最新电路教案第6章--储能元件
《电路》第六章储能元件
规定Φ L(Ψ L )与i的参考方向满足右螺旋关系。
当电感元件上电流的参考方向与磁通成右螺旋关系时,则任何 时刻线性电感元件的自感磁通链Ψ与流过的电流i 之间有以下 关系：
2. 线性定常电感元件
任何时刻，通过电感元件的电流i与其磁链 成正比。
~ i 特性是过原点的直线
(t) Li(t) or L tan
i
电路符号
i
L
Oi
单位
+
u (t)
-
L 称为电感器的自感系数, L的单位：H (亨) (Henry，亨利)，常用H，m H表示。
R2 R1 R2
US
例电路如图所示。已知两个电容在开关闭合前一瞬间的电压分 别为uC1(0-)=0V,uC2(0-)=6V，试求在开关闭合后一瞬间，电容 电压uC1(0＋),uC2(0＋) 。
解： 开关闭合后，两个电容并联，按照KVL的约束，两个 电容电压必须相等，得到以下方程
uC1(0 ) uC2 (0 )
实际电路中使用的电容器类型很多，电容的范围
变化很大，大多数电容器漏电很小，在工作电压低的 情况下，可以用一个电容作为它的电路模型。当其漏 电不能忽略，则需要用一个电阻与电容的并联作为它 的电路模型。
在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电感 来构成电容器的电路模型.
线性电容的电压、电流关系 电容元件VCR
1.定义
电容元件
储存电能的元件。其
特性可用u～q 平面
上的一条曲线来描述
q
+
062第六章储能元件PPT课件
重点： 1. 电容元件 2. 电感元件 3. 电容、电感元件的串联与并联
1
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2
§ 6.1 电容元件 (capacitor)
电容器
+
+ +
+
+q
–
– –
–
–q
由两块金属板间隔以不同的 介质（如云母、绝缘纸、电解质 等）所组成。
若： i(t2)i(t1) 则： W L(t2)W L(t1)
电感在此时间内释放能量。
电感元件不把吸收的能量消耗掉，而是以磁场能量的 形式储存在磁场中。
电感元件是一种储能元件，同时它也不会释放出多于它吸收或 储存的能量，因此它又是无源元件。
任何时刻，电感元件的磁链 与电流 i 成正比。
1. 元件特性
iL
电路符号
u
对于线性电感,有： =Li
def ψ L
i
=N 为电感线圈的磁链
N为电感线圈的匝数。
单位：Wb （韦伯）
L 称为自感系数或电感，L是一个正实常数。
13
电感 L 的单位：H(亨) (Henry，亨利)
def ψ L
i
H=Wb/A=V•s/A=•s
uu(t0)C 1tt0idξ
(2) 电容元件是一种记忆元件；(积分形式)
(3) 当 u 为常数(直流)时，du/dt =0 i=0。电容在直流电路
中相当于开路，电容有隔直作用；
(4) 表达式前的正、负号与u，i 的参考方向有关。
电路分析第06章-储能元件
*电感可储能，不耗能，是无源元件。其储能公式为
1 2 wL (t ) L i (t ) 2
14
例：已知电感两端电压波形
如图所示，i(0)=01mH
u(t) -
解：
1 t i (t ) i (0) u( )d L 0
p (t ) i (t ) u (t )
15
方法1：分段积分求表达式 。
1 0 t 1m s 0 1m s t 3m s u (t ) 1 3m s t 5m s 0 5m s t 7m s 1 7m s t 8m s
16
i (t ) i (0) 10
3
u(t) -
0.5
wC ( J )
1 3 5 7 9
t (ms)
7
解：
d u(t ) i (t ) C dt
p (t ) i (t ) u (t )
1 wC (t ) C u 2 (t ) 2
8
6-2 电感元件（inductance）
实际电感元件
L,L
A i ＋
用导线绕成的线圈
当i 增加时，WL>0，元件吸收能量；反之，元件释放能量。 可见，电感元件不把吸收的能量消耗掉，而是以磁场能量的 形式存储在磁场中。所以电感元件是一种储能元件。同时， 它也不会释放出多于它吸收或存储的能量，因此它又是一种 无源元件。 注意：今后，理想电感元件
电感元件
电感
L
L
R
12
实际电感元件的线圈导线电阻的损耗不可 忽略时，其电路模型由L、R串连组成。
C
5
*电容电压具有记忆性和连续性。
1 u ( t ) u ( t0 ) C
电路教案第6章 储能元件.
重点：电容元件的特性电感元件的特性电容、电感的串并联等效6.1 电容元件电容器：在外电源作用下，正负电极上分别带上等量异号电荷，撤去电源，电极上的电荷仍可长久地聚集下去的电路元件，是一种储存电能的部件。
电导体由绝缘材料分开就可以产生电容。
1. 定义电容元件：储存电能的两端元件。
任何时刻其储存的电荷 q 与其两端的电压 u 能用q ～u 平面上的一条曲线来描述（右图）。
0),(=q u f2. 线性时不变电容元件任何时刻，电容元件极板上的电荷q 与电压u 成正比。
q ~u 特性曲线是过原点的直线。
q=Cu（右图的红线为直线）电路符号：（右图）单位：F (法拉), 常用μF ，pF 等表示。
3. 电容的电压−电流关系u 、i 取关联参考方向tu C t Cu t q i d d d d d d === （电容元件VCR 的微分形式）表明：● 某一时刻电容电流 i 的大小取决于电容电压 u 的变化率,而与该时刻电压 u 的大小无关。
电容是动态元件；● 当 u 为常数(直流)时，i =0。
电容相当于开路，电容有隔断直流作用；● 实际电路中通过电容的电流 i 为有限值，则电容电压 u 必定是时间的连续函数。
（∞→∞→i dtdu ） ⎰+=⎰⎰∞-+=⎰∞-=t t ξi C t u t t ξi t C ξi C t ξi C t u 0d 1)0( 0d )(01d )(1d )(1)( ξξξ⎰+=t t ξi Ct u t u 0d 1)0()( （1） （电容元件VCR 的积分形式） 公式表明：⏹ 某一时刻的电容电压值与-∞到该时刻的所有电流值有关，即电容元件有记忆电流的作用，故称电容元件为记忆元件。
⏹ 研究某一初始时刻t 0 以后的电容电压，需要知道t 0时刻开始作用的电流 i 和t 0时刻的电压 u （t 0）。
注意：● 当电容的 u ，i 为非关联方向时，上述微分和积分表达式前要冠以负号 ;⎰+-=-=t t ξi C t u t u t u C i 0)d 1)0(()( ,d d● 上式中u (t0)称为电容电压的初始值，它反映电容初始时刻的储能状况，也称为初始状态。
第六讲 储能元件
N (t ) L i (t )
*、电感器： 为使用电感属性而设计的器
二、电感器与电感
*、电感器中的电流i与两端电压u之间的关系（关联方向）：
+ u i L
di u (t ) L dt d N ( u (t ) N ,L ) dt i
一、电容器和电容
电容：
是电容器的电属性，用来度量电容器两块导体间存储电 荷的能力； 具体地说，如果两块导体间的电位差为V伏特，一块导 体上带有Q库仑的正电荷，而另一块导体上带等量的负 电荷，则电容器的电容为：
Q C V
式中，C为电容的计量符号； 电容的国际制单位，为法拉，符号为F。实际应 用中，法拉这个单位太大了，微法（µ F）和皮 法（pF）。1F=106µ F=109pF
一、电容器和电容
电容器的串联:
C1 C2 Cn C
C
1 1 1 ... 1 C1 C2 Cn
一、电容器和电容
电容器的并联:
C1 C２ C３ Cｎ C
C Ci
1
n
一、电容器和电容
电容器中存储的能量为：
1 2 WC CV 2
一、电容器和电容
对于电容有： *：电容在直流情况下其两端电压恒定，相当于开路， 或者说电容有隔断直流的作用（简称隔直）；
具体地说如果两块导体间的电位差为v伏特一块导体上带有q库仑的正电荷而另一块导体上带等量的负电荷则电容器的电容为
第六讲 储能元件
电容器和电容 电感器和电感 储能元件的连接
一、电容器和电容
电容器： *、由用绝缘体隔开的两块导体构成； *、主要特征是具备存储电荷的能力，两块 导体之一带负电荷，另一块带正电荷； *、电荷随带能量，可以由电容器释放； *、电容器的电路符号为：
chapter06储能元件.
t0
udξ
1 L
t
t0
udξ
i(t
)0
1 L
tt0udξ
ψ(t
)
ψ( t
)0
t
t0
udξ
讨论：
(1) u的大小取决与 i 的变化率，与 i 的大小无关； (微分形式)
(2) 电感元件是一种记忆元件；(积分形式)
i 1
t
ud
1
0
ud
1
t
ud
i(0)
的方程得到电感元件的方程；
(3) C 和 L称为对偶元件, 、q等称为对偶元素。
* 显然，R、G也是一对对偶元素: U=RI I=GU I=U/R U=I/G
电感和电容的串并联
电感的串联 电感的并联
n
Leq Lk k 1
1
n
1
Leq k1 Lk
电容的串联 电容的并联
1 n 1 Ceq k1 Ck
q =Cu
def q C
u
C 称为电容器的电容
电容 C 的单位：F (法) (Farad，法拉) F= C/V = A•s/V = s/
常用F，nF，pF等表示。
线性电容的q~u 特性是过原点的直线 q
Ou
C= q/u tg
线性电容的电压、电流关系： u, i 取关联参考方向
i
i dq C du dt dt
电容元件与电感元件的比较：
变量
电容 C 电压 u
电荷 q
电感 L 电流 i
磁链
关系式
q Cu
电路第6讲 储能元件
us(t ) C
解
uS (t)的函数表示式为:
t ≤ 0 0 ≤ t ≤ 1s 1 ≤ t ≤ 2s t ≥ 2s
0 2t u S(t ) = − 2t + 4 0
6.1 电容元件——功率和储能
0 2t u S(t ) = − 2t + 4 0 t ≤ 0 0 ≤ t ≤ 1s i/A 1 ≤ t ≤ 2s 1 t ≥ 2s
1 2 W L = Li (t ) ≥ 0 2
①电感的储能只与当时的电流值有关，电感电 流不能跃变，反映了储能不能跃变。 ②电感储存的能量一定大于或等于零。
6.2 电感元件——举例 实际电感线圈的模型 i L u ( t) L u － － ＋ C u － L G
+
G ＋
6.2 电感元件——举例
贴片型功率电感
6.2 电感元件——功率和储能
di 1 2 W L = ∫ Li dξ = Li (ξ) −∞ dξ 2 −∞
t
t
电感的储能
1 2 1 2 1 2 = Li (t ) − Li (−∞) = Li (t ) 2 2 2
从t0到 t 电感储能的变化量：
1 2 1 2 W L = Li (t ) − Li (t0 ) 2 2
1 2 WC(t) = Cu ( t) ≥ 0 2
① 电容的储能只与当时的电压值有关，电容电 压不能跃变，反映了储能不能跃变； ② 电容储存的能量一定大于或等于零。
6.1 电容元件——功率和储能
例
求电容电流i、功率P (t)和储能W (t) ＋ － 0 1 2 t /s i 2 0.5F u S/V 电源波形
6.1 电容元件——电压电流关系(VCR)
电路PPT课件：储能元件
0
1
2 t /s
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若已知電流求電容電壓，有 i/A 1
0
i(t)
1 1
0
t 0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
0 -1
1
2 t /s
0t 1s
1 t 2s
uc(t)
1 C
00dξ
1 C
0t1dξ
02t
2t
uC (t)
u(1)
1 0.5
t
1
(1)d
4
2t
2t
uC (t)
u(2)
1 0.5
t
2
0d
0
返回 上頁 下頁
實際電容器的模型
C i
＋
－
u
C
qi +
_q
C
＋
G
－＋
u
G
－
u
返回 上頁 下頁
實際電容器
返回 上頁 下頁
電力電容
返回 上頁 下頁
衝擊電壓發生器
返回 上頁 下頁
6.2 電感元件
電感線圈把金屬導線繞在一骨架上構成一實際電感 線圈，當電流通過線圈時，將產生磁通，是一種 抵抗電流變化、儲存磁能的部件。
WL
t
Li
di dξ
dξ
1 2
Li2 (ξ)
t
1 Li2(t) 1 Li2() 1 Li2(t)
2
2
2
從t0到 t 電感儲能的變化量：
WL
1 2
Li2 (t )
1 2
Li2 (t0 )
返回 上頁 下頁
WL
1 2
Li2 (t )
0
第六章-储能元件
），与线圈交链成磁链ψ
把金属导线绕在一骨架上 构成一实际电感线圈，当电 流通过线圈时，将产生磁通 ，是一种抵抗电流变化、储
i
i
+–
ue
–+
存磁能的部件。
电感线圈原理示意图
几种实际电感线圈示例
贴片型空心线圈
可调式电感
环形线圈
立式功率型电感
一、定义
任意时刻，能用Ψ-i平面内一条曲线来描述的二端元件→ 韦-安曲线
d(12 2t) 1 106 dt
1μA
例2 : C=0.5F的电容电流波形如图 (b)所示，求电容电压uC(t)。
解：根据图(b)波形的情况，按照时间分段来进行计算
1．当t0时，iC(t)=0，得
uC
(t)
1 C
t
iC ( )d
2 106
t
0d 0
2．当0t<1s时，iC(t)=1A，得
i +– ue L –+
对于线性电感,有： =Li =N 为电感线圈的磁链（韦伯）
L
def
ψ
i
L 称为自感系数,也代表 电感元件本身
线性电感的 ~i 特性（韦-安特性）是过原点的直线
i
L= /i tg + –
Oi
六、线性电感电压、电流关系→伏安关系：
ue L –+
u, i 取关联参考方向:根据电磁感应定律与 楞次定律
i
u, i 取关联参考方向
+ +
i dq C du dt dt
u
C
u, i 取非关联参考方向
–
–
i dq C du
dt
dt
电容充放电形成电流： u, i 取关联参考方向
第6章储能元件78113
本章再介绍两个电路元件 电感元件和电容元件
前五章介绍的电路分析技术（或方法） 也可以应用于包含电感和电容的电路。
但必须先掌握电感和电容的VCR，然 后再用KCL和KVL来描述与其它基本 元件之间的互连关系。
2019/10/28
1
§6―1 电容元件
只要电导体用电解质或绝缘材料(如云母、绝缘纸、 陶瓷、空气等)隔开就构成一个电容器。
t0
将q = C u 代入得
u(t) =
u(t0)
+
1 C
t
i(x) dx
t0
表明
电容元件有记忆电流的作用，故称电容为记忆元件。
还需要指出两点：(1)当 u，i为非关联方向时，上
述微分和积分表达式前要冠以负号 ;
(2)上式中u(t0)称为电容电压的初始值，它反映电 容初始时刻的储能状况，也称为初始状态。
释放的能量≤吸收的能量，是无源元件。
如果电感元件的韦安特性不是通过原点的直线， 则称为非线性电感元件。其韦安特性为：
L=f (i) 或 i=h(L)
例如带铁心的线圈。
2019/10/28
24
线性电感元件总结
图形符号：
文字符号或元件参数： L
韦安特性： L = Li
伏安特性：
u = L di dt
i/A 1
-1
1
2 t /s
当 0 t 1 s u c ( t ) = C 1 - 0 0 ξ + C 1 d 0 t 1 d ξ = 0 + 2 t = 2 t
当1t2s u C(t)=u (1)+0 1 .51 t(-1)dx=4-2t
当2t
第六章储能元件
电容元件的电路符号
定义：一个二端元件，如果在任意时刻t，它所储存的电荷q 和其端电压u 之间满足 q = Cu 所确定的关系，则此二端元件称线性电容元件。 C (Capacitance)——电容元件的参数 单位：法拉(F、µF、pF)
4 Chapter6 储能元件
6.1 电容元件
• 6.1.2 u-i 关系
duC dt
储存能量
wC =
1 2 CuC 2
1 uC = U C ( t 0 ) + C
∫ i (τ )dτ
t t0 C
电感
diL uL = L dt
1 t iL = I L ( t0 ) + ∫ uL (τ )dτ L t0
wL =
1 2 LiL 2
18
Chapter6 储能元件
11
Chapter6 储能元件
6.2 电感元件
电感元件的伏安关系也可表为：
1 t0 1 t 1 t iL = ∫ uL (τ ) dτ = ∫−∞ uL (τ ) dτ + ∫t uL (τ ) dτ L L 0 L −∞ 1 t = I L ( t 0 ) + ∫ uL (τ ) dτ L t0 1 t iL = I L ( t 0 ) + ∫ uL (τ ) dτ L t0
6.1 电容元件
• 6.1.3 功率与能量
电容消耗的功率在电压、电流取关联方向时为：
p = uC iC = CuC duC dt
表明： （1）当uC = const 时，duC /dt = 0，p = 0，此时电容储存 的电场能量不变。 （2）当duC /dt > 0时，p > 0，电容上有能量输入。 当duC /dt< 0时，p < 0，电容将释放其能量。 结论： （1）电容是一个储能元件； （2）uC反映了电容的储能状况，故又称状态变量。
第6章储能元件78106-精品文档30页
若取u的参考方向与L成右手螺旋关系 (关联参 考方向)时，则 u = dL
dt
电感元件是实际线圈的理想化模型，反映了电流产 生磁通和存储磁场能量这一物理现象。
19.11.2019
18
线性电感元件的图形符号
空心电感
磁心电感
步进移动触点 磁心连续可调 带固定抽头
文字符号或元件参数： L
L
2. 韦安特性
WL=
1 2
Li2(t2) -
1 2
Li2(t1) = WL (t2) - WL (t1)
19.11.2019
22
WL=
1 2
Li2(t2) -
1 2
Li2(t1) = WL (t2) - WL (t1)
| i | 增加时，WL＞0，电感元件吸收能量； | i | 减小时，WL＜0，电感元件释放能量； 电感也是一种储能元件，不消耗电能。
等于元件在t2和t1时刻的电场能量之差。
充电时，|u(t2)|＞|u(t1)|， Wc (t2)＞Wc (t1)，电容元 件吸收能量；
释放的能量≤吸收的能 量，是无源元件。
如果电容元件的库伏
放电时，|u(t2)|＜|u(t1)|， Wc (t2)＜Wc (t1)，电容元 件把存储的电场能量释
特性不是通过原点的 直线，则称为非线性 电容元件。
L2 + u2 -
Ln + un -
i Leq
+ u -
根据串联电路的约束关系和电感元件的VCR可得 串联时等效初始条件为 i(t0) = i1(t0) = i2(t0) = … = in(t0) 串联时等效电感为 Leq = L1 + L2 + … + Ln
电路分析基础第06章储能元件
q 的波形与 u 的波形相同。
（ 3）在 0 ~ 2 ms 时， P 2 tmW
10 在 2 ~ 4 ms 时， P （ 8 3 2 t ） mW
i(t) C du(t) dt
Cq u
p u iCud u dt
例：已知电容两端电压波形 如图所示，求 电容 的电流、功率及储能 。
韦安特性
i－电流，单位：安培（A）
L－电感（正常数），单位：亨利（H）
二、电感元件的伏安特性
1、若 u 与 i 取关联参考方向， i ( t ) L
根据电磁感应定律，有
+ u(t) -
u (t) d(t)d (L i) L d i(t)
dt dt
dt
i(t)i(t0)L 1 tt0u()d
由KVL，端口电流
i i1 i2 . .in . (C 1 C 2 . .C .n )d d u tC ed q d
n
式中 CeqC1C2.. .Cn Ck k1
Ceq为n个电容并联的等效电容。
例: 如图所示电路，各个电容器的初始电压均为零，
给定 C 1 1 F ,C 2 2 F ,C 3 3 F ,C 4 4 F 试求ab间的等
思考：在t0-t1时间内，电容吸收(释放)的电场能量？ 释放的能量和储存的能量关系?(W放≤ W吸)
五、线性电容元件吸收的功率
在关联参考方向下： puiCudu dt
非关联参考方向下，电容释放能量
四、电容元件的特点
i (t)
1、电压有变化，才有电流。
C
i(t) C du(t) dt
+ u(t) -
t
i(t)
w L [t0 ,t]t0p (
电路课件电路06储能元
电感器的电气特性
感抗
电感器对交流电的阻碍作用称为 感抗，用符号X表示。感抗的大小
与交流电的频率和电感量的大小 有关。
品质因数
品质因数是衡量电感器性能的一个 重要参数，它反映了电感器能量转 换效率的高低。品质因数越高，电 感器的性能越好。
额定电流
额定电流是指在规定的工作条件下， 电感器能够长期稳定工作的最大电 流值。
自放电率
04
电池的自放电率表示其存储电量的损失率，自 放电率越低，电池的存储时间越长。
电池的充电与放电管理
充电管理
充电管理是确保电池安全、快速、高效充电的关键。充电方法包括恒流充电、恒压充电和脉冲充电等 。
放电管理
放电管理是确保电池在使用过程中能够提供稳定的电流输出，同时避免过度放电或放电不足的关键。
工作原理与特性
电感器
电感器由线圈绕在磁芯上构成，当电流通过线圈时，产生磁场并存储能量。电 感器具有阻止电流变化的特性，常用于滤波、振荡和延迟等电路中。
电容器
电容器由两个平行板之间填充绝缘介质构成，当电压施加在电容器上时，电荷 在极板上积累并形成电场。电容器具有储存电荷的特性，常用于滤波、耦合和 去耦等电路中。
干电标池题
干•电池文是字一内种容化学电 • 文字内容
源•，由文锌字、内二容氧化锰 和•氯化文铵字溶内液容组成。 当电池被使用时，锌 与氯化铵反应产生电 流，二氧化锰起到催
化剂的作用。
铅酸电池
铅酸电池由一个或多 个串联的铅电极和二 氧化铅电极组成，浸 在硫酸溶液中。当电 池被充电时，铅和二 氧化铅发生化学反应
详细描述
在汽车领域，超级电容器可以用于启动辅助、能量回收和灯光控制等系统。在工业控制 领域，超级电容器可以用于控制设备的电源供应和电磁阀的驱动。在能源存储系统领域，
第六章 储能元件
第六章储能元件一、线性电容元件(capacitor)C ＋_i u 1. 线性电容元件定义（库伏特性）+q-q q /Cu /V图5.1-1 线性时不变电容元件在外电源作用下，电容器两极板上分别带上等量异号电荷，撤去电源，板上电荷仍可长久地集聚下去，其特性可用u ～q 平面上的一条曲线来描述，称为库伏特性。
电荷量q 与其端电压的关系为)()(t Cu t q 电容器是一种能储存电荷或者说储存电场能量的部件。
线性电容元件就是反映这种物理现象的电路模型。
(5.1-1)式中C 是电容元件的参数，称为电容元件的电容量，单位为法拉(F)。
C 是一个正实常数。
电容元件简称为电容，其符号C 既表示元件的参数，也表示电容元件。
2. 伏安特性（VCR ，voltage current relation ）在电路分析中，关心的是元件的VCR 。
若电容端电压u 与通过的电流i 采用关联参考方向，如图5.1-1(a )所示，则有dt du C dt dq i ==（5.1-2）这是伏安特性的微分形式。
（1）伏安特性的微分形式：上式表明：1)任何时刻，通过电容元件的电流与该时刻的电压变化率成正比，与u的大小无关，称为动态元件。
如果电容两端加直流电压，则i=0，电容元件相当于开路。
故电容元件有隔断直流的作用。
2)在实际电路中，通过电容的电流i总是为有限值，这意味着d u/d t必须为有限值，也就是说，电容两端电压u必定是时间t的连续函数，而不能跃变。
这从数学上可以很好地理解，当函数的导数为有限值时，其函数必定连续。
将式(5.1-2)改写为dt t i Ct du )(1)(=可见，电容有“记忆”电流的作用，称为记忆元件。
（而电阻元件的电压仅与该瞬时的电流值有关，是无记忆元件，称为即时元件。
）（5.1-3)对上式从-∞到t 进行积分，并设u (-∞)=0，得1()()tu t i d C ξξ-∞=⎰（2）伏安特性的积分形式：设t 0为初始时刻。
储能元件
4.元件特性
电场能与磁场能的转化
t
L
L (t0 )
ud
t0
可见电感元件是动态、记忆元件。
5.功率与能量 p ui L di i dt
W
L
(t
)
i
0
p
dt
t
0 Li
di
1 2
Li2 (t)
§6-3 电容、电感元件的串联与并联
一、电容的串联
u(t
)
u(t0
第六章 储能元件
内容提要：学习电容、电感元件及其联接
§6-1 电容元件
•结构 电容器是由间隔以不同介质（如云母，绝缘纸，空气等）
的两块金属板组成。 •作用
储存电荷（储存电场能量）
元件特性
q=Cu C 电容 单位F（法拉，简称法）
q
O
u
i
C
+u
-
库伏特性曲线是一 跳通过原点的直线 （线性）
电压电流关系(VCR)
)
1 Ce
q
t
i( )d
t0
1 1 1 1
Ceq C1 C2
Cn
二、电容并联
i
＋
Ceq
u－
i i1 i2 in
C1
du dt
C2
du dt
Cn
du dt
du Ceq dt
Ceq C1 C2 Cn
同理可推
三、电感串联
Leq L1 L2 Ln
t
q(t) q(0) 0 id
由于 u q C
u (t ) u (0 ) 1
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电容元件的特性 电感元件的特性电容、电感的串并联等效 6.1 电容元件电容器：在外电源作用下，正负电极上分别带上等量异号电荷，撤去电源，电极上的电荷仍可长久地聚集下去的电路元件，是一种储存电能的部件。
电导体由绝缘材料分开就可以产生电容。
1. 定义电容元件：储存电能的两端元件。
任何时刻其储存的电荷 q 与其两端的电压 u 能用q ～u 平面上的一条曲线来描述（右图）。
0),(=q u f2. 线性时不变电容元件任何时刻，电容元件极板上的电荷q 与电压u 成正比。
q u 特性曲线是过原点的直线。
q=Cu（右图的红线为直线）电路符号：（右图）单位：F (法拉), 常用F ，pF 等表示。
3. 电容的电压电流关系u 、i 取关联参考方向tu C t Cu t q i d d d d d d === （电容元件VCR 的微分形式）表明：某一时刻电容电流 i 的大小取决于电容电压 u 的变化率,而与该时刻电压 u 的大小无关。
电容是动态元件；当 u 为常数(直流)时，i =0。
电容相当于开路，电容有隔断直流作用；实际电路中通过电容的电流 i 为有限值，则电容电压 u 必定是时间的连续函数。
（∞→∞→i dtdu ） ⎰+=⎰⎰∞-+=⎰∞-=t t ξi C t u t t ξi t C ξi C t ξi C t u 0d 1)0( 0d )(01d )(1d )(1)( ξξξ ⎰+=t t ξi Ct u t u 0d 1)0()( （1） （电容元件VCR 的积分形式） 公式表明：某一时刻的电容电压值与-到该时刻的所有电流值有关，即电容元件有记忆电流的作用，故称电容元件为记忆元件。
研究某一初始时刻t 0 以后的电容电压，需要知道t 0时刻开始作用的电流i 和t 0时刻的电压 u （t 0）。
当电容的 u ，i 为非关联方向时，上述微分和积分表达式前要冠以负号 ;⎰+-=-=t t ξi C t u t u t u C i 0)d 1)0(()( ,d d上式中u (t0)称为电容电压的初始值，它反映电容初始时刻的储能状况，也称为初始状态。
4. 电容的功率和储能功率：tu C u ui p d d ⋅== （u 、 i 取关联参考方向） （1） 当电容充电， p >0, 电容吸收功率。
（2） 当电容放电，p <0, 电容发出功率。
它表明：电容能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为电场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电容元件是储能元件，它本身不消耗能量。
电容的储能：)(21)(21)(21)ξ(21d d d 2222t Cu Cu t Cu Cu ξξu Cu W tt C =-∞-===∞-∞-⎰ 从t 0到 t 电容储能的变化量：)(21)(21022t Cu t Cu W C -= 0)(21)t (W 2C ≥=t Cu 公式表明：电容的储能只与当时的电压值有关，电容电压不能跃变，反映了储能不能跃变； 电容储存的能量一定大于或等于零。
6.2 电感元件电感线圈：把金属导线绕在一骨架上构成一实际电感线圈，当电流通过线圈时，将产生磁通，是一种抵抗电流变化、储存磁能的部件。
1. 定义电感元件：储存磁能的两端元件。
任何时刻，其特性可用～i 平面上的一条曲线来描述。
0),(=i f ψ2. 线性时不变电感元件任何时刻，通过电感元件的电流 i 与其磁链成正比。
~i 特性为过原点的直线。
)()(t Li t =ψ电路符号：单位：H (亨利)，常用H ，mH 表示。
3. 线性电感的电压、电流关系tt i L t t u d )(d d d )(==ψ （u 、i 取关联参考方向，电感元件VCR 的微分关系） 表明：电感电压u 的大小取决于i 的变化率, 与 i 的大小无关，电感是动态元件； 当i 为常数(直流)时，u =0。
电感相当于短路；实际电路中电感的电压 u 为有限值，则电感电流 i 不能跃变，必定是时间的连续函数。
⎰+=⎰⎰∞-+=⎰∞-=t t ξu L t i t t ξu t L ξu L t ξu L t i 0d 1)0( 0d 01d 1 d 1)( （电感元件VCR 的积分关系） 表明：某一时刻的电感电流值与-到该时刻的所有电流值有关，即电感元件有记忆电压的作用，电感元件也是记忆元件。
研究某一初始时刻t 0 以后的电感电流，不需要了解t 0以前的电流，只需知道t 0时刻开始作用的电压 u 和t 0时刻的电流 i （t 0）。
当电感的 u ，i 为非关联方向时，上述微分和积分表达式前要冠以负号 ; ti L d d u -=，⎰+-=t t ξu L t i t 0)d 1)0(()(i 上式中 i (t0)称为电感电压的初始值，它反映电感初始时刻的储能状况，也称为初始状态。
4. 电感的功率和储能功率：u 、 i 取关联参考方向 i ti L ui p ⋅==d d 当电流增大，p>0, 电感吸收功率。
当电流减小，p <0, 电感发出功率。
表明：电感能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为磁场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电感元件是无源元件、是储能元件，它本身不消耗能量。
电感的储能)(21)(21)(21)ξ(21d d d 2222t Li Li t Li Li ξξi Li W tt L =-∞-===∞-∞-⎰ 从t 0到 t 电感储能的变化量：)(21)(21022t Li t Li W L -= 0)(212≥=t Li W L 表明：（1） 电感的储能只与当时的电流值有关，电感电流不能跃变，反映了储能不能跃变。
（2） 电感储存的能量一定大于或等于零。
实际电感线圈的模型理想（简化） 实际 高频6.3 电容、电感元件的串联与并联1. 电容的串联等效电容⎰∞-=t ξξi C u d )(111，⎰∞-=t ξξi C u d )(122⎰∞-+=+=t ξξi C C u u u d )()11(2121 ⎰∞-=t ξξi C d )(1等效电容： C 2121C C C C += 串联电容的分压 ⎰∞-=t ξξi C u d )(111，⎰∞-=t ξξi C u d )(122⎰∞-+=+=t ξξi C C u u u d )()11(2121 ⎰∞-=t ξξi C d )(1 可见：u u C 21211C C C C u +==，u 21122C C C u C C u +== （与电容值成反变关系） 2. 电容的并联等效电容t u C i d d 11=，tu C i d d 22= t u C C i i i d d )(2121+=+=tu C d d = C 21C C +=并联电容的分流t u C i d d 11=，tu C i d d 22= t u C C i i i d d )(2121+=+=tu C d d = i C 11C i =，i CC i 22= 注意：电容特性可与电阻特性对应。
串联——并联；电流——电压。
3. 电感的串联等效电感t i L u d d 11=，ti L u d d 22= ti L t i L L u u u d d d d )(2121=+=+= 21 L L L +=串联电感的分压u L L L u L L t i L u 211111d d +=== u L L L u L L t i L u 212222d d +===4. 电感的并联 等效电感 ⎰∞-=t ξξu L i d )(111，⎰∞-=t ξξu L i d )(122⎰∞-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=t ξξu L L i i i d )(111121⎰∞-=t ξξu L d )(1 212111111L L L L L L L +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=并联电感的分流i L ξξu t⎰∞-=d )(212111d )(1L L i L i L L ξξu L i t +===⎰∞- 211222d )(1L L i L i L L ξξu L i t +===⎰∞- 可见：电感在不同电路中的电流-电压特性类似于电阻。
强调：以上虽然是关于两个电容或两个电感的串联和并联等效，但其结论可以推广到 n 个电容或 n 个电感的串联和并联等效。
关于初始值问题的说明：初始值不为零的情况，电容在串联时，可以不同，等效时，各电容初始电压值相加；并联时，则必须是相等的，也只有可能是相等的，否则，会重新分配初始值。
初始值不为零的情况，电感在并联时，可以不同，等效时，各电感初始电流值相加；串联时，则必须是相等的，也只有可能是相等的，否则，会重新分配初始值。
电路与电子技术基础复习题一、基本概念题：1、电路包括电源 、负载 和中间环节 三个组成部分。
2、电源或信号源的电压或电流，称为激励，它推动电路的工作；由它在电路各部分产生的电压和电流称为响应 。
3、习惯上规定 正电荷 运动的方向为电流的实际方向。
4、选定同一元件的电流参考方向与电压参考方向一致，称为关联 参考方向。
选定同一元件的电流参考方向与电压参考方向相反，称为非关联参考 方向。
5、若电阻元件的伏安特性可以用一条通过平面坐标原点的直线来表征，称为线性 电阻元件。
若电阻元件的伏安特性可以用一条通过、平面坐标原点的曲线来表征，就称为非线性电阻元件。
6、在电压和电流的关联参考方向下，欧姆定律表示为u=Ri 。
在电压和电流的非关联参考方向下，欧姆定律表示为u=-Ri 。
7、基尔霍夫电流定律(KCL)：任何时刻，对任一节点，所有支路电流的代数和恒等于零。
基尔霍夫电压定律（KVL）：任何时刻，沿任一回路各支路电压的代数和恒等于零。
8、下图所示电路中，I1=2 A，I2=3 A, I3=-2 A；I4=-3A 。