清华大学自主招生数学试题解析

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2017年清华大学自主招生

暨领军计划试题解析

已知-•根绳子放在数轴的[0・斗」区阳丄二线密度二皿-护.求绳子的质屋- 解答加

解答 件先冇

cos 単十 i iin 4?

5

二(cos 警cos 夸一 sin 警sin 弩: 二 cos + isin

再I ] i 归纳法，可得3 警+ Tn 警,

1 E.世到 ttJ -' = 1,则 cw 1 — w -' TW " - C4J _'：7W + ru _l —

2 COS 〒 T tv ' + ⑴ 二 2cCrS 号.战

/(tw )/(a/ )f( OJ ? )/(oi 1)

/(w)/(w _1 )/(w 2 )/(«"*)

(4?十 W 十 2)(^~2

十 J 十 2)(^ 十 y + 2)(W _1 + 胪 + 2) (1 十洞十

2^ + w -] + 1 + 2M + 2w a 十 2w l + 4)(1 十 4 2^ + OJ -2 + 1 + 2^ + 2^ + 2M _r + 4)

(6 + Gcos^ + 4cos 警)(6 + g 警 + Seos 警)

(6 + ficos y - 4tos yj(6 + 4cOH 弩- E 阮、

(6 - 6孕

y + isin ^,/(x) = x z 十龙+若则f (川)几』〉的值为

+ i^cos ^sin 警 + sin 警cos 弩 5

-75-l)(6 + ?5- 1

、4

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《高校自主招生一数学》 贾广素工作室

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=11.

若 0「门 +flCOS （A ：-l ）= 0 有唯--解,则（

A.

厲的值唯• B. 口的值不唯一

C 门的值不存在

D.以上都不对

解答选A.

因为f （兀）=217 +acos （A ：-l ）关于x = l 对称,所以若f （x ）^唯一零点,则零点只 能为1.将兀=1彳弋入，得到a = T,此时f （x ） =2|x_11 -cos （x-l ）,^检验« = -1符合 题意"

04

已知皿1 *2 ,衍皿&€ ｛1、Z ，3,4：｝ ,口3皿4》为口I ■吐.心皿4中不同数字的

种类哀如N （1J23） =3,N （122,1｝二2,求所有的256个（血心gg ）的排列所得 7V （"l 山2 ,如■

心）的平均值为（

）.

解答选D-

N 5\心、a 3心）为1的个数为4；

N （心•如，為虫J 为2的个数为CS （CS+2Q ） = 84； N （尙0 心皿Q 为3的个数为二144*

N （Q i *2 *麻3皿4 ）为球的个数为A] — 24.

1

17^

从而 iijfR^^6(4xi + 84X2+114X3 + 24X1) = ^.

在△/WC 中 *sinZ/l + sinz^/?sinz^C 的最大值为(

解答选E

市积化和差公式得

sin^A + sin^Bsm^C

=sin^A + y (cost^B - ZC) - cos(^B + 乙CM

-sin^A - -^COB ^A + ~|~cos(Z 百—乙 C) 冬 sin^A - -^-cosZ^/4 + 令

Y I s + (_ 4)

- Z 卩)+ Y

A - 32

175 64

A

- i

B.

1 +75

D.无报大值

4

《高校自主招生一数学》贾广素工作室在= = + j时取等号*

四人做一道选项为A.B，C.D的选择题•四牛同学的对话知厂赵:我选A.

钱:我选B,GD当屮的-个一

孙古我选C

李古我选6

四个人毎人只选了…个选项川1' R倂不相同'我中貝有一个人说谥•则说谎的人町能

是诽1 解答孙或李.

用列衣法•只中O代表选该选项.X代表没有选该选项一

如赵说谎•则无人选A（见表1八弟盾一

表1

A B C D

赵X

X

孙0

O

如钱说谎,则赵、钱均选A（见表2）-矛曲.

表2

A H C

赵O

践O

如孙说谎.则可得如表3所示的情况:成7..

O _______

X

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《高校自主招生一数学》贾广素工作室

如李说谎.则川'得in* 4所示的悄况•成立.

表4

A B C D

赵O

钱X O

O

0X

已知2・ lvC?C, I 2 + IV I = 1 H, I z2 + H'2 I 二4?则I ZW I (

解答选

注意到

1 - | z + w | - - | (z w)21 = \ z2w2+ 2zw | , 从【对冇

1 | z

2 + | - 21 ziv | 与I $ 21 砂| 一］护+ \沪

从而（最小值可以取测例如辽二捋7.⑷二上尹,最大值亦可以取到’例如辽二今+寺人⑷二

-3 +丄)

2 21

往四面体PABC ABC为等边三角形，边长为乳“二乳珂？二4./V二乳贝W四而体P/W0的体积为（）.

A. 3

B. 2屈

C. /1T

D. /10

解答选C

件先PC2= PB Z+ BC\故PB±反\设P到底而的高足PH.则BC± UH ZABH =30°设PH = h.AH =

a^H^b,CH = c”山余弦定理得

+ A2= 32・

护+护二学,

+ h2 -5\

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A.有最大值普B有最大值号C有最小值另 D.有最小值号