用Feynman传播函数求解一维谐振子的尝试

用Feynman传播函数求解一维谐振子的尝试
本文旨在结合《高等量子力学》课上关于Feynman传播函数的知识，以及参考侯伯元教授编著的《路径积分与量子物理导引》的知识，尝试用路径积分的方法来求解一维谐振子的问题。

直接引用课上推导的结果，Feynman传播子为：
()()
12
212 11
,,exp
22
j j
j j j j j
x x
m m
x t x t i V x
i
εε
πεε
+
++
⎧⎫
⎡⎤
-
⎛⎫
⎪⎪
⎛⎫⎢⎥
=-+O
⎨⎬
⎪
⎪
⎢⎥
⎝⎭⎝⎭
⎪⎪
⎣⎦
⎩⎭（1）式子中，令1
j j
t t
ε+
≡-
，并已采用自然单位制，
1
=。

式（1）中，有
()()
2
1
2
j j
j j
x x
m
L t V x
ε
+
-
⎛⎫
≡-
⎪
⎝⎭（2）是拉氏量。

考虑一维谐振子，其拉氏量为：
222
22
m m
L x x
ω
=-
（3）那么，Feynman传播子为
()()()
12
22
212 11
,,exp
222
j j
j j j j
x x
m m
D x x i x x
i
ω
εεε
πεε
+
++
⎧⎫
⎡⎤
-
⎛⎫
⎪⎪
⎛⎫⎢⎥
=--+O
⎨⎬
⎪
⎪
⎢⎥
⎝⎭⎝⎭
⎪⎪
⎣⎦
⎩⎭（4）令
2
00
12,
222
m m
a b
ωε
εε
⎡⎤
⎛⎫
=-=
⎢⎥
⎪
⎝⎭
⎢⎥
⎣⎦
则，式（4）改写为：
()()
{}()
1
2
22
10101
,,exp2
2
j j j j j j
m
D x x i a x x b x x
i
εε
πε
+++
⎛⎫⎡⎤
=--⋅+O
⎪⎢⎥
⎣⎦
⎝⎭（5）而对于Feynman传播函数有，
()()()
{}
,;,exp f
i
t
F f f i i t
D x t x t D x t i L t dt
=⎡⎤
⎣⎦
⎰⎰
（6）
代入式（5）的结论，则有：
(
)
()
112
220101010
,;,exp 22lim N
N N F
f f i i j
j j j j N j j m D x t x t dx i a x x b x x i επε--++→∞==→⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎡⎤=⨯+-⋅⎢⎥⎨⎬ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎩⎭⎣⎦∑∏⎰ （7）
利用迭代的方法来计算，并令式（7）为：
(
)
{}
11110
,;,exp lim N F
f f i i j N j D x t x t A dx i εφ-→∞=→⎡⎤
=⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦∏⎰ （8）
式中，
2
12N
m
A i πε⎛⎫= ⎪
⎝⎭；
()
1
22101011
1
2N j j j j j a x x b x x φα-++=⎡⎤=+-⋅+⎣⎦
∑. （9）
其中，令：
()
()()()()
2
2
2
22
001020
01202000
2
22
00120120120
0222222b b a x x a x x x x x a a b a x x x a x x b x x a α⎡⎤=++-+-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+++-⎢⎥⎣⎦
式中，又有：
22
0010100,.
22b b a a b a a =-=
那么，即可以对式（7）中变量
积分，得：
1
2
2102i A A a π⎛⎫= ⎪
⎝⎭ ()
()
1
222220*********
2
22N j j j j j a x x b x x a x x b x x φ-++=⎡⎤=+-⋅+++-⎣⎦
∑
1x
同理，依次对积分，并利用数学归纳法，则有：
(
)
()
112
220101010
,;,exp 22lim N N N F
f f i i j j j j j N j j m
D x t x t dx i a x x b x x i επε--++→∞==→⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎡⎤=⨯+-⋅⎢⎥⎨⎬
⎪
⎣⎦⎝⎭
⎢⎥⎪⎪⎩⎭⎣⎦
∑∏⎰（10）
式中，
(
)
20001
22201
2
110
0112,,22,.
k k k k k m a b b b b a b a b b a a ωεε----⎛⎫
⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭=
+-=
+ （11）
为得到时的则需求时的各个的值。

引入，利用时，利用Taylor 展开式中的领头阶项定义：
11sin 22ωεϖε⎛⎫= ⎪⎝⎭
因为时，有
故可以得到，
2
00012sin cos 2a b b ϖεϖε⎛
⎫
=-= ⎪⎝
⎭
以及递推关系：
11cos k k b b ϖε-=+
利用数列知识，可最终求得：
()0sin 11sin k k b b ϖεϖε+=
231,k x x x -…(
)
,;,F f f i i
D x t x t N →∞
,k k
a b N →∞
ε→ϖ
0ε→ϖω
→
则，有
()sin 2sin 1k m b k ϖεεϖε
=
+
于是，
(
)
()()122
22
00
cos 1sin 2sin 1k k
k
k m a b a b b k ϖε
ϖεεϖε+=
+-==
+
()01sin 12sin k k m a a k ϖε
εϖε-++=
（12）
将以上结果代入式（10）中，便得到一维谐振子Feynman 传播函数的最终结果：
()
()()
()
11
12
210
220001
2
22
sin ,;,2sin 1sin cos sin exp 22sin sin exp cos ()22sin ()2sin ()lim N F f f i i N j N N f i f i f f i f i m
D x t x t i k m N m i x x b x x N N m m i t t x x x i t t t t εϖεπεϖεϖεϖεϖεεϖε
εϖεωωωπωω-→∞=→⎡
⎤⎛⎫=⨯⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎧⎫⎡⎤+-⋅⎨⎬
⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎛⎫=⨯-+- ⎪ ⎪--⎝⎭∏i x ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⋅⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭（13）
对式（13）所得的Feynman 传播函数取迹，有此体系的迹核函数：
()()
[]()2
1cos 12
sin 00112
2
122
,;,02sin sin 2sin cos 11
1m i
x iH F i i n i n m d D x x tr e
dx e
i m i i m e
e e ω
ωττ
ωτ
ωτ
ωτωτ
ωττπωτωπωτπωτωωτ--⎛⎫
∞
-+- ⎪⎝⎭
-=⎛⎫⋅==⋅ ⎪⎝⎭
⎛⎫⎛
⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==-⎰⎰∑ （14）
可见，一维谐振子束缚态能级为
1,
0,1,22n n n E ω⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
=…
（15）
Feynman 传播子在能量表象下的矩阵元为
(
)
()()
()
()
f i n f i iH t t f f i i f i
n
iE t t n f n i n
x U t t x x n n e
x e
x x ψψ∧
----*
-==∑∑ （16）
对于一维谐振子的波函数，则可由以下过程得到， 令
则有，
()
()()
()2222
1
2sin 111
2cos 11i t i t i t i t i t e e t e e ωωωωωξξ
ωξξ
---=-=-=+=
+ （17）
则，根据式（13），得到：
将此式与厄米多项式双线性母函数对比：
(
)()
22220
22()(y)!
1n
n
n
n t x y t xyt H x H n t ∞
=⎡⎤
-++⎢⎥=
⎢⎥-⎣⎦∑
（18）
()()
()()
()
(
)1
2
22
1
22
1
2
2221
2
2222,;,0exp cos ()22sin ()2sin ()11exp 221exp exp 21F f i f i f i m im D x t y t t x y x y i t t t t m m x y x y m m m x y x y ωωωπωωωωξξξξπξξωωωξπξ-⎛⎫⎧⎫⎪⎪=⨯-+-⋅ ⎪⎨⎬ ⎪--⎪⎪⎝⎭⎩⎭
⎧⎫⎡⎤-+⎪⎪⎛⎫=-⨯+-⋅⎨⎬⎢⎥ ⎪-⎝⎭
⎪⎪⎣⎦⎩
⎭⎛⎫⎡=-+-+ ⎪⎢-⎝⎭⎣()
222x y ξξ⎧⎫⎡⎤-⋅⎨⎬⎣⎦⎩⎭
i e ωτ
ξ-=
其中，是厄米多项式。

()(
)
112
22201,;,0exp 22!
i n F n n n
n m m D x t y x y H H e n ωτ
ωωπ⎛⎫∞
-+ ⎪⎝⎭
=⎛⎫⎡⎤
=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑（19）
容易通过对比式（18）和式（19）得到，一维谐振子的波函数为：
(
)1
124
2!exp 22n n n n m m x x H ωωϕπ⎛⎫⎛⎫⎡⎤
=-
⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （20）
对应的能量本征值为：
12n n E ω
⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
= （21）
通过以上的分析可见，利用路径积分方法得到的一维谐振子解与利用量子力学的其他方法得到的解是一致的。

()n H x。