置信度(置信区间计算方法)

ch73 71
为何要取 z / 2 ?
当置信区间为( X z 区间的长度为 2 z
2
1 , X z 1 ) 时 5 5 2
1
2
—— 达到最短 5
ch73
72
0.4 0.3 0.2 0.1
取 = 0.05
z z1 1.96 ( 1.96)
2 2
1
-2 1
2 1 2 2
91
(4) , 未知, 但 n = m ,
2 1 2 2
1 2 的置信区间
令 Zi = Xi -Yi , i = 1,2,…, n, 可以将它们看成来
自正态总体 Z ~ N ( 1 2 , 12 + 22) 的样本
Z X Y , n 1 2 2 SZ ( X i Yi ) ( X Y ) n 1 i 1
选取 K
P(
2 1 2
(n 1) S 2

2
~ 2 (n 1)
2
0.15 0.125 0.1 0.075
则由
2

(n 1) S 2

2
) 1

2
得 2 的置信区间为
0.05 0.025
ch73
(n 1)S 2 (n 1)S 2 (4) , 2 (n 1) 12 (n 1) 2 2
(一) 一个正态总体 X ~N ( 2)的情形 (1) 方差 2已知, 的置信区间
( X z
2
n
, X z
2
2
n
) (1)
推导 由 X ~ N ( , ) n
g ( X 1 , X 2 , , X n , )
ch73
选取枢轴量
X

~ N (0,1)
仿单个正态总体公式(2) 1 2 的置信区间为
ch73
SZ ( X Y ) t (n 1) 2 n
(8)
92
12 (5) 方差比 2 的置信区间 ( 1 , 2 未知) 2 2 S1 S12 / 12 S 22 取枢轴量 F S 2 / 2 2 ~ F (n 1, m 1) 1 2 2
这时, T2 T1 往往增大, 因而估计精度降低.
确定后, 置信区间 的选取方法不唯一,
ch73
常选最小的一个.
75
处理“可靠性与精度关系”的原 则
先
求参数 置信区间 保 证 可靠性
再
提 高 精 度
ch73
76
求置信区间的步骤
寻找一个样本的函数
— 称为枢轴量 它含有待估参数, 不含其它未知参数, 它的分布已知, 且分布不依赖于待估参 数 (常由 的点估计出发考虑 ). 例如 X～N ( , 1 / 5)
( 引例中 a 1.96, b 1.96 )
由 a g ( X1, X 2 , X n , ) b 解出 T1 , T2
得置信区间 ( T1 , T2 ) 引例中
( T1 , T2 ) ( X 1.96 1 , X 1.96 1 ) 5 5
ch73 78
置信区间常用公式
2 1 2 2
S S n m n m
2 1 2 2 2 1
2 2
( X Y ) ( 1 2 ) S S n m
2 1 2 2
~ N (0,1)
X , Y 相互独立, 因此 1 2 的置信区间为
ch73
( X Y ) z 2
S S (7) n m
S S , X t (n 1) (2) X t (n 1) 2 2 n n
推导
选取枢轴量 T X ~ T (n 1)
S
n X 由P t (n 1) 确定t ( n 1) 2 S 2 n
X,S ; Y ,S
2 1
2 2
分别表示两样本的均值与方差
置信度为 1
ch73
87
(1) , 已知, 1 2 的置信区间
2 1 2 2
12 22 X ~ N (1 , ), Y ~ N ( 2 , ) X , Y 相互独立, n m
( X Y ) ( 1 2 )
由公式 (2) 得 的置信区间为 s s (x t0.025(5), x t0.025(5) ) 6 6 (14.71, 15.187 )
(3) 选取枢轴量 K 查表得
5s
2
5S 2

2
~ 2 (5) s 2 0.051.
2 0975
2 0.025
(5) 12.833 ,
2 1 2 2
t 1 2
1 2 的置信区间为
2 2 ( X Y ) t 1 1 (n 1) S1 (m 1) S 2 2 n m n m 2 (6)
ch73 90
(3) , 未知, n, m > 50, 1 2的置信区间
5s
2
(5) 0.831
由公式 (4) 得 2 的置信区间为
(
ch73

2 0.025
(5)
,

2 0.975
(5)
) ( 0.0199 , 0.3069 )
86
(二) 两个正态总体的情形
( X 1 , X 2 , , X n ) 为取自总体 N ( 1 12 ) 的样本,
( Y1 , Y2 ,, Ym ) 为取自总体 N ( 2 22 ) 的样本,
1 1 X 1 . 96 , X 1 . 96 称随机区间 5 5
为未知参数 的置信度为0.95的置信区间.
ch73 70
置信区间的意义
反复抽取容量为 5 的样本 , 都可得 一个区间 ,此区间不一定包含未知参数 的真值, 而包含真值的区间占95%.
若测得 一组样本值, 算得 x 1.86 则得一区间(1.86 – 0.877, 1.86 + 0.877) 它可能包含也可能不包含 的真值, 反复 抽样得到的区间中有95%包含 的真值.
n 2
得 2 的置信度为1 置信区间为
n 2 ( X i ) i 1 , 2 2 (n)
n 2
ch73
( X i ) i 1 (3) 2 1 (n) 2
82
(4) 当 未知时, 方差 2 的置信区间
1 X ~ N 0 , 1 X ~ N , 1 5 5
取
查表得
ch73
0.05
z / 2 1.96
69
X 这说明 P 1.96 0.05 1 5
1 1 即 P X 1.96 5 X 1.96 5 0.95
( 14.95 1.96 0.1 , 14.95 1.96 0.1 ) ( 14.75 , 15.15 )
Fra Baidu bibliotek(2)
X ~ t (5) 取T S 6
6
查表 t0.025(5) 2.5706
由给定数据算得
ch73
x 14.95
85
6 1 2 2 2 s ( xi 6 x ) 0.051. s 0.226 5 i 1
取枢轴量
ch73
g ( X x , X 2 , , X n , )
X g ( X 1 , X 2 , , X n , ) ~ N (0, 1) 1/ 5
77
给定置信度 1 ,定出常数 a , b ,使得
P(a g ( X1 , X 2 , X n , ) b) 1
P(T1 T2 ) 1

则称 [ T1 , T2 ]为 的置信水平为1 - 的
置信区间或区间估计. T1 置信下限 T2 置信上限
ch73
74
几点说明
置信区间的长度 T2 T1 反映了估计精度 T2 T1 越小, 估计精度越高.
反映了估计的可靠度, 越小, 越可靠. 越小, 1- 越大, 估计的可靠度越高,但
( X Y ) ( 1 2 ) 1 1 (n 1) S12 (m 1) S 22 n m nm2
~ t ( n m 2)
89
ch73
P
( X Y ) ( 1 2 ) 1 1 (n 1) S (m 1) S n m nm2

2 1
n


2 2
~ N (0,1)
m
1 2 的置信区间为
2 2 2 2 ( X Y ) z 1 2 , ( X Y ) z 1 2 2 2 n m n m
ch73

(5)
88
(2) , 未知( 但 12 22 2 ) 1 2 的置信区间
2
2
-2
1
• 2
2
4
6
8

•2
2
10
83
例1 某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从 正态分布 N( 2), 现从某天的产品中随机 抽取 6 件, 测得直径为 15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1
(1) 若 2=0.06, 求 的置信区间 (2) 若 2未知,求 的置信区间 (3) 求方差 2的置信区间.
故
ch73
S S 的置信区间为 X t2 (n 1) , X t2 (n 1) n n 81
(3) 当 已知时, 方差 2 的 置信区间
Xi 2 ~ (n) 由概率 取枢轴量 Q ， i 1 n 2 (Xi ) 2 P 12 (n) i 1 ( n ) 1 2 2 2
79
n
X 由 P z 2 n 解 X z
确定 z
2

2
n
得 的置信度为 1 的置信区间为 0 0 ( X z , X z ) n n
2 2
ch73 80
(2) 方差 2未知 , 的置信区间
2 1 2 2
X Y ~ N ( 1 2 , ) n m ( X Y ) ( 1 2 ) ~ N (0,1) 1 1 n m
2 2
(n 1) S12
2
(m 1)S22
~ (n 1)
2

2
~ 2 (m 1)
(n 1)S12 (m 1)S22 2 ~ (n m 2) 2 2
置信度 均为0.95
解 (1) X ~ N ( , 0.06 / 6) 即 N ( ,0.01) X ~ N (0,1) z z0.025 1.96 2 0.1
ch73
84
1 由给定数据算得 x xi 14.95 6 i 1 由公式 (1) 得 的置信区间为
区间估计
引例 已知 X ~ N ( ,1), 的无偏、有效点估计为 X 常数 随机变量
不同样本算得的 的估计值不同， 因此除了给出 的点估计外, 还希望根据 所给的样本确定一个随机区间, 使其包含 参数真值的概率达到指定的要求.
ch73 68
如引例中，要找一个区间,使其包含 的 真值的概率为0.95. ( 设 n = 5 )
z
-1
0.4 0.3 0.2 0.1
2
z 2
2
3.92
z 2 z1 1.84 ( 2.13)
3 3
3.97
1
ch73
z-2 1
-1
3
z 22
3
73
置信区间的定义
设 为待估参数, 是一给定的数, ( 0<<1). 若能找到统计量 T1 , T2 , 使