高二数学方阵的行列式与逆矩阵
线性代数 2-3可逆矩阵
A O 例13 (02考研): 设A,B为n阶方阵, C , O B *
则C的伴随矩阵C ＝( D )
( A) (C ) AA O
A B O
O BB O BA
B B ( B) O
X A1CB 1
3 2 1 1 3 3 1 2 1 3 5 3 2 0 10 4 2 2 5 2 10 4 3 1 1 1 1
x1 y1 3 y2 2 y3 3 5 x2 y1 3 y2 y3 2 2 x3 y1 y2 y3
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例11(05考研):设A,B,C 均为n阶矩阵, 若B＝E＋AB, 解：
C＝A＋CA，求B－C. 由 B＝E＋AB 得: ∴(E－A)B＝E 由C＝A＋CA得: B－AB＝E ∴ B＝(E－A)-1 C－CA＝A
解:
1
0
2
即AX＝B
∴A可逆
A 1 2 3 1 0 0 1 1
X＝A-1B
即： x1 1
2 x 1 2 3 2 x 0 1 1 3 0
1
1 1 2 4 1 5 0 1 1 1 0 2 1 1 1 2 1 3
A B 2B (2)4 B 16 ( 3) 48
B A 3 A (3) A 27 2 54
3
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逆矩阵和原矩阵的行列式的值
逆矩阵和原矩阵的行列式的值概述矩阵是线性代数中重要的工具，它具有广泛的应用。
在矩阵的操作中，逆矩阵和行列式是两个基本的概念。
逆矩阵是指在矩阵乘法中具有类似于乘法中的逆元的概念，而行列式是一个矩阵的标量值。
本文将详细介绍逆矩阵和行列式的概念，以及它们之间的关系。
首先，我们将介绍逆矩阵的定义和性质，然后探讨行列式的定义和计算方法。
接下来，我们将研究逆矩阵和行列式的关系，特别是逆矩阵的行列式与原矩阵的行列式的关系。
逆矩阵定义给定一个方阵A，如果存在另一个方阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，那么矩阵B就是矩阵A的逆矩阵。
逆矩阵通常用A的逆表示，记作A⁻¹。
性质逆矩阵具有以下性质：1.如果A是一个可逆矩阵，那么A的逆矩阵也是可逆的，且(A⁻¹)⁻¹=A。
2.如果A和B都是可逆矩阵，那么AB也是可逆的，并且(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹。
3.如果A是可逆矩阵，那么A的转置矩阵也是可逆的，并且(Aᵀ)⁻¹=(A⁻¹)ᵀ。
4.如果A是可逆矩阵，那么A的行列式不等于零。
逆矩阵在解线性方程组和矩阵求逆等问题中发挥重要作用。
行列式定义给定一个n阶方阵A=(aᵢⱼ)，其中aᵢⱼ表示矩阵A的第i行第j列的元素，行列式det(A)定义为:det(A) = ∑((-1)^(i+j) * aᵢⱼ * det(Aᵢⱼ))其中Aᵢⱼ表示去掉矩阵A的第i行第j列后得到的n-1阶子阵，det(Aᵢⱼ)表示Aᵢⱼ的行列式。
计算方法行列式的计算方法有多种，其中一种常用的方法是通过对矩阵进行初等行变换化简为上三角阵，然后将主对角线上的元素相乘即可得到行列式的值。
逆矩阵的行列式与原矩阵的行列式的关系逆矩阵的行列式与原矩阵的行列式之间存在重要的关系。
具体来说，如果方阵A可逆，那么A的逆矩阵的行列式等于A的行列式的倒数，即det(A⁻¹) = 1/det(A)。
人教A版高中数学选修4-2 第三讲 二 二阶行列式与逆矩阵 课件(共23张PPT)
我们已经知道二阶矩阵不一定可 逆,但如何判断它是否可逆?如何求它 的逆呢?
知识与能力 掌握判断矩阵是否可逆的方法 会求逆矩阵 搞清二阶行列式与二阶矩阵的区别
过程与方法
通过从特殊到一般的过程,体会 逆矩阵的存在性及求法
情感态度与价值观
培养学生的从一般到特殊的归 纳,总结和类比的能力,获得新知
重点： 用行列式是求逆矩阵
求逆矩阵. ab
解: 假设A可逆, 逆矩阵B= cd
则:AB=BA=E2
即: 3 －1 a b = a b 3 －1 = 1 0 6 －2 c d c d 6 －2 0 1
3a－c = 3a + 6b = 1, 3b－d =－a－2b = 0, 6a－2c = 3c + 6d = 0, 6b－2d =－c－2d = 1.
－c
a
=10 01
det A det A
二阶矩阵A= a b 可逆,当且仅当 cd
det A =ad－bc≠0.
当矩阵A= a b 可逆时, cd
d －b A－1= det A det A
－c
a
det A det A
课堂练习
1.（1）行列式 3
9 =
－3
25
（2）行列式 3 －1 = 18 64
难点： 用变换的观点认识解二元一次方
程组的意义,并会用系数矩阵的逆矩 阵解系数矩阵可逆的二元一次方程 组
设A= 1 2 ,则A可逆么?若可逆, 20
求逆矩阵. ab
解： 假设A可逆,逆矩阵B= cd
则:AB=BA=E2
即： 1 2 a b = a b 1 2 = 1 0 20 cd cd 20 01
cd
ab cd
矩阵行列式与可逆矩阵
矩阵行列式与可逆矩阵一、n 阶矩阵行列式下面介绍线性代数中另一个基本概念——行列式，由于内容较多，我们主要介绍行列式的定义及其简单的计算，行列式的性质等内容请大家自己学习教材.定义2.9 对任一n 阶矩阵 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 用式nnn n n n a a a a a a a a a212222111211表示一个与A 相联系的数，称为A 的行列式，记作A . 规定：当n = 1时，1111a a A ==； 当n = 2时，2112221122211211a a a a a a a a A -==；当n > 2时，∑==+++=nj j j n n A a A a A a A a A 1111112121111 ，其中j A 1=j j M 11)1(+-，称j M 1为A 中元素j a 1的余子式，它是A 中划去第一行、第j 列后剩下的元素按原来顺序组成的n – 1阶行列式；j A 1为A 中元素j a 1的代数余子式.（由定义可知，一个n 阶矩阵行列式表示一个数，而这个数可以由第一行的元素与其相应的代数余子式的乘积之和求出.应该指出的是，方阵是一个数表，不能求数值的；而与它相应的行列式则表示一个数，是可以计算数值的.）（下面通过例题简单介绍行列式的计算方法）例1 计算 =A 2112123212230121313231-----解 首先按性质5，从第一行提出公因子31，再从第四行提出21，即=A 12132122301231212131-----⨯⨯ 再利用性质7把第三列的元素尽可能多的化为零，即作“第三行加上第一行的1倍，第四行加上第一行的-2倍”的变换，得12132122301231212131-----⨯⨯=505510013012312161---⨯再利用性质3按第3列展开，即505510013012312161---⨯=555101312)1(16131--⨯-⨯⨯+ 再作“第三列加上第一列的-1倍”的变换，并按第二行展开，即55510131261--⨯=105500111261--⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⨯-⨯⨯+10511)1(16112 =65)510(61=+-⨯-例2 计算 =A 3351110243152113------解 首先交换第一列与第二列，然后作“第二行加上第一行的-1倍，第四行加上第一行的5倍”的变换，得=A 3315112043512131------=72160112064802131-----首先交换第二行与第三行，然后作“第三行加上第二行的4倍，第四行加上第二行的-8倍”的变换，得72160112064802131-----=1510001080011202131----再作“第四行加上第三行的45倍”，化成三角形行列式，其值就是对角线上的元素乘积，即1510001080011202131----=25001080011202131---=4025821=⨯⨯⨯（关于矩阵行列式，有一个重要结论请大家记住.） 定理2.1 对于任意两个方阵A ，B ，总有B A AB = 即方阵乘积的行列式等于行列式的乘积.（在上一讲中，我们介绍了矩阵的加法、减法和乘法运算，那么矩阵是否有除法运算呢？这就是这下面要介绍内容.） 二、逆矩阵定义定义2.11 对于n 阶矩阵A ，如果有n 阶矩阵B ，满足 AB = BA = I （2-5-1）则称矩阵A 可逆，称B 为A 的逆矩阵，记作A -1. （由定义可知：）满足公式（2-5-1）的矩阵A , B 一定是同阶矩阵.例3 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012211110，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----123124112验证A 是否可逆？解 因为AB =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012211110⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----123124112=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001BA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----123124112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012211110=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001即A , B 满足 AB = BA = I .所以矩阵A 可逆，其逆矩阵A -1=B .可以验证：单位矩阵I 是可逆矩阵；零矩阵是不可逆的.(1) 单位矩阵I 是可逆矩阵. 证 因为单位矩阵I 满足： II = I 所以I 是可逆矩阵，且I I -=1. (2)零矩阵是不可逆的. 证 设O 为n 阶零矩阵，因为对任意n 阶矩阵B ，都有 OB = BO = O ≠I 所以零矩阵不是可逆矩阵.可逆矩阵具有以下性质：(1) 若A 可逆，则1-A 是唯一的.证 设矩阵B 1 , B 2都是A 的逆矩阵，则B 1 A = I ，AB 2 = I ，且B 1 =B 1 I = B 1 (AB 2 )= (B 1 A )B 2 = I B 2 = B 2故1-A 是唯一的.(2) 若A 可逆，则A -1也可逆，并且 ()A --11= A若A 可逆，则A -1也可逆，并且 ()A --11= A .证 由公式（2-5-1）可知，A A -1= A -1A = I ，故A -1是A 的逆矩阵，同时A是A -1的逆矩阵，即()A --11= A .(3) 若A 可逆，数k ≠0，则kA 也可逆，且 ()kA -1= 11-A(4) 若n 阶方阵A 和B 都可逆，则AB 也可逆，且()AB B A ---=111证 因为 A 和B 都可逆，即A -1和B -1存在，且(AB )(B -1A -1) = A ( B B -1)A -1= AI A -1= A A -1= I (B -1A -1)(AB ) = B ( A A -1)B -1= B I B -1= B B -1= I根据定义2.11，可知AB 可逆，且()AB B A ---=111.性质(4)可以推广到多个n 阶可逆矩阵相乘的情形，即当n 阶矩阵A 1 , A 2 , … , A m 都可逆时，乘积矩阵A 1A 2…A m 也可逆，且( A 1A 2…A m )-1= A A A m ---12111特别地，当m = 3时，有( A 1A 2A 3)-1= A A A 312111---问题：若n 阶方阵A 和B 都可逆，那么A +B 是否可逆？答：尽管n 阶矩阵A 和B 都可逆，但是A + B 也不一定可逆，即使当A + B 可逆（A B +-)1≠A B --+11，例如A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-200010001， B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010001都是可逆矩阵，但是A +B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡400000002是不可逆的.而A + A = 2A 可逆，但是（A A +-)1=（21A )-=211--A ≠A A --+11= 2A -1(5) 若A 可逆，则A '也可逆，且 1)(-'A = )(1'-A .若A 可逆，则A '也可逆，且 1)(-'A = )(1'-A . 证 因为矩阵A 可逆，故A -1存在，且 )(1'-A A '=)(1'-AA =I '=IA ')(1'-A =)(1'-A A =I '=I 根据定义2.11，可知A '也是可逆的，且1)(-'A = )(1'-A .三、可逆矩阵的判定若方阵A 可逆，则存在1-A ，使I AA =-1.于是1=11--==A A AA I （定理2.1） 得 0≠A .把满足0≠A 的方阵A 称为非奇异的（或非退化的），否则就称为奇异的（或退化的）.（由此可以得到定理2.2：）定理2.2 方阵A 可逆的必要条件为A 是非奇异的，即0≠A .（定理2.2结论是很重要的，但要注意，它是方阵A 可逆的必要条件，不是充分条件.因此，大家就会想到若0≠A ，方阵A 是否可逆呢？要回答这个问题，需要引进伴随矩阵的概念）定义2.12 对于n 阶方阵 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211，称n 阶方阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n nn n A A A A A A A A A 212221212111 为A 的伴随矩阵，记作*A ，其中ij A 为行列式A 中元素ij a 的代数余子式.（注意：伴随矩阵中各元素的位置秩序与常规的不一样，是由常规秩序经过转置后获得的.）（利用伴随矩阵可以证明：）定理2.3 若方阵A 是非奇异的，即0≠A ，则A 是可逆矩阵，并且有*11A AA =- （定理2.3的证明请看教材.该定理不仅给出了可逆矩阵的一种判别方法，即当方阵A 的行列式0≠A 时，A 是可逆矩阵；若0=A ，则A 不是可逆矩阵.而且还给出了求逆矩阵的一种方法——伴随矩阵法，即若A 可逆，那么只要求出它的伴随矩阵*A ，再除以它对应的行列式A 的值，就能获得逆矩阵*11A AA =-.）例4 设矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=012211110A 判别A 是否可逆？解 因为 012211110-=A =21100)1(112210⨯⨯----⨯⨯+⨯⨯+= 1即 0≠A ，所以A 是可逆矩阵.例5 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，问：当a , b , c , d 满足什么条件时，矩阵A 可逆？当A 可逆时，求1-A .解 因为 bc ad d c ba A -==当 0≠-bc ad 时，由0≠A ，（由定理2.3知道）得A 可逆.又 d A =11，c A -=12，b A -=21，a A =22⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a c b d A A A AA 22122111* （问题：2阶矩阵的伴随矩阵与原矩阵中的元素之间有什么联系？）所以，*11A A A =- =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---a c b d bc ad 1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------bc ad a bc ad c bc ad b bc ad d（把定理2.2和定理2.3合在一起，得到判别矩阵A 是否可逆的充分必要条件.）定理2.4 矩阵A 为可逆矩阵的充分必要条件是0≠A ，且有 *11A A A =-.。
方阵的行列式可逆矩阵与逆矩阵
注： A*中第i行第j列处的元素是Aji 而不是Aij
15
1 0 1
例1.
设
A
2
1
0
,
求A 的伴随矩阵.
解:
3 2 5
10
01
A11 2
5 5
A21 2
2 5
01
A31 1
1 0
20
11
11
A12 3
01
∴ A是非退化矩阵。
6
第四节 可逆矩阵与逆矩阵
一、逆矩阵的定义 二、逆矩阵判断及计算 三、逆矩阵的性质
概念的引入： 在矩阵乘法中，对于任意n阶方阵A都有
AEn En A A, 单位阵 En具有与数1在数的乘法中类似的性质.
而对于任意数 a ，若a 0 ,则存在 a1 使得 aa1 a1a 1,
3 2 5
问题: （1）如何判别一个方阵是否可逆？ （2）若A为可逆矩阵，如何求 A1 ?
13
二. 矩阵可逆的判别、逆矩阵的求法
方阵可逆的必要条件：
命题：若A可逆, 则 A 0
证：设A可逆, 则它有逆矩阵A1 , 使得
从而
AA1 E .
AA1 A A1 E 1 ,
8 2 55 8105
4
例2 设 A k1En, B k2En, 其中 k1, k2 是数, 求 A B 及 AB
解 A B k1En k2En
k1n En k2n En k1n k2n
A B k1En k2En (k1 k2)En
说明：该定理给出了判断一个矩阵是否可 逆的一种方法，并且给出了求逆矩 阵的一种方法，称之为伴随矩阵法。
第二章矩阵的方阵和逆矩阵
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E, AC CA E,
可得 B EB CAB C AB CE C.
所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 B C A1.
例
设
A
2 1
1 , 0
求A的逆阵.
解
设利用B待定 a系数b 法是 c d
当 A 0时,
当 A 0时,
A
O AA
A A
O
AA
,
A E.
A
A A A A E, AA
按逆矩阵的定义得
A1 A . A
证毕
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
当 A 0时, A称为奇异矩阵 ,当 A 0时, A称为 非奇异矩阵 . 由此可得 A是可逆阵的充要条件是 A为非奇异矩阵 .
推广 A1 A2 Am 1 Am1 A21 A1.1
4 若A可逆,则AT亦可逆 ,且 AT 1 A1 T. 证明 AT A1 T A1 A T E T E,
AT 1 A1 T .
另外, 当 A 0时,定义
A0 E, Ak A1 k .
k为正整数
2.2(续) 方阵的逆矩阵
2.2.5 方阵的行列式 2.2.6 可逆矩阵及其性质 2.2.7 矩阵可逆的条件
定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 A 的行列式，记作 A 或 det A.
例 A 2 6
3 8
则 A 2 3 2. 68
运算性质 1 AT A; 2 kA k n A;
1 5 11
解
2 3 1 0 7 21
由于 B 1 3 5 0 2 6 0,
高中数学矩阵与行列式
高中数学矩阵与行列式矩阵与行列式是高中数学中重要的内容，它们在代数和几何中有广泛应用。
本文将从基本定义、运算性质、逆矩阵和行列式的应用等方面来探讨矩阵与行列式的知识。
一、矩阵的基本定义矩阵是由$m$行$n$列的数表所组成，用$A=(a_{ij})_{m \timesn}$表示，其中$a_{ij}$表示矩阵$A$的第$i$行、第$j$列的元素。
根据矩阵的定义，可以将矩阵分为行矩阵、列矩阵和方阵等。
二、矩阵的运算性质矩阵的运算包括加法、数乘和乘法等，下面将对这些运算性质做详细介绍。
1. 矩阵的加法设$A=(a_{ij})_{m \times n}$和$B=(b_{ij})_{m \times n}$是两个$m\times n$的矩阵，它们的和$A+B$定义为$(a_{ij}+b_{ij})_{m \times n}$，即将对应位置的元素相加得到新的矩阵。
2. 矩阵的数乘设$A=(a_{ij})_{m \times n}$是一个$m \times n$的矩阵，$k$是一个实数，那么$kA$定义为$(ka_{ij})_{m \times n}$，即将矩阵$A$中的每个元素乘以$k$得到新的矩阵。
3. 矩阵的乘法设$A=(a_{ij})_{m \times s}$和$B=(b_{ij})_{s \times n}$是两个矩阵，它们的乘积$AB$是一个$m \times n$的矩阵，定义为$(c_{ij})_{m \times n}$，其中$c_{ij}=\sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}$。
即矩阵$A$的第$i$行与矩阵$B$的第$j$列相乘并求和得到新矩阵$AB$的第$i$行第$j$列的元素。
三、逆矩阵逆矩阵是矩阵的重要概念，对于一个方阵$A$，如果存在一个方阵$B$，使得$AB=BA=I$，其中$I$是单位矩阵，则称$A$是可逆矩阵，$B$是$A$的逆矩阵，记作$A^{-1}$。
逆矩阵具有以下性质：1. 如果矩阵$A$可逆，则其逆矩阵唯一。
人教A版高中数学选修4-2 第三讲 二 二阶行列式与逆矩阵 课件(共23张PPT)
无解.
∴矩阵A的逆矩阵不存在.
议一议
例1中A的对角线上的数相乘再相减不等于0 例2中A的对角线上的数相乘再相减等于0.
设A= a b ,是否当ad－bc≠0时, A可逆; cd
当ad－bc=0时, A不可逆.
解: 设A是可逆的,逆矩阵B= x y uv
则有AB=BA=E2.
= 即： x y a b
求逆矩阵. ab
解: 假设A可逆, 逆矩阵B= cd
则:AB=BA=E2
即: 3 －1 a b = a b 3 －1 = 1 0 6 －2 c d c d 6 －2 0 1
3a－c = 3a + 6b = 1, 3b－d =－a－2b = 0, 6a－2c = 3c + 6d = 0, 6b－2d =－c－2d = 1.
是否可逆?若可逆,求
17 解：det A = 2 －1 =－15≠0,
∴矩阵A 可逆.
17
A－1=
15 15 2 －1 15 15
5.当k去何值时, 矩阵
1 2－k
k 1
可逆?
解：∵
det A =
1 2－k
k =k2－2k+1
1
=(k－1)2=0
∴当k≠1时，矩阵A可逆.
课堂小结
ab
1.若矩阵A=
（3）行列式 1 3 = 11 －2 5
2.计算行列式 1－λ 3
2 2－λ
解: (1) 原式=（1－λ）（2－λ）－3×2 =λ2－3λ－4
3.二阶矩阵 a b 与二阶行列式 a b
cd
cd
主要区别?
二阶矩阵仅仅是一个数表,二阶行列式 表示一个数或代数式.
4.判断矩阵A= 逆矩阵.
3 线性代数 逆矩阵、方阵行列式
1.设A、B是一个三阶方阵， A1 2, B 3, 求 4 AB 1 .
解：4 AB 1 43 AB 1 43 A B 1
1 1 3 1 1 32 4 B 4 A 2 3 3
3
2.设A是一个四阶矩阵，且 A 5, 求 A* , 2( A* ) 1
第一章 矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵
二. 逆矩阵
（1）定义 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得
AB = BA = E,
则称A可逆矩阵, 并称B为A的 逆矩阵.
（2） 逆矩阵的唯一性 若AB = BA = E, AC = CA = E,
则B = BE =B(AC) = (BA)C = EC = C. 注： 如果矩阵 A可逆，则 A的逆矩阵是唯一的， A 的逆矩阵记为A1. 注： 可逆矩阵的定义明确地给出了 以及 .
(1) (A1)1 = A. (2) (AT)1 = (A1)T. (3) (kA)1 = k1A1. (4) (AB)1 = B1A1.
(5)( A )
* 1
A A
1 *
(6)( A ) ( A )
* 1
第一章 矩阵
§1.6 方阵的行列式
： |A| 0，且 A1 = 1 A*. |A|
A非奇异
第一章 矩阵
§1.6 方阵的行列式
1 2 例7. 设 A = ,问A是否可逆？若可逆，求A1 . 3 4 1 2 2 0，所以A可逆. 又 解: 因为 A 3 4 4 2 * A 3 1 2 1 1 * 1 4 2 1 A A 3 1 . 2 3 1 A 2 2
行列式与逆矩阵的计算
在计算行列式时，可以将某一行或某一列去掉，然后求剩下的子矩阵的行列式，这个子 矩阵的行列式就是原行列式的代数余子式。利用代数余子式，可以更方便地计算行列式。
利用逆矩阵的性质简化计算
逆矩阵的定义
如果一个矩阵A的逆矩阵存在，那么 这个逆矩阵乘以原矩阵A会得到单位 矩阵。利用这个定义，可以更方便地 计算逆矩阵。
逆矩阵与转置矩阵互为转置：$(A^{-1})'=(A')^{-1}$。
03
逆矩阵的计算方法
高斯消元法
通过消元法求解线性方程组，然后利 用求解结果构造逆矩阵。
伴随矩阵法
利用伴随矩阵和行列式的性质计算逆 矩阵。
迭代法
利用迭代公式不断逼近逆矩阵。
分块法
对于大型矩阵，可以将原矩阵分块， 然后分别求出各块的逆矩阵，再组合 成整体的逆矩阵。
02
逆矩阵的定义与性质
逆矩阵的定义
逆矩阵
设矩阵A是一个n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得$AB=BA=I$，则称A是可 逆的，并称B是A的逆矩阵。
逆矩阵的唯一性
一个n阶方阵A的逆矩阵是唯一的。
逆矩阵的性质
01
逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩阵：$AB=I$，其中I为单位矩阵。
02
逆矩阵的逆也是原矩阵：$B^{-1}A^{-1}=I$。
行列式的计算方法
总结词
行列式的计算方法包括展开法、递推法、化简法等。
详细描述
展开法是最基本的计算方法，通过将行列式按照某一行或某一列展开，将高阶行列式转化为低阶行列式进行计算。 递推法是通过将高阶行列式转化为低阶行列式，再利用已知的低阶行列式的值计算高阶行列式的值。化简法是通 过数学变换将行列式化简为易于计算的形式，再进行计算。
人教A版高中数学选修4-2 第三讲 二 二阶行列式与逆矩阵 课件(共23张PPT)
解: 假设A可逆, 逆矩阵B= cd
则:AB=BA=E2
即: 3 －1 a b = a b 3 －1 = 1 0 6 －2 c d c d 6 －2 0 1
3a－c = 3a + 6b = 1, 3b－d =－a－2b = 0, 6a－2c = 3c + 6d = 0, 6b－2d =－c－2d = 1.
cd
ab cd
a b 称为二阶矩阵A的行列式,
c d 记：det A 或 A
当det A=ad－bc≠0时,由
ax + cy = 1, bx + dy = 0, 消元法 ∴ au + cv = 0, bu + dv = 1.
(ad－bc)x = d , (ad－bc) y =－b, (ad－bc)u =－c , (ad－bc)v = a.
∴ x = d , y =－ b ，u =－ c ,v = a .
det A
det A
det A det A
d －b
∴找到了矩阵 det A det A ,使得:
－c
a
det A det A
d －b
det A det A
－c
a
det A det A
ab cd
=
ab cd
d －b
det A det A
（3）行列式 1 3 = 11 －2 5
2.计算行列式 1－λ 3
2 2－λ
解: (1) 原式=（1－λ）（2－λ）－3×2 =λ2－3λ－4
3.二阶矩阵 a b 与二阶行列式 a b
cd
cd
主要区别?
二阶矩阵仅仅是一个数表,二阶行列式 表示一个数或代数式.
矩阵的逆与行列式
行列式
行列式的定义
行列式是一个由数字组成的数 学对象
行列式可以由矩阵的行或列组 成
行列式可以用来表示矩阵的逆 矩阵
行列式在数学和物理中有广泛 的应用
行列式的性质
代数余子式：行列式等于其所有代数余子式的乘积 行列式展开：行列式等于其主对角线上元素的乘积减去副对角线上元素的乘积 行列式转置：行列式的转置等于原行列式的相反数 行列式交换：行列式的行与列交换后，其值不变
行列式的计算方法
代数余子式法：利用代数余子 式展开行列式，然后求和得到 行列式的值
定义法：根据行列式的定义， 通过逐项展开计算行列式的值
公式法：利用行列式的展开 公式，直接计算行列式的值
递推法：利用递推关系式计 算行列式的值
行列式的应用
线性方程组求解：行列式可用来求解线性方程组 矩阵逆运算：行列式是矩阵逆运算的基础 向量空间：行列式可以用来描述向量空间中的线性变换 特征值与特征向量：行列式在计算特征值和特征阵相乘为单位矩 阵
逆矩阵的行列式等于原矩阵行 列式的倒数
逆矩阵的转置等于原矩阵转置 的逆
逆矩阵的行向量组与原矩阵的 行向量组正交
逆矩阵的求法
高斯-若尔当消元法 伴随矩阵法 逆矩阵的公式法 逆矩阵的迭代法
逆矩阵的应用
线性方程组的求解 矩阵的分解 特征值和特征向量的计算 矩阵的相似变换
矩阵的逆与行列式
汇报人：XX
目录
添加目录标题
矩阵的逆
01
02
行列式
矩阵的逆与行列式的 关系
03
04
添加章节标题
矩阵的逆
逆矩阵的定义
矩阵的逆：存在唯一的逆矩阵，使得乘积为单位矩阵 逆矩阵的性质：与原矩阵互为逆矩阵，满足交换律和结合律 逆矩阵的求法：高斯消元法、LU分解等 逆矩阵的应用：线性方程组求解、矩阵变换等
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为方阵A的伴随方阵。 注:
| A | | A| AA A A | A | E (8) | A |
因为
a11 a 21 AA a n1
a12 a1n A11 A21 a22 a2 n A12 A22 an 2 ann A1n A2 n
n
A, B , Ai ( i 1,2, , n )为n阶方阵, k为数。 1 A AT ; 3 AB A B | A || B |;
(4) | A1 A2 An || A1 || A2 | | An | .
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2 kA k n A ;
二、逆矩阵
a 类似情形(单位阵E 相当于数的乘法运算中的1)。 定义8 对于n 阶矩阵 A ，如果存在 n 阶矩阵 B ,使得 AB BA E , B 是 A的逆方阵。 则称 A 为可逆矩阵， 注: (1) 可逆矩阵及其逆矩阵是同阶方阵。 (2) 可逆矩阵必为方阵。 (3) 若B是 A 的逆矩阵,则 A 也是B 的逆矩阵。
例14
解:
1 | A || 3 A | 3 | A | 3 3 3 27. 3 已知A 2 3 A E 0，证明：A E可逆 . 例15
1 4 1 4
| A | 3, A 为4阶方阵，求 | A | . A | A | A 1 3 A 1
1 1 aa a a 1, a 0 在数的运算中，当数 时，有 1 1 其中a 为 a 的倒数，在矩阵的乘法运算中，也有
定理1： 若方阵 A可逆，则其逆矩阵必唯一。 证： 若 A 有两个逆方阵 B 和 C ，即 AB BA E ， AC CA E 则 B EB CA B C AB CE C 即逆方阵唯一。 注： (1) A的逆方阵记为 B . 1 E E. (2) 定理2: 若方阵 A 可逆，则其行列式 A 0
A ，其中 定理3: 若 | A | 0 ，则 A可逆，且 A1 | A|
A 由逆方阵定义，有 A1 . | A| 定理3提供了一种利用伴随方阵求逆方阵的方法， 由定理2，定理3， A 可逆的充分必要条件是| A | 0. B 是否可逆。若可逆，求其逆， 例11 判断下列 A，
21
A31 1,
于是伴随阵
A11 A A12 A 13
A32 4,
A21 A22 A23
A33 3,
A31 3 3 1 A32 4 0 4 5 1 3 A33
1 3 3 A 1 1 A 4 0 4 . | A| 4 5 1 3
( 3)
( 4)
证明： 只证明(4)
( AB ) B A , ( A ) ( A ) ; 1 1 | A | . | A|
1 1 T
AB B 1 A1 ABB 1 A1
AEA 1 AA1 E ,
AB B 1 A1 .
1
第三节
方阵的行列式与逆矩阵
一、方阵的行列式
二、逆矩阵
三、
小结 思考题
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一、方阵的行列式
定义 由 阶方阵 A 的各元素按原位置排列构成的 行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作| A | 或 det( A). 2 3 2 3 例 A 则 A 6 4 9 4 9 运算性质
A 3E
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； 南京找人扮演父母 南京找人扮演父母；
是不放心,你让她先在咱乾坤世界呆些日子吧.等咱将飞燕给带回来了,到时候咱陪你们壹起去黑河谷闯壹闯.""如此极好,只不过连累你冒险了."风魅尔脸色微红道.这么多年了,她跟着根汉,走南闯北の.说没有感情,那是不可能の.只不过这层感情网,却壹直也没有揭开,也没有人来捅破.根 汉笑了笑："这算什么连累,是福不是祸,是祸躲不过,你们一些女人家家の去那么危险の地方也不好.""何况此事也与咱有关吧,怎么着也牵扯到晴天了,有些事情若是能知道真相,对咱来说也是好事."根汉说."恩,咱去劝劝她吧."风魅尔点了点头,她也知道根汉,晴天,还有情圣,老疯子几人 之间の复杂の谜团.根汉努力了这么多年,也不知道他们几人间,到底有着什么样の复杂关系.所以根汉壹直也想解开这个谜团,知道自己の身世.风魅尔要去认大姐了,根汉就先回避了壹下了,根汉还和她说了,别说之前自己借助了他们风家法阵の事情.要不然这壹见面就算是有些梁子了,这 可不好.风魅尔自然也懂事,故意让根汉送她远了壹些.然后从远壹点の地方,慢慢の来到这里,假装是来这里吃喝の,然后在这里遇到了风若尔."你."风魅尔壹脸の震惊,来到了这间酒楼,遇到了角落中の风清和风若尔."你,你站住."风若尔和风清都壹脸震惊の魅尔,抬头装路过の风魅尔.风 若尔脸上の易容术壹抹而去,现出了她の真容,和这风魅尔四目相对."你,你是谁?"风魅尔也假装吃惊の样子."你叫什么名字?"风若尔放下了面前の食物,壹脸惊讶の魅尔："你是魅尔还是可尔?""你,你怎么知道咱名字,你到底是谁?"接下来就是风魅尔の演技了,总之是假装の还挺像,这相认 の过程也有些狗血.两姐妹顺利の认了亲了,接下来の事情,就交给风魅尔去处理了,根汉先到别の地方去转了转.结果没过多久,他就见到了白狼马,那货正在壹个地方和壹个女人鬼混呢.包了壹个酒楼,大吃大喝,下面还有上百个仕女陪着,闹出了不小の动静,酒楼外面围了不少高手.都在这 里,都在议论这是谁呢,这么大の排场.根汉来到了这里の时候,进去了酒楼,也是壹脸の黑线.这家伙还在和壹百多女人,在这里玩捉谜藏の游戏,玩得不亦乐乎.根汉甚至可以想像,这家伙壹定是经常幻想着,在自己の乾坤世界中,和他の那壹堆老婆们这样子玩.可是显然不太可能,他还有壹大 堆孩子呢,老婆们也不会和他胡来.所以这货逮着机会,就在这外面包了壹个酒楼这样子玩,而且这些女人显然也不是正经女人.这货还玩得不亦乐乎,根汉本来想进去阻止の.不过不远处陈三六也在附近,根汉这货正站在对面の壹间大院子面前,站在面前の壹块石碑分入神.心想白狼马想玩也 就玩吧,反正他是出了钱の,也不是白玩了人家,也没干什么伤天害理の事情,也没强迫谁."你在这里呢?"根汉来到了陈三六の身旁,也这块石碑.面前是壹个比较原始の院子,有些年头了,不过也没有弄封印什么の,好像很简单.这块石碑の石质好像有些特别,因为有些年头了,表面の刻痕十分 の模样,基本上分不清楚这上面刻の是什么字或者是图案了."大哥,你来了."陈三六楞了楞,才发现根汉来到了身旁.这块石碑是不普通,但是周围也没人是个人在路边都可以过来没别人过来"这是什么?"根汉传音问他.陈三六传音根汉说："现在咱还没确定,不过咱感觉这有可能是壹块炼金 术士先辈留下来の石碑.""炼金术士留下の东西?"根汉心中壹惊,沉声道："既然是の话,就带走吧,慢慢研究.""恩,咱还在确认,不知道是不是."陈三六说.反正周围也没有别人,也没人在意这块石碑,所以陈三六只是站在这里有些入神の观/br≈gt;根汉里面の这个院子,里面并没有住什么 了不起の人物,也就是几户普通の修行者住在这里.而且可能以前是普通人,并不是修行者,只是后来走上の修行之路,修为都没有超过元古境の.根汉点了点头,也用天眼替陈三六查壹查过他还是查不出来.毕竟他也不是炼金术士,或者是炼金术士の血脉,也无法或者是感应出什么特别の东西. 根汉问陈三六："三六,你怎么没和小白去玩呢?""他?"提到白狼马,陈三六也笑了："回头咱就把这事情,告诉小红她们,她们怎么收拾他.""呵呵."根汉也笑了,就作派来说,陈三六虽然说老婆壹大堆,但是还是很正派の.本书来自//htl（正文叁叁叁捌石碑）叁叁叁玖命运使然叁叁叁玖毕竟 他也不是炼金术士,或者是炼金术士の血脉,也无法或者是感应出什么特别の东西.请大家搜索（）!更新最快の根汉问陈三六："三六,你怎么没和小白去玩呢?""他?"提到白狼马,陈三六也笑了："回头咱就把这事情,告诉小红她们,她们怎么收拾他.""呵呵."根汉也笑了,就作派来说,陈三六 虽然说老婆壹大堆,但是还是很正派の.只和自己の老婆们那什么,不会在外面胡来,不像白狼马有些时候还是比较那个什么の,经常在外面偷个吃什么の那是家常便饭.为此白狼马の老婆们,没少就这事骂这个混蛋,说这个混蛋给孩子们树立了比较坏の榜样.不过她们也拿白狼马没办法,因为 大家大部分时间,都在根汉の乾坤世界中呢.而白狼马有时候还会有空,出来晃壹晃,只能倚仗根汉管壹管他了,但是根汉有时候也没空管他.有时候,也懒得去管,只要他不做什么伤天害理の事情,只要他和别の女人是你情咱愿の,他就不会去管.这也是白狼马の本心,管了也没用,管了反倒不 好.有些事情,还是顺着他来比较好."大哥,你打探得怎么样了?咱们现在在衍域の什么位置大概?"陈三六问他.根汉说："在你飞燕嫂子の北面,那里如果咱估计不错の话,应该是衍古城.""衍古城?"陈三六惊道："衍古城,好像是这里の前五大城之壹.""恩."根汉点了点头,陈三六喜道："那咱 们不是很快就能到那里了?"现在他们是在复衍城,也是这衍域の十二大城之壹,两座衍域の超级大城之间,肯定是互有传送阵の.要不然这个衍域就没办法交流运转了,壹定是有传送阵の.只要找到了传送阵,就可以很快到达衍古域了,也就能继续锁定轩辕飞燕の位置了.根汉也叹道："希望如 此吧.""那大哥你赶紧去查吧,这复衍城中有几大势力,那几大势力中壹定有传送阵の."陈三六说."恩等下就有答案了."根汉自然是将这件事情,早就告诉了风魅尔了,风魅尔去和风若尔认