一元二次方程第一节

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一元二次方程求解教法解析

一元二次方程讲解与解析一元二次方程一元：代表未知数的个数，这里指的是只含有一个未知数；次：代表次数，这里指次数为2。

第一节一元二次方程的概念：知识点1一元一次方程的概念定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

了解：只有同时满足三个条件：①是整式方程；②只含一个未知数；③未知数最高次数为2。

这样的方程才是一元二次方程，不满足其中任意一条件都不是一元二次方程。

一元二次方程的一般式为：ax²+bx+c=0(a≠0)其中ax²为二次项，bx为一次项，c为常数项。

a为二次项的系数，b为一次项的系数。

尽可能在正常情况下将右边的数值移动到左边，使右边的数值为0。

【总结】上面的方程都只含有一个未知数x的整式方程并且都可以化成ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

我们吧ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax²，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。

例子：4x²+5x-1=0（一般形式）。

4x²为二次项，5x为一次项，-1为常数项。

4为二次项系数，5为一次项系数。

随堂练习：1.根据题意列方程：已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长。

解：设直角三角形的三边长为x，x+1，x+2。

x²+(x+1)²=(x+2)²（只需要列车方程到这步即可）x²-2x-3 =0x²-2x+1²=3+1²(x-1)²=4x-1=±2习题2.1知识技能1.根据题意，列方程：（1）有一个面积为54㎡的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的变长是多少？解：设这个正方形的边长是x m(x>0)。

北师大版九年级数学上册2.1：认识一元二次方程教学案

学科讲义·初三数学上数学课时，必须全神贯注，心无旁骛，专心听讲，一旦走神，就再也融不进数学老师的世界里了1 第二章一元二次方程第一节认识一元二次方程学习目标 1.理解一元二次方程及其相关概念，会判断满足一元二次方程的条件．(重点)2.能够利用一元二次方程的定义求字母的值；用一元二次方程的根求代数式的值。

3.体会方程的模型思想。

（难点）知识点1：一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2. 同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

知识点2：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。

其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

注意：(1)将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正，化分为整；(2)一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项bx ，则b ＝0；若没有出现常数项，则c ＝0.（3）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（4）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

知识点解析学科讲义·初三数学数学老师以4G 的速度讲课，学霸以WiFi 的速度听着，学神以3G 的速度记着，而学渣当场掉线，And you? 2 （5）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。

知识点3：一元二次方程的解（1）使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。

一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

21.1.1一元二次方程第1节ppt(共36张)

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课内练习
1.下列(xiàliè)方程中是一元二次方程的为( C )
（A）、x2+3x= 2
x2
（B）、2(X-1)+3x=2
（C）、x2=2+3x
（D）、x2+x3-4=0
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把一元二次方程（x-√5 ）（x+√5 ）+（2x-1）2 =0 化为一般形式(xíngshì)，正确的是（A ）
③未知数的最高次数是2。
一元二次方程是刻画现实世界的一种数学模型
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。
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例1：判断(pànduàn)下列方程是否为一元二次方程？
(1)x2+x =36
(2) x3+ x2=36
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3 4x x 2 25 43x 2 x 1 8x 3
3 4xx 2 25
一般(yībān) 式：
二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25.
4 3x 2x 1 8x 3
一般式： 3x2 7x 1 0.
二次项系数为3，一次项系数－7，常数项1.
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例: 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中(qízhōng)的二次项系数，一次项系数及常数项．
解：去括号，得
3x2－3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：
3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.

知识点12 一元二次方程(第一期) 解析版

一、选择题1. （2019湖南怀化）一元二次方程x 2+2x +1=0的解是（） A.x 1=1，x 2=-1 B.x 1=x 2=1 C.x 1=x 2=-1 D.x 1=-1，x 2=2 【答案】C.【思路分析】利用配方法将方程化为(x +1)2=0即可. 【解答过程】解：方程x 2+2x +1=0，配方可得(x +1)2=0，解得x 1=x 2=-1. 故选C.【知识点】解一元二次方程-配方法2. （2019山东滨州）用配方法解一元二次方程x 2－4x +1＝0时，下列变形正确的是（） A ．（x －2）2＝1 B ．（x －2）2＝5C ．（x +2）2＝3D ．（x －2）2＝3【答案】D【解析】x 2－4x+1=0，移项得x 2－4x=－1，两边配方得x 2－4x+4=－1+4，即（x －2）2=3．故选D ．【知识点】配方法解一元二次方程3. (2019山东聊城)若关于x 的一元二次方程(k －2)x 2－2kx+k ＝6有实数根,则k 的取值范围为A.k ≥0B.k ≥0且k ≠2C.k ≥32D.k ≥32且k ≠2【答案】D【解析】∵原方程是一元二次方程,∴k －2≠0,∴k ≠2,∵其有实数根,∴(－2k)2－4(k －2)k ≥0,解之得,k ≥32,∴k 的取值范围为k ≥32且k ≠2,故选D.【知识点】一元二次方程根的判别式4. （19山东潍坊）关于x 的一元二次方程2220x mx m m +++=的两个实数根的平方和为12，则m 的值为（） A ．m =－2 B ．m =3 C ．m =3或m =－2 D ．m =3或m =2 【答案】A【解析】由题意可得：222121212()212x x x x x x +=+-=，因为：122122,x x m x x m m+=-⎧⎨=+⎩所以：22(2)2()12m m m --+=，解得：m 1=3，m 2=－2；当m =3时Δ=62－4×1×12＜0，所以m =3应舍去；当m =－2时Δ=(－4)2－4×1×2＞0，符合题意．所以m =－2，故选择A ．【知识点】一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式5. （2019山东淄博）若2212123,5,x x x x +=+=则以12,x x 为根的一元二次方程是（） A .2320x x -+= B .2320x x +-=C .2320x x ++=D .2320x x --=【答案】A .【思路分析】已知123,x x +=再求出12x x g 的值，进而求出以12,x x 为根的一元二次方程【解题过程】222121212()2,x x x x x x +=++⋅又∵2212123,5,x x x x +=+=∴2221212122()()954,x x x x x x ⋅=+-+=-=∴12,2x x =，∴以12,x x 为根的一元二次方程是2320x x -+=.故选：A .【知识点】一元二次方程根与系数的关系6.（2019四川省自贡）关于x 的一元二次方程x 2-2x +m =0无实数根，则实数m 的取值范围是（） A.m ＜1 B.m ≥1 C.m ≤1 D.m ＞1 【答案】D.【解析】解：∵方程无实数根， ∴△=(-2)2-4×1·m =4-4m ＜0. 解得，m ＞1. 故选D.【知识点】一元二次方程根的判别式.7. （2019浙江省金华市，7，3分）用配方法解方程x 2－6x －8＝0时，配方结果正确的是（） A. 2(3)17x -= B. 2(3)14x -= C. 2(6)44x -= D. 2(3)1x -=【答案】A ．【解析】解方程x 2－6x －8＝0，配方,得（x －3）2＝17，故选A ．【知识点】配方法解一元二次方程8. (2019浙江宁波,7题,4分) 能说明命题”关于x 的方程x 2－4x+m ＝0一定有实数根”是假命题的反例为A.m ＝－1B.m ＝0C.m ＝4D.m ＝5 【答案】D【解析】方程的根的判别式∆＝(－4)2－4m ＝16－4m,当∆<0时,方程无实数根,∴应使16－4m<0,即m>4,可得原方程无实数根,四个选项中,只有m ＝5符合条件,故选D. 【知识点】一元二次方程根的判别式,解不等式,反例 9.（2019山东省济宁市，11，3分）已知x ＝1是方程x 2＋bx －2＝0的一个根，则方程的另一个根是．【答案】－2【解析】方法1：把x ＝1代入得1＋b －2＝0，解得b ＝1，所以方程是x 2 ＋x －2＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2．方法2：设方程另一个根为x 1，由根与系数的关系知1×x 1＝－2．∴x 1＝－2．【知识点】方程根的意义，一元二次方程解法，根与系数关系．10. （2019安徽省，9，4分）已知三个实数a ，b ，c 满足20a b c -+=，20a b c ++<，则( ) A ．0b >，20b ac -… B ．0b <，20b ac -… C ．0b >，20b ac -…D ．0b <，20b ac -… 【答案】D【解析】解：20a b c -+=Q ，20a b c ++<，2a c b ∴+=，2a cb +=， 2()240a b c a c b b ∴++=++=<，0b ∴<，222222222()()02442a c a ac c a ac c a cb ac ac ac +++-+-∴-=-=-==…，即0b <，20b ac -…，故选D ．【知识点】不等式的性质11. （2019四川南充，5，4分） 1x =是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的解，则24(a b += ) A ．2- B ．3-C ．1-D ．6-【答案】A【解析】解：把1x =代入方程220x ax b ++=得120a b ++=，所以21a b +=-，所以242(2)2(1)2a b a b +=+=⨯-=-．故选：A ．【知识点】一元二次方程的解12. （2019甘肃省，7，3分）若一元二次方程2220x kx k -+=的一根为1x =-，则k 的值为( ) A ．1- B ．0C ．1或1-D ．2或0【答案】A【解析】解：把1x =-代入方程得2120k k ++=，解得：1k =-，故选A ．【知识点】一元二次方程的解13. （2019广东广州，10，3分）关于x 的一元二次方程x 2﹣（k ﹣1）x ﹣k +2＝0有两个实数根x 1，x 2，若（x 1﹣x 2+2）（x 1﹣x 2﹣2）+2x 1x 2＝﹣3，则k 的值（） A ．0或2 B ．﹣2或2C ．﹣2D ．2【答案】D【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（k ﹣1）x ﹣k +2＝0的两个实数根为x 1，x 2， ∴x 1+x 2＝k ﹣1，x 1x 2＝﹣k +2．∵（x 1﹣x 2+2）（x 1﹣x 2﹣2）+2x 1x 2＝﹣3，即（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2﹣4＝﹣3， ∴（k ﹣1）2+2k ﹣4﹣4＝﹣3，解得：k ＝±2．∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（k ﹣1）x ﹣k +2＝0有实数根， ∴△＝[﹣（k ﹣1）]2﹣4×1×（﹣k +2）≥0，解得：k ≥2√2−1或k ≤﹣2√2−1， ∴k ＝2．故选：D ．【知识点】一元二次方程根的判别式；根与系数的关系14. （2019广东省，9，3分）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ＝0的两个实数根，下列结论错误的是（） A ．x 1≠x 2 B ．x 12﹣2x 1＝0C ．x 1+x 2＝2D ．x 1•x 2＝2【答案】D【解析】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0， ∴x 1≠x 2，选项A 不符合题意；∵x 1是一元二次方程x 2﹣2x ＝0的实数根， ∴x 12﹣2x 1＝0，选项B 不符合题意；∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝2，x 1•x 2＝0，选项C 不符合题意，选项D 符合题意．故选：D ．【知识点】一元二次方程根与系数的关系15. （2019湖北鄂州，7，3分）关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m ＝0的两实数根分别为x 1、x 2，且x 1+3x 2＝5，则m 的值为（） A ．74B ．75C ．76D ．0【答案】A【解析】解：∵x 1+x 2＝4， ∴x 1+3x 2＝x 1+x 2+2x 2＝4+2x 2＝5， ∴x 2=12，把x 2=12代入x 2﹣4x +m ＝0得：（12）2﹣4×12+m ＝0，解得：m =74，故选：A ．【知识点】一元二次方程根与系数的关系16.（2019江苏泰州，3，3分）方程2x 2+6x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2等于（） A ．﹣6 B ．6C ．﹣3D ．3【答案】C【解析】解：由于△＞0，∴x 1+x 2＝﹣3，，故选C ．【知识点】根与系数的关系17. （2019江苏盐城，8，3分）关于x 的一元二次方程220(x kx k +-=为实数）根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．不能确定【答案】A【解析】解：∵△22480b ac k =-=+>，∴有两个不相等的实数根，故选A ．【知识点】一元二次方程的根的判别式18. （2019山东德州，10，4分）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字14，12，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a ，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b ．若a ，b 能使关于x 的一元二次方程210ax bx ++=有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为( ) A ．23B ．59C ．49 D ．13【答案】C【解析】（1）画树状图如下：由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数，∴乙获胜的概率为49，故选C ．【知识点】概率；根的判别式19.（2019四川宜宾，4，3分）一元二次方程220x x b -+=的两根分别为1x 和2x ，则12x x +为( ) A ．2- B ．b C ．2 D ．b -【答案】C【解析】解：根据题意得：12221x x -+=-=，故选：C ．【知识点】一元二次方程根与系数的关系二、填空题1. (2019山东泰安,13题,4分)已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k －1)x+k 2+3＝0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是________.【答案】k<114-【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2－(2k －1)x+k 2+3＝0有两个不相等的实数根,∴∆＝(2k －1)2－4(k 2+3)>0,解之,得k<114-.【知识点】一元二次方程根的判别式2. (2019山东枣庄,14,4分)已知关于x 的方程ax 2+2x －3＝0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是________.【答案】a>13-且a ≠0【解析】因为关于x 的方程ax 2+2x －3＝0有两个不相等的实数根,∴a ≠0,且22－4a(－3)>0,解之得,a>13-且a ≠0.【知识点】一元二次方程根的判别式3. （2019四川省眉山市，14，3分）设a 、b 是方程x 2+x -2019=0的两个实数，根则（a -1）（b -1）的值为．【答案】-2017【解析】解：根据题意，得：a+b=-1，ab=-2019，∴（a-1）（b-1）=ab-（a+b ）+1=-2019+1+1=-2017，故答案为：-2017.【知识点】一元二次方程根与系数的关系，整式的乘法，化简求值4. （2019四川攀枝花，14，4分）已知x 1、x 2是方程x 2－2x －1＝0的两根，则2212x x +＝。

第十七章_一元二次方程知识点

第十七章一元二次方程知识点第一节一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．三个条件：（１）是整式方程（２）含有一个未知数（３）未知数的最高次数是２，三个条件缺一不可。

一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．把一元二次方程化成一元二次方程的一般形式时，常要利用去括号、移项、合并同类项等步骤，同时注意项与项的系数。

一元二次方程的解叫做一元二次方程的根第二节一元二次方程的解法知识点1 特殊的一元二次方程的解法直接开平方法运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=±mx+n ）2=p（p ≥0），那么mx+n=±因式分解法知识点2 一般的一元二次方程的解法1．配方法：解方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的一般步骤是：2.一元二次方程的求根公式问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1=2b a -，x 2=由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a -就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．3 .一元二次方程根的判别式求根公式：b 2-4ac>0以一元一次方程的x 1=2b a -x 1=2b a-，即有两个不相等的实根．当b 2-4ac=0时，•，所以x 1=x 2=2b a-，即有两个相等的实根；当b 2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．因此，（结论）（1）当b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）•有两个不相等实数根即x 1=2b a -，x 2=2b a -．（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=2b a．（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．第三节一元二次方程的应用知识点1二次三项式的因式分解1、二次三项式形如ax2＋bx＋c(a≠0)的多项式叫做x的二次三项式2、二次三项式因式分解的公式如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两个实数根为x1、x2，则．从而得到二次三项式因式分解公式：ax2＋bx＋c=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)条件对于二次三项式当△=b2－4ac≥0时，能分解因式；当△=b2－4ac＜0时，不能分解因式．3、用公式法分解二次三项式的步骤(1)求二次三项式ax2＋bx＋c所对应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根x1、x2．(2)将求得的x1、x2的值代入因式分解的公式ax2＋bx＋c=a(x－x1)(x－x2)即可．说明：(1)在二次三项式的因式分解时，注意不要丢掉公式中的二次项系数a．(2)要注意公式中x1、x2前面的符号和x1、x2本身的符号不要混淆．(3)把x1、x2的值代入公式后，能化简整理的可以化简整理．1、二次三项式的因式分解例1、；(2)－4y2＋8y－1．分析：这两个二次三项式都需要用公式法分解因式．解：(1)方程的根是(2)方程－4y2＋8y－1=0的两根是点拨：(1)解方程时，如果二次项系数是负数，一般可将其化为正数再解，这样可提高解方程的准确性，如解－4y2＋8y－1=0可化为4x2－8y＋1=0再解；(2)写出二次三项式的分解因式时，不要漏掉第一个因数“－4”．(3)把4分解为2×2，两个2分别乘到每个括号内恰好能去掉两个括号内的分母，从而使分解式得到简化，要注意学习这种变形的技巧和变形过程中符号改变．2、形如Ax2＋Bxy＋Cy2的因式分解例2、分解因式5x2－2xy－y2分析：形如Ax2＋Bxy＋Cy2的多项式叫做关于x,y的二元二次多项式，我们可以选择其中一个变元作为未知数，另一个就看作已知数，这样一来，就可将多项式Ax2＋Bxy＋Cy2看作二次三项式来分解，如本题可看作关于x的二次三项式，其中a=5，b=－2y，c=－y2．解：关于x的方程5x2－2xy－y2=0的根是．．点拨：本题将y视为常数，是利用公式法分解因式的需要，即把x视为主元，称为“主元法”，这样便于用公式解题．例3、分解因式3x2y2－10xy＋4；分析：将3x2y2－10xy＋4转化为关于xy为元的二次三项式，实际上是利用换元法进行因式分解．解：关于xy的方程3(xy)2－10xy＋4=0的根是，．3、二次三项式因式分解的灵活运用例4、二次三项式3x2－4x＋2k，当k取何值时，(1)在实数范围内能分解；(2)不能分解；(3)能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？分析：(1)二次三项式在实数范围内能因式分解的条件是方程有实数根，即△=b2－4ac≥0；(2)不能分解的条件是△＜0；(3)△=0时，二次三项式是完全平方式．解：△=(－4)2－4×3×2k=16－24k(1)当△≥0时，即16－24k≥0，时，二次三项式3x2－4x＋2k在实数范围内能分解因式；(2)当△＜0时，即16－24k＜0，时，3x2－4x＋2k不能分解因式；(3)当△=0时，即16－24k=0，时，3x2－4x＋2k是一个完全平方式．当时，例5、已知二次三项式9x2－(m＋6)x＋m－2是一个完全平方式，试求m的值．分析：若二次三项式为一个完全平方式，则其判别式△=0．解：对于二次三项式9x2－(m＋6)x＋m－2，其中a=9，b=－(m＋6)，c=m－2，∴△=b2－4ac=[－(m＋6)]2－4×9×(m－2)=m2－24m＋108．∵原二次三项式是一个完全平方式，∴△=0，即m2－24m＋108=0，解得m1=6，m2=18．故当m=6或m=18时，二次三项式9x2－(m＋6)x＋m－2是一个完全平方式．点悟：解题规律是：若b2－4ac=0，则二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)是完全平方式；反之，若ax2＋bx ＋c(a≠0)是完全平方式，则b2－4ac=0．知识点2 实际应用。

实际问题与一元二次方程(第1课时传播问题)九年级数学上册(人教版)

人教版数学九年级上册
人教版数学九年级上册
第21.3实际问题与一元二次方程（第1课时传播问题）
学习目标
人教版数学九年级上册
1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程. 2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系. 3.会找出实际问题（传播问题）中的相等关系并建模解决问题. 4.了解一元二次方程在实际问题中的应用价值.
拓展训练
人教版数学九年级上册
1.某种病毒传播速度非常快，如果最初有两个人感染这种病毒，经两轮传播后，就有五十个人被感染，求每轮传播中平均一个人会传染给几个人？若病毒得不到有效控制，三轮传播后将有多少人被感染？解：设每轮传播中平均一个人会传染给x个人，
根据题意列方程： 2+2x+x(2+2x)=50，整理得：2(1+x)2=50，解得：x1=4，x2=-6.（不合题意，舍去）， ∴50×(1+4)=250（人）. 答：每轮传播中平均一个人会传染给4个人，若病毒得不到有效控制，三轮传播后将有250人被感染.
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 1+x+x(1+x)=121
解方程，得x1=10，x2=-12(不合题意，舍去) 答:平均一个人传染了10个人.
思考如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？
121+121×10=1331(人)
典例精析
人教版数学九年级上册
例1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？
第2轮传染后患病人数_[_1_+_x_+_(_1_+_x_)_x_]人. 规律发现

初中数学教学课例《一元二次方程(第一课时)》教学设计及总结反思

设计思路：以实际问题为背景，引出一元二次方程及其有关概念，通过学生分组讨论，得到一元二次方程的一般形式，给出一元二次方程根的概念，组织学生分教学策略选析一元二次方程的根的不唯一性。择与设计
策略选择：1.运用多媒体为教学工具的依托，板书配合讲解，重点难点等关键信息两次呈现。
2.运用教师逐渐引导，循序渐进的引导学生猜想、
归纳、总结本课中一元二次方程的定义、一般形式及根等这些关键内容。以此提高学生的数学核心素养。
3.采用小组合作、提问学生、上台展示等手段，锻炼学生动手、动脑、语言表达的能力，加深知识学习和掌握的程度。体现以学生为主体的高效课堂教学形式，真正发挥学生的主观能动性。
最关注的学生学习活动：“探究一元二次方程一般形式中 a≠0”的关键条件及“b、c 是否能为零”的时候，采取小组合作讨论的环节。
初中数学教学课例《一元二次方程（第一课时）》教学设计及总结反思
学科
初中数学
教学课例名
《一元二次方程（第一课时）》
称
教学内容：这节课是人教版第 22 章的第一节课时，
主要学习一元二次方程的定义、一般形式及其根的概
念。本节在引言方程的基础上，首先通过两个实际问题
——面积问题和比赛问题，进一步引出一元二次方程的
具体例子，然后再引导学生观察列出这三个具体方程，
并发现它们在形式上的共同点，给出一元二次方程的定教材分析
义。
教学重点：一元二次方程的概念，一般形式和一元
二次方程的根的概念。
教学难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数
学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方
程的概念。
1、知识与技能：理解一元二次方程概念是以未知
本环节在是这节课的核心，我才用小组讨论的形式，让他们亲自感受到 a 为什么不等等于 0，等于零了会怎样？再次让他们知道为什么 b、c 可以为零。这些教学过程问题能培养学生的猜想、归纳、总结的能力，有利于提高学生的数学思维和建模能力。

8.1 一元二次方程第一课时教学设计-2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

一元二次方程（第一课时）一、教材分析1、教材的地位和作用方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效地数学模型。

随着数学应用的日趋广泛，方程的工具作用显得愈发重要，它既与现实生活密切联系,又贯穿于整个初中阶段数学的学习。

在初中数学中占有重要地位。

本节课选自鲁教版八年级数学下册第八章第一节《一元二次方程》的第1课时，本章内容共需要14个课时完成。

在前几册中，学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等，初步感知了方程的模型作用，积累了利用方程解决实际问题的经验，并能解决相关的实际问题。

本节课的一元二次方程是一元一次方程、二元一次方程组及不等式知识的延续和深化，也是今后学生学习可化为一元二次方程的方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础。

这节课是一元二次方程的概念课，通过丰富的实例，抽象出一元二次方程的概念。

本节课的教学不仅使学生进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，而且提高了学生分析、比较、抽象和概括的能力。

为接下来的学习起到很好的铺垫作用。

2、教学目标及确立目标的依据:九年义务教育大纲对这部分的要求是：“使学生了解一元二次方程的概念”，依据教学大纲的要求及教材的内容，针对学生的理解和接受知识的实际情况，以提高学生的素质为主要目的而制定如下教学目标。

知识技能目标：1）理解和掌握一元二次方程的概念及一般形式。

正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.2）会根据题意列一元二次方程，体会方程的模型思想。

过程性目标：经历“观察--尝试--解决--归纳”的全过程，体会一元二次方程在实际问题中的应用.情感态度目标：1）通过小组合作展示活动，培养学生的合作精神和学习自信心.2）体会一元二次方程在实际生活中的应用.体会特殊与一般的关系，渗透方程的思想.德育目标：培养学生把感性认识上升到理性认识的辩证唯物主义的观点。

核心素养目标：培养学生勤于思考、勇于探索、钻研创新的品质。

《一元二次方程》各节知识点及典型例题

第二章一元二次方程第一节一元二次方程第二节一元二次方程的解法第三节一元二次方程的应用第四节一元二次方程根与系数的关系五大知识点：1、一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的解的概念及应用2、一元二次方程的四种解法（因式分解法、开平方法和配方法、配方法的拓展运用、公式法）3、根的判别式4、一元二次方程的应用（销售问题和增长率问题、面积问题和动态问题）5、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【课本相关知识点】1、一元二次方程：只含有未知数，并且未和数的是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。

2、能使一元二次方程的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）3、一元二次方程的一般形式：任何一个一元二次方程经过化简、整理都可以转化为的形式，这个形式叫做一元二次方程的一般形式。

其中ax 2是，a 是，bx 是，b 是，c是常数项【典型例题】【题型一】应用一元二次方程的定义，求字母的值例1、当a 为何值时，关于x 的方程（a-1）x |a|+1+2x-7=0是一元二次方程？【题型二】一元二次方程解的应用例1、关于x 的一元二次方程（a-1）x 2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a 的值为（）A ．-1B ．0C ．-1D ．-1或1例2、已知多项式ax 2-bx+c ，当x=1时，它的值是0；当x=-2时，它的值是1（1）试求a+b 的值（2）直接写出关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根【题型三】一元二次方程拓展开放型题例1、已知关于x 的方程（k 2-1）x 2-（k+1）x-2=0（1）当k 取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根（2）当k 取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。

巩固练习1、下列方程中，是一元二次方程的为（）A. x 2= -1B. 2x （x-1）+1=2x 2C. x 2+3x=2x D. ax 2+bx+c-0 2、已知关于x 的方程mx 2+(m-1)x-1=2x 2-x ，当m 取什么值时，这个方程是一元二次方程？3、若关于x 的一元二次方程（a-2）x 2是一元二次方程，则a 的取值范围是4、把方程 (x-1)2-3x （x-2）=2（x+2）+1化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项5、若a 是方程x 2-3x+1=0的一个根，求2a 2-5a-2+231a +的值 6、若关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，abc 满足a+b+c=0和a-b+c=0，则方程的根是（）A. 1，0B. -1，0C. 1，-1D. 1，27、已知x=1是一元二次方程ax 2+bx-40=0的一个解，且a ≠b ，求2222a b a b --的值【课本相关知识点】（一）1、利用因式分解的方法实现“降次”，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的方法，叫做因式分解法。

沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程的解法》(第1课时)优课件

像解x2=4，x2-2=0这样，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程的过程，就是把方程化为形如x2=a（a ≥0）或（x + h)2 =k（k ≥0)的形式，然后再根据平方根的意义求解
例1 解下列方程（1）x²-1.21=0 (2)4x²-1=0
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢? 解:（1）∵x是4的平方根
∴x＝±2
即此一元二次方程的解（或根）为: x1=2，x2 =-2
（2）移项， 2 即此一元二次方程的根为：x1=
2 ，x2= 2
什么叫直接开平方法？
1、怎样的一元二次方程可以用直接开平方法来求解?
(x h)2 k
方程可化为一边是 _含_未__知__数__的__完_全__平__方__式__, 另一边是___一_个__常__数____,那么就可以用直接开平方法来求解. 2、直接开平方法的理论依据是什么?
平方根的定义及性质
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月5日星期二2022/4/52022/4/52022/4/5 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/52022/4/52022/4/54/5/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/52022/4/5April 5, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。

一元二次方程ppt课件

一元二次方程ppt课件
contents
目录
• 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的判别式 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的根与系数的关系
01
一元二次方程的定义
定义与特点
定义
只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。

根的判别条件
判别式
一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac，当 Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当 Δ=0时，方程有两个相等的实根；当 Δ<0时，方程没有实根。
VS
根的存在性
一元二次方程一定有两个实根，除非判别式Δ<0。
根的性质与关系
根与系数的关系
一元二次方程的两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在关系，如 x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a等。
配方法
步骤 1. 将方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 移项，使等号右侧为0。
2. 将二次项系数化为1，即方程两边都除以 $a$。
配方法
01
3. 将一次项系数的一半的平方加到等式两边，使左侧成为一个完全平方项。
02
4. 对方程两边同时开平方，得到 $x$ 的解。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项与二次项系数之比。
根的平方和与积的性质
要点一
根的平方和
一元二次方程的根的平方和等于常数项与二次项系数绝对值的商。
要点二
根的平方积
一元二次方程的根的平方积等于二次项系数绝对值的商。
感谢您的观看

一元二次方程教案第一课时

一元二次方程教案第一课时一、教学目标知识与技能：学生能够理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能正确地识别和转换一元二次方程。

过程与方法：通过观察、分析和归纳，学生能够掌握一元二次方程的解法，并能够运用一元二次方程解决实际问题。

情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣和爱好，激发学生的学习热情，培养学生的逻辑思维能力和创新精神。

二、教学重点和难点教学重点：一元二次方程的概念、一般形式及其解法。

教学难点：如何正确识别和转换一元二次方程，以及如何运用一元二次方程解决实际问题。

三、教学过程导入新课：通过实例引导学生了解一元二次方程的概念，并通过对比一元一次方程，突出一元二次方程的特点和差异。

知识讲解：详细讲解一元二次方程的一般形式、解法及其在实际问题中的应用，并配以相应的例题进行说明。

练习与巩固：提供相应的练习题目，让学生在课堂上进行练习，并引导学生通过自主思考和小组讨论解决问题。

总结与回顾：对本节课的知识点进行总结和回顾，加深学生对一元二次方程的理解和应用。

布置作业：根据学生的学习情况布置适量的作业，以巩固和拓展课堂所学知识。

四、教学方法和手段教学方法：采用讲解、演示、小组讨论等多种教学方法相结合的方式进行教学，以提高学生的参与度和学习效果。

教学手段：运用多媒体课件、板书等多种教学手段辅助教学，提高教学效果和学生的学习兴趣。

五、课堂练习、作业与评价方式课堂练习：提供相应的练习题目，让学生通过自主思考和小组讨论解决问题，巩固所学知识。

作业：根据学生的学习情况布置适量的作业，以巩固和拓展课堂所学知识。

作业可以分为基础题目和提高题目两个层次，以满足不同学生的需求。

评价方式：通过学生的课堂表现、练习和作业等多种方式进行评价，以全面了解学生的学习情况和进步程度。

同时，鼓励学生积极参与评价，提高评价的客观性和准确性。

六、辅助教学资源与工具教学课件：提供相应的多媒体课件，包括文字、图片、视频等多种形式的内容，以辅助教学。

17.1一元二次方程(第一课时)教学设计

《17.1一元二次方程》教学设计蚌埠六中王薇一、教材分析：一元二次方程的学习，是对已学过的实数、一元一次方程等知识的巩固，同时又是对今后学习的可化为一元二次方程的其它高次方程、二次函数等知识的基础。

本节课内容是八年级下册第17章《17.1一元二次方程》的第一节课，包括一元二次方程的概念及一般形式，是一元二次方程学习的重中之重。

由于学生们已经学习过一元一次方程的基本概念，有了用方程思想解决实际问题的经验，所以本节课也从实际问题出发，让学生认识一元二次方程，在建立一元二次方程的基础上，通过观察归纳出一元二次方程的概念。

二、学情分析：八年级学生经过以前的学习，已经具备了初步的逻辑思维能力和简单的观察归纳能力，具有强烈的求知欲，课堂上独立思考、合作交流都是他们可以胜任的。

但部分学生在课堂上只停留在认真、专心听讲，缺少主动参与的意识；还有部分同学背概念背得很熟，但实际运用上有所欠缺。

所以在本节课的教学中，要继续培养学生观察归纳、合作交流的能力，同时，要积极培养他们学习数学的兴趣，调动他们学习的积极性，帮助他们在学习中建立成就感，养成良好的学习习惯。

三、教学目标：根据大纲的要求，本节教材的内容特点，学生的情况等，确定以下教学目标：知识与技能目标：了解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。

过程与方法目标：对实际问题进行分析、观察，经历归纳出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一种数学模型。

情感态度与价值观：利用旧知识学习新知识的教学方式可以培养学生的学习能力及合作交流能力，进一步渗透方程思想，帮助学生体会到数学与实际生活的紧密联系。

四、教学重点与难点：要运用一元二次方程解决问题，必须要先理解一元二次方程的概念，所以本节课的重点是一元二次方程的概念及一般形式；难点是理解一元二次方程的概念及一般形式，并且会把一元二次方程化为一般形式。

五、教学方法：类比教学、自主探究、讲练结合六、教学准备：多媒体课件。

一元二次方程(第一课时)课件

一元二次方程(第一课时)ppt课件
本PPT课件将介绍一元二次方程的基本概念和解题方法，以及优化题的应用。通过丰富的内容和精彩的图像，使学生能够轻松理解和掌握这个重要的数学知识点。
引言
本节课将要介绍一元二次方程的定义和例子，并确定本堂课的学习目标。
一元二次方程的概念和公式
一元二次方程的定义
什么是一元二次方程？通过实例来解释。
二次方程的标准形式和一般形式
标准形式和一般形式的区别是什么？如何转换？
解一元二次方程的公式
学习如何利用公式解一元二次方程。
解一元二次方程的四种方法
1
直接公式法
使用直接公式解一元二次方程的骤和技巧。
2
完全平方公式法
通过完全平方公式解一元二次方程。
3
公式法
利用一元二次方程的公式进行求解。
4
图像法
推荐一些有关一元二次方程的优秀书籍和教材。
在线资源
分享一些相关的在线资源，供学生进一步学习。
二次函数及其图像分析
学习如何分析二次函数图像以解决优化问题。
求最值的思想和方法
通过思考和运用数学方法，找到优化问题的最值。
小结
本堂课的主要内容回顾
总结本课所学的重点知识和技巧。
下节课预告
预告下节课将学习的内容和目标。
学习到的知识点总结
总结一元二次方程的基本概念和解题方法。
参考资料
书籍和教材
通过分析二次函数图像来解一元二次方程。
解题方法和技巧
1 变形思路
如何巧妙变形一元二次方程，找到解题的突破口。
2 整理形式
整理一元二次方程的形式，使解题更加简单明了。
3 注意二次方程的根性质

第一节一元二次方程的定义练习题

第一节一元二次方程的定义练习题一．选择题（共12小题）1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0B．1x2+4x＝6C．x2﹣3x＝x2﹣2D．（x+1）（x﹣1）＝2x2．下列方程中一定是关于x的一元二次方程是（）A．ax2+bx+c＝0B．1x2+1x−2＝0C．3（x+1）2＝2（x+1）D．x2﹣x（x+7）＝0 3．将一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A．3，5B．3，1 C．3x2，﹣5x D．3，﹣5 4．把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，则a、b、c的值分别是（）A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6 C．a＝1，b＝﹣2，c＝3D．a＝1，b＝﹣2，c＝6 5．若方程kx2﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是（）A．k＞0B．k≠0C．k＜0D．k为实数6．若（m﹣3）x m2−7−x+3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．±3B．﹣3 C．3D．±√7 7．若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为（）A．2019B．2020 C．2021D．20228．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0的一个根为x ＝﹣1，则b的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．29．已知x＝2是一元二次方程x2+ax+b＝0的解，则4a+2b+1的值是（）A．﹣6B．﹣8C．﹣5D．﹣710．已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（）A．﹣1或2B．﹣1C．2D．011．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足4a+2b+c ＝0和4a﹣2b+c＝0，则方程的根是（）A．1，0B．﹣1，0C．1，﹣1D．2，﹣2 12．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0必有一根为（）A．2024B．2025C．2026D．2027二．填空题（共4小题）13．填空：在﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4这些数中，是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的根的是．14．若关于x的一元二次方程（3a﹣6）x2+（a2﹣4）x+a+9＝0没有一次项，则a＝．15．若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2024﹣6a+2b的值为．16．若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2+1m2=．三．解答题（共3小题）17．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）4x2+3＝5x；（2）3x2＝5；（3）2x（x+5）＝7；（4）（3x+2）（x﹣3）＝2x﹣6．18．已知m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，求代数式m3+m2﹣m﹣1的值．19．请阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则y＝2x所以x=y 2．把x=y2代入已知方程，得（y2）2+y2−1＝0化简，得y2+2y﹣4＝0故所求方程为y2+2y﹣4＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，则所求方程为：；（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．第一节一元二次方程的定义练习题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【解答】解：A 、当a ≠0时，是关于x 的一元二次方程，故此选项错误；B 、不是一元二次方程，故此选项错误；C 、不是一元二次方程，故此选项错误；D 、是一元二次方程，故此选项正确；故选：D ．2．【解答】解：A 、a ＝0时是一元一次方程，故A 不符合题意；B 、是分式方程，故B 不符合题意；C 、是一元二次方程，故C 符合题意；D 、是一元一次方程，故D 不符合题意；故选：C ．3．【解答】解：一元二次方程3x 2＝5x ﹣1化成一般式为：3x 2﹣5x +1＝0，故二次项系数是3，一次项系数是﹣5．故选：D ．4．【解答】解：去括号得，x 2+x ＝3x ﹣6，移项得，x 2﹣2x +6＝0，所以a 、b 、c 的值可以分别是1，﹣2，6．故选：D ．5．【解答】解：根据题意得：k ≠0．故选：B ．6．【解答】解：∵（m ﹣3）x m 2−7−x +3＝0是关于x 的一元二次方程， ∴{m −3≠0m 2−7=2，解得m ＝﹣3．故选：B ．7．【解答】解：把x ＝3代入方程，得：9a ﹣3b ＝6，即：3a ﹣b ＝2，∴2023﹣6a +2b ＝2023﹣2（3a ﹣b ）＝2023﹣2×2＝2019；故选：A ．8．【解答】解：因为关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣2＝0的一个根为x ＝﹣1，所以将x ＝﹣1代入方程可得1﹣b ﹣2＝0，解得b ＝﹣1，故选：A ．9．【解答】解：∵x ＝2是一元二次方程x 2+ax +b ＝0的解，∴4+2a +b ＝0， ∴2a +b ＝﹣4，∴4a +2b +1＝2（2a +b ）+1＝2×（﹣4）+1＝﹣7，故选：D ．10．【解答】解：把x ＝1代入（m ﹣2）x 2+4x ﹣m 2＝0得：m ﹣2+4﹣m 2＝0， ﹣m 2+m +2＝0，解得：m 1＝2，m 2＝﹣1，∵（m ﹣2）x 2+4x ﹣m 2＝0是一元二次方程， ∴m ﹣2≠0， ∴m ≠2， ∴m ＝﹣1，故选：B ．11．【解答】解：∵ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），把x ＝2代入得：4a +2b +c ＝0，即方程的一个解是x ＝2，把x ＝﹣2代入得：4a ﹣2b +c ＝0，即方程的一个解是x ＝﹣2，故选：D ．12．【解答】解：把方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+2＝0看作关于（x ﹣1）的一元二次方程，∵关于x 的一元二次方程ax 2+bx +2＝0（a ≠0）有一根为x ＝2024，∴关于x﹣1的一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0有一根为x﹣1＝2024，解得x＝2025，∴一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0必有一根为x＝2025．故选：B．二．填空题（共4小题）13．填空：在﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4这些数中，是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的根的是3，﹣2．【解答】解：x2﹣x﹣6＝0，（x﹣3）（x+2）＝0∴x1＝3，x2＝﹣2．故本题的答案是3，﹣2．14．若关于x的一元二次方程（3a﹣6）x2+（a2﹣4）x+a+9＝0没有一次项，则a＝﹣2．【解答】解：由题意得：a2﹣4＝0，且3a﹣6≠0，解得：a＝﹣2，故答案为：﹣2．15．若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2024﹣6a+2b的值为2020．【解答】解：∵x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，∴a×32﹣3b＝6，化简，得：3a﹣b＝2，∴2024﹣6a+2b＝2024﹣2（3a﹣b）＝2024﹣2×2＝2024﹣4＝2020，故答案为：2020．16．若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2+1m2=6．【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，∴m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m，∴m2+1m2＝（m−1m）2+2＝（m2−1m）2+2＝22+2＝6．故答案为：6．三．解答题（共3小题）17．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）4x2+3＝5x；（2）3x2＝5；（3）2x（x+5）＝7；（4）（3x+2）（x﹣3）＝2x﹣6．【解答】解：（1）移项，得4x2﹣5x+3＝0，∴其二次项系数是4，一次项系数是﹣5，常数项是3；（2）移项，得3x2﹣5＝0，∴其二次项系数是3，一次项系数是0，常数项是﹣5；（3）去括号，得2x2+10x＝7，移项，得2x2+10x﹣7＝0，∴其二次项系数是2，一次项系数是10，常数项是﹣7；（4）去括号，得3x2﹣7x﹣6＝2x﹣6，移项并合并，得3x2﹣9x＝0，两边都除以3，得x2﹣3x＝0，∴其二次项系数是1，一次项系数是﹣3，常数项是0．18．已知m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，求代数式m3+m2﹣m﹣1的值．【解答】解：把x＝m代入方程得：m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，∴m3+m2﹣m﹣1＝m（m2+m）﹣m﹣1＝m﹣m﹣1＝﹣1．即m3+m2﹣m﹣1＝﹣1．19．请阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则y＝2x所以x=y 2．把x=y2代入已知方程，得（y2）2+y2−1＝0化简，得y2+2y﹣4＝0故所求方程为y2+2y﹣4＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，则所求方程为：y2﹣y﹣2＝0；（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．【解答】解：（1）设所求方程的根为y，则y＝﹣x所以x＝﹣y．把x＝﹣y代入已知方程，得y2﹣y﹣2＝0，故所求方程为y2﹣y﹣2＝0；（2）设所求方程的根为y，则y=1x（x≠0），于是x=1y（y≠0）把x=1y代入方程ax2+bx+c＝0，（a≠0），得a（1y）2+b•1y+c＝0去分母，得a+by+cy2＝0．若c＝0，有ax2+bx＝0，即x（ax+b）＝0，可得有一个解为x＝0，不符合题意，因为题意要求方程ax2+bx+c＝0有两个不为0的根．故c≠0，故所求方程为cy2+by+a＝0（c≠0），（a≠0）．。

一元二次方程第一节练习题

第一节：一元二次方程一、判断下列方程哪些是一元二次方程： 153).11(;13).10(;1).9(;4)2()15()8()1(2)1).(7(;521).6();13(32).5(0).4(;14)3(;032)2(;362).1(222222222=+=+=+++=-+=+=++=+=-=-=-=+x x x x x x x x x x x x x x x x x y x xx x x11、5x 2+1=0 12、3x 2+x 1+1=0 13、4x 2=ax (其中a 为常数) 14、2x 2+3x =0 15、5132+x =2x 二、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x 2+7=0 ②a x 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-5x =0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2、下列方程中，不是一元二次方程的是( )A.2x 2+7=0B.2x 2+23x +1=0C.5x 2+x 1+4=0D.3x 2+(1+x ) 2+1=03．方程2x 2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（）．A ．2，3，-6B ．2，-3，18C ．2，-3，6D ．2，3，64．px 2-3x +p 2-q=0是关于x 的一元二次方程，则（）．A ．p=1B ．p>0C ．p ≠0D ．p 为任意实数5、若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是( )A.2B.－2C.0D.不等于2二、填空题1．方程3x 2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．一元二次方程的一般形式是__________．3、.将方程－5x 2+1=6x 化为一般形式为__________.4、将方程(x +1)2=2x 化成一般形式为__________.5、方程2x 2=－8化成一般形式后，二次项系数为：____一次项系数为____，常数项为______.6、方程5(x 2－2x +1)=－32x +2的一般形式是__________，其二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________.7、若ab ≠0，则a 1x 2+b1x =0的常数项是__________. 8、如果方程ax 2+5=(x +2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a __________.9、关于x 的方程(m －4)x 2+(m +4)x +2m +3=0，当m __________时，是一元二次方程，当m __________时，是一元一次方程.10．关于x 的方程（a-1）x 2+3x=0是一元二次方程，则a 的取值范围是________．三、综合题1．a 满足什么条件时，关于x 的方程a （x 2+x ）=3x-（x+1）是一元二次方程？2、关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？3、m 为何值时；1322+-=-mx x x mx 是一元二次方程4.m 为何值时；05)1()1)(3(2=+-+-+x m x m m 是一元二次方程？何时是一元一次方程 5，方程（2a —4）x 2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？6.方程05)3()2(852=+-+-+-x m x m m m（1）.m 为何值时是一元二次方程；（2）m 为何值时是一元一次方程7、m 是关于x 的方程0432=--x x 的一个根，求)3(-m m8、下面哪些数是方程2x 2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．9、若x=1是关于x 的一元二次方程a x 2+bx+c=0(a ≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值。

一元二次方程概念讲义

8. 试判断关于x 的方程x k x kx x =+--)(122是不是一元二次方程，如果是，指出其二次项系数、一次项系数及常数项课后作业 A 组习题：1．下列方程中的一元二次方程是( )．A ．3(x +1)2=2(x －1)B ．21x+x 1－2=0 C ．ax 2+bx +c =0 D ．x 2+2x =(x +1)(x －1)2．把方程－5x 2+6x+3=0的二次项系数化为1，方程可变为( )．A ．x 2+56x +53=0 B ．x 2－6x －3=0 C ．x 2－56x －53=0 D ．x 2－56x +53=0 3．将方程3x 2＝2x －1化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项系数可以是( ) ．A ． 3，2，－1B ．3，－2，－1C ．3，－2，1D ．－3，－2，14．把一元二次方程（x +2）（x －3）= 4化成一般形式，得（）．A ．x 2+x －10=0B ．x 2－x －6=4C ．x 2－x －10=0D ．x 2－x －6=05. 方程x 2+3x －x +1=0的一次项系数是（）．A ．3B ．－1C ．3－1D ．3x －x6.已知方程(m +2)x 2+(m +1)x －m =0，当m 满足__________时，它是一元一次方程；当m 满足___________时，它是一元二次方程.7．一元二次方程226x x -=的二次项系数、一次项系数及常数之和为．8．关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足什么条件？B 组练习：把方程2226332kx x k x kx -+=--整理为20ax bx c ++=的形式，并指出各项的系数.签字确认学员教师班主任。