A和B，其分量表示为A=(a1, a2, ..., an)和B=(b1, b2, ..., bn)。
则向量A和B的减法运算可以表示为：A-B=A+(-B)= (a1 - b1, a2 - b2, ..., an - bn)3.向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个标量与向量的每个分量相乘，得到一个新的向量。
设有一个向量A，其分量表示为A=(a1, a2, ..., an)，以及一个标量k。
则向量A的数量乘法可以表示为：kA = (ka1, ka2, ..., kan)4.向量的点乘向量的点乘是指将两个向量的对应分量相乘，并将结果相加。
向量的点乘得到的是一个标量。
设有两个向量A和B，其分量表示为A=(a1, a2, ..., an)和B=(b1, b2, ..., bn)。
则向量A和B的点乘运算可以表示为：A ·B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn5.向量的叉乘向量的叉乘是指将两个三维向量进行运算，得到一个新的向量。
向量的叉乘只适用于三维向量。
设有两个向量A和B，其分量表示为A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)。
则向量A和B的叉乘运算可以表示为：A×B=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)6.向量的单位化向量的单位化是指将一个向量除以其模长，得到一个长度为1的向量。
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全一、向量的定义与基本概念向量是具有大小和方向的量，可以用一个有序数对或有序三元组表示。
例如，二维平面上的向量（a，b）表示从原点出发，沿着横坐标轴正方向移动a 个单位，再沿着纵坐标轴正方向移动b个单位。
向量可分为有序实数对和有序复数对两种类型。
二、向量的加法与减法运算1.向量加法：两个向量相加，结果是一个新的向量，其大小等于两个向量的大小的和，方向与两个向量的方向相同。
例如，向量A（a1，b1）与向量B （a2，b2）相加，结果为向量C（a1+a2，b1+b2）。
2.向量减法：两个向量相减，结果是一个新的向量，其大小等于两个向量的大小的差，方向与减数的方向相反。
例如，向量A（a1，b1）与向量B（a2，b2）相减，结果为向量C（a1-a2，b1-b2）。
三、向量的数乘运算1.向量与实数的乘积：将一个实数k与一个向量A相乘，结果是一个新的向量，其大小为原向量A大小的k倍，方向与原向量A的方向相同。
例如，向量A（a，b）与实数k相乘，结果为向量（ka，kb）。
2.向量与复数的乘积：将一个复数k与一个向量A相乘，结果是一个新的向量，其大小为原向量A大小的|k|倍，方向与原向量A的方向相同。
例如，向量A（a，b）与复数k相乘，结果为向量（ka，kb）。
四、向量的标量积与向量积1.标量积：两个向量A（a，b）和B（c，d）的标量积为一个实数，计算公式为：A·B = a*c + b*d。
标量积满足交换律和结合律，可用于表示向量之间的相似程度。
2.向量积：两个向量A（a，b）和B（c，d）的向量积为一个新的向量，计算公式为：AB = (ad - bc，bc - ab)。
向量积满足右手法则，可用于表示两个向量之间的垂直关系。
五、向量的模与单位向量1.向量的模：向量A（a，b）的模为其横纵坐标平方和的平方根，计算公式为：|A| = √(a + b)。
2.单位向量：一个向量的模为1时，该向量称为单位向量。
向量的概念与运算
向量的概念与运算在数学中，向量是一个有方向和大小的量，常用来表示物体的位移、速度、力等。
本文将介绍向量的概念以及向量的基本运算。
一、向量的概念向量可以用箭头表示，箭头的指向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
通常用加粗的小写字母表示向量，例如a、b。
一个向量可以由一组有序的实数构成，这组有序的实数称为向量的分量。
例如，向量a可以表示为(a₁, a₂, ..., aₙ)，其中 a₁, a₂, ..., aₙ 是向量a的分量。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
设有向量a和向量b，它们的和表示为a + b，其分量的运算规则为：(a₁+b₁, a₂+b₂, ..., aₙ+bₙ)。
例如，设有向量a=(2, 4)和向量b=(1, 3)，则a + b = (3, 7)。
2. 向量的减法向量的减法可以看作是加法的逆运算。
设有向量a和向量b，它们的差表示为a - b，其分量的运算规则为：(a₁-b₁, a₂-b₂, ..., aₙ-bₙ)。
例如，设有向量a=(3, 8)和向量b=(2, 5)，则a - b = (1, 3)。
3. 向量的数乘向量的数乘是指向量与一个实数的乘积。
设有向量a和实数k，它们的数乘表示为k * a，其分量的运算规则为：(k * a₁, k * a₂, ..., k *aₙ)。
例如，设有向量a=(1, 2, 3)和实数k=2，则k * a = (2, 4, 6)。
4. 向量的数量积（内积）向量的数量积是指两个向量的对应分量相乘后再相加的结果。
设有向量a=(a₁, a₂, ..., aₙ)和向量b=(b₁, b₂, ..., bₙ)，它们的数量积表示为a · b，计算公式为：a · b = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + ... + aₙ * bₙ。
例如，设有向量a=(1, 2, 3)和向量b=(2, 3, 4)，则a · b = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 = 20。
向量与向量运算
向量与向量运算向量是数学中的一个重要概念，它在各个学科领域有着广泛的应用和意义。
向量可以用来描述物体的位移、力量的大小和方向等一系列具有连续性的物理量。
本文将介绍向量的定义、性质以及一些常见的向量运算。
1. 向量的定义和表示向量是有大小和方向的量。
它可以由有序的数对表示，也可以用一个带上箭头的字母表示。
例如，向量a可以表示为(a₁, a₂, a₃)，也可以表示为→a。
2. 向量的性质- 大小（模）：向量的大小可以由勾股定理得出。
对于向量→a=(a₁, a₂, a₃)，它的大小记作|→a|，可以计算为：|→a| = √(a₁²+ a₂²+ a₃²)。
- 方向：向量的方向可以通过角度或者方向余弦来描述。
角度可以用夹角的形式表示，方向余弦可以用三个数值表示。
- 平行和共线性：如果两个向量的方向相同或者相反，且大小相等，则这两个向量是平行的。
如果两个向量不仅平行，而且共线，即在同一直线上，则这两个向量是共线的。
3. 向量的运算- 向量加法：向量加法满足交换律和结合律。
对于向量→a=(a₁, a₂, a₃)和向量→b=(b₁, b₂, b₃)，它们的和可以计算为：→a+→b=(a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)。
- 向量减法：向量减法也满足交换律和结合律。
向量→a和向量→b的差可以计算为：→a-→b=(a₁-b₁, a₂-b₂, a₃-b₃)。
- 数乘：向量与一个实数（标量）相乘后，向量的大小会相应改变。
向量→a与实数k的乘积记作k→a，可以计算为：k→a=(ka₁, ka₂,ka₃)。
- 点积：向量的点积是一种重要的运算，它将两个向量映射为一个标量。
对于向量→a=(a₁, a₂, a₃)和向量→b=(b₁, b₂, b₃)，它们的点积记作→a·→b，可以计算为：→a·→b=a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。
- 叉积：向量的叉积是向量运算中的另一种重要形式。
向量的基本运算与性质
向量的基本运算与性质在数学中，向量是一个有方向和大小的量。
向量可以进行各种基本运算，并且具有一些特殊的性质。
本文将介绍向量的基本运算和性质。
一、向量的表示和定义向量可以用多种方式进行表示，最常见的是使用箭头符号→在字母上方表示一个向量。
例如，向量a可以表示为→a。
向量还可以用坐标形式表示，如(a1,a2,a3)。
在三维空间中，向量通常表示为一个由起点和终点确定的有向线段。
向量有大小（模长）和方向，可以通过两点之间的差值来表示。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量按照相应的对应分量相加得到一个新的向量。
设有两个向量→a=(a1,a2,a3)和→b=(b1,b2,b3)，则它们的和为→a+→b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)。
2. 向量的减法向量的减法是指将两个向量按照相应的对应分量相减得到一个新的向量。
设有两个向量→a=(a1,a2,a3)和→b=(b1,b2,b3)，则它们的差为→a-→b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)。
3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量的每个分量都乘以一个标量得到一个新的向量。
设有一个向量→a=(a1,a2,a3)和一个标量k，那么它们的数量乘积为k→a=(ka1,ka2,ka3)。
三、向量的性质1. 交换律向量的加法满足交换律，即→a+→b=→b+→a。
这意味着向量的加法顺序可以交换，不会改变结果。
2. 结合律向量的加法满足结合律，即(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。
这意味着向量的加法可以按照不同的顺序进行，结果不会改变。
3. 零向量零向量是指所有分量都为0的向量，通常表示为→0=(0,0,0)。
对于任意向量→a，有→a+→0=→0+→a=→a。
4. 相反向量对于任意向量→a，存在一个相反向量-→a，使得→a+(-→a)=(-→a)+→a=→0。
其中-→a的每个分量都是→a对应分量的相反数。
5. 数量乘法的性质数量乘法满足结合律和分配律。
向量的运算的所有公式
向量的运算的所有公式向量运算是数学中的一个重要概念，它可以用来描述力学、物理、几何等领域中的各种现象。
本文将介绍向量的基本运算公式，涵盖向量的加法、减法、数乘、点积、叉积等运算。
1.向量的加法：向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个向量A 和B，它们的加法可以表示为：A+B=(A1+B1,A2+B2,...,An+Bn)其中，A1、A2...An和B1、B2...Bn分别是向量A和B的各个分量。
2.向量的减法：向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有两个向量A和B，它们的减法可以表示为：A-B=(A1-B1,A2-B2,...,An-Bn)其中，A1、A2...An和B1、B2...Bn分别是向量A和B的各个分量。
3.向量的数乘：向量的数乘是指将一个向量的每个分量乘以一个常数得到一个新的向量。
设有一个向量A和一个实数k，它们的数乘可以表示为：kA=(kA1,kA2,...,kAn)其中，A1、A2...An是向量A的各个分量，k是一个实数。
4.向量的点积（内积）：向量的点积是指将两个向量的对应分量相乘再求和得到一个标量。
设有两个向量A和B，它们的点积可以表示为：A·B=A1B1+A2B2+...+AnBn其中，A1、A2...An和B1、B2...Bn分别是向量A和B的各个分量。
5.向量的叉积（外积）：向量的叉积是指将两个向量进行运算得到一个新的向量。
设有两个三维向量A和B，它们的叉积可以表示为：A×B=(A2B3-A3B2,A3B1-A1B3,A1B2-A2B1)其中，A1、A2、A3和B1、B2、B3分别是向量A和B的三个分量。
6.向量的模（长度）：向量的模是指向量的大小或长度，可以通过向量的分量计算得到。
设有一个n维向量A，它的模可以表示为：A，=√(A1^2+A2^2+...+An^2)7.向量的投影：向量的投影是指将一个向量在另一个向量上的投影，得到一个标量。
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结向量是数学中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理等领域。
下面是关于向量的知识点和公式总结：一、向量的定义：1.向量是具有大小和方向的量，用箭头上面一点标记，如A、B等。
2. 向量可以表示为坐标形式（a1, a2, ..., an）或分量形式ai。
二、向量的运算：1.向量加法：向量A+B的结果是一个新的向量C，C的坐标等于A和B坐标对应位置元素的和。
2.向量减法：向量A-B的结果是一个新的向量C，C的坐标等于A和B坐标对应位置元素的差。
3.数乘：向量A乘以一个实数k，结果是一个新的向量B，B的坐标等于A每个坐标位置的值乘以k。
4.内积（点积）：向量A和向量B的点积是一个实数，表示为A·B，等于A和B坐标对应位置元素的乘积和，再求和。
5.外积（叉积）：向量A和向量B的叉积是一个新的向量C，C垂直于A和B所在平面，其大小等于A和B构成的平行四边形的面积，方向由右手定则确定。
三、向量的性质：1.数乘分配律：k(A+B)=kA+kB2.数乘结合律：(k1k2)A=k1(k2A)3.负向量：-A=(-1)A4.零向量：所有分量均为0的向量，用0或O表示，满足A+0=A。
5.单位向量：长度为1的向量，用u表示。
6.平行向量：方向相同或相反的向量。
7.相等向量：长度相等且方向相同的向量。
四、向量的模和单位向量：1.向量的模（长度）：向量A的模表示为，A，定义为各个分量平方和的平方根。
A，= √(a1^2 + a2^2 + ... + an^22.单位向量：长度为1的向量，可将向量A除以其模得到单位向量u。
五、向量的投影：1.向量的投影是指在特定方向上的长度，用于量化向量在方向上的大小。
2.向量A在向量B上的投影等于A和B的内积除以B的模。
projB(A) = (A·B)/，B六、向量的夹角：1.向量的夹角是指两个向量之间的角度。
2.余弦公式：向量A和向量B的夹角θ满足如下关系：cosθ = (A·B)/(，A，B，)3. 内积性质：若A和B的夹角为θ，则cosθ = cos(θ+2πn)，其中n为整数。
向量的基本概念与运算
向量的基本概念与运算向量是数学中的一种重要概念，它可以用来表示大小和方向的物理量。
本文将介绍向量的定义、基本运算以及向量的性质。
一、向量的定义在数学中，向量通常用有箭头的小写字母表示，比如a，b等。
向量有大小和方向两个属性，可以用有序数对表示。
例如，向量a可以表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x轴方向的分量，a₂表示向量在y轴方向的分量。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法可以用几何法或分量法进行计算。
几何法就是将向量的起点放在另一个向量的终点，然后连接起点与终点，得到一条新的向量。
2. 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法来实现，即将减去的向量取负，然后与被减向量进行相加。
3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是将向量的每个分量都乘以一个常数。
比如向量a 乘以常数k，可以表示为ka=(ka₁, ka₂)。
4. 向量的点乘向量的点乘也称为数量积，表示为a·b或a⋅b，在二维空间中可以计算为a·b=a₁b₁+a₂b₂。
点乘的结果是一个标量，它表示的是两个向量之间的夹角的余弦值。
5. 向量的叉乘向量的叉乘也称为向量积，表示为a×b，在二维空间中由于没有第三个方向，所以叉乘结果为0。
三、向量的性质1. 向量加法的交换律和结合律向量加法满足交换律，即a+b=b+a；同时也满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。
2. 向量数量乘法的分配律向量数量乘法满足分配律，即k(a+b)=ka+kb。
3. 向量的点乘的性质向量的点乘满足交换律，即a·b=b·a；同时也满足结合律，即(a·b)·c=a·(b·c)。
4. 向量的点乘与夹角夹角为θ的两个非零向量a和b的点乘满足a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模。
5. 垂直向量的点乘如果两个向量a和b垂直，则它们的点乘为0，即a·b=0。
(完整版)向量公式汇总
向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
向量的基本概念及运算
向量的基本概念及运算向量是数学中常用的表示量的工具，它具有大小和方向两个属性。
在物理学、几何学、工程学等学科中广泛应用。
本文将介绍向量的基本概念以及常见的运算方法。
一、向量的基本概念向量可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
一般用大写字母加上箭头来表示向量，如A、B等。
向量的起点可以是任意的，终点也可以是任意的，只要保持方向和大小一致即可。
二、向量的表示方法1. 平面向量的表示平面向量由两个有序实数构成，可以表示为A = (x, y)，其中x和y 分别表示向量沿x轴和y轴的分量。
2. 空间向量的表示空间向量由三个有序实数构成，可以表示为A = (x, y, z)，其中x、y和z分别表示向量沿x轴、y轴和z轴的分量。
三、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足三角形法则，即将两个向量首尾相接，用第一个向量的起点和第二个向量的终点构成一个新的向量。
A +B = (x1 + x2, y1 + y2)A +B +C = A + (B + C) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3)2. 向量的减法向量的减法表示为A - B，即A + (-B)，其中-B表示B的反向量。
向量的减法可以转换为向量的加法进行计算。
A -B = (x1 - x2, y1 - y2)3. 向量的数乘向量的数乘指将向量的每个分量都乘以同一个实数。
数乘后的向量与原向量方向相同（当实数大于0时），或反向（当实数小于0时），大小为原向量大小的绝对值与实数的乘积。
kA = (kx, ky)四、向量的性质1. 向量的模向量的模表示向量的大小，表示为|A|。
计算公式为：|A| = √(x^2 + y^2) （平面向量）|A| = √(x^2 + y^2 + z^2) （空间向量）2. 零向量零向量是指模为零的向量，用0表示。
零向量的方向可以是任意的，但是定义上无法确定。
3. 单位向量单位向量是指模为1的向量，可以通过将向量除以模得到。
(完整版)向量知识点总结
坐标表示坐标运算←→−− 3. 向量的加法、减法与数乘（1）向量的加法——三角形法则或平行四边形法则如图：向量加法的多边形法则如图，求a b c→+→+→（2）向量的减法：a b a b a b →-→=→+-→→→()，即向量加上的相反向量。
（的箭头指向被减向量）a b →-→ （3）实数与向量的乘积λλλλλλλλa a a a a a a a →→=→>→<→=→=→⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→→⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪长度·方向：时与同向时与反向时，∥||||||0000※∥（）存在唯一实数，使b a a b a→→→≠→⇔→=→0λλ 4. 向量的运算法则（加、减、数乘）设向量，，及实数，，则：a b c →→→λμ ①a b b a→+→=→+→②()()a b c a b c →+→+→=→+→+→③()λμλμ+→=→+→a a a④λλλ()a b a b →+→=→+→ ⑤·||||||λλa a →=→⑥||||||||||a b a b a b →-→≤→±→≤→+→ （此不等式表示三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，也称为三角不等式。
）5. 平面向量基本定理（向量的分解定理）e e a 12→→→，是平面内的两个不共线向量，那么对该平面内任一向量，存在唯一实数对，，使得。
λλλλ121122a e e →=→+→（这个定理表明：平面内的任一向量都可以沿两个不共线向量分解为唯一一对向量的和。
叫做向量，的线性组合，，叫做表这一平面内所λλ11221212e e e e e e →+→→→→→有向量的一组基底。
①基底不唯一，关键是不共线②基底给定，分解形式唯一⎛⎝ ⎫⎭⎪应用：设，不共线，点在直线上（即、、三点共线）OA OB P AB A B P →→⇔→=→+→+=∈OP OA OB R λμλμλμ且（，）1（二）向量的坐标运算()()（），，31111λλλλa x y x y →==（三）平面向量的数量积1. 数量积的概念设向量，，∠叫做向量与的夹角。
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全（实用版）目录1.向量的加法和减法2.向量的数乘3.向量的点积4.向量的叉积5.向量的模和夹角6.齐次坐标和变换正文一、向量的加法和减法向量的加法和减法是向量运算中最基本的运算，其定义和规则与我们熟悉的数值加减法类似。
给定两个向量 A 和 B，其加法和减法定义如下：A +B = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)A -B = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)二、向量的数乘向量的数乘是向量与标量的乘积，其结果是一个向量，其模长是原向量模长的 k 倍，方向与原向量相同或相反，k 为标量。
给定一个向量 A 和一个标量 k，其数乘定义如下：kA = (ka1, ka2, ka3)三、向量的点积向量的点积，又称内积，是一种计算两个向量之间相似度的方法。
其结果是一个标量，其值等于两个向量模长的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
给定两个向量 A 和 B，其点积定义如下：A·B = |A|*|B|*cosθ四、向量的叉积向量的叉积，又称外积，是一种计算两个向量之间垂直度的方法。
其结果是一个向量，其模长等于两个向量模长的乘积与它们的夹角的正弦值的乘积，方向垂直于两个向量构成的平面。
给定两个向量 A 和 B，其叉积定义如下：A ×B = (a2*b3 - a3*b2, a3*b1 - a1*b3, a1*b2 - a2*b1)五、向量的模和夹角向量的模，又称向量的长度，是向量的一种度量，等于向量对应端点之间的距离。
给定一个向量 A，其模定义如下：|A| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)向量的夹角，是向量 A 与向量 B 之间的角度，其范围在 0 到π之间。
给定两个向量 A 和 B，它们的夹角定义如下：θ = arccos(A·B / (|A|*|B|))六、齐次坐标和变换齐次坐标是一种用于表示向量的简化方法，它可以将向量的三个分量表示为一个三个元素的序列。
向量与向量运算
向量与向量运算向量是数学中常用的概念，用于描述空间中的方向和大小。
向量可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量之间可以进行运算，包括加法、减法和数乘等。
一、向量的定义向量是由一组有序数排列而成的。
常用的表示方法有行向量和列向量两种形式。
1.1 行向量行向量是将一组有序数按照行的形式排列而成的向量，用小括号或方括号表示。
例如：向量a=(a1, a2, a3)。
1.2 列向量列向量是将一组有序数按照列的形式排列而成的向量，用小括号或方括号表示。
例如：向量b=(b1, b2, b3)。
二、向量的运算2.1 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
例如，给定向量a=(a1, a2, a3)和向量b=(b1, b2, b3)，则它们的和为：a +b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)。
2.2 向量的减法向量的减法可以视为加上该向量的负向量，即 a - b = a + (-b)。
例如，给定向量a=(a1, a2, a3)和向量b=(b1, b2, b3)，则它们的差为：a -b = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)。
2.3 数乘数乘是指一个向量乘以一个实数。
即向量a乘以实数k，得到新向量ka。
例如，给定向量a=(a1, a2, a3)，实数k，则它们的数乘为：ka = (ka1, ka2, ka3)。
2.4 向量的数量积向量的数量积（又称点积或内积）是一种常用的向量运算，结果是一个实数。
给定向量a=(a1, a2, a3)和向量b=(b1, b2, b3)，它们的数量积为：a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3。
2.5 向量的向量积向量的向量积（又称叉积或外积）是一种用于向量叉乘的运算，结果是一个新的向量。
给定向量a=(a1, a2, a3)和向量b=(b1, b2, b3)，它们的向量积为：a ×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。
高等数学向量及其运算PPT(“向量”文档)共40张可修改文字
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
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•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a;
(2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
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的三角形是等腰三角形 .
思考: 五、向量的模、方向角、投影
“”
以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 有
例3 已知两点A(x1 y1 z1)和B(x2 y2 z2)以及实数
1
(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
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任给向量r, 存在点M及xi、yj、zk, 使
则 r =OM = xi + yj + zk .
• 上式称为向量r的坐标分解式. • xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.
点M、向量r与三个有序x、y、z之
间有一一对应的关系
M r =OM = xi + yj + zk (x, y, z) .
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM -OA , MB =OB-OM ,
=OM -OA , MB =OB-OM ,
因此 OM -OA=(OB-OM ) ,
从而
OM
=
1
1+
(OA+
OB)
(x,
y,
z)
1。向量及向量的基本运算
例4,设a , ,
b
是两个不共线的非零向量, 是两个不共线的非零向量,
⑴若 OA = 2a b, = 3a + b, = a 3b, OB OC 求证: , , 三点共线 三点共线; 求证:A,B,C三点共线; 变化: 是不共线的向量,已知向量 变化:设e1 , e2是不共线的向量 已知向量
AB = 2e1 + k e2 , CB = e1 + 3e2 , CD = 2e1 e2
AB// AC A, B,C三点共线
例1,判断下列各命题是否正确 , (1)零向量没有方向 错 (2)若 a = b , 则a = b 错 零向量没有方向 若 (3)单位向量都相等 错(4) 向量就是有向线段 错 单位向量都相等 (5)两相等向量若共起点 则终点也相同对 两相等向量若共起点,则终点也相同 两相等向量若共起点 (6)若a = b , = c,则 a = c ; 若 对 b (7)若a // b ,b // c ,则 a // c 错 若 错 (8) 四边形 四边形ABCD是平行四边形 则AB = CD, BC = DA 是平行四边形,则 是平行四边形 (9)已知 (3,7),B(5,2),将 AB 按向量 a = 已知A( , ) 已知 ( , ) 的坐标为( 错 ) (1,2)平移后得到的向量 A′B ′ 的坐标为(3,-3) ) - a (10) = b 的充要条件是| a |=| b | 且 a // b ; ) 错
2)向量加法:求两个向量和的运算叫 )向量加法: 做向量的加法.设 做向量的加法. 则 AB = a, BC = b . 向量加法有"三角形法则" 首尾相接) 向量加法有"三角形法则"(首尾相接) 平行四边形法则" +BC= AC 与"平行四边形法则" (起点相同) a+b = AB 起点相同) 说明:( :(1) 说明:( ) ; 2)向量加法满足交换律与结合律; )向量加法满足交换律与结合律;
(完整版)向量及向量的基本运算
向量及向量的基本运算一、教学目标：1 •理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件2 •会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题. 不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则.三、教学过程：（一）主要知识：1）向量的有关概念①向量：既有大小又有方向的量。
向量一般用a,b,c……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |。
②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行。
＜注意与0的区别＞③单位向量：模为1个单位长度的向量。
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上。
相反向量：我们把与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量。
记作-a。
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。
相等向量经过平移后总可以重合，记为 a b。
2）向量加法①求两个向量和的运算叫做向量的加法。
设AB a, BC b，则a + b = AB BC = AC。
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。
说明：（1）0 a a 0 a ；（2）向量加法满足交换律与结合律；3）向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量。
记作a,零向量的相反向量仍是零向量。
关于相反向量有：（i）（ a）= a ; （ii）a+（a ）=（a）+ a =0 ;（iii）若a、b是互为相反向量，则a = b ,b = a ,a + b =0。
②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：a b a （ b）。
求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
a b的作图法：a b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）。
注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
向量的基本运算与性质
向量的基本运算与性质向量是数学中一种常见的概念，它在几何、代数和物理等领域中起着重要的作用。
本文将介绍向量的基本运算与性质，包括向量的表示方法、向量的加法、向量的数量乘法、向量的点乘和向量的叉乘等。
一、向量的表示方法向量通常用一个有方向的线段来表示，有起点和终点。
例如，用A 和B表示向量AB，其中A为起点，B为终点。
在坐标系中，可以用有序数对(x, y)表示一个二维向量，即向量AB = (x, y)。
同样地，一个三维向量可以用有序数对(x, y, z)表示。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个向量AB和CD，其起点相同，终点分别为B和D。
向量的加法可以用三角形法则或平行四边形法则来表示。
即将向量AB和向量CD依次连接起来，然后连接起点和终点得到一个新的向量AD，即向量AD = 向量AB + 向量CD。
三、向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。
设有一个向量AB，将其乘以实数k，即得到向量kAB。
数量乘法改变了向量的长度和方向，如果k大于0，那么新的向量与原向量的方向相同；如果k小于0，那么新的向量与原向量的方向相反。
四、向量的点乘向量的点乘是指将两个向量的对应分量相乘，并将结果相加得到一个数。
设有两个向量AB和CD，其分别以坐标表示为向量AB = (x1,y1)和向量CD = (x2, y2)，则向量的点乘为x1*x2 + y1*y2。
点乘的结果为一个数，表示两个向量在空间中的夹角余弦值。
五、向量的叉乘向量的叉乘是指将两个向量的乘积向量与原来的两个向量垂直，并符合右手定则。
设有两个向量AB和CD，其分别以坐标表示为向量AB = (x1, y1, z1)和向量CD = (x2, y2, z2)，则向量的叉乘为向量AB ×向量CD = (y1*z2 - z1*y2, z1*x2 - x1*z2, x1*y2 - y1*x2)。
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向量及向量的基本运算一、教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识.二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则．三、教学过程：（一）主要知识： 1）向量的有关概念①向量：既有大小又有方向的量。
向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：。
向量的大小即向量的模（长度），记作||。
②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行。
<注意与0的区别>③单位向量：模为1个单位长度的向量。
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上。
相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。
记作-a。
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。
相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 。
2）向量加法①求两个向量和的运算叫做向量的加法。
设b a,，则a +b = =。
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。
说明：（1）a a a00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 3)向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。
记作a,零向量的相反向量仍是零向量。
关于相反向量有： （i ）)(a =a ； (ii) a +(a )=(a )+a =0；(iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =0 。
②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差，记作：)(b a b a 。
求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
b a 的作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）。
注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
4)实数与向量的积①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a的方向相反；当0 时，0a ，方向是任意的。
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。
实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则①λ(μa )=(λμ) a②(λ+μ) a =λa +μa③λ(a +)=λa+λ 5)两个向量共线定理向量b 与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。
6)平面向量的基本定理如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, 使：2211e e a 其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
7)特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算。
（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。
（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。
（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。
（二）主要方法：1．充分理解向量的概念和向量的表示； 2．数形结合的方法的应用；3．用基底向量表示任一向量唯一性；4．向量的特例0r和单位向量，要考虑周全．（三）例题分析：例1、判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)b a 则 (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a ，c b ，则c a； (7)若b a //，c b //，则c a// (8)若四边形ABCD 是平行四边形,则DA BC CD B ,A(9)已知A （3，7），B （5，2），将按向量=（1，2）平移后得到的向量B A 的坐标为（3，－3）(10）b a 的充要条件是||||b a且b a //；解：(1) 不正确，零向量方向任意, (2) 不正确，说明模相等,还有方向 (3) 不正确，单位向量的模为1,方向很多 (4) 不正确，有向线段是向量的一种表示形式 (5)正确， （6）正确，向量相等有传递性 （7）不正确，因若0 b ，则不共线的向量ca ,也有0//a，c //0。
(8) 不正确, 如图DA BC CD B ,A （9）不正确，∵a =（1，2），∴平移公式是21y y x x ，将A （3，7），B （5，2）分别代入可求得)4,6(),9,4(B A ，故B A =（6,4）－（4,9）=（2,－5）。
（10）不正确，当b a //，且方向相反时，即使||||b a，也不能得到b a ；[点评]正确理解向量的有关概念例2、如图平行四边形ABCD 的对角线OD,AB 相交于点C ，线段BC 上有一点M 满足BC=3BM,线段CD 上有一点N 满足CD ＝3CN,设MN ON OM b a b OB a OA ,,,,,表示试用解：b a OB OA BA BM BA BC BM616161,6131 b a BM OB OM 6561 . OD CD ON CD CN 3234,31b a OB OA OD ON 323232 b a OM ON MN 6121[点评]根据向量的几何加减法则,能对图形中的向量进行互相表示练习: △ABC中,.,//,32N DE BC AM E AC BC DE AB AD 于边上中线交是于交,,b AC a AB 设 用AN AM DN DE BC AE b a ,,,,,,分别表示向量.如图 解：a b DN a b DE a b BC b AE31,32,,32a b AN a b AM 31,21例3、一条渔船距对岸4km ，以2km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速．解：设AB 表示垂直于对岸的速度,BC 表示水流速度,则AC 为实际速度 航行时间为4km ÷2km/h=2h在△ABC 中3242 BC AC AB所以, 河水的流速为h km /32[点评]求合力或分力,合速或分速问题用向量解是一种常见问题,要善于运用平行四边形和三角形法则例4、在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，用向量的方法证明： DE 平行且等于0.5BC分析:要证明DE 平行且等于0.5BC,只要BC DE 21 解：如图AB Ac BC AD AE DE , 又D,E 为中点AC AE AB AD 21,21即BC AB AC AD AE DE 2121所以DE 平行且等于210.5BC[点评]几何问题可以转化为向量问题的证明,往往会变的简单明了练习: 已知G 是△ABC 的重心，求证：0GC GB GA证明：以向量GC GB ,为邻边作平行四边形GBEC ，则GD GE GC GB 2 ，又由G 为△ABC 的重心知GD AG 2 ，从而GD GA 2 ，∴022GD GD GC GB GA 。
例5、设21,e e 是不共线的向量,已知向量2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB ,若A,B,D 三点共线,求k 的值 分析:使BD AB解：214e e CB CD BD , 使BD AB )4(22121e e e k e 得84,2 k k[点评]共线或平行问题,用向量或坐标平行的充要条件解决例3． 经过OAB 重心G 的直线与,OA OB 分别交于点P ，Q ，设,OP mOA OQ nOB u u u r u u u r u u u r u u u r ，,m n R ，求11n m的值。
解：设,OA a OB b u u u r r u u u r r ，则1()3OG a b u u u r r r，PQ nb ma u u u r r r11()33PG OG OP m a b u u u r u u u r u u u r r rG •QOBPA由,,P G Q 共线，得存在实数 ，使得PQ PG u u u r u u u r ，即11()33nb ma m a b r r r r从而1()313m m n，消去 得：113n m（四）巩固练习：1．已知梯形ABCD 中，||2||AB DC u u u r u u u r ，M ，N 分别是DC 、AB 的中点，若AB u u u r 1e r ，2AD e u u u r r ，用1e r ，2e r 表示DC u u u r 、BC uuur 、MN u u u u r ．解：（1）1122e DC AB u ru u u r u u u r（2）211122BC BA AC AB AC AD DC AB AD AB e e u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u r（3）1211114244MN MD DA AN AB AD AB AB AD e e u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u r u u r2． （1）设两个非零向量1e 、2e 不共线，如果12121223,623,48AB e e BC e e CD e e u u u r u r u u r u u u r u r u u r u u u r u r u u r, 求证：,,A B D 三点共线.（2）设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e u u u r u r u u r u u u r u r u u r u u u r u r u u r,若,,A B D 三点共线，求k 的值.（1）证明：因为1212623,48BC e e CD e e u u u r u r u u r u u u r u r u u r所以121015BD e e u u u r u r u u r又因为1223AB e e u u u r u r u u r 得5BD AB u u u r u u u r 即//BD AB u u u r u u u r 又因为公共点B所以,,A B D 三点共线；（2）解：121221324DB CB CD e e e e e e u u u r u u u r u u u r u r u u r u r u u r u u r u r122AB e ke u u u r u r u u r 因为,,A B D 共线所以//AB DB u u u r u u u r 设DB AB u u u r u u u rA MD CN B所以212k即12k ；四、小结：1）向量的有关概念: ①向量②零向量③单位向量④平行向量（共线向量）⑤相等向量2）向量加法减法:3)实数与向量的积4)两个向量共线定理5)平面向量的基本定理, 基底五、作业：。