高中数学一轮复习《1集合与充要条件》教学案(可编辑修改word版)

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高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系、充分条件与必要条件教学案理新人教A版

1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件考纲要求1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以__________________叫做命题，其中判断为真的语句叫做__________，判断为假的语句叫做__________．2．四种命题及其关系(1)四种命题的表示及相互之间的关系．(2)四种命题的真假关系①互为逆否的两个命题__________(__________或__________)． ②互逆或互否的两个命题__________． 3．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，那么p 是q 的__________，q 是p 的__________． (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，那么p 是q 的__________，记作__________．1．若命题p 的逆命题是q ，否命题是r ，则命题q 是命题r 的( )． A ．逆命题 B ．否命题 C ．逆否命题 D ．不等价命题2．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．43．(2012天津高考)设x ∈R ，则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2013山东青岛高三期中)已知a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a 3＞b 3”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．命题“如果x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆否命题为__________．一、四种命题及其关系【例1－1】(2012重庆高考)命题“若p ，则q ”的逆命题是( )． A ．若q ，则p B ．若⌝p ，则⌝q C ．若⌝q ，则⌝p D ．若p ，则⌝q【例1－2】(2012湖南高考)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )．A ．若α≠π4，则tan α≠1 B．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4方法提炼1．命题真假的判定：对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假．2．掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断真假性不容易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假．3．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念．如果原命题是“若p ，则q ”，那么这个原命题的否定是“若p ，则⌝q ”，即只否定结论；而原命题的否命题是“若⌝p ，则⌝q ”，即既否定命题的条件，又否定命题的结论．请做演练巩固提升1二、充分条件与必要条件的判定【例2－1】(2012湖北高考)设a ，b ，c ∈R ，则“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ”的( )．A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件【例2－2】是否存在实数m ，使得2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件？方法提炼判断充分条件、必要条件的方法 1．命题判断法设“若p ，则q ”为原命题，那么：(1)原命题为真，逆命题为假时，则p 是q 的充分不必要条件； (2)原命题为假，逆命题为真时，p 是q 的必要不充分条件； (3)原命题与逆命题都为真时，p 是q 的充要条件；(4)原命题与逆命题都为假时，p 是q 的既不充分也不必要条件． 2．集合判断法从集合的观点看，建立命题p ，q 相应的集合：p ：A ＝{x |p (x )成立}，q ：B ＝{x |q (x )成立}，那么：(1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，若AB 时，则p 是q 的充分不必要条件； (2)若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件，若BA 时，则p 是q 的必要不充分条件；(3)若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B 时，则p 是q 的充要条件．请做演练巩固提升2,3三、充分条件与必要条件的证明【例3】求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13.方法提炼1．证明充要性首先要分清谁是条件，谁是结论．在这里要注意两种说法：“p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”；前者p 是条件，后者q 是条件．2．证明分为两个环节，一是充分性，即由条件推结论；二是必要性，即由结论推条件．证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．请做演练巩固提升4等价思想在充要条件中的应用【典例】(12分)已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且⌝p 是⌝q的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．分析：(1)先求出p ，q 的解集，即将p ，q 化为最简；(2)再利用p ，q 间的关系列出关于m 的不等式或不等式组得出结论．规范解答：(方法一)由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，m ＞0，得1－m ≤x ≤1＋m ，(3分)∴⌝q ：A ＝{x |x ＞1＋m ，或x ＜1－m ，m ＞0}．(4分) 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴⌝p ：B ＝{x |x ＞10，或x ＜－2}．(7分) ∵⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，∴AB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，(10分)即m ≥9或m ＞9.∴m ≥9.(12分)(方法二)∵⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件， ∴p 是q 的充分而不必要条件．(3分)由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，m ＞0，得1－m ≤x ≤1＋m ，∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}．(6分) 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}．(8分) ∵p 是q 的充分而不必要条件， ∴PQ ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，(10分)即m ≥9或m ＞9.∴m ≥9.(12分)答题指导：本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．1．关于命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性，下列结论成立的是( )．A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真2．(2012浙江高考)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．直线l 1∥l 2的一个充分条件是( )． A ．l 1∥平面α，l 2∥平面αB ．直线l 1⊥直线l 3，直线l 2⊥直线l 3C ．l 1平行于l 2所在的平面D ．l 1⊥平面α，l 2⊥平面α4．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，且q是p的充分条件，则实数a的取值范围为( )．A．－1＜a＜6 B．－1≤a≤6C．a＜－1或a＞6 D．a≤－1或a≥65．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝__________.参考答案基础梳理自测知识梳理1．判断真假的陈述句真命题假命题 2．(2)①等价同真同假 ②不等价3．(1)充分条件必要条件 (2)充要条件 p ⇔q 基础自测1．C 解析：因为命题p 的逆命题是q ，即命题q 的逆命题是p ，又命题p 的否命题是r ，所以命题q 是命题r 的逆否命题，故选C.2．B 解析：原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题：若a ＞－6，则a ＞－3为假命题，则否命题也为假命题．故选B.3．A 解析：由2x 2＋x －1＞0，可得x ＜－1或x ＞12，∴“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的充分而不必要条件．4．C5．如果x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0 解析：“x ＝2且y ＝－1”的否定为“x ≠2或y ≠－1”，x －2＋(y ＋1)2＝0的否定为x －2＋(y ＋1)2≠0.故逆否命题为：“如果x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0”．考点探究突破【例1－1】A 解析：根据逆命题的定义，命题“若p ，则q ”的逆命题为“若q ，则p ”，故选A.【例1－2】C 解析：命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．【例2－1】A 解析：1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ac ＋ab abc ＝bc ＋ac ＋ab ≤b ＋c 2＋a ＋c2＋a ＋b2＝a ＋b ＋c (当且仅当“a ＝b ＝c ”时，“＝”成立)，但反之，则不成立(譬如a ＝1，b ＝2，c ＝3时，满足1a＋1b＋1c≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1)．【例2－2】解：欲使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件，只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－m 2⊆{x |x ＜－1，或x ＞3}，则只要－m2≤－1，即m ≥2.故存在实数m ，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件．【例3】证明：(1)充分性：∵0＜m ＜13，∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m ＞0，且3m ＞0，∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．(2)必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m >0，3m>0，∴0＜m ＜13.综合(1)(2)可知，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜13. 演练巩固提升1．D 解析：对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c＜0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx＋c ＜0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集非空时，可以有a ＞0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D.2．C 解析：l 1与l 2平行的充要条件为a ×2＝2×1且a ×4≠－1×1，得a ＝1，故选C.3．D 解析：平行于同一平面的两直线有三种位置关系，故A 错误；同理判断B ，C 错误，故D 正确．4．B 解析：设q ，p 表示的范围分别为集合A ，B ，则A ＝(2,3)，B ＝(a －4，a ＋4)．因为q 是p 的充分条件，则有A ⊆B ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，所以－1≤a ≤6.故选B. 5．3或4 解析：∵方程有实数根， ∴Δ＝16－4n ≥0. ∴n ≤4.原方程的根x ＝4±16－4n2＝2±4－n 为整数，则4－n 为整数．又∵n ∈N *，∴n ＝3或4.反过来，当n ＝3时，方程x 2－4x ＋3＝0的两根分别为1,3，是整数；当n ＝4时，方程x 2－4x ＋4＝0的两根相等且为2，是整数．。

北师大版版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用命题及其关系充分条件与必要条件教学案理

一、知识梳理１．命题在数学中，可以判断真假用文字或符号表达的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．２．四种命题及其关系（１）四种命题间的相互关系（２）四种命题的真假关系１两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；２两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．３．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q错误!pp是q的必要不充分条件p错误!q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p错误!q且q错误!p从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为：（１）若A⊆B，则p是q的充分条件；（２）若A⊇B，则p是q的必要条件；（３）若A＝B，则p是q的充要条件；（４）若A B，则p是q的充分不必要条件；（５）若A B，则p是q的必要不充分条件；（6）若A错误!B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．二、教材衍化１．命题“若x２>y２，则x>y”的逆否命题是________，是________命题（填“真”或“假”）．解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x２>y２，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x２≤y２”．答案：若x≤y，则x２≤y２假２．设x∈R，则“２—x≥0”是“（x—１）２≤１”的________条件．解析：２—x≥0，则x≤２，（x—１）２≤１，则—１≤x—１≤１，即0≤x≤２，据此可知：“２—x≥0”是“（x—１）２≤１”的必要不充分条件．答案：必要不充分３．原命题“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac２＞bc２”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：当c＝0时，ac２＝bc２，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac２＞bc２，则a＞b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题．综上所述，真命题有２个．答案：２一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）“x２＋２x—３<0”是命题．（）（２）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．（）（３）若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．（）（４）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（）（５）q不是p的必要条件时，“p错误!q”成立．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）√二、易错纠偏错误!错误!（１）命题的条件与结论不明确；（２）含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况；（３）对充分必要条件判断错误．１．命题“若a２＋b２＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________．答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a２＋b２≠0．２．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤0．３．条件p：x>a，条件q：x≥２．（１）若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________；（２）若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是________．解析：设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥２}，（１）因为p是q的充分不必要条件，所以A B，所以a≥２；（２）因为p是q的必要不充分条件，所以B A，所以a<２．答案：（１）a≥２（２）a<２四种命题的相互关系及真假判断（自主练透）１．命题“若x２<１，则—１<x<１”的逆否命题是（）Ａ．若x２≥１，则x≥１或x≤—１Ｂ．若—１<x<１，则x２<１Ｃ．若x>１或x<—１，则x２>１Ｄ．若x≥１或x≤—１，则x２≥１解析：选Ｄ．命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若﹁q，则﹁p”的形式，所以“若x２<１，则—１<x<１”的逆否命题是“若x≥１或x≤—１，则x２≥１”．１“若xy＝１，则x，y互为倒数”的逆命题；２“面积相等的两个三角形全等”的否命题；３“若m≤１，则x２—２x＋m＝0有实数解”的逆否命题；４“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题是（）Ａ．１２Ｂ．２３Ｃ．４Ｄ．１２３解析：选Ｄ．１原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝１”，是真命题；２原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；３若m≤１，Δ＝４—４m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；４由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故１２３正确．Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．４解析：选Ｃ．因为P＝错误!＝错误!{k∈Z}，Q＝错误!，所以P Q，所以原命题“x∈P，则x∈Q”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x∈Q，则x∈P”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为２．错误!（１）写一个命题的其他三种命题时需关注２点１对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；２若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．[提醒] 四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．（２）判断命题真假的２种方法１直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可；２间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．充分条件、必要条件的判断（师生共研）（１）（２0２0·郑州模拟）已知a，b都是实数，那么“b>a>0”是“错误!>错误!”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件（２）（２0２0·延安模拟）已知p：x＝２，q：x—２＝错误!，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件【解析】（１）若错误!>错误!，则错误!—错误!＝错误!>0．当0<a<b时，错误!>错误!成立；当a>0，b<0时，满足错误!>错误!，但0<a<b不成立．故“b>a>0”是“错误!>错误!”的充分不必要条件，故选Ａ．（２）当x—２＝错误!时，两边平方可得（x—２）２＝２—x，即（x—２）（x—１）＝0，解得x１＝２，x２＝１．当x＝１时，—１＝错误!，不成立，故舍去，则x＝２，所以p是q的充要条件，故选Ｃ．【答案】（１）A （２）C错误!判断充要条件的３种常用方法（１）定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．（２）等价法：利用A⇒B与﹁B⇒﹁A，B⇒A与﹁A⇒﹁B，A⇔B与﹁B⇔﹁A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（３）利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．[提醒] 判断充要条件需注意３点（１）要分清条件与结论分别是什么．（２）要从充分性、必要性两个方面进行判断．（３）直接判断比较困难时，可举出反例说明．１．（２0１9·高考天津卷）设x∈R，则“x２—５x<0”是“|x—１|<１”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．由x２—５x<0可得0<x<５．由|x—１|<１可得0<x<２．由于区间（0，２）是（0，５）的真子集，故“x２—５x<0”是“|x—１|<１”的必要而不充分条件．２．（２0２0·安徽淮南二模）设λ∈R，则“λ＝—３”是“直线２λx＋（λ—１）y＝１与直线6x＋（１—λ）y＝４平行”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．当λ＝—３时，两条直线的方程分别为6x＋４y＋１＝0，３x＋２y—２＝0，此时两条直线平行；若直线２λx＋（λ—１）y＝１与直线6x＋（１—λ）y＝４平行，则２λ×（１—λ）＝—6（１—λ），所以λ＝—３或λ＝１，经检验，两者均符合．综上，“λ＝—３”是“直线２λx＋（λ—１）y＝１与直线6x＋（１—λ）y＝４平行”的充分不必要条件，故选Ａ．充分条件、必要条件的探求及应用（典例迁移）（１）设集合A＝{x|x>—１}，B＝{x|x≥１}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是（）Ａ．—１<x≤１Ｂ．x≤１Ｃ．x>—１Ｄ．—１<x<１（２）已知P＝{x|x２—8x—２0≤0}，非空集合S＝{x|１—m≤x≤１＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________．【解析】（１）因为集合A＝{x|x>—１}，B＝{x|x≥１}，又因为“x∈A且x∉B”，所以—１<x<１；又当—１<x<１时，满足x∈A且x∉B，所以“x∈A且x∉B”成立的充要条件是“—１<x<１”．故选Ｄ．（２）由x２—8x—２0≤0，得—２≤x≤１0，所以P＝{x|—２≤x≤１0}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则错误!所以0≤m≤３．所以当0≤m≤３时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，３]．【答案】（１）D （２）[0，３]【迁移探究】（变问法）本例（２）条件不变，若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：由例题知P＝{x|—２≤x≤１0}，因为“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，所以P⇒S且S⇒P.所以[—２，１0][１—m，１＋m]．所以错误!或错误!所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）．错误!根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项（１）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解．（２）求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．１．命题“对任意的x∈[１，３]，x２—a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）Ａ．a≥9 Ｂ．a≤9Ｃ．a≥１0 Ｄ．a≤１0解析：选Ｃ．命题“对任意的x∈[１，３]，x２—a≤0”⇔“对任意的x∈[１，３]，x２≤a”⇔9≤a.则a≥１0是命题“对任意的x∈[１，３]，x２—a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选Ｃ．２．若“x２—x—6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．解析：由x２—x—6>0，解得x<—２或x>３．因为“x２—x—6>0”是“x>a”的必要不充分条件，所以{x|x>a}是{x|x<—２或x>３}的真子集，即a≥３，故a的最小值为３．答案：３[基础题组练]１．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p的（）Ａ．逆命题Ｂ．否命题Ｃ．逆否命题Ｄ．否定解析：选Ｂ．命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．２．“若x，y∈R，x２＋y２＝0，则x，y全为0”的逆否命题是（）Ａ．若x，y∈R，x，y全不为0，则x２＋y２≠0Ｂ．若x，y∈R，x，y不全为0，则x２＋y２＝0Ｃ．若x，y∈R，x，y不全为0，则x２＋y２≠0Ｄ．若x，y∈R，x，y全为0，则x２＋y２≠0３．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的（）Ａ．充要条件Ｂ．充分不必要条件Ｃ．必要不充分条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｃ．设集合A＝{（x，y）|x≠y}，B＝{（x，y）|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{（x，y）|x ＝y}，B的补集D＝{（x，y）|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．１“若a≤b，则a＜b”的否命题；２“若a＝１，则ax２—x＋３≥0的解集为R”的逆否命题；３“周长相同的圆面积相等”的逆命题；４“若错误!x为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中真命题的序号为（）Ａ．２４Ｂ．１２３Ｃ．２３４Ｄ．１３４解析：选Ｂ．对于１，逆命题为真，故否命题为真；对于２，原命题为真，故逆否命题为真；对于３，“面积相等的圆周长相同”为真；对于４，“若错误!x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．故选Ｂ．５．设a，b均为单位向量，则“|a—３b|＝|３a＋b|”是“a⊥b”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｃ．因为|a—３b|＝|３a＋b|，所以（a—３b）２＝（３a＋b）２，所以a２—6a·b＋9b２＝9a２＋6a·b＋b２，又因为|a|＝|b|＝１，所以a·b＝0，所以a⊥b；反之也成立．故选Ｃ．6．（２0２0·咸阳模拟）已知p：m＝—１，q：直线x—y＝0与直线x＋m２y＝0互相垂直，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．由题意得直线x＋m２y＝0的斜率是—１，所以错误!＝—１，m＝±１．所以p是q的充分不必要条件．故选Ａ．7．（２0２0·郑州模拟）设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a·（b—c）＝0”是“b＝c”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．由b＝c，得b—c＝0，得a·（b—c）＝0；反之不成立．故“a·（b—c）＝0”是“b ＝c”的必要不充分条件．8．使a＞0，b＞0成立的一个必要不充分条件是（）Ａ．a＋b＞0 Ｂ．a—b＞0Ｃ．ab＞１Ｄ．错误!＞１解析：选Ａ．因为a＞0，b＞0⇒a＋b＞0，反之不成立，而由a＞0，b＞0不能推出a—b＞0，ab ＞１，错误!＞１，故选Ａ．9．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.因为0<A<π，0<B<π，所以A＝B，故“A＝B”是“tan A＝tan B”的充要条件．答案：充要１0．在命题“若m>—n，则m２>n２”的逆命题，否命题，逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m＝２，n＝３，则２>—３，但２２<３２，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝—３，n＝—２，则（—３）２>（—２）２，但—３<２，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为３．答案：３１１．（２0２0·齐鲁名校调研）给出下列说法：１“若x＋y＝错误!，则sin x＝cos y”的逆命题是假命题；２“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”是真命题；３“a＝１”是“直线x—ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；４命题“若x<—１，则x２—２x—３>0”的否命题为“若x≥—１，则x２—２x—３≤0”．以上说法中正确的是________（填序号）．解析：对于１，“若x＋y＝错误!，则sin x＝cos y”的逆命题是“若sin x＝cos y，则x＋y＝错误!”，当x＝0，y＝错误!时，有sin x＝cos y成立，但x＋y＝错误!，故逆命题为假命题，１正确；对于２，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，２正确；对于３，“a＝±１”是“直线x—ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故３错误；对于４，根据否命题的定义知４正确．答案：１２４[综合题组练]１．（２0２0·抚州七校联考）A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为6５分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是（）Ａ．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格Ｂ．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分Ｃ．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分Ｄ．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选Ｃ．根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选Ｃ．２．（２0２0·合肥模拟）若a，b都是正整数，则a＋b＞ab成立的充要条件是（）Ａ．a＝b＝１Ｂ．a，b至少有一个为１Ｃ．a＝b＝２Ｄ．a＞１且b＞１解析：选Ｂ．因为a＋b＞ab，所以（a—１）（b—１）＜１．因为a，b∈N+，所以（a—１）（b—１）∈N，所以（a—１）（b—１）＝0，所以a＝１或b＝１．故选Ｂ．３．若命题“ax２—２ax—３>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知ax２—２ax—３≤0恒成立，当a＝0时，—３≤0成立；当a≠0时，得错误!解得—３≤a<0，故实数a的取值范围是—３≤a≤0．答案：[—３，0]４．已知命题p：x２＋２x—３＞0；命题q：x＞a，且﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，则a的取值范围是________．解析：由x２＋２x—３＞0，得x＜—３或x＞１，由﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，可知﹁p是﹁q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a≥１．答案：[１，＋∞）。

(新人教)高三数学第一轮复习教案1.8.2充要条件(二)

第19课时充要条件（二）§1.8.2 充要条件教学目标1.理解充要条件的意义．2.掌握判断命题的条件的充要性的方法．3.进一步培养学生简单逻辑推理的思维能力．教学重点理解充要条件意义及命题条件的充要性判断.教学难点命题条件的充要性的判断.教学方法讲、练结合教学教具准备多媒体教案教学过程一、复习回顾由上节内容可知，一个命题条件的充分性和必要性可分为四类，即有哪四类？答：充分不必要条件；必要不充分条件；既充分又必要条件；既不充分也不必要条件．本节课将继续研究命题中既充分又必要的条件．二、新课：§1.8.2 充要条件问题：请判定下列命题的条件是结论成立的什么条件？答：命题（1）中因：a是无理数⇒a+5是无理数，所以“a是无理数”是“a+5是无理数”的充分条件；又因：a+5是无理数⇒a是无理数，所以“a是无理数”又是“a+5是无理数”的必要条件。

因此“a是无理数”是“a+5是无理数“既充分又必要的条件．由上述命题（1）的条件判定可知：一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作：p⇔q.“⇔”叫做等价符号。

p⇔q表示p⇒q且q⇒p．这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件．续问：请回答命题（2）、（3）．答：命题（2）中因：a>b⇒a+c>b+c.又a+c>b+c⇒a>b,则“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件．命题（3）中因：一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根⇒Δ>0，又由Δ>0⇒一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等根，故“一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根”是“判别式Δ>0”的充要条件．生：（1）因x-2=0 ⇒(x-2)(x-3)=0,而: (x-2)(x-3)=0⇏x-2=0.所以p 是q 的必要而不充分条件．（2）因同位角相等⇔两直线平行，所以p 是q 的充要条件．（3）因x=3⇒x 2=9,而x 2=9⇏x=3，所以p 是q 的充要分而不必要条件．（4）因四边形的对角线相等⇏四边形是平行四边形，又四边形是平四边形⇏四边形的对角线相等，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．（5）因 ,解得x=0或x=3.q:2x+3=x 2得x=-1或x=3。

2019-2020年高考数学复习第06课时第一章集合与简易逻辑-充要条件名师精品教案

2019-2020年高考数学复习第06课时第一章集合与简易逻辑-充要条件名师精品教案一．课题：充要条件二．教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．三．教学重点：充要条件关系的判定．四．教学过程：（一）主要知识：1．充要条件的概念及关系的判定；2．充要条件关系的证明．（二）主要方法：1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；2．判断是否正确的本质是判断命题“若，则”的真假；3．判断充要条件关系的三种方法：①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）．4．说明不充分或不必要时，常构造反例．（三）例题分析：例1．指出下列各组命题中，是的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）（1）在中，，（2）对于实数，，或（3）在中，，（4）已知，，解：（1）在中，有正弦定理知道：∴又由所以，即是的的充要条件．（2）因为命题“若且，则”是真命题，故，命题“若，则且”是假命题，故不能推出，所以是的充分不必要条件．（3）取，不能推导出；取，不能推导出所以，是的既不充分也不必要条件．（4）因为，或，，所以，是的充分非必要条件．例2．设，则是的（）、是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：由图形可以知道选择B，D．（图略）例3．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲，因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙，因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，由此可知，甲能推出丁，丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件，选B ．例4．设，求证：成立的充要条件是．证明：充分性：如果，那么，①② ③于是如果即或，当时，，当时，||()()||||x y x y x y x y +=--=-+-=+，总之，当时，．必要性：由及得即222222||x xy y x xy y ++=++得所以故必要性成立，综上，原命题成立．例5．已知数列的通项1113423n a n n n =++++++，为了使不等式22(1)11log (1)log 20n t t a t t ->--对任意恒成立的充要条件．解：∵11111111()()02425324262526n n a a n n n n n n n +-=+-=-+->+++++++，则1221n n n a a a a a -->>>>>，欲使得题设中的不等式对任意恒成立，只须的最小项221(1)11log (1)log 20t t a t t ->--即可，又因为，即只须且22911log (1)log (1)02020t t t t ----<，解得，即，解得实数应满足的关系为且．例6．（1）是否存在实数，使得是的充分条件？（2）是否存在实数，使得是的必要条件？解：欲使得是的充分条件，则只要或，则只要即，故存在实数时，使是的充分条件．（2）欲使是的必要条件，则只要或，则这是不可能的，故不存在实数时，使是的必要条件．（四）巩固练习：1．若非空集合，则“或”是“”的条件．2．是的条件．3．直线和平面，的一个充分条件是（）A. B.C. D.2019-2020年高考数学复习第08课时第二章函数-函数的概念名师精品教案一．课题：函数的概念二．教学目标：了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；理解分段函数的意义．三．教学重点：函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂．四．教学过程：（一）主要知识：1．对应、映射、像和原像、一一映射的定义；2．函数的传统定义和近代定义；3．函数的三要素及表示法．（二）主要方法：1．对映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；2．对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解，这是处理函数问题的关键；3．理解函数和映射的关系，函数式和方程式的关系．（三）例题分析：例1．（1），，；（2），，；（3），，．上述三个对应（2）是到的映射．例2．已知集合，映射，在作用下点的象是，则集合（）{}(,)|1,0,0=>>x y xy x y+=>>{}(,)|2,0,0x y x y x y{}x y xy x y(,)|2,0,0=>>x y xy x y=<<{}(,)|2,0,0解法要点：因为，所以．例3．设集合，，如果从到的映射满足条件：对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数，则映射的个数是（）8个 12个 16个 18个解法要点：∵为奇数，∴当为奇数、时，它们在中的象只能为偶数、或，由分步计数原理和对应方法有种；而当时，它在中的象为奇数或，共有种对应方法．故映射的个数是．例4．矩形的长，宽，动点、分别在、上，且，（1）将的面积表示为的函数，求函数的解析式；（2）求的最大值．解：（1）2111()408(5)5(8)222ABCD CEF ABE ADF S f x S S S S x x x ∆∆∆==---=--⨯⨯--⨯⨯- 22113113169()22228x x x =-+=--+． ∵，∴， ∴函数的解析式：2113169()()(05)228S f x x x ==--+<≤；（2）∵在上单调递增，∴，即的最大值为．例5．函数对一切实数，均有()()(21)f x y f y x y x +-=++成立，且，（1）求的值；（2）对任意的，，都有成立时，求的取值范围．解：（1）由已知等式()()(21)f x y f y x y x +-=++，令，得，又∵，∴．（2）由()()(21)f x y f y x y x +-=++，令得，由（1）知，∴． ∵，∴22111111()2()24f x x x x +=+=+-在上单调递增，∴．要使任意，都有成立，当时，,显然不成立．当时，，∴0113log 24a a <<⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得 ∴的取值范围是．（四）巩固练习：1．给定映射，点的原象是或．2．下列函数中，与函数相同的函数是（）3．设函数3,(10)()((5)),(10)x xf xf f x x-≥⎧=⎨+<⎩，则＝．。

高三数学一轮复习精品教案1：1.3充分条件与必要条件教学设计

第三节充分条件与必要条件1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．1．易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/ A)；与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒/ B)两者的不同．『试一试』1．(2013·南通一模)已知命题p：正数a的平方不等于0，命题q：若a不是正数，则它的平方等于0，则p是q的____________(填“逆命题”“否命题”“逆否命题”或“否定”)．『解析』因为命题q的题设与结论恰好是命题p的题设与结论的否定，故两者之间互否．『答案』否命题2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：___________.『解析』原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，『结论』∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．『答案』“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”1．判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B时，则p是q的充分不必要条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；若B A时，则p是q的必要不充分条件；③若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件．(3)等价转化法：p是q的什么条件等价于綈q是綈p的什么条件．2．转化与化归思想由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．『练一练』1．(2014·苏锡常镇调研)“x>3”是“x>5”的______________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．『解析』“x>3”不一定能推出“x>5”，但“x>5”一定能推出“x>3”，故“x>3”是“x>5”的必要不充分条件．『答案』必要不充分2．(2013·苏锡常镇一调)已知命题p：直线a，b相交，命题q：直线a，b异面，则綈p是q 的________条件．『解析』因为綈p：直线a，b不相交，即两条直线平行或异面，所以綈p是q的必要不充分条件．『答案』必要不充分考点一命题及其相互关系1.命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是_________________________________．『解析』命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．『答案』“若tan α≠1，则α≠π4” 2．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”；③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．『解析』对于①，若log 2a >0＝log 21，则a >1，所以函数f (x )＝log a x 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x ＋y 是偶数，则x 、y 都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④. 『答案』②④『备课札记』『类题通法』在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.考点二充分必要条件的判定『典例』 (1)(2014·泰州期末)设a ∈R ，s ：数列{(n －a )2}是递增数列，t ：a ≤1，则s 是t 的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．(2)(2013·北京高考改编)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的________条件．『解析』 (1)由s ：数列{(n －a )2}是递增数列，知(n －a )2<『(n ＋1)－a 』2，则2a <2n ＋1得a <32，所以s 是t 的必要不充分条件．(2)由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z )，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．『答案』(1)必要不充分 (2)充分不必要『备课札记』『类题通法』充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p ，则q ”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A 是B 的什么条件”中，A 是条件，B 是结论，而“A 的什么条件是B ”中，A 是结论，B 是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．『针对训练』下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)在△ABC 中，p ：A ＝B ，q ：sin A ＝sin B ；(2)p ：|x |＝x ，q ：x 2＋x ≥0.『解析』(1)若A ＝B ，则sin A ＝sin B ，即p ⇒q .又若sin A ＝sin B ，则2R sin A ＝2R sin B ，即a ＝b .故A ＝B ，即q ⇒p .所以p 是q 的充要条件．(2)p ：{x ||x |＝x }＝{x |x ≥0}＝A ，q ：{x |x 2＋x ≥0}＝{x |x ≥0，或x ≤－1}＝B ，∵A B ，∴p 是q 的充分不必要条件.考点三充分必要条件的应用『典例』已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围；(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围．『解析』 (1)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3. 综上，可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．『备课札记』保持本例条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.『解析』由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S ⇒/ P .∴『－2,10』『1－m,1＋m 』．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是『9，＋∞)．『类题通法』利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：(1)若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q 且q ⇒/ p ；(2)若p 是q 的必要不充分条件，则p ⇒/ q ，且q ⇒p ；(3)若p 是q 的充要条件，则p ⇔q .『针对训练』(2014·无锡期末)已知p ：|x －a |<4，q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．『解析』由题意知p ：a －4<x <a ＋4，q ：2<x <3，因为“綈p ”是“綈q ”的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件．所以⎩⎪⎨⎪⎧3≤a ＋4，2≥a －4，解得－1≤a ≤6. 『答案』『－1,6』『课堂练通考点』1．(2014·苏州期末)命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是________命题(填“真”或“假”)．『解析』命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是“若x ≤0，则x 2≤0”，是假命题．也可以由逆命题为“若x 2>0，则x >0”来判断，逆命题为假命题，因此否命题是假命题．『答案』假2．(2013·盐城二模)直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1平行的充要条件是m ＝________.『解析』由题意，m ≠0，所以－2m ＝3，所以m ＝－23. 『答案』－233．已知向量a ＝(m 2,4)，b ＝(1,1)，则“m ＝－2”是“a ∥b ”的____________条件．『解析』依题意，当m ＝－2时，a ＝(4,4)，b ＝(1,1)，所以a ＝4b ，a ∥b ，即由m ＝－2可以推出a ∥b ；当a ∥b 时，m 2＝4，得m ＝±2，所以不能推得m ＝－2，即“m ＝－2”是“a ∥b ”的充分而不必要条件．『答案』充分不必要4．设集合A ，B 是全集U 的两个子集，则A B 是(∁U A )∪B ＝U 的____________条件．『解析』如图所示，A B ⇒(∁U A )∪B ＝U ；但(∁U A )∪B ＝U ⇒/ A B ，如A ＝B ，因此A B 是(∁U A )∪B ＝U 的充分不必要条件．『答案』充分不必要5．命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是________．『答案』若a ≤b ，则a －1≤b －16.创新题已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x <a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．『解析』A ＝{x |x <4}，由题意得A B 结合数轴易得a >4.『答案』(4，＋∞)。

第一章集合与充要条件教案-2021-2022学年高一上学期高教版中职数学基础模块上册

章节一：集合与充要条件1.集合的概念一般地，由某些确定的对象组成的整体叫做集合，简称为集.组成这个集合的对象叫做这个集合的元素.集合常用大写英文字母A ，B ，C ，…表示.集合的元素常用小写英文字母a ，b ，c ，…表示. 2.3.(1)按集合中元素的个数分类有限集：含有有限个元素的集合. 无限集：含有无限个元素的集合. (2)按集合中元素的属性分类点集：由点组成的集合. 数集：由数组成的集合. 4.几种常见的集合 (1)空集不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.空集是有限集. 5.集合的常见表示法 (1)列举法把集合的所有元素一一列出，中间用逗号隔开，并用花括号“{ }”把它们括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.例如，方程x 2-1=0的解组成的集合用列举法可表示为{-1,1}. (2)描述法利用元素的特征性质来表示集合的方法叫做描述法.用描述法表示集合时，在花括号“{ }”中画一条竖线，竖线的左侧是集合的代表元素及取值范围，竖线的右侧是元素所具有的特征性质.例如，比3大的实数组成的集合用描述法可表示为{x ∈R ｜x >3}. 6.子集一般地，如果集合A 的每一个元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.任何一个集合都是它本身的子集，即A A ⊆.规定：空集是任何集合的子集，即对于任何集合A ，都有A ∅⊆. 如果集合A 不是集合B 的子集，记作A ⊈B （或B ⊉A ），读作“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）. 7.真子集一般地，如果集合A 是集合B 的子集，并且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集，记作A ⫋B （或B ⫌A ），读作“A 真包含于B ”（或“B 真包含A ”）.空集是任何非空集合的真子集，即对于任何非空集合A ，都有∅⫋A . 8.集合相等一般地，如果集合A 的元素与集合B 的元素完全相同，则称集合A 与集合B 相等，记作A B ＝.也就是说，当集合A 的每一个元素是集合B 的元素，同时集合B 的每一个元素也是集合A 的元素，即A B ⊆且B A ⊆时，A B ＝. 9.交集的定义一般地，对于给定的集合A 与集合B ，由既属于集合A 又属于集合B 的所有元素组成的集合，叫做集合A 与集合B 的交集，记作B A .读作“A 交B ”.即{}A B x x A x B ∈∈＝且.10.交集的性质对于任意的两个集合A ，B ，有（1）A ∩B =B ∩A ；（2）A ∩A =A ；关系内容表示读法属于如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A a ∈A a 属于A不属于如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A a ∉A a 不属于A 数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法 N N *或N + Z Q R（3）A ∩∅=∅∩A =∅；（4）A ∩B ⊈A ，A ∩B ⊈B . 11.并集的定义一般地，对于给定的集合A 与集合B ，由集合A 与集合B 的所有元素组成的集合叫做集合A 与集合B 的并集，记作A ∪B .读作“A 并B ”.即A ∪B ={x |x ∈A 或x ∈B }. 12.并集的性质对于任意的两个集合A ，B ，有（1）A ∪B =B ∪A ；（2）A ∪A =A ；（3）A ∪∅=∅∪A =A ；（4）A ⊈A ∪B ，B ⊈A ∪B . 13.补集的定义在研究某些集合时，如果这些集合是一个给定集合的子集，那么这个给定的集合叫做全集，通常用字母U 表示.在研究数集时，通常把实数集R 作为全集.一般地，若集合A 是全集U 的一个子集，则由集合U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合叫做集合A 在全集U 中的补集，记作∁U A .即∁U A ={x |x ∈U 且x ∉A }. 14.补集的性质对于任意集合A ，有（1）A ∩∁U A =∅；（2）A ∪∁U A =U ；（3）∁U （∁U A ）=A . 15.充要条件已知条件p 和结论q ：（1）若由条件p 成立推出结论q 成立，则称条件p 是结论q 的充分条件，记作p ⇒q . （2）若由结论q 成立推出条件p 成立，则称条件p 是结论q 的必要条件，记作q ⇒p . （3）若p ⇒q ，并且q ⇒p ，则称条件p 是结论q 的充要条件，记作p ⇔q . 例题例1.下列各结论中，正确的是（）A .{0}是空集B .{x |x 2+x +2=0}是空集C .{1，2}与{2，1}是不同的集合D .方程x 2-4x +4=0的解集是{2，2}B 【解析】集合{0}中的元素是0，所以{0}不是空集.因为x 2+x +2=212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+74≥74，所以方程x 2+x +2=0无解，则集合{x |x 2+x +2=0}中没有元素，故集合{x |x 2+x +2=0}是空集.因为集合中的元素具有无序性，所以{1，2}与{2，1}是相同的集合.解方程x 2-4x +4=0，得x =2，因为集合中的元素具有互异性，所以方程x 2-4x +4=0的解集是{2}.例2.已知集合A ={x |kx 2+5x +2=0}，若A ≠∅，且k ∈N ，求k 的所有值组成的集合.【解析】当k =0时，方程5x +2=0，解得25x =-，所以集合A =25⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，此时满足A ≠∅.当k ≠0时，由A ≠∅，得方程kx 2+5x +2=0有解，即Δ=52-4×k ×2=25-8k ≥0，解得k ≤258，因为k ∈N ，所以k 的可能取值为1，2，综上可得，k 的所有可能取值为0，1，2，3.故k 的所有值组成的集合为{0,1,2,3}. 例3..设集合M ={x |0≤x ＜1}，则下列关系正确的是（）A .0⊆MB .{0}∈MC .{0}⊆MD .M =∅ C 【解析】因为集合M 中的元素x 满足0≤x ＜1，所以0∈M ，则M ≠∅，{0}⊆M . 例4.设集合A ={b ，c ，d }，则集合A 的子集共有（）A .5个B .6个C .7个D .8个 D 【解析】因为集合A 中有3个元素，所以集合A 的子集有23=8个.例5.已知集合A ={x |-3≤x ≤4}，B ={x |-m ＜x ＜m }，且A ⊆B ，则m 的取值范围是（）A .{m |0＜m ≤3}B .{m |0＜m ≤4}C .{m |m ＞4}D .{m |m ＞3}C 【解析】因为集合A ={x |-3≤x ≤4}，且A ⊆B ，所以B ≠∅.又因为B ={x |-m ＜x ＜m }，所以034m m m ⎧⎪-⎨⎪⎩＞＜-，＞，解得m ＞4，故m 的取值范围是{m |m ＞4}.例6.[2018河北第1题]设集合M ={0，1，2，3，4}，N ={x |0＜x ≤3}，则M ∩N =（）A .{1，2}B .{0，1，2}C .{1，2，3}D .{0，1，2，3} C 【解析】集合M 和集合N 的公共元素是1，2，3，所以M ∩N ={1，2，3}. 例7.设集合A ={-2，0，4}，B ={m ，2m -2}，如果A ∩B ={0}，求m 的值及集合B . 【解析】因为A ∩B ={0}，所以0∈B ，则m =0或2m -2=0，解得m =0或m =1.当m =0时，集合B ={0，-2}，所以集合A 和集合B 的公共元素是0，-2，即A ∩B ={0，-2}，不符合题意.当m =1时，集合B ={1，0}，所以集合A 和集合B 的公共元素是0，即A ∩B ={0}，符合题意.综上可得，m =1，集合B ={1，0}. 例8.已知集合A ={x |-1＜x ＜2}，B ={x |x ＜-m 或x ＞4-m }，若A ∩B =∅，求实数m 的取值范围.【解析】因为-m ＜4-m 恒成立，所以B ≠∅.又因为A ∩B =∅，所以集合A 与集合B 没有公共元素，则142m m -⎧⎨-⎩≤-，≥，解得1≤m ≤2，故实数m 的取值范围是{m |1≤m ≤2}. 例9.[2021浙江第1题]集合A ={-2，-1，0，1，2}，集合B ={-2，4}，则A ⊈B = （）A .{-2，-1，4}B .{-2}C .{0，1，2，4}D .{-2，-1，0，1，2，4}D 【解析】集合A 和集合B 的所有元素是-2，-1，0，1，2，4，所以A ⊈B ={-2，-1，0，1，2，4}. 例10.已知集合A ={x |x ≤-2或x ≥3},B ={x |x ≥m +1}，且A ⊈B =A ，求m 的取值范围.【解析】因为A ⊈B =A ，所以B ⊆A ，则m +1≥3，解得m ≥2，故m 的取值范围是{m |m ≥2}. 例11.已知集合A ={x |6x 2+mx -1=0}，B ={x |3x 2+5x +n =0}，且A ∩B ={-1}，求A ⊈B ．【解析】因为A ∩B ={-1}，所以-1∈A ，-1∈B ，则6×（-1）2+m ×（-1）-1=0，3×（-1）2+5×（-1）+n =0，解得m =5，n =2，所以集合A ={x |6x 2+5x -1=0}，集合B ={x |3x 2+5x +2=0}.解方程6x 2+5x -1=0，得x =-1或x =16，所以集合A =116⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，.解方程3x 2+5x +2=0，得x =-1或x =23-，所以集合B =213⎧⎫-⎨⎬⎩⎭-，.集合A 和集合B 的所有元素是21136--，，，故A ⊈B =21136⎧⎫-⎨⎬⎩⎭-，，.例12.已知全集U ={x |x ＜5，x ∈N }，集合A ={x |x ＞1，x ∈U }，则集合A 在全集U 中的补集为（） A .{1} B .{0} C .{0，1} D .{0，1，2}C 【解析】因为全集U ={x |x ＜5，x ∈N }={0，1，2，3，4}，集合A ={x |x ＞1，x ∈U }={2，3，4}，所以集合U 中不属于集合A 的所有元素是0，1，故集合A 在全集U 中的补集为{0，1}. 例13.设A ，B 为两个集合，则“A ⊆B ”是“A ∩B =A ”的（）A .充分条件B .必要条件C .充要条件D 既不充分也不必要条件 C 【解析】当A ⊆B 时，A ∩B =A ，所以“A ⊆B ”能推出“A ∩B =A ”.当A ∩B =A 时，A ⊆B ，所以“A ∩B =A ”能推出“A ⊆B ”.故“A ⊆B ”是“A ∩B =A ”的充要条件. 练习1.下列说法正确的是（）A .{0，2，4}和{2，4，0}表示两个不同的集合 B.任何一个集合都可以用列举法表示 C .{（3，5）}和{5，3}表示同一个集合 D.{0}和∅表示两个不同的集合2.设a ，b 为非零实数，集合A =a b x x a b ⎧⎫⎪⎪=+⎨⎬⎪⎪⎩⎭，用列举法写出集合A . 3.集合P ={x |x ≤4}，则（）A .π∉PB .π⫋PC .{π}∈PD .{π}⫋P 4.集合{x |0≤x ≤5且为奇数}的真子集个数是（）A .9B .8C .7D .65.已知集合A ={x |-1≤x ≤1}，B ={x |a -1＜x ＜2a -1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A .{a |a ≤1}B .{a |a ＜1}C .{a |0≤a ≤1}D .{a |0＜a ＜1} 6.设集合M ={x |x ≤5}，N ={x |x ≥3}，则M ∩N =（）A .{x |x ≥3}B .{x |x ≤5}C .{x |3≤x ≤5}D .∅7.已知集合A ={x |-1＜x ＜2}，B ={x |1＜x ≤5}，那么A ⊈B =（）A .{x |-1＜x ≤5}B .{x |1＜x ≤2}C .{x |-1＜x ＜5}D .{x |1＜x ＜2} 8.已知全集{}U a b c d =，，，，集合{}M a c =，，则U M =（）A.∅B.{}a c ，C.{}b d ，D.{}a b c d ，，， 9.“x =1”是“x 2-3x +2=0”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D 既不充分也不必要条件10.已知集合A ={x |2x 2+x+m =0}，集合B ={x |2x 2+nx+2=0}，且A ∩B =12⎧⎫⎨⎬⎩⎭，求实数m ,n 的值.11.已知集合A ={x |a -1＜x ＜a+1}，B ={x |x ≥4或x ≤1}，若A ∩B =∅，求实数a 的取值范围.12.设集合A ={x |x ≤-3或x ≥4},B ={x |x +m <1}.若A ⊈B =R ，求m 的取值范围.13.设二次方程x 2-px+15=0的解集为A ，方程x 2-5x+6=0的解集为B ，若A ∩B ={3}，求A ⊈B .。

高考数学一轮复习第1章第1节集合教学案文含解析北师大版

第一节集合[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于或不属于，分别记为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法A B或B A1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U；∁U(∁U A)＝A.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都至少有两个子集．( )(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C．( )(3)若{x2，x}＝{－1,1}，则x＝－1．( )(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C．( )[解析](1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．(3)正确．(4)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是( )A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉AD [由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22知，a∉A.]3．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( )A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}A [A∪B＝{1,2,3,4}．]4．设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁A B＝( )A．{4,8} B．{0,2,6}C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}C [∁A B＝{0,2,6,10}．]5．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝( )A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}A [∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．]为( )A ．3B ．4C ．5D ．6B [因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4，a ＝1,2,3时，x ＝5,6,7. 当b ＝5，a ＝1,2,3时，x ＝6,7,8. 由集合元素的互异性，可知x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素．]2．若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C ．0 D ．0或98D [若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.]3．已知a ，b ∈R，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1 C [由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]4．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 1 [由A ∩B ＝{3}知a ＋2＝3或a 2＋4＝3. 解得a ＝1.][规律方法] 与集合中的元素有关的问题的求解策略 (1)确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．【例1】 (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N}，则( ) A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．A BD ．B A(2)(2019·大庆模拟)集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪x ＋1x －3≤0，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则集合B的子集个数为( )A ．5B ．8C ．3D ．2(3)已知集合A ＝{x ∈R|x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R|ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值集合为________．(1)C (2)B (3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，12，0 [(1)A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，则A B ，故选C.(2)由x ＋1x －3≤0得－1≤x ＜3，则A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }＝{1,2,5}，其子集的个数为23＝8个．(3)A ＝{－3,2}，若a ＝0，则B ＝∅，满足B ⊆A ，若a ≠0，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，由B ⊆A 知，1a ＝－3或1a ＝2，故a ＝－13或a ＝12，因此a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，12，0.] A ≠，应分(1)(2018·长沙模拟已知集合合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．8(2)已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．(1)C (2)[2，＋∞)[(1)由A⊆C⊆B得C＝{0}或{0，－1}或{0,1}或{0，－1,1}，故选C.(2)A＝{x|0≤x≤2}，要使A⊆B，则a≥2.]►考法1 集合的运算【例2】(1)(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁R A＝( )A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}(3)(2019·桂林模拟)已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{－1,1}，则下列关系正确的是( )A．M∪N＝{－1,1,3} B．M∪N＝{x|－1≤x＜3}C．M∩N＝{－1} D．M∩N＝{x|－1＜x＜1}(1)C (2)B (3)B [(1)由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1,2}．(2)法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B.法二：因为A＝{x|x2－x－2＞0}，所以∁R A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.(3)M∪N＝{x|－1≤x＜3}，M∩N＝{1}，故选B.]►考法2 利用集合的运算求参数【例3】(1)设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( )A．－1＜a≤2B．a＞2C．a≥－1 D．a＞－1(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )A．0 B．1 C．2 D．4(3)(2019·厦门模拟)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是( )A．a≤1B．a＜1C．a≥2D．a＞2(1)D (2)D (3)C [(1)由A∩B≠∅知，集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示：易知a＞－1，故选D.(2)由题意可知{a，a2}＝{4,16}，所以a＝4，故选D.(3)B＝{x|1＜x＜2}，由A∩B＝B知B⊆A，则a≥2，故选C.]( )A．(－1,0) B．(0,1)C．(－1,3) D．(1,3)(2)(2019·西安模拟)设集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|x≤2，x∈Z}，则(∁R A)∩B＝( )A．{1} B．{2}C．{1,2} D．∅(3)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B ＝( )A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}(4)(2019·长沙模拟)已知集合A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}，则A∩B＝( )A．{1,3} B．{1,3,9}C．{3,9,27} D．{1,3,9,27)(1)C (2)D (3)C (4)A [(1)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}，故选C.(2)A＝{x|x≤1或x≥2}，则∁R A＝{x|1＜x＜2}．又集合B＝{x|x≤2，x∈Z}，所以(∁R A)∩B＝∅，故选D.(3)∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(4)因为A ＝{1,3,9,27}，B ＝{y |y ＝log 3x ，x ∈A }＝{0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{1,3}．]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,2} B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}A [由题意知A ∩B ＝{0,2}．]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z，y ∈Z}，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4A [由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z，y ∈Z，所以x ∈{－1,0,1}，y ∈{－1，0,1}，所以A 中元素的个数为9，故选A.]3．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜32 B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32 D ．A ∪B ＝RA [因为B ＝{x |3－2x ＞0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32，A ＝{x |x ＜2}，所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32，A ∪B ＝{x |x ＜2}．故选A.]4．(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N}，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2D [分析集合A 中元素的特点，然后找出集合B 中满足集合A 中条件的元素个数即可．集合A 中元素满足x ＝3n ＋2，n ∈N，即被3除余2，而集合B 中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.]。

书稿：高考数学一轮复习教案word文档(文),第一章集合与常用逻辑用语

§1.1 集合的概念与运算
【高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值； 2.求几个集合的交、并、补集； 3.通过集合中的新定义问题考查创新能力．【复习备考要这样做】 1.注意分类讨论，重视空集的特殊性； 2.会利用 Venn 图、数轴等工具对集合进行运算； 3.重视对集合中新定义问题的理解．
上的所有的点组成的集合，集合 N 表示由直线 x＋ y＝ 1 上的所有的点的纵坐标组成的
集合，即 N＝ { y|x＋ y＝ 1} ＝ R，故集合 M 与 N 不是同一个集合．选项 D 中的集合 M 有
两个元素，而集合 N 只含有一个元素，故集合 M 与 N 不是同一个集合．对选项 B，由
集合元素的无序性，可知 M ， N 表示同一个集合． b
有一个元素，这个元素是 0.{ ?} 是含有一个元素 ?的集合． ?? {0} ， ?? { ?} ，?∈ { ?} ， {0} ∩ { ?} ＝ ?.
1． ( ·江苏 )已知集合 A＝ {1,2,4} ， B＝{2,4,6} ，则 A∪ B＝ ________. 答案 {1,2,4,6} 解析 A∪ B 是由 A， B 的所有元素组成的．
思维启迪：解决集合问题首先要考虑集合的 “ 三性 ” ：确定性、互异性、无序性，理解
集合中元素的特征．答案 (1)B (2)2 解析 (1)选项 A 中的集合 M 表示由点 (3,2)所组成的单点集，集合 N 表示由点 (2,3)所组
成的单点集，故集合 M 与 N 不是同一个集合．选项 C 中的集合 M 表示由直线 x＋ y＝ 1
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或

近年高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件精选教案理(20

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第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件考纲要求考情分析命题趋势1.理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2017·全国卷Ⅰ,32017·天津卷，42017·北京卷，62016·四川卷，72016·浙江卷，41.判断命题的真假．2．写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题等．3．常以函数、不等式等其他知识为载体，考查一个命题是另一个命题的什么条件．4．考题多以选择题、填空题形式出现．分值：5分1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以__判断真假__的陈述句叫做命题，其中__判断为真__的语句叫做真命题，__判断为假__的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系（1）四种命题间的相互关系若原命题为：若p则q,则逆命题为__若q，则p__，否命题为__若綈p，则綈q__，逆否命题为__若綈q，则綈p__。

（2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题,它们有__相同__的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性__无关__。

【高中数学】2023-2024学年人教A版必修第一册充要条件教案

1.4.2 充要条件一、教学目标1.掌握充要条件的定义；2.会辨析充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件和既不充分也不必要条件；3.理解数学定义与充要条件的关系.二、教学重难点1.教学重点：充要条件的相关概念.2.教学难点：充要条件与教学定义之间的关系的理解.三、教学过程1.复习回顾问题1:我们初中学过的勾股定理内容是什么？答1:设a,b,c分别是ΔABC的三条边，且a ≤ b ≤ c.勾股定理：如果ΔABC为直角三角形，那么a2+b2=c2.在勾股定理中：“ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的____充分___条件;“a2+b2=c2” 是“ΔABC为直角三角形”的____必要_____条件.问题2:我们初中学过的勾股定理的逆定理内容是什么？答2:设a,b,c分别是ΔABC的三条边，且a ≤ b ≤ c.勾股定理的逆定理：如果a2+b2=c2，那么ΔABC为直角三角形.在勾股定理的逆定理中：“ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的____必要___条件;“a2+b2=c2” 是“ΔABC为直角三角形”的____充分_____条件.问题3:勾股定理及其逆定理有何关系？答3:勾股定理及其逆定理的条件与结论相反.【教师讲授】将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.【设计意图】通过勾股定理及其逆定理引出原命题与逆命题的概念.同时也为后面的充要条件的定义做好铺垫。

2.数学建构思考1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？(1) 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；(3) 若一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则ac<0；(4) 若A∪B是空集，则A与B均是空集．答1:(1)和(4)原命题与逆命题都是真命题.【教师讲授】如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q .此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．【设计意图】结合实例，让学生体会和理解原命题与逆命题之间的关系，并掌握充要条件的定义.思考2：判断(2)(3)中原命题与逆命题的真假.答2:(2)原命题真，逆命题假，即p q⇒，且q p⇒/；(3) 原命题假，逆命题真，即p q⇒；⇒/，且q p3.归纳小结【教师讲授】(1) 若p q⇒，且q p⇒/，则称p是q的充分不必要条件；(2)若p q⇒，则称p是q的必要不充分条件；⇒/，且q p(3)若p q⇒，则称p是q的充要条件；⇒，且q p(4)若p q⇒/，则称p是q的既不充分也不必要条件．⇒/，且q p【设计意图】结合实例，初步认识充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件和既不充分也不必要条件的定义.4.知识应用【例3】下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1) p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分；(2) p:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例；(3) p:xy>0，q:x>0 ，y>0；(4) p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q:a+b+c=0 (a ≠ 0)．【设计意图】通过应用，加深学生对充要条件概念的理解，学会判断p是否为q的充要条件的基本方法.同时，还可以引导学生，结合前面的归纳小结，对p不是q的充要条件的题，具体分析出p与q的关系.【探究】你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？答：由定义：“四边形的两组对边分别平行”(1)“四边形的两组对角分别相等”；(2)“四边形的两组对边分别相等”；(3) “四边形的一组对边平行且相等”；(4) “四边形的对角线互相平分”．思考3：你能给出“三角形全等”或“三角形相似”的其他形式的定义吗？【设计意图】先回顾平行四边形的定义，根据定义我们知道“两组对边分别平行的四边形叫平行四边形”，并给出平行四边形的其他4个充要条件，这样让学生体会到每个充要条件都是平行四边形的一种定义形式，它们是从不同的角度刻画了平行四边形的概念。

北师大版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2节命题及其关系、充分条件与必要条件教学案文

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[最新考纲] 1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．(对应学生用书第4页)1．命题可以判断真假，用文字或符号表述的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q pp是q的必要不充分条件p q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p[常用结论]1．在四种形式的命题中，真命题的个数只能为0,2,4.2．p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件．其他情况依次类推．3．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，p是q的充分不必要条件⇔A B；p是q的必要不充分条件⇔A B；p是q的充要条件⇔A＝B.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( ) (2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则q ”． ( ) (3)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( ) (4)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”． ( )[答案](1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编1．下列命题是真命题的是( ) A ．矩形的对角线相等 B ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd C ．若整数a 是素数，则a 是奇数 D ．命题“若x 2＞0, 则x ＞1”的逆否命题A [令a ＝c ＝0，b ＝d ＝－1，则ac ＜bd ，故B 错误；当a ＝2时，a 是素数但不是奇数，故C 错误；取x ＝－1，则x 2＞0，但x ＜1，故D 错误．]2．命题“若x 2＞y 2，则x ＞y ”的逆否命题是( ) A ．“若x ＜y ，则x 2＜y 2” B ．“若x ＞y ，则x 2＞y 2” C ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2” D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2”C [根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2＞y 2，则x ＞y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．故选C.]3．“(x －1)(x ＋2)＝0”是“x ＝1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x 的值也可能为－2.故选B.]4．命题“若α＝π3，则sin α＝32”的逆命题为________命题，否命题为________命题．(填“真”或“假”)假假 [若α＝π3，则sin α＝32的逆命题为“若sin α＝32，则α＝π3”是假命题；否命题为“若α≠π3，则sin α≠32”是假命题．](对应学生用书第4页)⊙考点1 命题及其关系判断命题真假的两种方法(1)直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可；(2)间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．1.下列命题是真命题的是( )A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x ＜y ，则x 2＜y 2[答案] A2．下列命题中的真命题是( )①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m ＞0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题； ④“若x ＝312，则x 是无理数”的逆否命题． A ．①②③④ B ．①③④ C ．②③④D ．①④B [①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”，是真命题；②“正多边形都相似”的逆命题是“相似的多边形是正多边形”，为假命题；③“若m ＞0，则x 2＋x －m ＝0有实根”是真命题，故其逆否命题也是真命题；④“若x ＝312，则x 是无理数”是真命题，故其逆否命题也是真命题．故选B.]3．已知命题α：如果x ＜3，那么x ＜5；命题β：如果x ≥3，那么x ≥5；命题γ：如果x ≥5，那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的有________．(填序号)①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题； ②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题； ③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．①③ [本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．]4．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0[m∈R是大前提，故该命题的逆否命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0.”]四种命题的三个处理技巧(1)要分清原命题的条件与结论．当原命题有大前提时，它的其他三种命题要保持大前提不变，只需改变小前提和结论．如T4.(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．(3)判断一个命题是真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题可举反例．⊙考点2 充分、必要条件的判定充分条件和必要条件的三种判断方法(1)定义法：可按照以下三个步骤进行①确定条件p是什么，结论q是什么；②尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；③确定条件p和结论q的关系．(2)等价转化法：对于含否定形式的命题，如¬p是¬q的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q是p的什么条件．(3)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．(1)(2019·浙江高考)设a＞0，b＞0，则“a＋b≤4 ”是“ab≤4”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)[一题多解](2019·天津高考)设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x－1|＜1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)(2019·北京高考)设函数f(x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(1)A(2)B(3)C[(1)由a＞0，b＞0，若a＋b≤4，得4≥a＋b≥2ab，即ab≤4，充分性成立；当a ＝4，b ＝1时，满足ab ≤4，但a ＋b ＝5＞4，不满足a ＋b ≤4，必要性不成立．故“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件，选A.(2)法一：|x －1|＜1⇔－1＜x －1＜1⇔0＜x ＜2. 当0＜x ＜2时，必有0＜x ＜5；反之，不成立．所以，“0＜x ＜5”是“|x －1|＜1”的必要而不充分条件．法二：因为{x ||x －1|＜1}＝{x |0＜x ＜2}{x |0＜x ＜5}，所以“0＜x ＜5”是“|x －1|＜1”的必要而不充分条件．(3)当b ＝0时，f (x )＝cos x 为偶函数；若f (x )为偶函数，则f (－x )＝cos(－x )＋b sin(－x )＝cos x －b sin x ＝f (x )，∴－b sin x ＝b sin x 对x ∈R 恒成立，∴b ＝0.故“b ＝0”是“f (x )为偶函数”的充分必要条件．故选C.][逆向问题](2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m ＞14B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞1C [若不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m ＞14，因此当不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立时，必有m ＞0，但当m ＞0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m ＞0.]判断充要条件需注意三点(1)要分清条件与结论分别是什么． (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断． (3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．1.(2019·重庆模拟)已知x ∈R ，则“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件B [x 2－5x －6＝0⇔x ＝－1或x ＝6，∵x ＝－1⇒x ＝－1或x ＝6，而x ＝－1或x ＝6推不出x ＝－1，∴“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分而不必要条件，故选B.]2．给定两个命题p ，q ，若¬p 是q 的必要不充分条件，则p 是¬q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [因为¬p 是q 的必要不充分条件，所以q ⇒¬p ，但¬p q ，其等价于p ⇒¬q ，但¬qp ，故选A.]3．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( )A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件D [非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．] ⊙考点3 充分条件、必要条件的应用根据充要条件求参数值(或范围)的方法是先把充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合的关系列出关于参数的不等式(组)求解．已知P ＝{x |－2≤x ≤10}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S的必要条件，则m 的取值范围为________．[0,3] [由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S P .又S 为非空集合，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.即所求m 的取值范围是[0,3]．] [母题探究]把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m 的取值范围． [解] 由x ∈P 是x ∈S 的充分条件，知P S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，即所求m 的取值范围是[9，＋∞)．利用充要条件求参数的两个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．提醒：含有参数的问题，要注意分类讨论．设n∈N*，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________. 3或4[由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，又n∈N*，则n＝1,2,3,4.当n＝1,2时，方程没有整数根；当n＝3时，方程有整数根1,3，当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.]。

第1章集合与充要条件教案（1）

第1章集合与充要条件教案（1）第一章集合与充要条件1.1 集合的概念第一节集合与元素教学目标：1．理解集合的概念；理解集合中元素的性质．2．理解“属于”关系的意义；知道常用数集的概念及其记法．3．引导学生发现问题和提出问题，培养独立思考和创造性地解决问题的意识．教学重点：集合的基本概念，元素与集合的关系．教学难点：正确理解基本概念教学过程：[新授]：1．集合的概念（1）一般地，把一些能够确定的对象看成一个整体，我们就说，这个整体是由这些对象的全体构成的集合（简称为集）．（2）构成集合的每个对象都叫做集合的元素．（3）集合与元素的表示方法：一个集合，通常用大写英文字母A,B,C,…表示，它的元素通常用小写英文字母a,b,c,…表示．2．元素与集合的关系（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”．（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a?A．读作“a不属于A”．3．集合中元素的特性（1）确定性（2）互异性（3）无序性：4．集合的分类（1）有限集（2）无限集5．常用数集自然数集N；正整数集N＋或N*；整数集Z；有理数集Q；实数集R．6．空集?（不能写成{?}）[巩固]：例1：判断下列语句能否构成一个集合，并说明理由．（1）小于10的自然数的全体；（2）某校高一（2）班所有性格开朗的男生；（3）英文的26个大写字母；（4）非常接近1的实数．[点评]：组成集合的对象是确定的，对于一个对象是否是集合中元素，只有两种结果：是或不是，出现形容词修饰的对象不能组成集合．练习1：判断下列语句是否正确：（1）由2，2，3，3构成一个集合，此集合共有4个元素；（2）所有三角形构成的集合是无限集；（3）周长为20cm的三角形构成的集合是有限集；（4）如果a∈Q，b∈Q，则a+b∈Q．例2：用符号“∈”或“?”填空：（1）1_____N0_____N－4_____N0.3_____N；（2）1_____Z0_____Z－4_____Z0.3_____Z；（3）1_____Q0_____Q－4_____Q0.3_____Q；（4）1_____R0_____R－4_____R0.3_____R．练习2：用符号“∈”或“?”填空：（1）－3_____N；（2）3.14_____Q；（3）13_____Z；（4）－12_____R；（5）2_____R；（6）0_____Z[小结]：1．集合的有关概念：集合、元素．2．元素与集合的关系：属于、不属于．3．集合中元素的特性．4．集合的分类：有限集、无限集．5．常用数集的定义及记法．[教后札记]：第二节集合的表示法教学目标：1．掌握集合的表示方法；能够按照指定的方法表示一些集合．2．发展学生运用数学语言的能力；培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力．3．让学生感受集合语言的意义和作用，学习从数学的角度认识世界；通过合作学习培养学生的合作精神．教学重难点：重点：集合的表示方法，即运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合.难点：集合特征性质的概念，以及运用描述法表示集合.[引课]（1）集合、元素、有限集和无限集的概念是什么？（2）用符号“∈”与“?”填空：①0______N；②-2______Q；③-2______R．[新授]1．列举法．用列举法表示集合的方法：将集合的元素一一列出，用逗号分隔，再用花括号括为一个整体．例如，由1,2,3,4,5,6这6个数组成的集合，可表示为：{1,2,3,4,5,6}．又如，中国古代四大发明构成的集合，可以表示为：{指南针，造纸术，活字印刷术，火药}．注：用列举法表示集合时，不必考虑元素的排列顺序，同时，元素不能重复；当集合中元素较多时，可以用省略号表示，但需让人明白省略号表示了哪些元素，据此，列举法可以表示无限集．如：小于100的自然数的全体构成的集合，可表示为：{0,1,2,3,…,99}．[例1]：用列举法表示下列集合：（1）所有大于3且小于10的奇数构成的集合；（2）方程x2-5x+6=0的解集；（3）所有偶数组成的集合．[练习1]：用列举法表示下列集合：（1）大于3小于9的自然数全体；（2）绝对值等于1的实数全体；（3）一年中不满31天的月份全体；（4）大于3.5且小于12.8的整数的全体．2．描述法．用描述法表示集合的方法：在花括号中画一条竖线，竖线的左侧写出集合的代表元素，并标出元素的取值范围，竖线右侧写出元素所具有的特征性质．如：使用特征性质描述法时要注意：（1）特征性质明确；（2）若元素范围为R，“x∈R”可以省略不写．[例2]：用描述法表示下列集合：（1）大于3的实数的全体构成的集合；（2）不等式2x+1≤0 的解集；（3）所有奇数组成的集合；（4）平面直角坐标系中，由x轴上的所有点组成的集合．[练习2]：用描述法表示下列集合：（1）不等式4x-5<3的解构成的集合；（2）绝对值等于3的实数的全体构成的集合；（3）平面直角坐标系中，由第一象限内的所有点组成的集合；（4）所有的正方形构成的集合．[练习3]：把下列集合用另一种方法表示出来：（1）{1,3} （2）{1,3,5,7,9}（2）{x|x2+2x-3=0} （4）{x∈N|-2<x<5}< bdsfid="155"p=""></x<5}<>[小结]：本节课学习了以下内容：1．列举法．2．性质描述法．3．比较两种表示集合的方法，分析它们所适用的不同情况．[教后札记]：1.2 集合之间的关系教学目标：1．理解子集、真子集与集合相等等概念；掌握子集、真子集的符号及表示方法及元素与集合、集合与集合之间关系的区别，会用它们表示集合间的关系；能判断两集合间的包含、相等关系．2．了解空集的意义；会求已知集合的子集、真子集并会用符号及Ve nn图表示．3．培养学生使用符号的能力；建立数形结合的数学思想；渗透分类思想，提高学生思维能力．教学重难点：重点：掌握集、真子集的概念；理解集合间的包含、真包含、相等关系及传递关系．难点：弄清元素与集合、集合与集合之间关系的区别[引课]已知：M={-1,1}，N={-1,1,3}，P={x|x2-1=0}．问（1）哪些集合表示方法是列举法？（2）哪些集合表示方法是描述法？（3）集合M中元素与集合N有何关系？集合M中元素与集合P 有何关系？[新授]1．子集如果集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合B叫做集合A的子集．记作：B?A或A?B；读作：“B包含于A”，或“A包含B”．性质：（1）任何一个集合都是它自身的子集；（2）空集是任何集合的子集．（3）对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，则A?C．[例1]：用符号“?”、“?”、“∈”、“?”填空：（1）{a,b,c,d}______{c,d} (2) ?______{1,2,3}（3）N______Q(4)0______R（5）d______{a,b,c} (6){x|3<x<5}______{x|0≤x<6}< bdsfid="183" p=""></x<5}______{x|0≤x<6}<>[练习1]：（1）用符号“?”、“?”、“∈”、“?”填空：①{c,d}______{c,d} ②{0}______?③N+______Q④0______?⑤a______{a,b,c} ⑥{x|1<x<2}______{x|-1≤x<3}< bdsfid="189" p=""></x<2}______{x|-1≤x<3}<>（2）判断下列各题中集合A是否为集合B的子集．①A={1,3,5}，B={1,2,3,4,5,6} ②A={1,3,5}，B={1,3,6,9}③A={0}，B={x|x2＋2=0} ④A={a,b,c,d}，B={d,b,c,a}2．真子集如果集B合是集合A的子集，并且集合A中至少有一个元素不属于B，那么集合B是集合A的真子集．Array记作：B?≠A（或A?≠B）；读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）．性质：空集是任何非空集合的真子集．[例2]：设集合M={0,1,2}，试写出M的所有子集，并指出其中的真子集．[练习2]：写出集合A={1,2}的所有子集及真子集．[例3]：设集合A={x|x>0}，B={x|1≤x≤5}，指出集合A与集合B 之间的关系．[练习3]：设集合A={x|x<6}，B={x|x≤0}，指出集合A与集合B 之间的关系．3．集合的相等若两个集合的元素完全相同，则称这两个集合相等．集合A等于集合B，记作A=B．如果A?B，且B?A，那么A=B；反之，如果A=B，那么A?B，且B?A．[例4]：判断集合A={x||x|=2}与集合B={x|x2-4=0}的关系．[练习4]：判断下列两个集合之间的关系：（1）A={2,4,5,7}，B={2,5}；（2）P={x|x2=1}，Q={-1,1}；（3）C={x|x是正奇数}，D={x|x是正整数}；（4）M={x|x是等腰直角三角形}，N={x|x是有一个角是45?的直角三角形}．[小结]：1．子集，真子集，集合相等．2．元素与集合、集合与集合的关系．[教后札记]：UST F《集合之间的关系》练习课教学目标：1．巩固学生对子集、真子集与集合相等等概念的理解；对子集、真子集的掌握及两集合间的包含、相等关系的判断．2．让学生掌握本节的常见基本题型及其解法．教学重难点：重点：巩固学生对子集、真子集与集合相等等概念的理解；对子集、真子集的掌握及两集合间的包含、相等关系的判断．难点：让学生掌握本节的常见基本题型及其解法．[例题]：（1）已知A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B?A，求所有可能a值构成的集合；（2）已知A={x|x2+p x+2=0}，B={x|x2+3x+2=0}，且A?B，求P的取值范围；（3）已知A={x|x=a2+1}，B={y|y=b2-6b+10}，试判断A与B 的关系；（4）已知A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，试求能使A?B 成立的a的取值范围．（5）指出下列各集合之间的关系，并用Venn 图表示：A={x|x是平行四边形}，B={x|x是菱形}，C={x|x是矩形}，D={x|x 是正方形}．[练习]：（1）已知A={x|1≤x≤2}，B={x|x-a>0}，且A?B，求a的取值范围；（2）已知A={x|1≤x≤3}，B={x|a-1≤x≤a}，且B?A，求a的取值范围；（3）已知A={x|ax2+2x+1=0}只有一个元素，求a的取值；（4）已知A={x,xy,x+y}，B={0,|x|,y}，且A=B，求x、y的值．（5）已知A={-3,4}，B={x|x2-2px+q=0}，且B≠?，B?A，求实数p、q的值．（点评：注意失解）（6）集合U，S，T，F如图所示，下列关系中哪些是对的？哪些是错的？①S?≠U；②F?≠T；③S?≠T；④S?≠F；⑤S?≠F；⑥F?≠U．[教后札记]：。

【精品】高考数学一轮复习必备第06课时：第一章集合与简易逻辑-充要条件教案

例 2．设 x, y R ，则 x2 y2 2 是 | x | | y | 2 的（
）、是 | x | | y | 2 的（
）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件解：由图形可以知道选择 B，D．（图略）
例 3．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条
第 06 课时：第一章集合与简易逻辑——充要条件
一．课题：充要条件二．教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．三．教学重点：充要条件关系的判定．四．教学过程：（一）主要知识： 1．充要条件的概念及关系的判定； 2．充要条件关系的证明．（二）主要方法： 1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；
得 | xy | xy 所以 xy 0 故必要性成立，
综上，原命题成立．
11 例 5．已知数列 { an } 的通项 an n 3 n 4
1
an
log2t (t
1)
11
log
2 (t
1) t
2n 3，为了使不等式
20
对任意
n N * 恒成立的充要条件．
解：
an 1 an
1
1
1 (1
1 )( 1
1)0
即只须 t
1
1
且
log
2 t
(t
1)
9
log
2 t
(
t
20
1)
11 20
0
，
解得 1 log t (t 1) t(t 1) ，
1
0
t 1 t(t 2)
即t
，

江苏南化一中高三数学一轮教案充要条件

§1.3 充要条件【复习目标】1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义； 2．能判定所给的两个条件的充要关系。

【重点难点】能判定所给的两个条件的充要关系【课前预习】1．下列各题中，p 是q 的什么条件（指充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要）？并说明理由：（1） p ：x>1且y>1,q ：x+y>2且xy>1；（2） p ：x=1或x=－1,q ：|x|=1；（3） p ：两个三角形面积相等，q ：这两个三角形全等；（4） p ：x>y,q ：yx 11<；（5） p ：{x|0<x<3},q ：{x||x －1|<2}；（6） p ：a 、b 都是偶数，q ：a+b 是偶数；（7）p ：|x|>|y|,q ：x 2>y 2；2．如果B A ⇒⌝，那A 是B ⌝的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.以上都不对3．设集合A={x |x 2+x －6=0},B={x |m x +1=0} ,则B 是A 的真子集的一个充分不必要的条件是A ．11,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭B ．m=21-C ．110,,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭D ．10,3m ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭ （） 4．设集合M={x| x>2},P={x|x<3},那么“x ∈M,或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．已知四个命题A 、B 、C 、D ，若A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充分必要条件，试问D 是A 的条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）；6．A 是B 成立的充分条件，则B 是A 成立的条件； A 是B 成立的充要条件，则B 是A 成立的条件。

2020版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2节充分条件与必要条件教学案含解析理

第二节充分条件与必要条件[考纲传真] 1.通过对典型数学命题的梳理、理解充分条件，必要条件的意义、理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系.2.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．充分条件、必要条件与充要条件qq1．充分条件、必要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件；(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．2．充分条件、必要条件与集合的关系AB1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．( )(3)q不是p的必要条件时，“p q”成立．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ 2．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．既是充分条件，也是必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A3．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [a ＝3时，A ＝{1,3}，显然A ⊆B . 但A ⊆B 时，a ＝2或3.∴“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．]4．设p ：x ＜3，q ：－1＜x ＜3，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 B [x ＜3－1＜x ＜3，但－1＜x ＜3⇒x ＜3，因此p 是q 的必要不充分条件，故选B.]5．已知A ⊆B ，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的________条件，“x ∈B ”是“x ∈A ”的________条件．[答案] 充分必要【例1】 ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)设集合M ＝{x |0＜x ≤3}，N ＝{x |0＜x ≤2}，那么“m ∉M ”是“m ∉N ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)B (2)A [(1)a ，b ，c ，d 是非零实数，若ad ＝bc ，则b a ＝d c，此时a ，b ，c ，d 不一定成等比数列；反之，若a ，b ，c ，d 成等比数列，则a b ＝c d，所以ad ＝bc ，所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件，故选B.(2)条件与结论都是否定形式，可转化为判断“m ∈N ”是“m ∈M ”的什么条件．由NM知，“m ∈N ”是“m ∈M ”的充分不必要条件，从而“m ∉M ”是“m ∉N ”的充分不必要条件，故选A.]定义法：可按照以下三个步骤进行①确定条件②尝试由条件集合法：根据易错警示：判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述，比如正确理解“一个充分不必要条件是A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)设a ∈R ，则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)D [(1)由x 3＞8可得x ＞2，从而|x |＞2成立，由|x |＞2可得x ＞2或x ＜－2，从而x 3＞8不一定成立．因此“x 3＞8”是“|x |＞2”的充分不必要条件，故选A.(2)∵当a ≠0时，a 2＝8a ＝－8－a ⇒直线l 1与直线l 2重合，∴无论a 取何值，直线l 1与直线l 2均不可能平行，当a ＝4时，l 1与l 2重合．故选D.]【例2】( ) A ．m ⊥n ，n ∥α B ．m ∥β，β⊥α C ．m ⊥β，n ⊥β，n ⊥αD ．m ⊥n ，n ⊥β，β⊥αC [对于选项C ，因为m ⊥β，n ⊥β，所以m ∥n ，又n ⊥α，所以m ⊥α，故选C.] (2)已知x ，y 都是非零实数，且x ＞y ，求证：1x ＜1y的充要条件是xy ＞0.[证明] 法一：充分性：由xy ＞0及x ＞y ，得x xy ＞y xy，即1x ＜1y.必要性：由1x ＜1y ，得1x －1y ＜0，即y －xxy＜0.因为x ＞y ，所以y －x ＜0，所以xy ＞0. 所以1x ＜1y的充要条件是xy ＞0.法二：1x ＜1y ⇔1x －1y ＜0⇔y －x xy＜0.由条件x ＞y ⇔y －x ＜0，故由y －xxy＜0⇔xy ＞0. 所以1x ＜1y⇔xy ＞0，即1x ＜1y的充要条件是xy ＞0.证明者证明的是充分性，后者证明的是必要性证明充要条件，的充要条件是 (1)不等式(－2)＜0成立的一个必要不充分条件是( )A ．x ∈(0,2)B ．x ∈[－1，＋∞)C ．x ∈(0,1)D ．x ∈(1,3)B [由x (x －2)＜0得0＜x ＜2，因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x ∈[－1，＋∞)”是“不等式x (x －2)＜0成立”的一个必要不充分条件．](2)求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. [证明] 必要性：∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴a ·12＋b ·1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0. 充分性：由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b . ∵ax 2＋bx ＋c ＝0， ∴ax 2＋bx －a －b ＝0，即a (x 2－1)＋b (x －1)＝0. 故(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. ∴x ＝1是方程的一个根．故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.【例3】 (1)设命题p ：(4x －3)2≤1，命题q ：x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)(2)“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( )A ．－1≤k ＜3B ．－1≤k ≤3C ．0＜k ＜3D ．k ＜－1或k ＞3(1)A (2)C [(1)由(4x －3)2≤1得12≤x ≤1，即p ：12≤x ≤1，由x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)≤0得m ≤x ≤m ＋1，即q ：m ≤x ≤m ＋1. 由p 是q 的充分不必要条件，从而⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1{x |m ≤x ≤m ＋1}．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12m ＋1≥1，解得0≤m ≤12，故选A.(2)“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的充要条件是|1－k |2＜2，即－1＜k ＜3.故所求应是集合{k |－1＜k ＜3}的一个子集，故选C.] 巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式或不等式组求解端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取(1)围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C．[1,2] D．[－1,2](2)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.(1)A(2)3或4[(1)由题意知(－1,4)(2m2－3，＋∞)，∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1，故选A.(2)当Δ＝16－4n≥0，即n≤4时，方程x2－4x＋n＝0的两根为x＝4±16－4n2＝2±4－n.又n∈N*，且n≤4，则当n＝3,4时，方程有整数根．]。

高中数学第1章集合与常用逻辑术语1.4充分条件与必要条件1.4.2充要条件教学案新人教A版必修第一册

1.4.2 充要条件(教师独具内容)课程标准：通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．教学重点：掌握充要条件的概念，理解充要条件的意义，会判断条件与结论之间的充要性．教学难点：判断条件与结论之间的充要性．【知识导学】知识点充要条件(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有□01p⇒q，又有□02 q⇒p，就记作□03p⇔q.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分04充要条件(sufficient and necessary condition)．必要条件，简称为□(2)当p是q的充要条件时，q也是p的□05充要条件．(3)p是q的充要条件也常常说成“p成立□06当且仅当q成立”，或“p与q□07等价”．【新知拓展】1．从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件(1)若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，则p是q的充要条件．(3)若p⇒q，且q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．(4)若p⇒/q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．(5)若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．2．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．(4)若A⊆B且BA，即A B，则p是q的充分不必要条件．(5)若B⊆A且AB，即B A，则p是q的必要不充分条件．(6)若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件．3．“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( )(2)符号“⇔”具有传递性．( )(3)若p⇒/q和q不能推出p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．( )(4)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分不必要条件．( )(5)“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件．( )答案(1)√(2)√(3)√(4)×(5)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)“x2－3x＋2＝0”的充要条件是_______________________________．(2)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)(3)若△ABC∽△DEF，“相似比为3∶2”是“对应高的比为3∶2”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空) 答案(1)x＝1或x＝2 (2)充要(3)充要题型一充要条件的概念及判断方法例1 在下列各题中，试判断p是q的什么条件．(1)p：a＝b，q：ac＝bc；(2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(4)p：A∩B＝A，q：∁U B⊆∁U A.[解](1)因为a＝b⇒ac＝bc，而ac＝bc不能推出a＝b，所以p是q的充分条件，但不是必要条件．(2)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．(3)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．(4)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁U A⊇∁U B，并且∁U B⊆∁U A⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p是q的充要条件．[题型探究] 已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s 是q 的什么条件？(3)p ，q ，r ，s 中哪几对互为充要条件？解作出“⇒”图，如右图所示，可知：p ⇒q ，r ⇒q ，q ⇒s ，s ⇒r .(1)p ⇒q ⇒s ⇒r ，且r ⇒q ，q 能否推出p 未知，∴p 是r 的充分条件． (2)∵s ⇒r ⇒q ，q ⇒s ， ∴s 是q 的充要条件．(3)共有三对充要条件，q ⇔s ；s ⇔r ；r ⇔q . 金版点睛判断p 是q 的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p 是q 的充分必要条件，主要是判断p ⇒q 及q ⇒p 这两个命题是否成立．若p ⇒q 成立，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件；若q ⇒p 成立，则p 是q 的必要条件，同时q 是p 的充分条件；若二者都成立，则p 与q 互为充要条件．(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p ⇒q 及q ⇒p 的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．此外，对于较复杂的关系，常用⇒，⇐，⇔等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度．[跟踪训练1] 指出下列各题中，p 是q 的什么条件？ (1)p ：A ∪B ＝A ，q ：A ∩B ＝B ；(2)p ：⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2，q ：⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4；(3)已知实数a ，b ，p ：a >0且b >0，q ：a ＋b >0且ab >0.解 (1)因为A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，而A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，所以A ∪B ＝A ⇔A ∩B ＝B ，所以p 是q 的充要条件．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2，根据不等式的性质可得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4.即p ⇒q ，而由⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4不能推出⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2.如：α＝1，β＝5满足⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4，但不满足α>2.所以p 是q 的充分不必要条件．(3)由a >0且b >0⇒a ＋b >0且ab >0，并且由a ＋b >0且ab >0⇒a >0且b >0，所以p 是q 的充要条件．题型二充要条件的证明例2 已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0的充要条件． [证明] ①充分性： ∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a 3＋1－3a ＋3a 2－a 3＋a －a 2－a 2－1＋2a －a 2＝0，即a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.②必要性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0， ∴(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0， ∴(a 2－ab ＋b 2)(a ＋b －1)＝0. ∵ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0， ∴a 2－ab ＋b 2≠0.∴a ＋b －1＝0，∴a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0的充要条件．[题型探究] 已知a ，b 是实数，求证：a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的充分条件．该条件是否为必要条件？试证明你的结论．证明因为a 2－b 2＝1，所以a 4－b 4－2b 2＝(a 2－b 2)·(a 2＋b 2)－2b 2＝(a 2＋b 2)－2b 2＝a 2－b 2＝1.即a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的充分条件．另一方面，若a 4－b 4－2b 2＝1，即a 4－(b 4＋2b 2＋1)＝0，a 4－(b 2＋1)2＝0，(a 2－b 2－1)(a 2＋b 2＋1)＝0.又a 2＋b 2＋1≠0，所以a 2－b 2－1＝0，即a 2－b 2＝1.因此a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的必要条件．金版点睛充要条件的证明证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”．[跟踪训练2] 求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac <0.证明 ①必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，∴Δ＝b 2－4ac >0，x 1x 2＝ca<0，∴ac <0. ②充分性：由ac <0可得b 2－4ac >0及x 1x 2＝c a<0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上可知，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac <0.题型三探求充要条件例3 求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． [解] ①当a ＝0时，方程为一元一次方程，其根为x ＝－12，符合要求．②当a ≠0时，方程为一元二次方程，此时ax 2＋2x ＋1＝0有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a ≥0，从而a ≤1.设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a.(ⅰ)方程ax 2＋2x ＋1＝0有一负根一正根的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a<0⇒a <0；(ⅱ)方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负根的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a<0，1a >0⇒0<a ≤1.综上所述，方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1. 金版点睛探求充要条件的两种方法(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．[跟踪训练3] 已知方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．解方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，则方程有两个大于1的实数根x 1，x 2：⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，(x 1－1)(x 2－1)>0，(x 1－1)＋(x 2－1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1>0，(x 1＋x 2)－2>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，k 2＋(2k －1)＋1>0，－(2k －1)－2>0⇔k <－2.所以使方程有两个大于1的实数根的充要条件是k <－2.1．已知A ，B 是非空集合，命题p ：A ∪B ＝B ，命题q ：A B ，则p 是q 的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．必要不充分条件答案 D解析由A ∪B ＝B ，得A B 或A ＝B ；反之，由A B ，得A ∪B ＝B ，所以p 是q 的必要不充分条件．2．“x 2＋(y －2)2＝0”是“x (y －2)＝0”的( ) A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 x 2＋(y －2)2＝0，即x ＝0且y ＝2，∴x (y －2)＝0.反之，x (y －2)＝0，即x ＝0或y ＝2，x 2＋(y －2)2＝0不一定成立．故“x 2＋(y －2)2＝0”是“x (y －2)＝0”的充分不必要条件．3．设x ∈R ，则“x <－1”是“|x |>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析因为x <－1⇒|x |>1，而|x |>1⇒x <－1或x >1，故“x <－1”是“|x |>1”的充分不必要条件．4．关于x 的不等式|x |>a 的解集为R 的充要条件是________．答案 a <0解析由题意知|x |>a 恒成立，∵|x |≥0，∴a <0.5．已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.证明证法一：①充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy，即1x <1y.②必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －xxy<0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y的充要条件是xy >0.证法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －xxy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy<0⇔xy >0. 所以1x <1y ⇔xy >0，即1x <1y的充要条件是xy >0.。

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盐城市文峰中学美术生高中数学复习教学案
§1集合与充要条件
【考点及要求】：
1.了解集合含义，体会“属于”和“包含于”的关系，全集与空集的含义；
2.了解并掌握集合之间交，并，补的含义与求法；
3.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，会判断充分条件、必要条件与充要条件. 【基础知识】：
1.集合中元素与集合之间的关系：文字描述为和符号表示为和
2.常见集合的符号表示：自然数集正整数集整数集
有理数集实数集复数集
3.集合的表示方法1 2 3
4.集合间的基本关系：1)相等关系：A ⊆B且B ⊆A ⇔2)子集：A 是B 的子集，符号表示为或B ⊇A 3)真子集：A 是B 的真子集，符号表示为或
5.不含任何元素的集合叫做，记作，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的
6.若已知全集U ，集合A ⊆U ，则C U A =.
7. A⋂A =，A ⋂∅=，A⋃A =，
A ⋃∅=，A ⋂C
U A =，A ⋃C
U
A =，
8.若A ⊆B ，则A ⋂B =, A ⋃B =
9.若p ⇒q ,则p 是q 的条件, q 是p 的条件.
10.若p ⇒q ,且q ⇒p ,则p 是q 的条件.
【基本训练】：
1. 0 ∈
{a 2- 2a, a}，则a 的值等于.
2.若全集U ={0,1,2,3,4},且C U A ={2,3},则A 的真子集有个.
3.集合A =
{x x >1}, B ={x x 2- 2x < 0}，则A ⋂B =.
4. x > 1是x 2>x 的条件.
【典型例题讲练】
例 1.已知集合A =
{x x 2- 2x - 8 ≤ 0}, B ={x x 2- (2m - 3)x +m2- 3m ≤ 0}
[2,4]，求实数m 的值；
（1）若A ⋂B =
（2）设全集为R ，若A ⊆C R B ，求实数m 的取值范围.
练习.已知A = {x - 4 <x -a < 4}，B = {x x 2- 6x + 5 < 0}，且A ⋂B =∅，求a 的取值范围.
例 2.是否存在实数 p，使“ 4x +p < 0 ”是“ x2-x - 2 > 0 ”的充分条件？若存在，求出 p 的取值范围；若不存在说明理由．
练习.已知命题P ：“若ac ≥ 0 ，则二次方程ax 2+bx +c = 0 没有实根，写出命题P 的否命题，并判断命题P 的否命题的真假，同时指出否命题中条件是结论的什么条件.
【课堂小结】
【课堂检测】
【课后作业】。