第二章212指数函数及其性质第一课时课时活页训练

1．函数y ＝πx 的值域是( )
A ．(0，＋∞)
B ．[0，＋∞)
C ．R
D ．(－∞，0)
解析：选A.∵函数y ＝πx 是指数函数，且定义域为R ，
∴y ＝πx 的值域是(0，＋∞)．
2．方程3x －1＝19的解为( )
A ．x ＝2
B ．x ＝－2
C ．x ＝1
D ．x ＝－1
解析：选D.∵3x －1＝19＝3－2，∴x －1＝－2，∴x ＝－1.
3．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝ax 与g (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象可能是( )
解析：选B.由题意知，a>0，
故f (x )=ax 经过一、三象限，∴A 、D 不正确．
若g (x )=ax 为增函数，则a>1，
与y =ax 的斜率小于1矛盾，故C 不正确；
B 中0<a<1，故B 正确．
4．当x >0时，指数函数f (x )＝(a －1)x <1恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．a >2
B ．1<a <2
C ．a >1
D ．a ∈R
解析：选B.∵x >0时，(a －1)x <1恒成立，
∴0<a －1<1，∴1<a <2.
5．不论a 取何正实数，函数f (x )＝a x ＋1－2恒过点( )
A ．(－1，－1)
B ．(－1,0)
C ．(0，－1)
D ．(－1，－3)
解析：选A.f (－1)＝－1，所以，函数f (x )＝a x ＋1－2的图象一定过点(－1，－1)．
6．函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为( )
A.12 B ．2
C ．4 D.14
解析：选B.由题意，得a 0＋a 1＝3，∴a ＝2.
7．设0＜a ＜1，则函数f (x )＝1a x －a
2的定义域是________． 解析：a x －a 2＞0⇒x ＜2.
答案：{x |x ＜2}
8．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．
解析：由数形结合知，当a >1时图象只有一个公共点；
当0<a <1时，要使y ＝2a 与y ＝|a x －1|有两个公共点，需使0<2a <1，
∴0<a <12.
答案：0<a <12
9．函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0且a ≠1)的图象过点(1,3)，且在y 轴上的截距为2，则f (x )的解析式为________．
解析：由题意得a ＋b ＝3，
又当x ＝0时，f (0)＝1＋b ＝2.
∴b ＝1，a ＝2，∴f (x )＝2x ＋1.
答案：f (x )＝2x ＋1
10．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2，12)，其中a >0且a ≠1.
(1)求a 的值；
(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．
解：(1)函数图象过点(2，12)，
所以a 2－1＝12，则a ＝12.
(2)f (x )＝(12)x －1(x ≥0)，
由x ≥0，得x －1≥－1，
于是0<(12)x －1≤(12)－1＝2.
所以，所求的函数值域为(0,2]．
11．若关于x 的方程a x ＝3m －2(a ＞0且a ≠1)有负根，求实数
m 的取值范围．
解：若a ＞1，由x ＜0，则0＜a x ＜1，
即0＜3m －2＜1，
∴23＜m ＜1；
若0＜a ＜1，由x ＜0，则a x ＞1，
即3m －2＞1，
∴m ＞1.
综上可知，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
23，1∪(1，＋∞)．
12．若x ∈[0,2]，求y ＝4x －12－3×2x ＋5的取值范围．
解：y ＝4x －12－3×2x ＋5＝4x ·4－12－3×2x ＋5
＝12·22x －3×2x ＋5.
设t ＝2x ，由0≤x ≤2，得1≤2x ≤4，即1≤t ≤4.
则有y ＝12t 2－3t ＋5，对称轴为t ＝3.
∴t ＝1，即2x ＝1时，
y max ＝12×1－3×1＋5＝52；
t ＝3，即2x ＝3时，
y min ＝12×9－3×3＋5＝12.
综上所述，y ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，52.。