第一章 命题逻辑的基本概念

1.1 命题和联结词
逻辑联结词合取——“∧”
它的真值是这样定义的：当且仅当p和q的真值都为1 时，p∧q的真值才为1，否则p∧q的真值为0。逻辑联结 词“∧”的定义如下表所示：
p F F T T
q F T F T
p ∧q F F F T
p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
p ∧q 0 0 0 1
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命题分类
简单命题（也称原子命题）：不能被分解成更简单的命题 复合命题：由简单命题通过联结词联结而成的命题。
简单命题符号化 用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示简单命题 用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令 p：2 是有理数，则 p 的真值为0， q：2 + 5 = 7，则 q 的真值为1
逻辑联结词否定—“”
例: 给出下列命题的否定。 （1）令p表示：大连是北方香港。 于是 p表示：大连不是北方香港。 （2）令q表示：所有的素数都是奇数。 于是 q表示：并非所有的素数都是奇数。 注意：翻译成“所有的素数都不是奇数”是错误 的。因为否定是对整个命题进行的。
逻辑联结词合取——“∧” 定义1.2 设p,q为两个命题，复合命题“p 并且q”(或“p与 q”)称为p与q的合取式， 记作p∧q，∧称作合取联结词. p∧q读作 “p与q”或者“p合取q”。 逻辑联结词“∧”是个二元运算符，∧ 是“并且”的逻辑抽象。
内容框架
第一部分：数理逻辑 第二部分：集合论 第三部分：图论 第四部分：组合数学 第五部分：代数系统简介
你好，我是大白，你的私人健康顾问。
《超能陆战队》
第一部分
第二章 命题逻辑等值演算
数理逻辑
第一章 命题逻辑的基本概念 第三章 命题逻辑的推理理论 第四章 一阶逻辑（谓词逻辑）的基本概念 第五章 一阶逻辑（谓词逻辑）等值演算
例5 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲.
1 0 1 0
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联结词的运算顺序：, , , , , 同级从 左到右顺序进行. ( )最先, 按从内到外顺序进行 .
析取联结词
例 将下列命题符号化 (1) 2 或 4 是素数. (2) 2 或 3 是素数. (3) 4 或 6 是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王小红生于 1975 年或 1976 年. 解： (1) 令p:2是素数, q:4是素数, pq (2) 令p:2是素数, q:3是素数, pq (3) 令p:4是素数, q:6是素数, pq
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蕴涵联结词
逻辑联结词蕴涵—“→” 定义1.4 设p, q为两个命题，复合命题“如果p, 则q”称作p与q的 蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件， 称作蕴涵联结词. p→q读作“如果p则q”或“如果p那么q”。
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1.1 命题和联结词
逻辑联结词蕴涵—“→”
逻辑联结词“→”的定义如下表所示：
作为命题的陈述句所表达的判断结果称作命题的真值，真值只
能取两个值：真或假。真值为真的命题称为真命题，真值为假的 命题称为假命题。注意：任何命题的真值都是唯一的。 如果一个命题的真值是真，则用1或T(Ture)来表示；如果一 个命题的真值是假，则用0或F（False）来表示。
本书用命题用英文字母，如p，q，r……来表示。
解： q：三角形3个内角相等。 于是（1）可表示为：pq 令r：电灯不亮。
令p：三角形是等边的。 （2）电灯不亮，当且仅当灯泡发生故障或开关发生故障。
s：灯泡发生故障。 t：开关发生故障。
于是（2）可表示成：
r(s∨t)。 令a：2 + 2 = 4。
b：今天天晴。
于是（3）可表示为：ab
等价联结词
什么是数理逻辑？
数理逻辑是用数学方法研究思维
规律的一门学科。所谓数学方法 是指:用一套数学的符号系统来描 述和处理思维的形式与规律。因 此，数理逻辑又称为符号逻辑。
什么是数理逻辑？
数理逻辑的创始人--莱布尼茨
莱布尼茨(Leibniz, Gottfried Wilhelm) 1646.7.1-1716.11.14 德国数学家、物理学家、哲学家等，一个举世罕见 的科学天才。研究领域涉及到逻辑学、数学、力学、地 质学、法学、历史学、语言学、生物学以及外交、神学 等诸多方面. 出生于德国东部莱比锡的一个书香之家，父亲是莱 比锡大学的道德哲学教授，母亲出生在一个教授家庭。 莱布尼兹的父亲在他年仅6岁时便去世了，给他留下了 丰富的藏书。
逻辑联结词“”的定义
p F F T T
q F T F T
p q T F F T
p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
p q 1 0 0 1
1.1 命题和联结词
逻辑联结词等价—“”
例 使用联结词翻译一下命题：
（1）三角形是等边的，当且仅当它的3个内角相等。
（3）2 + 2 = 4，当且仅当今天天晴。
离散数学及其应用
引言
离散数学是计算机及相关专业的一门重要基础课。
学习方法
精确严格地掌握好概念和术语，正确理解它们的内涵和外延；
独立完成作业，自觉归纳基本解题方法；
阅读和复习时，随时备好纸笔，以便进行详细的推导和计算； 学习和理解术语，给术语赋予特殊的含义，加深理解。 多做习题，加深理解。
p仅当q 只有q 才p

除非q, 才p 或 除非q，否则非p，…．
(3) 当 p 为假时，pq恒为真，称为空证明 (4) 常出现的错误：分不清充分条件与必要条件
蕴涵联结词的实例
例4 设 p：天冷，q：小王穿羽绒服，将下列命题符号化 pq (1) 只要天冷，小王就穿羽绒服. pq (2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服. qp, pq (3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷. qp (4) 只有天冷，小王才穿羽绒服. qp (5) 除非天冷，小王才穿羽绒服. pq (6) 除非小王穿羽绒服，否则天不冷. pq (7) 如果天不冷，则小王不穿羽绒服. qp (8) 小王穿羽绒服仅当天冷的时候. 注意： p q 与 qp 等值（真值相同）
逻辑联结词析取——“∨” 定义1.3 设p, q为两个命题，复合命题“p或q”称作p与q的析 取式，记作p∨q，∨称作析取联结词. 读作“p或q”，或 “p析取q”。 逻辑联结词析取也是个二元运算符。 联结词∨是自然语言中“或”、“或者”的逻辑抽象。
1.1 命题和联结词
逻辑联结词析取——“∨” 其真值是这样的定义的：当且仅当p和q的真值均为0 时，p∨q的真值为0，其余情况均为1。逻辑联结词“∨” 的定义如下表所示：
第一章 命题逻辑的基本概念
第一章 命题逻辑基本概念
主要内容 1.1 命题与联结词 命题及其分类 联结词与复合命题 1.2 命题公式及其赋值
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1.1 命题和联结词
现实语言
应用：
计算机电路设计 计算机程序构造 程序正确性证明
翻译
判定
推理
1.1 命题和联结词
命题的概念
命题的定义：
非真即假的陈述句。
(1)—(3) 说明描述合取式的灵活性与多样性 (4)—(5) 要求分清 “与” 所联结的成分
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1.1 命题和联结词
逻辑联结词合取——“∧”
例 令p表示：外面正在下雪。
令q表示：3小于5。
于是p∧q表示 ：外面正在下雪并且3小于5。 从自然语言看，上述命题是不合理的、没有意义的，因为p和q毫不相关。但是， 在数理逻辑中是被允许的，也是正确的。p和q再合取p∧q仍可成为一个新的命题。 只要p和q的真值给定，p∧q的真值即可确定。 逻辑联结词“∧”具有对称性，即p∧q和q∧p具有相同真值。
p F F T T
q F T F T
p∨ q F T T T
p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
p∨ q 0 1 1 1
注意： 在自然语言中，“或”是多义的。从析取的定义不难看出 ，逻辑联结词“∨”和自然汉语中的“或”的意义并不完 全相同。因为汉语中的“或”可表示“排斥或”，亦可表 示“可兼或(又称相容或)”，而逻辑联结词“析取”指的 仅仅是“相容或”，并不表示其他意义的“或”。
逻辑联结词“→”的定义
p F F T T
q F T F T
p →q T T F T
p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
p→q 1 1 0 1
(1) pq 的逻辑关系：q为 p 的必要条件, p是q的充分条件. (2) “如果 p, 则 q” 有很多不同的表述方法： 若p，就q


只要p，就q
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联结词
联结词是逻辑联结词或者命题联结词的简称，它是自然语言中连词 的逻辑抽象。有了联结词，就可以通过它和原子命题构成复合命题。
常用的逻辑联结词主要包括以下几种。
（1）联结词“非”，记为“ p ”，表示“否定”的意思。 （2）联结词“合取”，记为“∧”，表示“且”的意思。
（3）联结词“析取”，记为“∨”，表示“或”的意思。
判断给定句子是否为命题分为两步：首先判断该
句子是否为陈述句，其次判断它是否有唯一的一 个真值。
命题概念
例1 下列句子中那些是命题？ (1) 2 是有理数. (2) 2 + 5 = 7. (3) x + 5 > 3. (4) 你去教室吗？ (5) 这个苹果真大呀！ (6) 请不要讲话！ (7) 2050年元旦下大雪. （8）我正在说假话。 假命题 真命题 不是命题 不是命题 不是命题 不是命题 命题，但真值现在不知道
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析取联结词的实例
(4) 令p:小元元拿一个苹果, q:小元元拿一个梨 (pq)(pq) (5) p:王小红生于 1975 年, q:王小红生于1976 年, (pq)(pq) 或 pq
(1)—(3) 为相容或 (4)—(5) 为排斥或, 符号化时(5)可有两种形式，而(4)则不能 注：p与q不能同时为真的条件下， p与q的排斥或也可以写 成p与q的相容或。
合取联结词的实例
例 将下列命题符号化. (1) 吴颖既用功又聪明. (2) 吴颖不仅用功而且聪明. (3) 吴颖虽然聪明，但不用功. pq pq pq pq
(4) 张辉与王丽都是三好生.
(5) 张辉与王丽是同学.
p 解: (1)(2)(3)令p:吴颖用功, q:吴颖聪明 (4)设p:张辉是三好生, q:王丽是三好生 (5)p:张辉与王丽是同学
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逻辑联结词等价—“” 定义1.5 设 p, q为两个命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与 q的等价式，记作pq，称作等价联结词. 读作“p当且 仅当q” 规定pq为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.pq 的逻 辑关系：p与q互为充分必要条件
1.1 命题和联结词
pq的运算表如下表所示。
（4）联结词“蕴涵”，记为“→”，表示“如果…，则…”的意 思。
（5）联结词“等价”，记为“↔”，表示“当且仅当”的意思。
逻辑联结词否定—“”
定义1.1 设 p为命题，复合命题“非p”(或“p的否定”)称 为p的否定式，记作p，读作“非p”符号称作否定联结 词. 规定p 为真当且仅当p为假. 联结词┓是自然语言中的“非”、“不”和“没有”等的 逻辑抽象 注意：逻辑联结词否定是个一元运算符。 真值定义如下： p 0 1 ┐p 1 0
什么是数理逻辑？
数理逻辑的创始人--莱布尼茨
15岁时，进了莱比锡大学学习法律，一进校便跟上了大学二年级标 准的人文学科的课程，还广泛阅读了培根、开普勒、伽利略等人的著作， 并对他们的著述进行深入的思考和评价。在听了教授讲授欧几里德的《 几何原本》的课程后，莱布尼兹对数学产生了浓厚的兴趣。17岁时他在 耶拿大学学习了短时期的数学，并获得了哲学硕士学位 。 19岁设计出世界第一台乘法器，被认为是现代机器数学的先驱者。 Leibniz(1646～1716年) 之梦：有一天所有的知识，包括精神和无 形的真理，能够通过通用的代数演算放入一个单一的演绎系统。 1693年，发现了机械能的能量守恒定律。 与牛顿并称为微积分的创立者。 系统阐述了二进制记数法，并把它和中国的八卦联系起来。