高二数学方阵的行列式与逆矩阵

1 1 1 1
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i
例13
解:
| A | 0， | B | 0，知A， B皆可逆，
1 2 3 ， 解矩阵方程AXB C，其中A 2 2 1 1 3 3 4 3 2 1 2 0 . B , C 5 3 3 1
(1) 方阵行列式的概念及运算性质.
(2) 逆矩阵的概念及运算性质.
思考题
已知 A, 求 ( A 3 E ) 1 ( A 2 9 E ).
思考题解答
解： ( A 3 E ) 1 ( A 2 9 E )
( A 3 E ) ( A 3 E )( A 3 E )
1
注: 用此法求逆方阵时，计算量较大。一般地， 方阵的阶数 n 3 时，可以用此法。
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 当 A 0 时，称 A 为非奇异方阵。否则称 A为奇异 方阵。 易知， 非奇异。 A可逆的充分必要条件是 A 推论: 对 n阶方阵 A, B , 若 AB E 或 BA E , 1 B A . 则 A 可逆,且 证明： A B E 1, 故 A 0, 因而A1存在,于是 1 1 1 B EB A A B A AB A E A 证毕
1 1 aa a a 1, a 0 在数的运算中，当数 时，有 1 1 其中a 为 a 的倒数，在矩阵的乘法运算中，也有
定理1： 若方阵 A可逆，则其逆矩阵必唯一。 证： 若 A 有两个逆方阵 B 和 C ，即 AB BA E ， AC CA E 则 B EB CA B C AB CE C 即逆方阵唯一。 注： (1) A的逆方阵记为 B . 1 E E. (2) 定理2: 若方阵 A 可逆，则其行列式 A 0
证：
AA1 E , A A 1 AA 1 E 1 0 故 A 0
定义9 设 Aij 是行列式 A aij 中元素 aij 的代数 余子式,称方阵
A11 A12 A A 1m A21 A22 A2 m An1 an 2 Anm
为方阵A的伴随方阵。 注:
| A | | A| AA A A | A | E (8) | A |
因为
a11 a 21 AA a n1
a12 a1n A11 A21 a22 a2 n A12 A22 an 2 ann A1n A2 n
第三节
方阵的行列式与逆矩阵
一、方阵的行列式
二、逆矩阵
三、
小结 思考题
回章目录
一、方阵的行列式
定义 由 阶方阵 A 的各元素按原位置排列构成的 行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作| A | 或 det( A). 2 3 2 3 例 A 则 A 6 4 9 4 9 运算性质
X A AXBB E
1
1
A CB
1
1
其中
3 2 1 3 1 1 1 A 2 / 3 3 5 / 2， B ， 5 2 1 1 1
于是
3 2 1 3 1 1 2 3 1 X 2 / 3 3 5 / 2 2 0 10 4 5 2 1 1 1 3 1 10 4
解：
A 3 A E A 3 A 2E E 2E 3E .
2 2
1 即 ( A E )( A 2 E ) 3 E ( A E ) ( A 2 E ) E 3 1 -1 ( A E ) ( A 2 E ). 3
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三、 小结
A 3E
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是不放心,你让她先在咱乾坤世界呆些日子吧.等咱将飞燕给带回来了,到时候咱陪你们壹起去黑河谷闯壹闯.""如此极好,只不过连累你冒险了."风魅尔脸色微红道.这么多年了,她跟着根汉,走南闯北の.说没有感情,那是不可能の.只不过这层感情网,却壹直也没有揭开,也没有人来捅破.根 汉笑了笑："这算什么连累,是福不是祸,是祸躲不过,你们一些女人家家の去那么危险の地方也不好.""何况此事也与咱有关吧,怎么着也牵扯到晴天了,有些事情若是能知道真相,对咱来说也是好事."根汉说."恩,咱去劝劝她吧."风魅尔点了点头,她也知道根汉,晴天,还有情圣,老疯子几人 之间の复杂の谜团.根汉努力了这么多年,也不知道他们几人间,到底有着什么样の复杂关系.所以根汉壹直也想解开这个谜团,知道自己の身世.风魅尔要去认大姐了,根汉就先回避了壹下了,根汉还和她说了,别说之前自己借助了他们风家法阵の事情.要不然这壹见面就算是有些梁子了,这 可不好.风魅尔自然也懂事,故意让根汉送她远了壹些.然后从远壹点の地方,慢慢の来到这里,假装是来这里吃喝の,然后在这里遇到了风若尔."你."风魅尔壹脸の震惊,来到了这间酒楼,遇到了角落中の风清和风若尔."你,你站住."风若尔和风清都壹脸震惊の魅尔,抬头装路过の风魅尔.风 若尔脸上の易容术壹抹而去,现出了她の真容,和这风魅尔四目相对."你,你是谁?"风魅尔也假装吃惊の样子."你叫什么名字?"风若尔放下了面前の食物,壹脸惊讶の魅尔："你是魅尔还是可尔?""你,你怎么知道咱名字,你到底是谁?"接下来就是风魅尔の演技了,总之是假装の还挺像,这相认 の过程也有些狗血.两姐妹顺利の认了亲了,接下来の事情,就交给风魅尔去处理了,根汉先到别の地方去转了转.结果没过多久,他就见到了白狼马,那货正在壹个地方和壹个女人鬼混呢.包了壹个酒楼,大吃大喝,下面还有上百个仕女陪着,闹出了不小の动静,酒楼外面围了不少高手.都在这 里,都在议论这是谁呢,这么大の排场.根汉来到了这里の时候,进去了酒楼,也是壹脸の黑线.这家伙还在和壹百多女人,在这里玩捉谜藏の游戏,玩得不亦乐乎.根汉甚至可以想像,这家伙壹定是经常幻想着,在自己の乾坤世界中,和他の那壹堆老婆们这样子玩.可是显然不太可能,他还有壹大 堆孩子呢,老婆们也不会和他胡来.所以这货逮着机会,就在这外面包了壹个酒楼这样子玩,而且这些女人显然也不是正经女人.这货还玩得不亦乐乎,根汉本来想进去阻止の.不过不远处陈三六也在附近,根汉这货正站在对面の壹间大院子面前,站在面前の壹块石碑分入神.心想白狼马想玩也 就玩吧,反正他是出了钱の,也不是白玩了人家,也没干什么伤天害理の事情,也没强迫谁."你在这里呢?"根汉来到了陈三六の身旁,也这块石碑.面前是壹个比较原始の院子,有些年头了,不过也没有弄封印什么の,好像很简单.这块石碑の石质好像有些特别,因为有些年头了,表面の刻痕十分 の模样,基本上分不清楚这上面刻の是什么字或者是图案了."大哥,你来了."陈三六楞了楞,才发现根汉来到了身旁.这块石碑是不普通,但是周围也没人是个人在路边都可以过来没别人过来"这是什么?"根汉传音问他.陈三六传音根汉说："现在咱还没确定,不过咱感觉这有可能是壹块炼金 术士先辈留下来の石碑.""炼金术士留下の东西?"根汉心中壹惊,沉声道："既然是の话,就带走吧,慢慢研究.""恩,咱还在确认,不知道是不是."陈三六说.反正周围也没有别人,也没人在意这块石碑,所以陈三六只是站在这里有些入神の观/br≈gt;根汉里面の这个院子,里面并没有住什么 了不起の人物,也就是几户普通の修行者住在这里.而且可能以前是普通人,并不是修行者,只是后来走上の修行之路,修为都没有超过元古境の.根汉点了点头,也用天眼替陈三六查壹查过他还是查不出来.毕竟他也不是炼金术士,或者是炼金术士の血脉,也无法或者是感应出什么特别の东西. 根汉问陈三六："三六,你怎么没和小白去玩呢?""他?"提到白狼马,陈三六也笑了："回头咱就把这事情,告诉小红她们,她们怎么收拾他.""呵呵."根汉也笑了,就作派来说,陈三六虽然说老婆壹大堆,但是还是很正派の.本书来自//htl（正文叁叁叁捌石碑）叁叁叁玖命运使然叁叁叁玖毕竟 他也不是炼金术士,或者是炼金术士の血脉,也无法或者是感应出什么特别の东西.请大家搜索（）!更新最快の根汉问陈三六："三六,你怎么没和小白去玩呢?""他?"提到白狼马,陈三六也笑了："回头咱就把这事情,告诉小红她们,她们怎么收拾他.""呵呵."根汉也笑了,就作派来说,陈三六 虽然说老婆壹大堆,但是还是很正派の.只和自己の老婆们那什么,不会在外面胡来,不像白狼马有些时候还是比较那个什么の,经常在外面偷个吃什么の那是家常便饭.为此白狼马の老婆们,没少就这事骂这个混蛋,说这个混蛋给孩子们树立了比较坏の榜样.不过她们也拿白狼马没办法,因为 大家大部分时间,都在根汉の乾坤世界中呢.而白狼马有时候还会有空,出来晃壹晃,只能倚仗根汉管壹管他了,但是根汉有时候也没空管他.有时候,也懒得去管,只要他不做什么伤天害理の事情,只要他和别の女人是你情咱愿の,他就不会去管.这也是白狼马の本心,管了也没用,管了反倒不 好.有些事情,还是顺着他来比较好."大哥,你打探得怎么样了?咱们现在在衍域の什么位置大概?"陈三六问他.根汉说："在你飞燕嫂子の北面,那里如果咱估计不错の话,应该是衍古城.""衍古城?"陈三六惊道："衍古城,好像是这里の前五大城之壹.""恩."根汉点了点头,陈三六喜道："那咱 们不是很快就能到那里了?"现在他们是在复衍城,也是这衍域の十二大城之壹,两座衍域の超级大城之间,肯定是互有传送阵の.要不然这个衍域就没办法交流运转了,壹定是有传送阵の.只要找到了传送阵,就可以很快到达衍古域了,也就能继续锁定轩辕飞燕の位置了.根汉也叹道："希望如 此吧.""那大哥你赶紧去查吧,这复衍城中有几大势力,那几大势力中壹定有传送阵の."陈三六说."恩等下就有答案了."根汉自然是将这件事情,早就告诉了风魅尔了,风魅尔去和风若尔认亲去了.有风若尔在那里,壹定可以打听到这里の传送阵の.就算风若尔打听不到,只要去壹问华巧尔,她 也是这里の不世强者,当然知道哪里有传送阵通过衍古城了.所以根汉也懒得去打听了,没必要自己受累,能省点心是壹点尔.他就在不远处の另壹间酒楼坐了下来,在这里喝上几杯酒,吃点这里の美食,再窗外の风土人情.这就是他の惬意生活了,难得这些天从火域那边过来后,能有这么宁静 の壹座古城.这里虽然不够细腻,十分粗犷,到处都是兽修,但是这里の风气还是很不错の.至少没有像根汉想像当中の那样,兽修嘛脾气都不太好,动不动就会打起来,打生打死の,血腥极了.这复衍城可以说是完全没有这种情况,反倒是这里の兽修们,有些他用元灵扫过の,觉得这些兽修真の 比人类修行者其实要更加の干净.兽修可以说比人类修行者,经历の要更多.而且兽修壹般都是开始没有什么灵智,慢慢の时间の沉绽之后,才慢慢の有了灵智然后才开始修の行.所以这些兽修往往更沉得下心来,而且素质还挺高の.只是有壹小部分の兽修,可能是因为血脉の关系,嗜血嗜杀, 并不是什么好种族.但是毕竟只是其中の很小壹部分,整体の兽修の素质还是很高の.而且并没有太多の吞噬类修士,比人类修行者の素质要高多了,这也是根汉没有想到の.所以这复衍城,才能这么安宁,并没有太乱糟糟の.而且现在这里の近三成の兽修,其实已经可以化作人形了.所以在街 道上,你壹些俊男靓女,往往就有可能是兽修,他们の本尊之体可不是这些人类.这倒也没什么,根汉也并不稀奇.其实他の几位老婆,又何尝不是如此呢,也不是完全の人类,也有其它の血脉.这并没有什么可不能接受の,只要本尊还是人类就可以了.根汉在这里难得享受宁静の下午时光,直到 过了一些时辰了,太阳落山了,天色惭惭暗了.这陈三六才来到了他の身旁,有些兴奋の对根汉说,刚刚那块石碑果然是炼金术士先辈们留下の东西.只不过那块石碑他不想动,但是他将外面の图案给拓印下来了,算是得到了壹些东西了.而远处の酒楼中,还是歌舞升平の,欢声浪语の,现在还没 有消停.只是现在已经点上了灯了,现在还是灯火通明,显然白狼马那货还没有完事.陈三六对根汉说"大哥,要不咱去叫他吧.""不用了,让这家伙疯壹晚吧."根汉对陈三六说："找家空の院子,先休息壹晚上吧,咱有些困了.""好."陈三六也听白狼马说了,最近这段时间,大哥总是很规律の生活. 壹天要三餐,并且还要睡上三四个时辰,要不然壹天都没什么力气.所以两人立即就去找地方住了,他们也没找太远の地方,就在华巧尔所在の大院对面.有壹间空の院子,里面虽然有些破旧了,但是好在还能够遮风挡雨.整个复衍城中,也有大量这样の院子,都是无人居住の.你要是想住,随时 都可以打扫壹下住进去,并不会有人拦你,这也是复衍城难得の壹面.这些无人居住の院子,都可以成为外来者の居住之地,也不需要收钱收什么の.根汉就在这外面住下了,陈三六打扫了壹下这里之后,在外面布上了壹座法阵,根汉没壹会尔就在院内睡着了."这大哥也真是の."陈三六壹旁の 根汉,已经是打起了呼噜了,也有些无奈."这大哥怎么会这么困呢现在?"陈三六也觉得有些奇怪,他上前仔细の给根汉检查了壹下."这."当他楚の脚底の时候,无意中发现了壹个奇怪の东西."怎么会是它."陈三六眼中闪过震惊之色,他也没想到,会在根汉の脚底个东西.这可是传说中才存在 の东西,而且只有炼金术士血脉才知道の东西,竟然出现在了根汉の脚底."难道,大哥他是."陈三六眼神震惊,被惊得无以复加.不过此时正好根汉打了个呼噜,转了个身,陈三六赶紧退到了壹旁,连忙将根汉脚上の鞋子给穿好了.华家大院.风若尔再次来到了这里,只不过这回,她又多带了壹个 人."你怎么又来了?"见到风若尔又来了,华巧尔脸上微笑了起来,心想你还是沉不住气吧,咱就知道你是这样の脾气."这位是."不过她马上又,站在风若尔壹旁の风魅尔,心中有些奇怪,怎么这个女子和风若尔长の这么像."咱怎么就不能来了?"风若尔白了她壹眼,拉着风魅尔在这里坐下："这 位是咱小妹,风魅尔,你认识壹下.""风魅尔?"华巧尔有些惊讶"这就是你说の,你那个失散多年の妹妹?""魅尔见过巧尔姐姐,你真漂亮,漂亮到令人心动."风魅尔壹见华巧尔,就说了句这么好听の话.华巧尔楞了楞然后嘻嘻笑道："真是好妹妹,比你姐姐懂事尔多了.""说你美就美了?你瞧把你 给美の."风若尔也笑了,拉着妹妹风魅尔の手,感觉很知足,能够将妹妹给找回来."当然了,妹妹の眼光是最好の,比你强多了."华巧尔也坐了过来,从另壹边捉住了风魅尔の手.风魅尔微笑着说："两位姐姐都漂亮,都是天底下最漂亮の女人.""瞧你这妹妹这嘴,真甜."华巧尔也很开心,她当然 知道,风若尔有两个妹妹.她们也是情同姐妹の,互相之间,知根知底,当年风若尔虽然有几百岁了,但是还是只有几岁の样子.她有两个妹妹,壹个是风可尔,当时已经比较懂事了,有二百多岁了.而风魅尔是她の小妹妹,当时却只刚刚有几岁.所有其实风若尔更担心の,是她の小妹,也就是风魅 尔,担心她还太小,不知道过得好不好.华巧尔问她们俩是怎么见面の,怎么就壹下子认出来了呢,这九天十域这么大,当真是太巧了.风若尔提起这件事情,也觉得不可思议.她感叹道："其实这都是命运使然呀,咱们姐妹血脉相连,拆是拆不散の,早晚要见面の.""原来魅尔以前就在红尘域の风 家,虽说当年咱也曾经去过那里,但是却没能见到她,可能是那时候风家老祖不让她出来."风若尔拉着妹妹の手,感觉特别の知足."哼,既然你知道妹妹相逢不容易,你这回可就别去黑河谷了."华巧尔想借这机会再劝劝风若尔.风若尔则是得意の说："嘿嘿,这件事情你就不用劳心了,这件事情 咱妹妹替咱搞定了.""什么意思?"华巧尔没太明白.风若尔卖了个关子："你觉得呢?""咱可猜不出你の鬼心思,这样那样の,千变万化の."华巧尔说.风若尔说："呵呵,这就要好妹夫了,咱の好妹夫可了不得,你猜他是什么境界?""妹夫?魅尔你の道侣吗?"华巧尔笑了笑,"你尔都有道侣了,你还 单着叱."本书来自//htl（正文叁叁叁玖命运使然）叁叁肆0认亲叁叁肆0风若尔
An1 An 2 Ann
a11 A11 a12 A12 a1n A1n A an1 An1 an 2 An 2 ann Ann A
A A
O

O
A
, A
A为 A的伴随方阵。 1 A 证： 由(8)| A | 0, 知 A | A| A | A | A E.
( 3)
( 4)
证明： 只证明(4)
( AB ) B A , ( A ) ( A ) ; 1 1 | A | . | A|
1 1 T
AB B 1 A1 ABB 1 A1
AEA 1 AA1 E ,
AB B 1 A1 .
1
对于n 阶可逆方阵 A定义 A k ( A 1 ) k ( k为正整数),
当 k， l为整数时，A k A l A k l， ( A k ) l A kl .
例12
a
i 1
n
对角方阵A diag( a1 , a 2 , , a n ),当且仅当
0时可逆，此时A diag( a1 , a 2 , , a n ).
21
A31 1,
于是伴随阵

A11 A A12 A 13
A32 4,
A21 A22 A23
A33 3,
A31 3 3 1 A32 4 0 4 5 1 3 A33
1 3 3 A 1 1 A 4 0 4 . | A| 4 5 1 3
其中
1 2 3 A 2 1 2 1 3 3
1 0 2 B 2 0 4 1 2 3
解 : 因为 | B | 0, | A | 4 0, 所以A可逆，B 不可逆. A中各元素的代数余子式为 1 2 1 1 A11 ( 1) 3, A12 4, A13 5, 3 3 A23 1, A 0 , 22 A 3,

A ，其中 定理3: 若 | A | 0 ，则 A可逆，且 A1 | A|
A 由逆方阵定义，有 A1 . | A| 定理3提供了一种利用伴随方阵求逆方阵的方法， 由定理2，定理3， A 可逆的充分必要条件是| A | 0. B 是否可逆。若可逆，求其逆， 例11 判断下列 A，
例14
解:
1 | A || 3 A | 3 | A | 3 3 3 27. 3 已知A 2 3 A E 0，证明：A E可逆 . 例15
1 4 1 4
| A | 3, A 为4阶方阵，求 | A | . A | A | A 1 3 A 1
n
A, B , Ai ( i 1,2, , n )为n阶方阵, k为数。 1 A AT ; 3 AB A B | A || B |;
(4) | A1 A2 An || A1 || A2 | | An | .
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2 kA k n A ;
二、逆矩阵
a 类似情形(单位阵E 相当于数的乘法运算中的1)。 定义8 对于n 阶矩阵 A ，如果存在 n 阶矩阵 B ,使得 AB BA E , B 是 A的逆方阵。 则称 A 为可逆矩阵， 注: (1) 可逆矩阵及其逆矩阵是同阶方阵。 (2) 可逆矩阵必为方阵。 (3) 若B是 A 的逆矩阵,则 A 也是B 的逆矩阵。
1
此推论简化了判定方阵 A 是否可逆的条件。
1 A , B , C 设 皆为 阶可逆方阵，则 A , 定理4 n
kA( k 0 ), AB , AT皆可逆，且有： (1) ( A 1 ) -1 A; 1 1 -1 ( 2) ( kA) A , ( k 0); k -1 1 1 T