创意平板折叠桌的数学模型数学建模B题92620850

假设二：桌腿钢筋不会发生形变
假设三：描述桌脚边缘线时桌脚为质点
假设四：外侧桌腿和钢筋固定良好
假设五：铰链不会发生形变且对设计加工参数无影响
4.问题一模型的建立与求解
4.1 符号说明：
符号 Li ai i i Hi
R h mi b Ki
符号说明 第 i 根桌腿腿长 第 i 根桌面木条的半长 第 i 根桌腿与竖直方向的夹角 第 i 根桌腿动态变化转过的角度 第 i 根桌腿底部距地面的高度 桌面外接圆半径 钢筋位置距桌面高度 第 i 根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离 第一根桌腿底部距桌子竖直对称面的距离 第 i 根木条开槽长度
桌腿与竖直方向的夹角 1
wk.baidu.com
100 arccos
120 a1
钢筋位置到桌子竖直对称面距离
m1
1 2
60 a1 2 502 a1
钢筋位置距桌面高度 h 25
图2
4
图3
根据图 2 和图 3 计算可以得出：
第 i 根桌面木条的半长 ai 252 a12 25 2.5i 12
桌面外接圆半径 R 252 a12
2.问题分析
2.1 问题一的分析 问题一要求我们建立模型描述折叠桌的动态变化过程并给出设计加工参数，由于长 方形平板尺寸和每根木条的宽度及钢筋的位置都为已知，所以只需假设最外侧桌面木条 的半长，根据桌子的对称性研究桌子左边最外侧到中间的桌腿，利用空间几何建立数学 模型，再用 MATLAB 对模型求解得出设计加工参数，用 EXLINK 导出每根桌腿转过的角度。 2.2 问题二的分析 问题二要求我们做到产品稳固性好、加工方便、用材最少，对于已定的桌高和桌面 直径确定最优设计加工参数。由问题一中折叠桌桌腿的几何关系建立多目标决策分析模 型确定决策变量和目标函数，用 MATLAB 确定最优设计加工参数。
针对问题二，本文建立模型Ⅱ——设计加工参数模型。采用多目标决策分析方法使 产品达到稳固性好、加工方便、用材最少，所以开槽长度 K 和长方形平板面积 S 必须达 到最小，对于任意给定的高度 H 和圆形桌面直径 R 确定： ①决策变量： a1 （桌面最外侧木条的半长），1 （最外侧桌腿的竖直偏角）， p （最外 侧折叠处到钢筋位置距离与最外侧桌腿的比值） ②目标函数 : K (开槽总长度)， S 长方形木板面积 用 MATLAB 求解出多组方案并确定目标函数最小的最优方案，列出设计加工参数。
创意平板折叠桌的数学模型数 学建模 B 题 92620850
创意平板折叠桌的数学模型
摘要
本文主要研究的是创意平板折叠桌的设计加工问题，对设计加工参数进行分析和优 化并为公司开发设计折叠桌软件提供数学模型，为解决这些问题建立不同的数学模型并 用 MATLAB 进行模型求解。
针对问题一，本文建立了模型Ⅰ——动态变化及数学描述模型。利用解析几何求出 每根桌腿由平铺状态到完全展开过程中转过的角度来描述折叠桌动态变化过程，并在此 基础上用 MATLAB 解出设计加工参数:桌腿木条开槽长度 Ki ，三维空间桌脚边缘线。
针对问题三，本文建立了模型Ⅲ——软件设计模型。根据客户设定的高度、桌面边 缘线形状大小为客户提供三种桌面形状：①圆形桌面，②圆弧和矩形组合桌面，③“8” 字形桌面。对于圆形桌面可参照模型Ⅱ；对于组合桌面，可在模型Ⅱ的基础上通过增大 最外侧桌面木条的长度 a1 来实现；对于“8”字形桌面则可将两个组合桌面的直线边进 行对接，所以模型三的建立和求解便可在模型Ⅱ的基础上改动来实现。
4.2 模型Ⅰ的建立（数据单位均为 cm ） 根据桌子的对称性只需研究桌子左边最外侧到中间的 10 根桌腿，设最外侧桌腿为
第一根桌腿 L1 ，其桌面木条的半长为 a1 ，以第一根桌脚为原点建立空间直角坐标系（见 图 1）
3
图1
根据问题一所给尺寸计算出：
第一根桌腿：腿长 L1 60 a1
第一根桌腿底部距桌子竖直对称面的距离 b H tan1 a1
2
2.3 问题三的分析
问题三要求我们为折叠桌的设计软件提供数学模型，可根据客户任意设定的折叠桌
高度、桌面边缘线形状大小和桌脚边缘线的大致形状来给出所需平板的尺寸及加工参数，
对此我们充分的利用问题二的模型来设计桌面边缘线的形状，使所建立的软件设计模型
易于求解。
3.模型的假设
假设一：不考虑加工对长方形平板宽度带来的影响
试建立数学模型讨论下列问题： 1. 给定长方形平板尺寸为 120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽 2.5 cm，连接桌腿木 条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为 53 cm。试建立模型 描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿 木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的数学描述。 2.折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠 桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数， 例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高 70 cm，桌面直径 80 cm 的情形， 确定最优设计加工参数。 3.公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘 线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最 优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。团队的任务是帮助 给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠 桌。给出相应的设计加工参数，画出至少 8 张动态变化过程的示意图。
第 i 根桌腿腿长 Li 60 ai
第 i 根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离 mi m1 ai
第i
根桌腿的竖直夹角 i
arctan
mi h
第i
根桌腿钢筋位置以上长度 li
关键词：解析几何 MATLAB 多目标决策分析 EXLINK
1
1.问题重述
某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张 平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分 别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子 外形由直纹曲面构成，造型美观。