广东省 2020 年普通高等学校本科插班生招生考试 全真模拟考试 高等数学(答案)

−2e−2x ，
f (x) =
−2 xe 2 x
，所以
∫ ∫ ∫ 1− dx =− 1 =x−e2xdx= −1 xde2x
f (x)
2
4
( ) ∫ 1 xe2x
4
e2 x dx
−
=
14− xe2x
−+1 2
e2
x=
−
C
14+ x
1 2
e2
x
C.
14.解析：令 t =
ex
1 ，−x = ln(t2
广东省 2020 年普通高等学校本科插班生招生考试
全真模拟大联考·高等数学
一、单项选择题
1.[答案]C
解析： lim x sin 1
x→∞
x
sin 1
= lim x→∞
x 1
1.
=
x
2.[答案]B 解析： y′ = 4x3 4 ，−由题意知切线 k = 0 ，令 y′ = 0 ，得 x = 1 ， y = −3 .
1)
，+dx
=
t
2t 2+
1
dt
，
∫ ∫ ∫ 原式 =
1 0
t
22=t+21
dt
1 0
2t=2−t 2++21−
2
dt
−=
1 0
2
t
2
2 +
1
dt
2(t
arctan
t
)
1 0
= 2(1 π )−. 4
15.解析：∂z+= (1 y)+x ln(1 y) ，∂z = x(1 y)+x−1 ，dz = (1+ y)x ln(1+ y)dx+ x(1+ y)x−1dy ，
−x2
=x)
ln
1+
1 x2
+
−= x
ln(+1
x+2 −=x)
f (x) ，
∴ f (x) 是奇函数；
（3）设 g(x) = f (x) −x
ln= 1 x2 x+ +x − ，
1+ x2
1+ x2
g(x) = 1
2x⋅ 1
1+ x2 2 1+ x2
1+ x2 − x⋅ 2x
+−
2 1+ x2
x
求导，得 3x2
f
( x3 )
= 1，即
f
( x3 )
=
1 3x2
，
f (27) = f (33) 1 . = 27
9.[答案] −3 解析：将 (e2x )′ = 2e2x ， (e2x )′′ = 4e2x 代入微分方程，得
4e2x + 2ae2x + 2e2x = (+6 2a)e2=x 0 ，由于 e2x > 0 ，故 a = −3 .
2,
2 e2
解析：曲线的定义域为 (−∞, +∞) ， y′ = e−x
xe−−x ，
y′′−= e−−x
e+− x
xe=−x− (x
2)e− x
，令
y′′
=
0
，x
=
2
，y(2)
=
2 e2
，当
x
>
2
时，y′′
>
0
，
当
x
<
2
时，
y′′
<
0
，所以曲线的拐点为
2,
2 e2
.
8.[答案] 1 27
解析：等式两边对
∞
∑ 5.[答案]A
解析：
ui
i =1
收敛，所以
lim
n→∞
Sn
存在.
二、填空题
6.[答案] ln 2
解析：
lim
x→∞
x + a+ x − 2a
x
=
lxi→m∞=1
x
3=a= − 2a
x−2a 3a
⋅ 3ax x−2a
3ax
lim e x−2a
x→∞
e3a
8 ，得
a = ln 2 .
7.[答案]
2x( y +1)
y
x
2
2 y + 2 ln y = ln x+
ln C1 ，则 2 y = ln x+
ln C1−
2 ln
y=
ln
C1x y2
，
e2 y
=
C1x y2
，所以
x
=
Cy2e2 y .
18.解析：由题意知 bn > 0 ，
∑ an
n2 + bn
<
an n
，由基本不等式得 an n
<
an2
∂x
∂y
dz (1,1) = 2 ln 2dx dy . +
∫∫ ∫ ∫ ∫ 16.解析：
4 − x2 − y2 dxdy =
2π dθ
2
r
4
r2 dr−
2π
2
=r(4
1
r 2 )2 dr
−
0
0
0
D
∫2
= π− (4
1
−r 2 )=2 dr−2
0
2 π=(4
32
r2)2
16 π .
3
3
0
17.解析： y′ = y ，对方程分离变量得 2( y +1)dy = dx ，等式两边积分得
1
10.[答案] 2 解析： ∂z = y2 ∂x
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x
e
y
+
，
∂z
=2.
y ∂x (0,1)
三、计算题
11.解析：原式 = lim x(1− cos x) = lim
1 x3 2
3 x2 = lim 2
3
.
=
x→0 sin x − x cos x x→0 sin x − x cos x x→0 x sin x 2
+
1 n2
2
，因为
∞
an2
n=1
∑ ∑ ∑ ∞
和
1
∞
都收敛，所以由比较审敛法知
an 收敛，同理 ∞
n2
n=1
n=1 n
n=1
an 也收敛. n2 + bn
四、综合题
19.解析：（1）由题意， y = xn 与 y = xn+1 在点 x = 0 和 x = 1 处相交，
∫ 所以 an =
1 (xn − xn+1)dx=
∫ ∫ 3.[答案]D 解析： f (e−x )e−−xdx = −f (e−x=)de+−x F (e−x ) C .
4.[答案]B 解析：由题可知 0 ≤ θ ≤ π ， 0 ≤ r ≤ 1，令 x = r cosθ ， y = r sinθ ，则可得 4
0 ≤ x2 + y2 ≤ 1，在直角坐标系下积分区域可表示为 0 ≤ y ≤ 2 ， y ≤ x ≤ 1− y2 . 2
12.解析：令 F (x, y) = ln(x2
y+)
x−3 y
si−n
x
，
Fx
=
2x x2 +
y
3−x2 y
c−os x ，
Fy
=
1 x2 +
y
x3 − sin−x ， dy− = dx x=0
=Fx Fy x=0
3x2
y
+
cos
x
−
2x x2 +
y
x2
1 +
y
−
x3
−
sin
x
x=0
=1.
13.解析：由题意得 xf (x) =
0
1− n +1
1= n+2
1
；
(n +1)(n + 2)
（2）
nan
=
(n
n + 1)(n
+
2)
n n2
∑ 1< ，因=为 ∞ 3
1
是收敛的，由比较审敛法知
3
n2
n n=1 2
∞
∑ 级数 nan 也收敛. n=1
20.解析：（1） f (x) = ln( 1 x+2 x+) ；
（2） f (−x) = ln(+1
1+ x2
=x 1+ x2
1
+− 1 (1+ x2 ) 1+ x2
3
= (x2 + x +1) 1+ x2 −1 (1+ x2 ) 1+ x2
x > 0 ，∴(x2 + x +1) > 1, 1+ x2 > 1, (x2 + x +1) 1+ x2 −1 > 0 又 (1+ x2 ) 1+ x2 > 0 ，∴ g′(x) > 0 ∴ g(x) 在 (0, +∞) 上单点递增， g(x) > g(0) = 0 ∴当 x > 0 时， f (x) > x .