广东省 2020 年普通高等学校本科插班生招生考试 全真模拟考试 高等数学(答案)
广东省2020届高三普通高中招生全国统一考试模拟(一)数学(文)试题 Word版含解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科数学模拟试题（一）本试卷5页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的县（市、区）、学校、姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合,A B 均为全集{1,2,3,4,5,6,7}U =的子集，集合{1,2,3,4}A =，则满足{1,2}UAB =的集合B 可以是（ ）A. {1,2,3,4}B. {1,2,7}C. {3,4,5,6}D. {1,2,3}【答案】C 【解析】 【分析】由补集的定义可知，集合B 中不含元素1,2，即得答案.【详解】集合,A B 均为全集{1,2,3,4,5,6,7}U =的子集，集合{1,2,3,4}A =. {1,2},u A C B =∴集合B 中不含元素1,2.故选：C .【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题. 2. 复数4334iz i+=-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A. 1- B. 2C. 5D. 1【答案】D【分析】根据复数的除法，把复数4334iz i+=-化为(),z a bi a b R =+∈的形式，即得z 的虚部. 【详解】()()()()()222433443122512253434342534i i i i i iz i i i i i +++++=====--+-, ∴复数z 的虚部为1.故选：D .【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的概念，属于基础题. 3. 已知向量1,12a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，向量b 满足2(1,)a b m +=-，若a b ⊥，则m =（ ） A. 3- B. 3C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】求出b ，由a b ⊥，得0a b =，即求m . 【详解】()1,1,2(1,),2,22a a b m b m ⎛⎫=-+=-∴=-+ ⎪⎝⎭.,0a b a b ⊥∴=，即()()12202m ⨯--+=，3m ∴=-.故选：A.【点睛】本题考查向量的线性运算和向量垂直的坐标表示，属于基础题.4. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上、下顶点分别为,A B ，若四边形21AF BF 是正方形且面积为4，则椭圆C 的方程为（ ）A. 22142x y +=B. 2212x y +=C. 22132x y +=D.22143x y +=【解析】 【分析】由题意知122,2F F c AB b ==.由四边形21AF BF 是正方形且面积为4，可得b c =，且12242c b ⨯⨯=，即2bc =，可求,b c 的值，从而求出2a ，可得答案. 【详解】由题意知122,2F F c AB b ==.四边形21AF BF 是正方形且面积为4，b c ∴=，且12242c b ⨯⨯=，即2bc =， 2222,4b c a b c ∴==∴=+=，∴椭圆C的方程为22142x y +=.故选：A.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属于基础题.5. 如图，OAB 是边长为2的正三角形，记OAB 位于直线(0x t t =<≤2）左侧的图形的面积为()f t ，则()y f t =的大致图像为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】高考资源网（ ） 您身边的高考专家【分析】先由已知条件写出()f t 的函数关系式，即可选择其图像. 【详解】因为OAB 是边长为2的正三角形， 当0t <≤1时，213()32f t t t =⨯= ； 当1t <≤2时，2113()23(2)3(2)2)3222f t t t t =⨯⨯--=--+所以223,(01)()32)3,(12)t f t t t <≤=⎨⎪-+<≤⎪⎩.只有选项B 中图像符合故选：B.【点睛】此题考查的是求函数解析式和由解析式选函数图像，属于基础题. 6. 若2sin()3πα+=，则sin 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A. 19-B. 59-C.19D.59【答案】B 【解析】 【分析】 由2sin()3πα+=，可求出sin α.又sin 2cos 22παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，根据倍角公式可求值.【详解】222sin()sin sin 333πααα+=∴-=∴=-. ()2225sin 2cos 212sin 1229πααα⎡⎤⎛⎛⎫⎢⎥∴-=-=--=--⨯=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：B.【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和倍角公式，属于基础题.7. 甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率为（ ）A.14B.13C.16D.136【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法求出“甲从4种不同的图书中任选2本阅读”所包含的基本事件数，进而求出“甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读”包含的基本事件总数，以及“甲、乙两人选的2本恰好相同”包含的基本事件数，根据古典概型的概率计算公式，可求概率. 【详解】用a 、b 、c 、d 表示4种不同的图书，则事件“甲从4种不同的图书中任选2本阅读”所包含的基本事件有：(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),b c 、(),b d 、(),c d ，共6种， 其中，事件“甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读”所包含的基本事件数为2636=，记“甲、乙两人选的2本恰好相同”为事件A ，则事件A 包含的基本事件数为6，()61366P A ∴==. 故选：C.【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.8. 某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm ，则石凳子的体积为（ ） A.31920003cm B.31600003cm C.3160003cm D.3640003cm 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，石凳子的体积等于正方体的体积减去8个正三棱锥的体积.求出正三棱锥的体积即得答案.【详解】由题意，石凳子的体积等于正方体的体积减去8个正三棱锥的体积. 一个正三棱锥的体积为231140002020323cm ⨯⨯⨯=,所以石凳子的体积为33400016000040833cm -⨯=. 故选：B .【点睛】本题考查空间几何体的体积，属于基础题. 9. 执行下边的程序框图，若输出A 的值为70169，则输入i 的值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到,A k 的值.根据输出A 的值为70169，可求出输入的i 的值.【详解】模拟执行程序框图可得 第一次执行循环，可得12,21522A k ===+第二次执行循环，可得15,321225A k ===+ 第三次执行循环，可得112,4529212A k ===+第四次执行循环，可得129,51270229A k ===+ 第五次执行循环，可得170,629169270A k ===+ 输出A 的值为70169， 6i ∴≤不成立，5i =.故选：B .【点睛】本题考查循环结构的程序框图，属于基础题.10. 已知O 是坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与x轴垂直，且交双曲线C 于,A B 两点，若ABO 是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） 51+ 51- 51 51【答案】A 【解析】 【分析】设(),0F c .把x c =代入双曲线方程，得2by a=.由ABO 是等腰直角三角形，得2b ca.又222b c a =-，可求离心率e . 【详解】设(),0F c .把x c =代入双曲线2222:1x y C a b-=，得4222,b b y y a a =∴=.ABO 是等腰直角三角形，2b c a∴=,又2222222,,0c a b c a c c ac a a-=-∴=∴--=， 210e e ∴--=，解得15151,e e e ±+=>∴=. 故选：A .【点睛】本题考查双曲线的离心率，属于基础题.11. 在ABC 中，已知60A ︒=，D 是边BC 上一点，且2BD DC =，2AD =，则ABC 面积的最大值为（ ） 3 332C. 23532【答案】B 【解析】 【分析】设,AB c AC b ==.由题意2,60AD BAC =∠=.则1233AD c b =+，两端平方，根据数量积运算和基本不等式可得6b c ≤，当且仅当2c b =时，等号成立.再由三角形面积公式可求ABC 面积的最大值【详解】设,AB c AC b ==.由题意2,60AD BAC =∠=，2BD DC =. 则()221212333333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC c b =+=+=+-=+=+，22222212144144cos6033999999AD c b c b b c c b b c ⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭2222142142229999993c b b c c b b c b c =++≥⨯+=， 即24,63b c b c ≥∴≤，当且仅当221499c b =，即2c b =时，等号成立. 1133sin 6sin 6022ABCSb c BAC ∴=∠≤⨯⨯=ABC ∴332故选：B .【点睛】本题考查利用向量求三角形的面积，考查基本不等式，属于中档题.12. 已知()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数(1)0f =，且当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则不等式()0f x <的解集为（ ）A. (1,0)1,2π⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭B. (1,0)(0,1)-C. ,11,22ππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ,1(0,1)2π⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】 由()()tan 0f x f x x '+>，得()cos ()sin 0f x x f x x '+>.令()()sin ,,22g x f x x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则()'0g x >，故()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且()10g =.可得()g x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数，故()g x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，且()10g -=.故()0f x <等价于()0sin g x x <，等价于sin 0()0x g x <⎧⎨>⎩或sin 0()0x g x >⎧⎨<⎩，可求解集.【详解】由()()tan 0f x f x x '+>，得()sin ()0cos f x xf x x'+>，即()cos ()sin 0cos f x x f x xx'+>.0,,cos 0,()cos ()sin 02x x f x x f x x π'⎛⎫∈∴>∴+> ⎪⎝⎭.令()()()'sin ,,.()cos ()sin 022g x f x x x g x f x x f x x ππ'⎛⎫=∈-∴=+> ⎪⎝⎭， ()g x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且()()11sin10g f ==.()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数，()()f x f x =--∴.()()()()()()()sin sin sin g x f x x f x x f x x g x ∴-=--=--==，()g x ∴是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数.()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()g x ∴在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，且()()110g g -==.故()0f x <等价于()0sin g x x<， 等价于sin 0()0x g x <⎧⎨>⎩或sin 0()0x g x >⎧⎨<⎩，即0212x x ππ⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<-⎪⎩或0201x x π⎧<<⎪⎨⎪<<⎩，解得12x π-<<-或01x <<，∴原不等式的解集为(),10,12π⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭.故选：D .【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于较难的题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 设函数2()ln f x mx x =，若曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线与直线20200ex y ++=平行，则m =______．【答案】13- 【解析】 【分析】求出'()f x .由题意知'()f e e =-，可求m .【详解】()()2'()ln ,2ln f x mx x f x m x x x =∴=+.曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线与直线20200ex y ++=平行，'()f e e ∴=-，即()12ln ,3m e e e e m +=-∴=-.故答案为：13-.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.14. 若,x y 满足约束条件12x y x ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩，，则2z x y =+的最大值为_____．【答案】7 【解析】 【分析】约束条件12x y x ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩即1122x y x -≤-≤⎧⎨-≤≤⎩，作出可行域.由2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，数形结合可求z 的最大值.【详解】约束条件12x y x ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩即1122x y x -≤-≤⎧⎨-≤≤⎩，作出可行域，如图所示由2z x y =+得2y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距. 平移直线2y x z =-+，当直线过可行域内的点A 时，z 最大.解方程组12x y x -=-⎧⎨=⎩，得23x y =⎧⎨=⎩，即()2,3A ，max 2237z ∴=⨯+=.故答案为：7.【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.15. 如图，已知三棱锥P ABC -满足2PA PB PC AB ====，AC BC ⊥，则该三棱锥外接球的体积为_______．【答案】32327π 【解析】 【分析】由题意可得，点P 在底面ABC 上的射影为ABC 的外心，即斜边AB 的中点D .由2PA PB AB ===得PAB △的外心即为三棱锥P ABC -的外接球的球心，设为O .故正PAB △的外接圆的半径即为三棱锥P ABC -的外接球的半径，求出半径，即求球的体积.【详解】,PA PB PC P ==∴在底面ABC 上的射影为ABC 的外心.,AC BC ⊥∴斜边AB 的中点D 即为ABC 的外心，即PD ⊥平面ABC ，∴三棱锥P ABC -的外接球的球心在PD 上.2,PA PB AB PAB ===∴的外心即为三棱锥P ABC -外接球的球心，设为O .如图所示∴三棱锥P ABC -的外接球的半径R 即为正PAB △的外接圆的半径，2222232133R PD ∴==-=， ∴三棱锥P ABC -外接球的体积33442332333V R πππ===⎝⎭. 32327π. 【点睛】本题考查空间几何体外接球的体积，属于中档题.16. 函数()sin cos f x x a x ππ=+满足1()3f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0f x m -=恰有两个不等的实根，则实数m 的取值范围为_______．【答案】(2,1]3,2)--⋃ 【解析】 【分析】 由1()3f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得()f x 的对称轴为16x =.由辅助角公式可得()()()21tan f x a x a πθθ=++=，故2116f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求a .求出()f x 的解析式，求出()f x 在30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域，即可求实数m 的取值范围.【详解】函数()sin cos f x x a x ππ=+满足1()3f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()f x ∴的对称轴为16x =.由辅助角公式可得()()()21tan f x a x a πθθ=++=，2116f a ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，即2sin cos 166a a ππ+=+即213122a a +=+3a =()sin 32sin 3f x x x x ππππ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭.当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]()[]11,,sin 1,1,2,23363x x f x ππππππ⎡⎤⎛⎫+∈∴+∈-∴∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭. 当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0f x m -=恰有两个不等的实根，即方程()m f x =在30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恰有两个不等的实根.21m ∴-<≤-32m ≤<，即实数m 的取值范围为(2,1]3,2)--⋃.故答案为：(2,1]3,2)--⋃.【点睛】本题考查函数与方程、三角函数的对称性和辅助角公式，属于较难的题目. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 已知{}n a 为单调递增的等差数列，设其前n 项和为n S ，520S =-，且35,1a a +，9a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值及取得最小值时n 的值． 【答案】（1）112n n a -=；（2）当10n =或11时，n S 取得最小值552-【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d >.由520S =-，359,1,a a a +成等比数列列方程组求1,a d ，即求数列{}n a 的通项公式；（2）根据n a 的符号，可求n 的值，根据等差数列前n 项和公式，求n S 的最小值. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d >，由题意可得()()()1211154520,22841.a d a d a d a d ⨯⎧+⨯=-⎪⎨⎪+⋅+=++⎩解得12d =或72d =-（舍）． 当12d =时，15a =-． 1115(1)22n n a n -∴=-+-⨯=． （2）由（1）知112n n a -=，令10,0,n n a a +≤⎧⎨≥⎩解得1011n ≤≤．∴当110n ≤≤时，0n a <，当11n =时，0n a =， 当12n ≥时，0n a >．∴当10n =或11时，()()111min11111011552222n a S a -⎛⎫⨯+ ⎪+⎝⎭===-． 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式和前n 项和，属于基础题.18. 某城市208年抽样100户居民的月均用电量（单位：千瓦时），以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组，得到如下频率分布表：分组频数频率 [160,180) 1n0.04[180,200)191f[200,220) 2n0.22[220,240) 250.25[240,260) 15 0.15[260,280)102f[280,300]50.05（1）求表中1212,,,n n f f 的值，并估计2018年该市居民月均用电量的中位数m ；（2）该城市最近十年的居民月均用电量逐年上升，以当年居民月均用电量的中位数u （单位：千瓦时）作为统计数据，下图是部分数据的折线图．由折线图看出，可用线性回归模型拟合u 与年份t 的关系．①为简化运算，对以上数据进行预处理，令2014x t =-，195y u =-，请你在答题卡上完成数据预处理表；②建立u 关于t 的线性回归方程，预测2020年该市居民月均用电量的中位数．附：回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx=-．【答案】（1）14n =，222n =，10.19f =，20.1f =；中位数224m =千瓦时；（2）①见解析；② 6.512892.8u t =-；237.2千瓦时. 【解析】 【分析】（1）根据频率等于频数与样本容量的比，求出1212,,,n n f f .根据中位数左右两侧的频率相等，求出中位数；（2）①根据折线图完成数据预处理表；②根据参考公式求出u 关于t 的线性回归方程，令2020t =，可得预测值.【详解】（1）由已知，11000.044n =⨯=，同理222n =；1190.19100f ==，同理20.1f =． 设样本频率分布表的中位数为a ，则1(0.040.190.22)0.25(220)0.520a +++⨯⨯-=，解得224a =． 由样本估计总体，可估计2018年该市居民月均用电量的中位数224m =千瓦时． （2）①数据预处理表如下：2014x t =- 4- 2- 0 2 4 195y u =-21- 11-1929②由①可知，0=x ， 3.2y =．设y 关于x 的线性回归方程为y bx a =+，则12222155225(4)(21)(2)(11)021********6.50(4)(20)24405i ii i i x yx yb x x==--⨯-+-+--⨯-++⨯+⨯====-+-++-∑∑，且 3.2a y bx =-=． 得 6.5 3.2y x =+．代入2014x t =-，195y u =-，有195 6.5(2014) 3.2u t -=-+，则所求u 关于t 的线性回归方程为： 6.5(2014)198.2u t =-+， 即 6.512892.8u t =-．可预测该市2020年居民月均用电量的中位数为 6.5202012892.8237.2u =⨯-=（千瓦时）． 【点睛】本题考查频率分布表和线性回归方程，属于中档题.19. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -，D 是AB 的中点，E 是1C C 的中点，且1AB =，12AA =．（1）证明：//CD 平面1A EB ； （2）求点1A 到平面BDE 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）217【解析】 【分析】（1）取1A B 的中点F ，连接,EF DF .证明四边形CDFE 是平行四边形，则//CD EF ，根据线面平行的判定定理，即证//CD 平面1A EB ．（2）根据体积相等，求点1A 到平面BDE 的距离．证明EF ⊥平面11A ABB ，则三棱锥1E A BD -的体积11133E A BD A BD V SEF -=⋅=.设点1A 到平面BDE 的距离为d ，由11A BDE E A BD V V --=得133BDE Sd ⋅=，可求d . 【详解】（1）证明：取1A B 的中点F ，连接,EF DF ，如图所示,D F 分别是1,AB A B 的中点，111//,2DF A A DF A A ∴=． 1111//,A A C C A A C C =，E 是1C C 的中点， //,DF EC DF EC ∴=． ∴四边形CDFE 是平行四边形，//CD EF ∴．CD ⊄平面1A EB ，EF ⊂平面1A EB ,//CD ∴平面1A EB ．（2）ABC 是正三角形，D 是AB 的中点,CD AB ∴⊥．在正三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，1A A CD ⊥∴． 1A AAB A =，CD平面11A ABB ．又由（1）知，//,CD EF CD EF =，EF ∴⊥平面11A ABB ．又1AB =，12AA =，32CD ∴=，11112222A BDS =⨯⨯=．1111133332E A BD A BDV SEF -∴=⋅=⨯= 在Rt CDE △中，2272DE CD EC =+=， AB CD ⊥，AB CE ，CD CE C =，AB ∴⊥平面CDE ．AB DE ∴⊥． BD DE ∴⊥． 117722BDES∴=⨯=． 设点1A 到平面BDE的距离为d ，则由11A BDE E A BD V V --=得133BDES d ⋅=3221BDE d ∴==1A 到平面BDE 的距离为217． 【点睛】本题考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理和等体积法求点面距，属于中档题.20. 动圆C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，且12,x x 是方程2240x mx +-=的两根． （1）若线段AB 是动圆C 的直径，求动圆C 的方程；（2）证明：当动圆C 过点(0,1)M 时，动圆C 在y 轴上截得弦长为定值． 【答案】（1）222()4x m y m ++=+；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理求出圆心坐标和半径，即求动圆C 的方程；（2）设动圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=.令0y =，则20x Dx F ++=.由题意，结合韦达定理可得2D m =，4F =-．又动圆C 过点(0,1)M ，可求E 的值. 令0x =，可求动圆C 在y 轴上截得的弦长. 【详解】（1）12,x x 是方程2240x mx +-=的两根，122x x m ∴+=-，124x x ⋅=-．动圆C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点且线段AB 是动圆C 的直径，∴动圆C 的圆心C 坐标为(,0)m -，半径为()212122214||422x x x x x x AB m +--===+∴动圆C 的方程为：222()4x m y m ++=+．（2）证明：设动圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=， 动圆C 与y 轴交于(0,1)M ，()30,N y ， 令0y =，则20x Dx F ++=． 由题意可知2D m =，4F =-． 又动圆C 过点(0,1)M ，140E ∴+-=，即3E =．令0x =，则2340y y +-=，解得1y =或4y =-．34y ∴=-．∴动圆C 在y 轴上截得弦长为315y -=．∴动圆C 在y 轴上截得弦长为定值．【点睛】本题考查圆的方程及直线与圆的位置关系，属于中档题. 21. 已知函数2()()xf x e m e x mx =+--． （1）当0m =时，求函数()f x 的极值；（2）当0m <时，证明：在(0,1)上()f x 存在唯一零点． 【答案】（1）极小值0，无极大值；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出()'f x ，判断()f x 的单调性，即求函数()f x 的极值；（2）()2xf x e mx m e '=-+-，令()()2xg x f x e mx m e '==-+-,求出'()g x ，判断()g x 的单调性.根据零点存在定理可得：存在0(0,1)x ∈使得()()000g x fx '==，判断()f x 在(0,1)的单调性，即可证明.【详解】（1）当0m =时，()xf x e ex =-，()xf x ee '∴=-．令()0f x '=，得，1x =.当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 是增函数， 当(,1)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 是减函数．∴当1x =时，()f x 取得极小值(1)0f =，无极大值．（2）证明：()2xf x e mx m e '=-+-， 令()()2xg x f x e mx m e '==-+-， 则()2x g x e m '=-．当0m <时，则()0g x '>，()()g x f x '∴=在(0,1)上单调递增．又(0)(0)10g f m e '==+-<，(1)(1)0g f m '==->，∴存在0(0,1)x ∈使得()()000g x f x '==．即当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数； 当()0,1x x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数． 又(0)1f =，()0(1)0f x f <=，∴在()00,x 上()f x 存在一个零点，在()0,1x 上()f x 没有零点．()f x ∴在区间(0,1)上存在唯一零点．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值和零点，属于较难的题目.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 2sin 1ρθρθ-=．若P 为曲线1C 上的动点，Q 是射线OP 上的一动点，且满足2OP OQ ⋅=，记动点Q 的轨迹为2C ． （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于M 、N 两点，求OMN 的面积． 【答案】（1）()()22125x y -++=（去掉原点）；（2）35. 【解析】 【分析】（1）设点Q 的极坐标为(),ρθ，点P 的极坐标为()1,ρθ，根据题意得出12ρρ=，将点P 的极坐标代入曲线1C 的极坐标方程，可得出一个等式，然后将12ρρ=代入等式，化简可得出曲线2C 的极坐标方程，进而利用极坐标与直角坐标之间的转换关系可得出曲线2C 的直角坐标方程；（2）将曲线1C 的方程化为直角坐标方程，计算出圆心到直线MN 的距离，利用勾股定理求出MN ，并计算出原点到直线MN 的距离，利用三角形的面积公式可求得OMN 的面积. 【详解】（1）设点Q 的极坐标为(),ρθ，点P 的极坐标为()1,ρθ，2OP OQ ⋅=，12ρρ∴=，可得12ρρ=.将点P 的极坐标代入曲线1C 的极坐标方程得11cos 2sin 1ρθρθ-=， 将12ρρ=代入等式11cos 2sin 1ρθρθ-=，得24cos sin 1θθρρ-=，即2cos 4sin ρθθ=-，等式两边同时乘以ρ得22cos 4sin 0ρρθρθ-+=， 化为直角坐标方程得22240x y x y +-+=，即()()22125x y -++=，因此，曲线2C 的直角坐标方程为()()22125x y -++=（去掉原点）； （2）曲线1C 的直角坐标方程为210x y --=，曲线1C 为直线， 曲线2C 是以点()1,2P -5，圆心P 到直线MN 的距离为5d =，2246525255MN d ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭， 原点到直线MN 的距离为5h =因此，OMN 的面积为1165322555OMN S MN h =⋅=⨯=△. 【点睛】本题考查曲线极坐标方程的求解，考查了曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，同时也考查了圆的内接三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题. [选修4—5：不等式选讲] 23. 已知函数1()|||3|2()2f x x k x k R =-++-∈． （1）当1k =时，解不等式()1f x ≤；（2）若()f x x 对于任意的实数x 恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）5|13x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）{|1}k k ≤-. 【解析】 【分析】（1）当1k =时，去绝对值，把()f x 写成分段函数，不等式()1f x ≤等价于3个不等式组，解即得；（2）由(x)x f ≥对于任意的实数x 恒成立，得1|||3|22x k x x -++≥+对于任意的实数x 恒成立.分2x -≤和2x >-两种情况解不等式，求实数k 的取值范围． 【详解】（1）1k =，1()|1||3|22f x x x ∴=-++-．35,3,221(),31,2233, 1.22x x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪∴=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩由()1f x ≤得3,351,22x x <-⎧⎪⎨--≤⎪⎩或31,11,22x x -≤≤⎧⎪⎨-+≤⎪⎩或1,33 1.22x x >⎧⎪⎨-≤⎪⎩解得x ∈∅或11x -≤≤或513x <≤， ∴不等式()1f x 的解集为5|13x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．（2）由(x)x f ≥对于任意的实数x 恒成立，得1|||3|22x k x x -++≥+对于任意的实数x 恒成立当2x -≤时，1|||3|022x k x x -++≥≥+恒成立； 当2x >-时，1|||3|22x k x x -++≥+恒成立3||22x x k x +⇔-+≥+恒成立, 即1||2x x k +-≥恒成立，当21x -<≤-时，1||2x x k +-≥显然恒成立，当1x >-时，1||2x x k +-≥恒成立12x x k +⇔-≥或12x x k +-≤-恒成立，即21x k ≥+或2132x k ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭恒成立． 211k ∴+≤-，解得1k ≤-，∴实数k 的取值范围为{|1}k k ≤-．【点睛】本题考查含有绝对值的不等式的解法，考查分类讨论，属于较难的题目.。
2020年广东省专插本考试《高等数学》真题+答案
广东省2020年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》试题本试卷共2⻚，20⻚题，满分100分。
考试时间120一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分。
每小题只有一个符合题目要求)1.设lim x→0[cos x −f(x)]=1, 则下列等式正确的是（ ）A.lim x→0f(x)=1 B.lim x→0f(x)cos x =1C.lim x→0f(x)=−1 D.lim x→0[f(x)+cos x ]=12.函数f(x)=2x 3−3x 2的极小值点为（ ） A.x =−1 B.x =0 C.x =1 D.x =23.已知3x 是函数f(x)的一个原函数，则f(x)=（ ） A.3x B.3x ln 3 C.x3xD.3x ln 34.设平⻚区域D ={(x,y )|x 2+y 2≤1，y ≥0},则∬(x 2+y 2)4dσD（ ） A.π10 B.π9 C.π5 D.2π95.设级数∑a n ∞n=1 满⻚0≤a n ≤15n ，则下列级数发散的是（ ）A.∑3a n ∞n=1B. ∑a n ∞n=1+3C.∑(a n ∞n=1+√n23) D.∑(a n ∞n=1−√n3) 二、填空题。
6.若函数f(x)={(1+a )x 2， x ≤1a (x −2)3+3, x >1 在x=1处连续，则常数a= . 7.曲线x 22+y 2=3在点（2，−1）处的切线方程为y= . 8.微分方程 y n +3y ’−4y =0的通解为y= .9.设二元函数f (x,y )在点(0,0)的某个邻域内有定义,且当x ≠0时，f(x,0)−f(0,0)x=3x +2，则f ’x (0,0)= 。
10.设函数f(x)在(−∞，+∞)内可导，且满足f(x)=f ‘(x)，f(0)=m ,如果∫f(x)e xdx =81−1,则m=____________。
三、计算题。
11.求极限limx→0∫tarctantdtx0x 312.已知y 是x的函数，且y ′=ln √x +√ln x +2ln 2，求d 2y dx 2|x =e13.求不定积分∫(cos x −x sin x 2)dx14.设函数f(x)={x 31+x 2, x ≤1x, x >1，求定积分∫f(x +2)dx 0−315.求二元函数z =3xy 2+x 2y的全微分dz ，并求ð2zðxðy16.计算∬ydσD ，其中D 是由直线y =x,y =−2与y =0,y =2x 围成的有界闭区域。
广东省2020年普通高等学校本科插班生招生考试真题、详细答案及考点详解
广东省2020年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学真题、详细答案及考点详解一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.每小题只有一个选项符合题目要求）1.设()[]1cos lim 0=-→x f x x ，则下列等式正确的是间断点是（）A.()1lim 0=→x f x B.()1cos lim 0=→x x f x C.()1lim 0-=→x f x D.()[]1cos lim 0=+→x x f x 解答：根据初等函数的连续性，可得()[]()()()0lim 1lim 0cos lim cos lim cos lim 0=⇒=-=-=-→→→→→x f x f x f x x f x x x x x x 因此()()1cos lim ,0cos lim 0=+=→→x x f x x f x x 故选D.本题考试内容：初等函数的连续性；考试要求：会利用函数的连续性求极限.2.函数()2332x x x f -=的极小值是（）A.1-=xB.0=xC.1=x D.2=x 解答：对函数进行一阶导数求导，可得()()16662-=-='x x x x x f 令()()⇒=-=-='016662x x x x x f 10==x x 或而()612-=''x x f 因此()060<-=''f ，即x =0为极大值点()066121>=-=''f ，即x =1为极小值点从而极小值为()1321-=-=f ，故选A.本题考试内容：函数极值与极值点；考试要求：理解函数极值的概念，掌握求函数的极值、最值的方法，并会应用函数极值的方法求解应用题.3.已知x 3是函数()x f 的一个原函数，则()=x f （）A.x 3B.3ln 3xC.13-x x D.3ln 3x 解答：根据原函数的定义，可知()()()3ln 33x x x f x f =⇒='故选B.本题考试内容：原函数与不定积分的定义；考试要求：理解原函数与不定积分的概念及其关系.4.设平面区域(){}0,1|,22≥≤+=y y x y x D ，则()=+⎰⎰σd y x D422（）A.10π B.9πC.5πD.92π解答：使用极坐标计算二重积分，由于平面区域如下图所示令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，其中⎩⎨⎧≤≤≤≤πθ010r ，因此()()10sin cos 1904222210422ππθθθσπ==⋅+=+⎰⎰⎰⎰⎰dr r d r r r dr d y xD故选A.本题考试内容：极坐标系下二重积分的计算；考试要求：掌握直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算.5.设级数∑∞=1n n a 满足nn a 510≤≤，则下列级数发散的是（）A.∑∞=13n naB.∑∞=+13n n aC.∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1321n n n a D.∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-131n n n a 解答：根据正项级数的比较审敛法，由于n n a 510≤≤，由于∑∞=151n n 收敛，因此∑∞=1n na 收敛，再根据级数的性质，可以对下列选项进行判断A 选项：∑∑∞=∞==1133n n n n a a ，因此根据级数的性质可知，∑∞=13n n a 收敛；B 选项：321113a a a a a n n n n ---=∑∑∞=∞=+，因此，级数增加（减去）有限项，不改变敛散性，因此∑∞=+13n n a 收敛；C 选项：∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+13211321132111n n n n n n n n n a n a n a ，其中∑∞=1321n n 为p -级数（132<=p ），故∑∞=1321n n 发散，而∑∞=1n n a 收敛，因此根据级数收敛的性质可知∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1321n n n a 发散；D 选项：∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+123113113111n n n n n n n n n a n a n a ，其中∑∞=1231n n 为p -级数（123>=p ），故∑∞=1231n n 收敛，而∑∞=1n n a 收敛，因此根据级数收敛的性质可知∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1321n n n a 收敛，故选D.本题考试内容：收敛级数的基本性质；考试要求：掌握几何级数（等比级数）、调和级数、p -级数的敛散性；理解收敛级数的基本性质.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6.若函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+=1,321,132x x a x x a x f 在1=x 处连续，则常数=a .解答：根据函数极限的充分必要条件可知，()()()Ax f x f A x f x x x ==⇔=+→-→→111lim lim lim 而()()a x a x f x x +=+=-→-→11lim lim 211，()()332lim lim 311+-=+-=+→+→a x a x f x x 因此()().131lim lim 11=⇒+-=+⇒=+→-→a a a x f x f x x 本题考试内容：函数在一点连续的充分必要条件；考试要求：掌握判断函数（分段函数）在一点处连续的方法.7.曲线3222=+y x 在()1,2-点处的切线方程为=y .解答：隐函数求导，因此()122|20212=--='⇒-='⇒='⋅+-，y y x y y y x 从而切线方法为()().3211-=⇒-⋅=--x y x y 本题考试内容：求导方法：函数的四则运算求导方法、隐函数的求导法；考试要求：熟练掌握隐函数的求导方法.8.微分方程043=-'+''y y y 的通解为=y .解答：特征方程为()()0140432=-+⇒=-+r r r r 故1,421=-=r r 故通解为.241x x e C e C y +=-本题考试内容：二阶常系数线性齐次微分方程；考试要求：会求二阶常系数线性齐次微分方程的通解和特解.9.设二元函数()y x f ,在点()0,0的某个领域有定义，且当0≠x 时，()()230,00,+=-x xf x f ，则()='0,0x f .解答：根据偏导数的定义，()()()230,00,0,+=-='x x f x f x f x 因此().20,0='x f 本题考试内容：多元函数的定义；考试要求：理解一阶偏导数和全微分的概念.10.设函数()x f 在()+∞∞-,内可导且满足()()x f x f '=，()m f =0，如果()811=⎰-dx e x f x ，则=m .解答：使用分离变量法，可得：()()()()()()()()⎰⎰=⇒=⇒=⇒'=dx x df x f dx x f x df x f dx x df x f x f 1因此()()Cx e x f C x x f +=⇒+=ln 由于()m f =0，因此()m C m e f C ln 0=⇒==从而()xmx me ex f ==+ln ，将此式子代入()811=⎰-dx e x f x，可得().482888111111=⇒=⇒=⇒=⇒=⎰⎰⎰---m m dx m dx e me dx e x f x xx本题考试内容：可分离变量的微分方程；考试要求：会求可分离变量的微分方程.三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11.求极限xdt t t xx ⎰→0arctan lim.解：使用洛必达法则00arctan 01arctan limarctan lim=⋅==→→⎰xx xdt t t x xx 本题考试内容：洛必达法则和变上限的定积分；考试要求：熟练掌握应用洛必达法则求未定式极限的方法以及掌握变上限定积分求导数的方法.12.已知y 是x 的函数，且2ln 2ln ln ++='x x y ，求.|22e x dxyd =解：使用复合函数求导法，可得x x x xx x x y ln 212101ln 21211+=+⋅+⋅=''则.1ln 2121|22ee e e dx y d e x =+==本题考试内容：求导方法——复合函数的求导法；考试要求：熟练掌握复合函数求导方法.13.求不定积分().sin 2cos 2⎰-dx x x x 解：根据不定积分的性质，可得()dxx x dx x dx x x x ⎰⎰⎰-=-22sin 2cos sin 2cos 其中12sin 2122cos 212cos C x x xd xdx +==⎰⎰22222cos 21sin 21sin C x dx x dx x x +-==⎰⎰因此()C x x dx x x x +-=-⎰22cos 212sin 21sin 2cos （其中21C C C +=）.本题考试内容：基本积分公式、换元积分法——第一换元法（凑微分法）；考试要求：熟练掌握不定积分的基本积分公式、熟练掌握不定积分的第一换元法.14.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,1,123x x x x x x f ，求定积分().203dx x f ⎰-+解：令2+=x t ，从而2-=t x ，dt dx =，当3-=x 时，1-=t ；当0=x 时，2=t ，从而原式可变为()().23|210122122111232103=+=++==+⎰⎰⎰⎰---t dt t dt t t dt t f dx x f 本题考试内容：定积分的性质、定积分的计算——换元积分法；考试要求：掌握定积分的基本性质以及掌握定积分的换元法.15.求二元函数y x xy z 223+=的全微分dz ，并求.2yx z∂∂∂解：y x y x z 232+=∂∂，226yx xy y z -=∂∂，因此dyy x xy dx y x y dz ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222623.2662222yxy y x xy x y x z -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=∂∂∂本题考试内容：全微分以及高阶偏导数；考试要求：掌握二元函数一阶偏导数与二阶偏导数的求法，掌握二元函数全微分的求法.16.计算σd y D⎰⎰，其中D 是由直线x y =，2-=x y 与0=y ，2=y 围成的有界区域.解：x则有界区域可写为Y-型区域⎩⎨⎧+≤≤≤≤220y x y y 因此原二重积分可变为().4|2|202222220=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰++y ydy dy x y dx y dy d y y yy yDσ本题考试内容：直角坐标系下二重积分的计算；考试要求：掌握直角坐标系下二重积分的计算方法.17.求微分方程22sec yxdx dy =，满足初始条件1|0==x y 的特解.解：使用分离变量法，可得⎰⎰=⇒=⇒=xdx dy y xdx dy y yx dx dy 222222sec sec sec 因此C x y +=tan 313将1|0==x y 代入上式，可得310tan 131=⇒+=⨯C C 从而可得微分方程特解为.1tan 331tan 3133+=⇒+=x y x y 本题考试内容：可分离变量方程；考试要求：会求分离变量微分方程的通解和特解.18.判断级数∑∞=12!2n n n n 的收敛性.解：由于∑∞=12!2n n n n 为正项级数，()()()()()1021lim !2!121lim !2!121lim lim 22122121<=+=++=++=∞→+∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n n a a n n n n n n n nn n 因此根据比值判别法可知：∑∞=12!2n n n n 收敛.本题考试内容：常数项级数审敛法；考试要求：掌握正项级数的比值审敛法.四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）19.设有界平面图形G 由曲线ax e y =和直线0==x e y ，围成，其中a ＞0，若G 的面积等于1（1）求a 的值；（2）求G 绕y 轴旋转一周而成的旋转体体积V .解：（1）由题设可得平面图形G ，如下图所示因此aa a e a e e e a a e e a ex dx e e S a a a ax a ax1111|1011010=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⋅⎰又因为平面G 的面积为1，因此.111=⇒==a aS ye1/ax（2）要求G 绕y 轴旋转一周，因此根据公式可得()()().2|21|ln 2ln 21ln 2|ln ln 11111121212-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-⋅===⎰⎰⎰⎰⎰e y e e dy y y y y e dy y e dy y y y y y dy y dy x V ee eee ee ey πππππππ本题考试内容：定积分的应用——平面图形的面积、旋转体的体积；考试要求：掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生的旋转体体积的方法.20.设函数()bxeax f +=1，其中b a ,为常数，且0≠ab （1）判别()x f 在区间()+∞∞-,内单调性；（2）求曲线()x f y =的拐点；（3）求曲线()x f y =的水平渐近线方程.解：（1）函数()bxeax f +=1定义域为()+∞∞-,，而()()211bxbx bx e abe e a x f +-='⎪⎭⎫⎝⎛+='因此，当0>ab 时，函数()bxeax f +=1定义域为()+∞∞-,单调递减；当0<ab 时，函数()bxeax f +=1定义域为()+∞∞-,单调递增.（2）由于()()()()()()()324222*********bx bx bx bx bx bx bx bx bx bx e e e ab e e e ab e e ab e abe x f +--=++++-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=''令()()()01132=+--=''bx bxbx e e e ab x f ，且0≠ab ，可得0010=⇒=⇒=-x e e ebx bx显然()x f ''在x =0左右两端异号，因此把x =0代入原式，可得()2100ae af =+=因此，拐点为⎪⎭⎫⎝⎛2,0a .（3）当0>b 时，()01limlim =+=+∞→+∞→bx x x e a x f ，()a e ax f bx x x =+=-∞→-∞→1lim lim ；当0<b 时，()a e a x f bx x x =+=+∞→+∞→1lim lim ，()01lim lim =+=-∞→-∞→bx x x e ax f ，因此水平渐近线为0==y a y 和.本题考试内容：函数单调性的判定法、曲线的凹凸性、拐点以及函数曲线的水平渐近线：掌握利用导数判定函数单调性的方法，会判定曲线的凹凸性、会求曲线的拐点以及会求曲线的水平渐近线.。
【2020精品高考提分卷】广东省高考 数学模拟试题及答案(一)
广东省2020年高考数学模拟试题及答案（一）（试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i2．设集合{}{}{}20,1,2,3,4,5,1,2,3,|540U A B x Z x x ===∈-+≥，则()U AB =A ．{}1,2,3B ．{}1,2C ．{}2,3D ．{}23. 下列说法中正确的是A.命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B.命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题C.命题“存在000,1x x ex ∈≤+R ”的否定为：“对,1xx e x ∀∈>+R ”D.直线l 不在平面α内，则“l 上有两个不同的点到α的距离相等”是“//l α”的充要条件 4．设向量a 与b 的夹角为θ，且)1,2(-=a ，)3,2(2=+b a ，则θcos ＝A. 35- B.35 5．已知α是第四象限角，且1sin cos 5αα+=，则tan 2α=A．13B．13- C．12D．12-6. 已知数列}{na为等比数列，274=+aa，865-=⋅aa，则101aa+的值为A. 7B.5C.7- D.5-7. 设不等式组-20+20x yx yx≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域为Ω.则A. 原点O在Ω内B.Ω的面积是1C.Ω内的点到y轴的距离有最大值D.若点P(x0,y0) ∈Ω，则x0+y0≠08．如右图是寻找“徽数”的程序框图．其中“S MOD 10”表示自然数S被10除所得的余数，“S\10”表示自然数S被10除所得的商．则根据上述程序框图，输出的“徽数”S为A．18 B．16 C．14 D．129. 已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕进行翻折，使BDC∠为直角，则过A B C D，，，四点的球的表面积为A．3π B．4π C.5π D．6π10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3 D．p1=p2+p311．根据需要安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是A ．2日和5日B ．5日和6日C ．6日和11日D ．2日和11日 12．椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的左右焦点分别为12,F F ，A 为椭圆上一动点（异于左右顶点），若△12AF F 的周长为6且面积的最大值为3，则椭圆的标准方程为A. 22143y x +=B. 22132y x +=C. 2212x y +=D. 2214x y +=二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设集合{}22(,)|(3sin )(3cos )1,A x y x y R ααα=+++=∈，{}(,)|34100B x y x y =++=，记P AB =，则点集P 所表示的轨迹长度为 。
2020年广东省高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年广东省高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是A. A C φ⋂=B. A C C ⋃=C. B C B ⋂=D. A B C =2. 若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z= A. i B. i - C. 2iD. 2i -3. 若1sin()43x π-=，则sin 2x = A.79B. 79-C.13D. 13-4. 在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆ 的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.495. 在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A. 66B. 132C. -66D. -1326. 设函数2()23f x x x =--，若从区间[2,4]-上任取一个实数x ，则所选取的实数x 满足()0f x ≤的概率为A.12B.13C.23D.147. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α,m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m8. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则 =aA. 2B.26C. 25D. 19. 函数ln ()xf x x=的图象大致为 A. B.C. D.10.已知函数532sin 2064y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则12x x =+ A.43πB.23π C.3π D.6π 11.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A.81500π B. 9100π C. 925πD. π412. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A B ．22 D -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试题及其答案(二)
2020年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试题(二)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的县(市、区)、学校、姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先画掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合((){|30|,{|2A x x xB x x=+<-<<则A∩B=.|3{xA x-<<.{|3B x x-<<<.{|2C x x-<< x.{|2D x x-<<2.已知复数z=i(a-i)(i为虚数单位,),Ra∈若12,a<<则|z|的取值范围为.A).B(.C D.(1,2)3.《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作,其书中记载:一年有二十四个节气,每个节气晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测影子的长度),夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气,其晷长依次成等差数列,经记录测算,这九个节气的所有晷长之和为49.5尺,夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺,则立秋的晷长为初高中数学学习资料的店第1 页共15A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺4.在△ABC中,已知45,A︒∠=AB=且AB边上的高为则sinC=A B C D5.一个底面半径为2的圆锥,其内部有一个底面半径为1的内接圆柱,若其内接圆,则该圆锥的体积为...333A B C D6.已知函数()f x是定义在R上的奇函数,且在()0,+∞上单调递减,f(-3)=0,则不等式(1)0f x->的解集为().3,3A-()().,21,4B-∞-U.(,4)(1,2)C-∞--U()().,30,3D-∞-U7.已知双曲线()222210,0x ya bba-=>>的右焦点为F,过点F分别作双曲线的两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B.若0,FA FB⋅=u u u r u u u r则该双曲线的离心率为.2C8.已知四边形ABCD中,,30,5AD BC A AB AD︒∠===P,E在CB的延长线上,且AE=BE,则AE DB⋅=u u u r u u u rA.1B.2C.12()69.2x y++的展开式中,xy3的系数为A.120B.480C.240D.32010.把函数()2sinf x x=的图象向右平移π3个单位长度,再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x的图象,关于()g t的说法有:①函数()g x的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称;②函数()g x的图象的一条对称轴是初高中数学学习资料的店第2 页共15初高中数学学习资料的店第 3 页 共 1512x π=-;③函数()g x ;,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在④函数()[]0,g x π∈上单调递增，则以上说法正确的个数是 A.4个 B.3个C.2个D.1个11.如图,在矩形ABCD 中,已知AB=2AD=2a,E 是AB 的中点,将ADE ∆沿直线DE 翻折成△A 1DE,连接A 1C.若当三棱锥A 1-CDE 的体积取得最大值时,三棱锥1A CDE -外接球的体积为3,则a= A.2B.C. D.4 12.已知函数()()2R co 1s 12f x ax x a =+∈-,若函数()f x 有唯一零点,则a 的取值范围为.(,0)A -∞.(,0][1,)B -∞+∞U .(,1][1,)C -∞+∞U ()[).,01,D -∞+∞U二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
广东省2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试题(二)含答案
C.(−,1] [1, +) D.(−,0) 1, +)
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
x + y − 3 0, 13.若 x,y 满足约束条件 x − y − 3 0 , 则 z = y − 2x 的最大值是 ▲
x −1 0,
A1DE,连接 A1C.若当三棱锥 A1-CDE 的体积取得最大值时,三棱锥 A1 − CDE 外接球的体积
为 8 2 ,则 a= 3
A.2 B. 2 C. 2 2 D.4
12.已知函数 f ( x) = 1 ax2 + cos x −1(a R ) ,若函数 f ( x) 有唯一零点,则 a 的取值范围为
AE=BE,则 AE DB =
A.1 B.2
1 C.2
D. 3
9.( x + y + 2)6 的展开式中,xy3 的系数为
A.120 B.480 C.240 D.320
10.把函数 f ( x) = 2sin x 的图象向右平移π3个单位长度,再把所得的函数图象上所有点的横 坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数 g ( x) 的图象,关于 g (t ) 的说法有:①函数 g ( x) 的
14.已知
cos
+
12
=
3 5
, 则sin
2
+
2 3
=
▲
15.从正方体的 6 个面的对角线中,任取 2 条组成 1 对,则所成角是 60°的有 ▲ 对。
16.如图,直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 且交抛物线于 A,B 两点,直线 l 与圆
2020年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试题(二)(解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试题（二）（教师版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A＝{x|(x－7)(x＋3)＜0},B＝{x|－2＜x＜2 2},则A∩B＝（）A．{x|－3＜x＜2 2} B．{x|－3＜x＜7} C．{x|－2＜x＜7} D．{x|－2＜x＜2 2} 【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；数学运算．【分析】求出集合A,B,由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|(x- 7)(x+3)<0}={x|-3<x< 7},B={x|-2<x<2 2},∴A∩B={x|-2<x< 7}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知复数z=i(a-i)(i为虚数单位,a∈R),若1<a<2,则|z|的取值范围为（）A．( 2, 5) B．( 2,2) C．(2, 5) D．(1,2)【考点】复数的模．【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据复数的基本运算法则进行化简，再求复数模的范围即可．【解答】解：因为复数z=i(a-i)=1+ai,所以|z|=a 2+1,由于1<a<2,即1<a2<4,则|z|的取值范围为( 2, 5),故选：A．【点评】本题主要考查复数的乘法运算及模长的计算，比较基础．3．《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49．5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10．5尺，则立秋的晷长为（）A．1．5尺B．2．5尺C．3．5尺D．4．5尺【考点】等差数列的通项公式．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】由夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列{}a n,经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49．5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10．5尺，可得：9a1＋36d＝49.5,a1＋a3＋a5＝10．5，即3a1＋6d＝10．5．解出利用通项公式即可得出．【解答】解：∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列{}a n,经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49．5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10．5尺，9a1＋36d＝49.5,a1＋a3＋a5＝10．5，即3a1＋6d＝10．5．解得d＝1,a1＝1．5．∴立秋的晷长＝a4＝1．5＋3＝4．5．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．在△ABC中，已知∠A＝45°，AB＝6 2,且AB边上的高为2 2,则sin C＝（）A．1010B．3 1010C．105D．2 105【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．【分析】由已知可求AD，利用勾股定理可求AC，由余弦定理可得BC，进而根据正弦定理可得sin C的值．【解答】解：∵如图，在△ABC 中，∠A ＝45°，AB ＝6 2,且AB边上的高CD 为2 2, ∴AD ＝2 2,AC ＝AD 2＋CD 2＝4，∴由余弦定理可得BC ＝AC 2＋AB 2－2AC ﹒AB ﹒cos A ＝16＋72－2×4×6 2×22＝40, ∴由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ,可得sin C ＝AB ﹒sin ABC ＝6 2×2240＝3 1010．故选：B ．【点评】本题主要考查了勾股定理，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5．一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为3π,则该圆锥的体积为（ ）A ．2 3πB ．2 33πC ．4 33πD ．8 33π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】对应思想；数形结合法；立体几何；数学运算．【分析】由题意画出图形，由圆柱的体积求得圆柱的高，再由相似三角形对应边成比例求得圆锥的高，则圆锥体积可求．【解答】解：作出该几何体的轴截面图如图，BC ＝2，BD ＝1，设内接圆柱的高为h ，由π×12×h ＝3π,得h ＝3．∵△CAB ∽△CED ， ∴ED AB ＝CD CB ,即3AB ＝12,得AB ＝2 3, ∴该圆锥的体积为13×π×22×2 3＝8 33π．故选：D ．【点评】本题主要考查了圆锥的内接圆柱的体积，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．6．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，f (－3)＝0，则不等式f (x －1)＞0的解集为（ ）A ．(－3，3)B ．(－∞，－2)∪(1，4)C ．(－∞，－4)∪(－1，2)D ．(－∞，－3)∪(0，3)【考点】奇偶性与单调性的综合；抽象函数及其应用．【专题】计算题；方程思想；转化思想；函数的性质及应用；数学运算．【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得函数的大致图象，据此分析可得关于x 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则f (x )在(－∞，0)上递减，又由f (－3)＝0，则f (3)＝0，则函数f (x )的草图如图：若f (x －1)＞0，则有⎩⎨⎧x －1＜－30＜x －1＜3,解可得⎩⎨⎧x ＜－21＜x ＜4,即不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，4)；故选：B ．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意作出函数的简图，分析不等式的解集． 7．已知双曲线x2a 2－ y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ．若→FA ﹒ →FB ＝0，则该双曲线的离心率为（ ）A ． 5B ．2C ． 3D ． 2【考点】双曲线的性质．【专题】方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算． 【分析】由题意画出图形，可得渐近线的倾斜角，得到b a＝1，则离心率可求． 【解答】解：如图，由→FA ﹒ →FB ＝0，得∠AOB ＝90°，即∠AOF ＝45°，∴b a＝tan45°＝1，即a ＝b ．则e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ b a 2＝2．故选：D ．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线离心率的求法，是基础题． 8．已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝30°，AB ＝2 3,AD ＝5，E 在CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则→AE ﹒ →DB ＝（ ）A ．1B ．2C ．12D ． 3【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；数形结合法；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算． 【分析】先由余弦定理求得BD ＝7,再根据题设条件求得BE ＝2，而→AE ﹒ →DB ＝() →BE － →BA ﹒() →AB － →AD 展开，利用数量积公式化简求解即可．【解答】解：在△ABD 中，由余弦定理有,BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ﹒AD ﹒cos30°＝12＋25－2×2 3×5×32＝7， ∴BD ＝7,易知∠ABE ＝∠A ＝30°，又AE ＝BE ，AB ＝2 3,故BE ＝3cos30°＝2，→AE ﹒ →DB ＝() →BE － →BA ﹒()→AB － →AD ＝→BE ﹒ →AB － →BE ﹒ →AD － →BA ﹒ →AB ＋ →BA ﹒ →AD＝2×2 3×cos150°＋2×5＋(2 3)2＋5×2 3×cos150°＝1． 故选：A ．【点评】本题考查平面向量数量积的综合运用，涉及了余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题． 9．(x ＋y ＋2)6的展开式中,xy 3的系数为（ ） A ．120 B ．480C ．240D ．320【考点】二项式定理．【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算．【分析】把(x ＋y ＋2)6的展开式看成6个因式(x ＋y ＋2)的乘积形式，从中任意选1个因式，这个因式取x ，再取3个因式，这3个因式都取y ，剩余2个因式取2，相乘即得含xy 3的项，求出xy 3项的系数．【解答】解：把(x ＋y ＋2)6的展开式看成6个因式(x ＋y ＋2)的乘积形式， 从中任意选1个因式，这个因式取x ，再取3个因式，这3个因式都取y ， 剩余2个因式取2，相乘即得含xy 3的项；故含xy 3项的系数为：故选：C ．【点评】本题考查了排列组合与二项式定理的应用问题，是综合性题目．10．把函数f (x )＝2sin x 的图象向右平移π3个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (1)/(2)(纵坐标不变）得到函数g (x )的图象，关于g (t )的说法有：①函数g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫ π3,0对称；②函数g (x )的图象的一条对称轴是x ＝－ π12;③函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤ π3, π2上的最上的最小值为3;④函数g (x )∈[0，π]上单调递增，则以上说法正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．【分析】通过平移变换与伸缩变换求得函数g (x )的解析式．由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫ π3≠0判断①错误；由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ π12＝－2求得最小值判断②正确；由x 的范围求得函数值域判断③正确；由x 的范围可知函数g (x )在[0，π]上不单调判断④错误．【解答】解：把函数f (x )＝2sin x 的图象向右平移π3个单位长度，得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x － π3, 再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (1)/(2)(纵坐标不变）得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x － π3．①∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫ π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2π3－ π3＝3≠0，∴函数g (x )的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫ π3,0对称，故①错误；②∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ π6－ π3＝－2，∴函数g (x )的图象的一条对称轴是x ＝－ π12,故②正确； ③当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤ π3, π2时,2x － π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤ π3, 2π3,则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x － π3∈[ 3,2], 即函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3, π2上的最上的最小值为3,故③正确；④当x ∈[0，π]时,2x － π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ π3, 5π3,可知函数g (x )在[0，π]上不单调，故④错误．∴正确命题的个数为2． 故选：C ．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查y ＝A sin(ωx ＋φ)型函数的图象与性质，是中档题．11．如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝2AD ＝2a ，E 是AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ,连接A 1C ．若当三棱锥A 1－CDE 的体积取得最大值时，三棱锥A 1－CDE 外接球的体积为8 23π,则a ＝（ ） A ．2 B ． 2 C ．2 2 D ．4【考点】球的体积和表面积．【专题】转化思想；综合法；球；数学运算．【分析】要想体积最大，需高最大，当△A 1DE ⊥面BCDE 时体积最大，根据对应球的体积即可求解结论．【解答】解：在矩形ABCD 中，已知AB ＝2AD ＝2a ，E 是AB 的中点，所以：△A 1DE 为等腰直角三角形； 斜边DE 上的高为：A ′K ＝12DE ＝12a 2＋a 2＝22a ; 要想三棱锥A 1－CDE 的体积最大；需高最大，则当△A 1DE ⊥面BCDE 时体积最大， 此时三棱锥A 1－CDE 的高等于：12DE ＝12a 2＋a 2＝22a ; 取DC 的中点H ，过H 作下底面的垂线； 此时三棱锥A 1－CDE 的外接球球心在OH 上； ∵三棱锥A 1－CDE 外接球的体积为8 23π;所以球半径R ＝2; 如图：OH 2＝OC 2－CH 2; ①A ′O 2＝A ′G 2＋GO 2;②即：R 2－a 2＝OH 2; ③R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －OH 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ 22a 2;④ 联立③④可得a ＝2; 故选：B ．【点评】本题考查的知识要点：几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用，属于中档题型．12．已知函数f (x )＝12ax 2＋cos x －1(a ∈R ),若函数f (x )有唯一零点，则a 的取值范围为（ ）A ．(－∞，0)B ．(－∞，0]∪[1，＋∞)C ．(－∞，1]∪[1，＋∞)D ．（－∞，0）∪[1，＋∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；分析法；导数的综合应用；数学运算．【分析】求导，构造辅助函数g (x )＝f ′(x )＝－sin x ＋ax ，则g ′(x )＝－cos x ＋a ，当a ≥1时，可知g (x )在R 上单调递增，g (0)＝0，即可判断f (x )在[0，＋∞）上为增函数，在(－∞，0)上为减函数，由f (x )＝0，即可证明，当a ≥1时，f (x )有唯一的零点；然后验证a ＝0时，函数的零点的个数，判断选项即可． 【解答】解：因为f ′(x )＝－sin x ＋ax (x ∈R )． 令g (x )＝－sin x ＋ax ，则g ′(x )＝－cos x ＋a ，所以当a ≥1时，g ′(x )＝－cos x ＋a ≥0，即g (x )在R 上单调递增， 又g (0)＝－sin0＝0，所以x ∈[0，＋∞），f ′（x ）≥0，当x ∈(－∞，0)，f ′(x )＜0， 所以f (x )在[0，＋∞）上为增函数，在(－∞，0)上为减函数， 又f (0)＝0，所以当x ∈[0，＋∞），f （x ）≥0，当x ∈(－∞，0)，对x ∈R 恒成立，即当a ≥1时，f (x )≥0， 且当且仅当x ＝0，f (x )＝0， 故当a ≥1时，f (x )有唯一的零点； 排除A ，当a ＝0时，f (x )＝cos x －1，令f (x )＝0，可得cos x ＝1，有无数解，所以a ＝0，不成立，排除BC ， 故选：D ．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想以及含量，分类讨论思想的应用，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0x －y －3≤0x －1≤0,则z ＝y －2x 的最大值是________【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；转化思想；分析法；不等式；数学建模．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数的答案．【解答】解：由x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0x －y －3≤0x ＋1≥0,作出可行域如图，1联立 ⎩⎨⎧x ＋y －3＝0x ＋1＝0，解得A (－1，4)，化目标函数z=y-2x 为直线方程的斜截式：y ＝2x ＋Z ．由图可知，当直线y ＝2x ＋Z 过A 时，直线在y 轴上的截距最大，Z 有最大值为4－2×(－1)＝6； 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．14．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋ π12＝35,则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋ 2π3＝________ 【考点】两角和与差的三角函数．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；数学运算． 【分析】由已知结合诱导公式及二倍角公式进行化简即可求解．【解答】解：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋ π12＝35,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋ 2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋ π6＋ π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋ π6＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋ π12－1＝2× 925－1＝－ 725．故答案为：－ 725【点评】本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题． 15．从正方体的6个面的对角线中，任取2条组成1对，则所成角是60°的有________对． 【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；空间位置关系与距离；排列组合；数学抽象；数学运算．【分析】根据题意，由正方体几何结构分析可得：每一条对角线和另外的8条构成8对直线所成角为60°，进而可得共有12×8对对角线所成角为60°，并且容易看出有一半是重复的，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与平面A 1B 1C 1D 1中一条对角线A 1C 1成60°的直线有A 1D ,B 1C ,A 1B ,D 1C ,BC 1,AD 1,C 1D ,B 1A ,共8条直线， 则包含A 1C 1在内的符合题意的对角线有8对；又由正方体6个面，每个面有2条对角线，共有12条对角线，则共有12×8＝96对面对角线所成角为60°， 而其中有一半是重复的；则从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有48对．故答案为：48【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及正方体的几何结构，属于基础题．16．如图，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 且交抛物线于A ，B 两点，直线l 与圆(x －1)2＋y 2＝1交于C ，D 两点，若2|AC |＝|BD |，设直线l 的斜率为k ，则k 2＝________．【考点】抛物线的性质．【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】由题意设直线AB 的方程与抛物线联立求出两根之和，进而求出弦长|AB |的值，再由圆的方程可得圆心为抛物线的焦点可得|CD |为圆的直径，求出|AC |＋|BD |的值，再由题意可得|AC |的值，由题意可得A 的横坐标，代入直线的方程，可得A 的纵坐标，代入抛物线的方程中可得斜率的平方的值． 【解答】解：由题意圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为抛物线的焦点F ，再由题意可得直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为：x ＝my ＋1，m ＝1k,设A ()x 1,y 1,B ()x 2,y 2,联立直线与抛物线的方程： ⎩⎨⎧y 2＝4xx ＝my ＋1，整理可得y 2－4my －4＝0,y 1＋y 2＝4m ，所以x 1＋x 2＝4m 2＋2,{{b 17310fe .png }} 由抛物线的性质可得：弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4m 2＋2＋2＝4m 2＋4, 由题意可得|CD |为(x －1)2＋y 2＝1的直径2， 所以|AC |＋|BD |＝|AB |－|CD |＝4m 2＋4－2＝4m 2＋2,而2|AC |＝|BD |，所以可得：|AC |＝4m 23＋ 23,因为|AC |＝|AF |－r ＝|AF |－1＝()x A ＋1－1＝x A , 所以x A ＝4m 23＋ 23,代入直线AB 中可得y A ＝4m 3－ 13m,即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 4m 23＋ 23, 4m 3－ 13m , 将A 点坐标代入抛物线的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫ 4m 3－ 13m 2＝4﹒⎝ ⎛⎭⎪⎫ 4m 23＋ 23,整理可得1m 4－ 32m2－32＝0，解得1m2＝32±322＋32×42＝16±12 2,因为1m 2＞0,所以k 2＝1m2＝16＋12 2,故答案为：16＋12 2．【点评】本题考查抛物线的性质及求点的坐标，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知数列{}a n 和{}b n 满足a n ﹒b n ＋1－a n ＋1﹒b n －2a n ﹒a n ＋1＝0，且a 1＝1,b 1＝1，设c n ＝b n a n．（1）求数列{}c n 的通项公式；（2）若{}a n 是等比数列，且a 2＝3，求数列{}b n 的前n 项和S n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算． 【分析】（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式． （2）利用乘公比错位相减法的应用求出结果．【解答】解：（1）依题意，由a n ﹒b n ＋1－a n ＋1﹒b n －2a n ﹒a n ＋1＝0，可得a n ﹒b n ＋1－a n ＋1﹒b n ＝2a n ﹒a n ＋1,两边同时乘以1a n ﹒a n ＋1,可得b n ＋1a n ＋1－ b na n ＝2，即c n ＋1－c n ＝2， ∵c 1＝b 1a 1＝1，∴数列{}c n 是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴c n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，n ∈N ×．（2）由题意，设等比数列{}a n 的公比为q ，则q ＝a 2a 1＝31＝3， 故a n ＝1﹒3n －1＝3n －1,n ∈N ×．由（1）知,c n ＝2n －1，且c n ＝b n a n,则b n ＝c n ﹒a n ＝(2n －1)﹒3n －1,所以：S n ＝1×30＋3×31＋…＋(2n －1)×3n －1①， 3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －1)×3n②，①－②得：－2S n ＝1＋2×31＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－(2n －1)×3n,＝1＋ 2×3－2×3n －1×3 1－3－(2n －1)×3n ,＝－2－(2n －2)×3n, 所以S n ＝(n －1)×3n＋1．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．18．为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在（15，45]以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在（15，30]的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．（1）请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有95%的把握认为“产品质量高与新设备有关”．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )其，中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．（3）用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取3件产品，其中优质品数为X 件，求X 的分布列及数学期望．【考点】独立性检验；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 【专题】对应思想；综合法；概率与统计；数据分析．【分析】（1）由频数分布表可知，将（30，45]的频数相加，再除以100，即为新设备的优质品率；由频率分布直方图可知，将（30，45]的频率/组距相加，再乘以组距即为旧设备的优质品率；（2）先填写2×2列联表，再根据K 2的公式计算其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断； （3）由（1）知，新设备所生产的优质品率为0．7，而X 的所有可能取值为0，1，2，3，然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望． 【解答】解：（1）估计新设备所生产的产品的优质品率为30＋25＋15100×100%＝70%，估计旧设备所生产的产品的优质品率为5×(0．06＋0．03＋0．02)×100%＝55%． （2）补充完整的2×2列联表如下所示，∴K 2＝200×(30×55－45×70)275×125×100×100＝4．8＞3．841，∴有95%的把握认为“产品质量高与新设备有关”．（3）由（1）知，新设备所生产的优质品率为0．7，而X 的所有可能取值为0，1，2，3， ∴P （X ＝0）＝C 30×(1－0.7)3×0．70＝0．027， P （X ＝1）＝C 31×(1－0.7)2×0．71＝0．189， P （X ＝2）＝C 32×(1－0.7)1×0．72＝0．441， P （X ＝3）＝C 33×(1－0.7)0×0．73＝0．343． ∴X 的分布列为：数学期望E (X )＝0×0．027＋1×0．189＋2×0．441＋3×0．343＝2．1．【点评】本题考查频率分布直方图、频数分布表、独立性检验、二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望等知识点，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．19．如图，四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA ＝PC ，BD ⊥PA ，E 是BC 上一点，且EC ＝3BE ，设AC∩BD＝O．（1）证明：PO⊥平面ABCD；（2）若∠BAD＝60°，PA⊥PE，求二面角A－PE－C的余弦值．【考点】直线与平面垂直；二面角的平面角及求法．【专题】数形结合；向量法；空间角；数学运算．【分析】（1）由已知可得BD⊥AC，BD⊥PA，由直线与平面垂直的判定可得BD⊥平面PAC，得到BD⊥PO．再由PO⊥AC．进一步得到PO⊥平面ABCD；（2）由（1）知，PO⊥平面ABCD，BD⊥AC．以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设四边形ABCD的边长为4，PO＝a．由PA⊥PE列式求解a，可得所用点的坐标，再求出平面PAE与平面PEC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A－PE－C的余弦值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴O是AC的中点，BD⊥AC，∵BD⊥PA，PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∵PO⊂平面PAC，∴BD⊥PO．∵PA＝PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC．∵AC⊂平面ABCD，BD?平面ABCD，AC∩BD＝O，∴PO ⊥平面ABCD ；（2）解：由（1）知，PO ⊥平面ABCD ，BD ⊥AC ．∴以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 设四边形ABCD 的边长为4，PO ＝a ．∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴△ABD 与△BCD 都是等边三角形． ∴OA ＝OC ＝2 3．∴P (0,0,a ),A (2 3,0,0),C (－2 3,0,0),E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32, 32,0, →PA ＝(2 3,0,－a ), →PE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－ 32, 32,－a , →EC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－ 3 32,－ 32,0．∵PA ⊥PE ，∴→PA ﹒ →PE ＝(2 3,0,－a )﹒⎝ ⎛⎭⎪⎫－ 32, 32,－a ＝0，即－3＋a 2＝0，得a ＝3．∴→PA ＝(2 3,0,－ 3), →PE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－ 32, 32,－ 3．设平面PAE 的法向量为→m ＝()x 1,y 1,z 1,由 ⎩⎨⎧→m ﹒ →PA ＝2 3x 1－ 3z 1＝0→m ﹒ →PE ＝－ 32x 1＋ 32y 1－ 3z 1＝0，取z 1＝2，得→m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1, 5 33,2; 设平面PEC 的一个法向量为→n ＝()x 2,y 2,z 2,由，取x 2＝－1，得→n ＝(－1, 3,2)．设二面角A －PE －C 的平面角为θ， 则cos θ＝－| →m ﹒ →n | →m |﹒| →n ||＝－ 155．∴二面角A －PE －C 的余弦值为－155．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20．已知椭圆C ：x 2a 2＋ y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点为F 1(－c ,0),F 2(c ,0),P 是椭圆C 上一点．若椭圆C 的离心率为22,且PF 1⊥F 1F 2,△PF 1F 2的面积为22． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 是坐标原点，向量→m ＝(1，1)过点(2，0)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．若点Q (x ，y )满足→OQ ﹒ →m ＝1, →OM ＋ →ON ＝λOQ ，求λ的最小值．【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合．【专题】数形结合；分类讨论；数形结合法；向量与圆锥曲线；逻辑推理．【分析】（1）根据题意可得方程组联立 ⎩⎨⎧a 2＝2b2c ﹒ b 2a ＝22c 2＝a 2－b 2，解得b ，a ，进而得出椭圆C 的方程． （2）设直线l 的方程为：y ＝k (x －2)，设M ()x 1,y 1,N ()x 2,y 2,联立直线l 与椭圆的方程，得关于x 的一元二次方程，结合韦达定理得x 1＋x 2＝8k21＋2k 2,x 1﹒x 2＝8k 2－21＋2k 2,因为→OM ＋ →ON ＝λ →OQ ,得()x 1＋x 2,y 1＋y 2＝λ(x ，y )，当k ＝0时，λ＝0，当λ≠0时，x ＝x 1＋x 2λ＝8k 2λ()1＋2k 2,y ＝y 1＋y 2λ＝1λ[]k ()x 1＋x 2－4k ＝－4k λ()1＋2k 2,因为→OQ ﹒ →m ＝1，所以x ＋y ＝1，代入化简得λ＝8k 2－4k ()1＋2k 2化简，利用基本不等式可得出答案．【解答】解：（1）依据题意得c a ＝22, 所以c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－ b 2a2＝12,所以a 2＝2b 2, 因为PF 1⊥F 1F 2,故设P ()－c ,y 0,代入椭圆方程得y 0＝± b 2a, 所以△PF 1F 2的面积为：12﹒|F 1F 2|﹒|y 0|＝c ﹒ b 2a ＝22． 联立，解得b ＝1，a ＝2b ＝2,所以椭圆C 的方程为：x22＋y 2＝1． （2）由题意可知直线l 的斜率显然存在，故设直线l 的方程为：y ＝k (x －2)，联立，消去y 并整理得()1＋2k 2x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0， 所以△＝()－8k 22－4()1＋2k2()8k 2－2＞0,设M ()x 1,y 1,N ()x 2,y 2, 所以x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2,x 1﹒x 2＝8k 2－21＋2k2, 因为→OM ＋ →ON ＝λ →OQ ,所以()x 1＋x 2,y 1＋y 2＝λ(x ，y )，当k ＝0时，λ＝0，当λ≠0时，x ＝x 1＋x 2λ＝8k 2λ()1＋2k 2,y ＝y 1＋y 2λ＝1λ[]k ()x 1＋x 2－4k ＝－4k λ()1＋2k 2,因为→OQ ﹒ →m ＝1，所以x ＋y ＝1，所以8k 2λ()1＋2k 2＋ －4kλ()1＋2k 2＝1， 所以λ＝8k 2－4k()1＋2k 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ k ＋11＋2k 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ k ＋12(k ＋1)2－4(k ＋1)＋3＝4⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－ 12(k ＋1)＋ 3k ＋1－4≥4－ 42 6－4＝2－ 6, 当且仅当k ＝62－1时取等号，且k ＝62－1满足△＞0，所以λ≥2－ 6, 综上λmin ＝2－ 6．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，向量问题，属于中档题．21．已知函数f (x )＝ae x －ex －a (a ＜e ),其中e 为自然对数的底数．（1）若函数f (x )的极小值为－1，求a 的值；（2）若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )＋2x －x ln(x ＋1)≥0成立．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，得到e ln a －a ＋1＝0，令m (x )＝e ln x －x ＋1(0＜x ＜e )，根据函数的单调性求出a 的值即可；（2）令g (x )＝e x ＋(2－e )x －1－x 2(x ≥0),求出e x ＋(2－e )x －1≥x 2(x ≥0),令q (x )＝x －ln(x ＋1)，(x ≥0)，求出x ≥ln(x ＋1)，从而证明结论．【解答】解：（1）函数f (x )的定义域是R ，f ′(x )＝ae x－e , a ≤0时，f ′(x )＜0对x ∈R 恒成立，∴f (x )在R 递减，函数无极值，0＜a ＜e 时，令f ′(x )＞0，解得：x ＞ln e a ,令f ′(x )＜0，解得：x ＜ln e a, ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞,ln e a 递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln e a ,＋∞递增， ∴x ＝ln e a时，f (x )取极小值－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln e a ＝ae ln e a －e ln e a －a ＝－1，即e ln a －a ＋1＝0， 令m (x )＝e ln x －x ＋1(0＜x ＜e )，则m ′(x )＝e －x x, ∵0＜x ＜e ，∴m ′(x )＞0，∴m (x )在(0，e )递增，∵m (1)＝0，∴a ＝1；（2）∵a ＝1，∴f (x )＝e x －ex －1,∴f (x )＋2x －x ln(x ＋1)≥0?e x＋(2－e )x －1－x ln(x ＋1)≥0, 令g (x )＝e x ＋(2－e )x －1－x 2(x ≥0),∴g ′(x )＝e x －2x ＋2－e ,令h (x )＝e x －2x ＋2－e ,(x ≥0),h ′(x )＝e x－2,令h ′(x )＞0，解得：x ＞ln2，令h ′(x )＜0，解得：x ＜ln2，故h (x )在[0，ln2）递增，在(ln2，＋∞)递增，∴x ＝ln2时，h (x )取极小值，又∵h (0)＝3－e ＞0，h (1)＝0，∴存在x 0∈(0,ln2)使得h ()x 0＝0，∴g (x )在[0，x _(0)）递增，在()x 0,1递减，在(1，＋∞)递增，∵g (0)＝g (1)＝0，∴g (x )min ＝0，∴x ≥0时,e x ＋(2－e )x －1－x 2≥0,即e x ＋(2－e )x －1≥x 2,令q (x )＝x －ln(x ＋1)，(x ≥0)，则q ′(x )＝1－ 1x ＋1≥0对于x ≥0恒成立， ∴q (x )在[0，＋∞）递增，∴q (x )≥q (0)＝0，即当x ≥0时，x ≥ln(x ＋1)，∴x ≥0时,x 2≥x ln(x ＋1),∴e x ＋(2－e )x －1≥x 2≥x ln(x ＋1),故x ≥0时，f (x )＋2x －x ln(x ＋1)≥0成立．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，不等式的证明，是一道综合题．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为x 212＋ y 24＝1，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－ π4＝a (a ＞0)． （1）求直线l 的直角坐标方程；（2）已知P 是曲线C 上的一动点，过点P 作直线l 1交直线于点A ，且直线l 1与直线l 的夹角为45°，若|P A |的最大值为6，求a 的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】方程思想；转化法；坐标系和参数方程；数学运算．【分析】（1）把2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－ π4＝a 展开两角差的余弦，结合x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得直线l 的直角坐标方程；（2）依题意可知曲线C 的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝2 3cos αy ＝2sin α（α为参数）．设P (2 3cos α,2sin α),写出点P 到直线l 的距离，利用三角函数求其最大值，可得|P A |的最大值，结合已知列式求解a ．【解答】解：（1）由2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－ π4＝a ，得2ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝a ， 即ρcos θ＋ρsin θ＝a ．∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝a ，即x ＋y －a ＝0；（2）依题意可知曲线C 的参数方程为 {Á2£½n?½¦x sin （α为参数）． 设P (2 3cos α,2sin α),则点P 到直线l 的距离为：d ＝|2 3cos α＋2sin α－a |2＝|4⎝ ⎛⎭⎪⎫ 32cos α＋ 12sin α－a |2＝|4sin ⎝⎛⎭⎫α＋ π3－a |2． ∵a ＞0， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫α＋ π3＝－1时,d max ＝|－4－a |2． 又过点P 作直线l 1交直线于点A ，且直线l 1与直线l 的夹角为45°，∴d |P A |＝cos 45°，即|P A |＝2d ． ∴|P A |的最大值为2d max ＝6，即2× |－4－a |2＝6． ∵a ＞2，∴解得a ＝2．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，是中档题．23．已知函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋3|．（1）解不等式：f (x )≤6；（2）若a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝f (x )min ,证明：(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(c ＋1)2≥ 493．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．【分析】（1）直接利用分段函数的解析式和零点讨论法的应用求出结果．（2）直接利用基本不等式的应用求出结果．【解答】解：（1）函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2(x ＜－3)4(－3≤x ≤1)2x ＋2(x ＞1)． 当x ＜－3时，－2x －2≤6，解得x ≥－4，故－4≤x ＜－3．当－3≤x ≤1时，4≤6，恒成立． 当x ＞1时，2x ＋2≤6，解得x ≤2，故1＜x ≤2，所以不等式的解集为{x |－4≤x ≤2}．证明：（2）由（1）知：f (x )min ＝4，所以：a ＋b ＋c ＝4，所以(a ＋1)＋(b ＋1)＋(c ＋1)＝7，所以[(a ＋1)＋(b ＋1)＋(c ＋1)]2＝49，所以(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(c ＋1)2＋2(a ＋1)(b ＋1)＋2(a ＋1)(c ＋1)＋2(b ＋1)(c ＋1)＝49≤3[](a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(c ＋1)2．当且仅当a ＝b ＝c ＝43时，等号成立． 故：(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(c ＋1)2≥ 493． 【点评】本题考查的知识要点：分段函数的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试题(一)(word版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试广东省模拟试题理科数学（一）一､选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A,B 均为全集U={1,2,3,4,5,6,7}的子集,集合A={1,2,3,4},则满足,{1,2}U A B ⋂=ð的集合B 可以是 A.{1,2,3,4}B.{1,2,7}C.{3,4,5,6}D.{1,2,3} 2.复数4334i z i +=-(i 为虚数单位)的虚部为 A.-1B.2C.5D.1 3.若x,y 满足约束条件||1||2x y x -⎧⎨⎩„„，则z=2x+y 的最大值为 A.-7 B.3 C.5 D.74.如图,△OAB 是边长为2的正三角形,记△OAB 位于直线x=t(0<t ≤2)左侧的图形的面积为f(t),则y=f(t)的大致图象为5.将函数()()21f x cos x =-的图象向左平移1个单位长度,所得函数在1[0,]2的零点个数是A.0个B.1个C.2个D.3个或以上 6.某广场设置了一些石凳子供大家休息,这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的.如果被截正方体的棱长为40cm,则石凳子的体积为3192000.3A cm 3160000.3B cm 316000.3C cm 364000.3D cm 7.在某市2020年1月份的高三质量检测考试中,理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100),已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人,如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第 附:若2~(,)X N μσ,则()0.6826,(22)0.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=A.1500名B.1700名C.4500名D.8000名8.已知20121)n n n x a a x a x m x a +=++++L （,若123,4,a a ==则m= A.1 B.3 C.2 D.49.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ,A 为双曲线的左顶点,以12F F 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P,Q 两点,且56PAQ π∠=，则该双曲线的离心率为.A.B.C.D 10.设正项数列{}n a 的前n 项和为,n S且满足1,n a +则数列{7}n a -的前n 项和n T 的最小值为49.4A - 7.2B - 7.2C D.-1211.已知三棱锥P-ABC 满足PA=PB=PC=AB=2,AC ⊥BC,则该三棱锥外接球的体积为.A 32.3B π.C 16.3D π 12.已知f(x)是定义在.(,)22ππ-.上的奇函数,f(1)=0,且当(0,)2x π∈时,() ()tan 0,f x f x x '+>则不等式f(x)<0的解集为 .(1,0)(1,)2A π-⋃B.(-1,0)∪(0,1) .(,1)(1,)22C ππ--⋃ .(,1)(0,1)2D π--⋃ 二､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡13.设函数2()ln ,f x mx x =若曲线y=f(x)在点(,())e f e 处的切线与直线ex+y+2020=0平行,则m=__.14.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 111,2,n n a a a +==若数列{}n b 满足1,n n b S ⋅=则10121210111b b b b b b ++++++=L ____. 15.已知A(3,0),B(0,1),C(-1,2),若点P 满足||1,AP =u u u r 则||OB OC OP ++u u u r u u u r u u u r 最大值为___.16.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F,直线l 过点F 且倾斜角为5.6π若直线l 与抛物线C 在第二象限的交点为A,过点A 作AM 垂直于抛物线C 的准线,垂足为M,则△AMF30y --=的距离的最小值为___.三､解答题:共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答｡第22､23题为选考题,考生根据要求作答｡(一)必考题:共60分｡17.(12分)在△ABC 中,内角A,B,C 满足23sin()2sin .2A B C += (1)求内角A 的大小;(2)若AB=5,BC=7,求BC 边上的高.18.(12分) 如图,已知正三棱柱111ABC A B C -,D 是AB 的中点,E 是1C C 的中点,且11,2AB AA ==.(1)证明:CD//平面1A EB ;(2)求二面角1B A E D --的余弦值.19.(12分)已知椭圆C:221,42x y +=A,B 分别为椭圆长轴的左右端点,M 为直线x=2上异于点B 的任意一点,连接AM 交椭圆于P 点.(1)求证:OP OM ⋅u u u r u u u u r 为定值;(2)是否存在x 轴上的定点Q 使得以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点.20.(12分)已知函数2()()x f x e m e x mx =+--.(1)当m=0时,求函数f(x)的极值;(2)若函数f(x)在区间(0,1)内存在零点,求实数m 的取值范围.21.(12分)一支担负勘探任务的队伍有若干个勘探小组和两类勘探人员,甲类人员应用某种新型勘探技术的精准率为0.6,乙类人员应用这种勘探技术的精准率为a(0<a<0.4).每个勘探小组配备1名甲类人员与2名乙类人员,假设在执行任务中每位人员均有一次应用这种技术的机会且互不影响,记在执行任务中每个勘探小组能精准应用这种新型技术的人员数量为.ξ(1)证明:在ξ各个取值对应的概率中,概率P(ξ=1)的值最大.(2)在特殊的勘探任务中,每次只能派一个勘探小组出发,工作时间不超过半小时,如果半小时内无法完成任务,则重新派另一组出发.现在有三个勘探小组i A (i=1,2,3)可派出,若小组i A 能完成特殊任务的概率t;()(1,2,3)i t P i i ξ===,且各个小组能否完成任务相互独立.试分析以怎样的先后顺序派出勘探小组,可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小.(二)选考题:共10分｡请考生在第22､23题中任选一题作答｡如果多做,则按所做的第一题计分｡22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 2sin 1ρθρθ-=.若P 为曲线1C 上的动点,Q 是射线OP 上的一动点,且满足|OP|·|OQ|=2,记动点Q 的轨迹为2.C (1)求2C 的直角坐标方程;(2)若曲线1C 与曲线2C 交于M,N 两点,求△OMN 的面积.23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 已知函数1()|||3|2()2f x x k x k =-++-∈R(1)当k=1时,解不等式f(x)≤1;(2)若f(x)≥x 对于任意的实数x 恒成立,求实数k 的取值范围.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科数学模拟试题(二)含答案
质量指标值
(15, 20] (20, 25] (25, 30] (30, 35] (35, 40] (40, 45]
合计
频数
2 8 20 30 25 15 100
(1) 请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率.
三、 解答题 17,解：
(1) 依题意得 a(2 也• * +^°-~ -、句=b • cos。+ c , cosB , ................. 1 分 J2a • cos.4 = b • cosC + c , cosB .
根据正弦定理得屈 in4cos4 = sinB • cosC + sinC • cosB , .......................... 2 分 /公 hvlco&4 = sin( H + C) . .......................................................................... 3 分 ^sin4cos4 = sin4 . ...................................................................................................... 4 分
4. 若％, y 满足约束条件卜-y -3 WO,则 z = y - 2x 的最大值是
Lx +1 N。，
A. 9
B. 7
C. 3
D. 6
5. 《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气,
2020年广东省普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(二)数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前2020年广东省普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(二)数学(文)试题(解析版)本试卷5页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的县（市、区）、学校、姓名、考生号、考生号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}5217A x x =-<+<，{}24B x x =-<<，则A B =（ ） A. {}34x x -<< B. {}24x x -<< C. {}33x x -<< D. {}23x x -<<【答案】D【解析】【分析】求出集合A ,B ,由此能求出A B ． 【详解】解：集合{|5217}{|33}A x x x x =-<+<=-<<,{|24}B x x =-<<,{|23}A B x x ∴⋂=-<<．故选：D ．【点睛】本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题．2.已知复数()z i a i =-（i 为虚数单位,a ∈R ）,若z =则a =（ ）A. 4B. 2C. 2±D. 2-【答案】C【解析】【分析】先利用复数的乘法化简复数为()1z i a i ai =-=+,再由z ==.【详解】因复数()1z i a i ai =-=+,所以z ==,解得2a =±故选：C【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的模的应用,还考查了运算求解的能力,属于基础题.3.小青和她的父母到照相馆排成一排拍照,则小青不站在两边的概率为（ ） A. 13B. 23C. 16D. 12【答案】A【解析】【分析】 先求小青不站在两边的站法有多少种,再求三个人全排列的站法,两者之比即可求解.【详解】解：小青只能站中间1种站法,其父母站两边有222A =,所以小青不站在两边的站法有212⨯=种站法,。
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2x( y +1)
y
x
2
2 y + 2 ln y = ln x+
ln C1 ，则 2 y = ln x+
ln C1−
2 ln
y=
ln
C1x y2
，
e2 y
=
C1x y2
，所以
x
=
Cy2e2 y .
18.解析：由题意知 bn > 0 ，
∑ an
n2 + bn
<
an n
，由基本不等式得 an n
<
an2
广东省 2020 年普通高等学校本科插班生招生考试
全真模拟大联考·高等数学
一、单项选择题
1.[答案]C
解析： lim x sin 1
x→∞
x
sin 1
= lim x→∞
x 1
1.
=
x
2.[答案]B 解析： y′ = 4x3 4 ，−由题意知切线 k = 0 ，令 y′ = 0 ，得 x = 1 ， y = −3 .
∫ ∫ 3.[答案]D 解析： f (e−x )e−−xdx = −f (e−x=)de+−x F (e−x ) C .
4.[答案]B 解析：由题可知 0 ≤ θ ≤ π ， 0 ≤ r ≤ 1，令 x = r cosθ ， y = r sinθ ，则可得 4
0 ≤ x2 + y2 ≤ 1，在直角坐标系下积分区域可表示为 0 ≤ y ≤ 2 ， y ≤ x ≤ 1− y2 . 2
1)
，+dx
=
t
2t 2+
1
dt
，
∫ ∫ ∫ 原式 =
1 0
t
22=t+21
dt
1 0
2t=2−t 2++21−
2
dt
−=
1 0
2
t
2
2 +
1
dt
2(t
arctan
t
)
1 0
= 2(1 π )−. 4
15.解析：∂z+= (1 y)+x ln(1 y) ，∂z = x(1 y)+x−1 ，dz = (1+ y)x ln(1+ y)dx+ x(1+ y)x−1dy ，
−x2
=x)
ln
1+
1 x2
+
−= x
ln(+1
x+2 −=x)
f (x) ，
∴ f (x) 是奇函数；
（3）设 g(x) = f (x) −x
ln= 1 x2 x+ +x − ，
1+ x2
1+ x2
g(x) = 1
2x⋅ 1
1+ x2 2 1+ x2
1+ x2 − x⋅ 2x
+−
2 1+ x2
x
求导，得 3x2
f
( x3 )
= 1，即
f
( x3 )
=
1 3x2
，
f (27) = f (33) 1 . = 27
9.[答案] −3 解析：将 (e2x )′ = 2e2x ， (e2x )′′ = 4e2x 代入微分方程，得
4e2x + 2ae2x + 2e2x = (+6 2a)e2=x 0 ，由于 e2x > 0 ，故 a = −3 .
∞
∑ 5.[答案]A
解析：
ui
i =1
收敛，所以
lim
n→∞
Sn
存在.
二、填空题
6.[答案] ln 2
解析：
lim
x→∞
x + a+ x − 2a
x
=
lxi→m∞=1
x
3=a= − 2a
x−2a 3a
⋅ 3ax x−2a
3ax
lim e x−2a
x→∞
e3a
8 ，得
a = ln 2 .
7.[答案]
1
10.[答案] 2 解析： ∂z = y2 ∂x
x
e
y
+
，
∂z
=2.
y ∂x (0,1)
三、计算题
11.解析：原式 = lim x(1− cos x) = lim
1 x3 2
3 x2 = lim 2
3
.
=
x→0 sin x − x cos x x→0 sin x − x cos x x→0 x sin x 2
0
1− n +1
1= n+2
1
；
(n +1)(n + 2)
（2）
nan
=
(n
n + 1)(n
+
2)
n n2
∑ 1< ，因=为 ∞ 3
1
是收敛的，由比较审敛法知
3
n2
n n=1 2
∞
∑ 级数 nan 也收敛. n=1
20.解析：（1） f (x) = ln( 1 x+2 x+) ；
（2） f (−x) = ln(+1
+
1 n2
2
，因为
∞
an2
n=1
∑ ∑ ∑ ∞
和
1
∞
都收敛，所以由比较审敛法知
an 收敛，同理 ∞
n2
n=1
n=1 n
n=1
an 也收敛. n2 + bn
四、综合题
19.解析：（1）由题意， y = xn 与 y = xn+1 在点 x = 0 和 x = 1 处相交，
∫ 所以 an =
1 (xn − xn+1)dx=
−2e−2x ，
f (x) =
−2 xe 2 x
，所以
∫ ∫ ∫ 1− dx =− 1 =x−e2xdx= −1 xde2x
f (x)
2
4
( ) ∫ 1 xe2x
4
e2 x dx
−
=
14− xe2x
−+1 2
e2
x=
−
C
14+ x
1 2
e2
x
C.
14.解析：令 t =
ex
1 ，−x = ln(t2
2,
2 e2
解析：曲线的定义域为 (−∞, +∞) ， y′ = e−x
xe−−x ，
y′′−= e−−x
e+− x
xe=−x− (x
2)e− x
，令
y′′
=
0
，x
=
2
，y(2)
=
2 e2
，当
x
>
2
时，y′′
>
0
，
当
x
<
2
时，
y′′
<
0
，所以曲线的拐点为
2,
2 e2
.
8.[答案] 1 27
解析：等式两边对
1+ x2
=x 1+ x2
1
+− 1 (1+ x2 ) 1+ x2
3
= (x2 + x +1) 1+ x2 −1 (1+ x2 ) 1+ x2
x > 0 ，∴(x2 + x +1) > 1, 1+ x2 > 1, (x2 + x +1) 1+ x2 −1 > 0 又 (1+ x2 ) 1+ x2 > 0 ，∴ g′(x) > 0 ∴ g(x) 在 (0, +∞) 上单点递增， g(x) > g(0) = 0 ∴当 x > 0 时， f (x) > x .
∂x
∂y
dz (1,1) = 2 ln 2dx dy . +
∫∫ ∫ ∫ ∫ 16.解析：
4 − x2 − y2 dxdy =
2π dθ
2
r
4
r2 dr−
2π
2
0
D
∫2
= π− (4
1
−r 2 )=2 dr−2
0
2 π=(4
32
r2)2
16 π .
3
3
0
17.解析： y′ = y ，对方程分离变量得 2( y +1)dy = dx ，等式两边积分得
12.解析：令 F (x, y) = ln(x2
y+)
x−3 y
si−n
x
，
Fx
=
2x x2 +
y
3−x2 y
c−os x ，
Fy
=
1 x2 +
y
x3 − sin−x ， dy− = dx x=0
=Fx Fy x=0
3x2
y
+
cos
x
−
2x x2 +
y
x2
1 +
y
−
x3
−
sin
x
x=0
=1.
13.解析：由题意得 xf (x) =