《函数的单调性、奇偶性》复习教案高品质版
《函数的单调性与奇偶性》教学设计
《函数的单调性与奇偶性》教学设计
一、教学内容
本节课的教学内容是函数的单调性与奇偶性。
二、教学目标
1.了解函数的单调性与奇偶性两个概念；
2.会判断函数的单调性与奇偶性；
3.熟练掌握解决实际问题时如何利用函数的单调性与奇偶性的知识；
三、学习重点
1.了解概念：单调性与奇偶性；
2.学会判断函数的单调性与奇偶性；
3.学会利用函数的单调性与奇偶性解决实际问题。
四、学习难点
1.学会判断函数是否单调，是否为奇偶函数；
2.学会利用函数的单调性与奇偶性解决实际问题。
五、教学方法
1.根据学生的学习习惯，采用以讲授课为主的教学方法，结合实例演示；
2.针对学生的实际能力，采用视频讲授、讨论和实例分析来讲解；
3.通过练习，让学生加深对函数的单调性与奇偶性的理解。
六、教学过程
一、导入
1.情境描述：以赛博士排比赛为例，展开课程教学：从一个单调函数的概念开始，讲解单调函数的定义和例子；再讲解奇偶函数的概念及其定义和例子。
2.引入问题：以赛博士排比赛为例，借助函数的单调性与奇偶性，能不能有效的解决实际问题？
二、讲授
1.讲解函数的单调性，包括定义、例子、注意事项等；。
函数的单调性和奇偶性--参考教案
3.3函数的单调性和奇偶性飞船着陆过程中, 随时间的变化, 飞船离地面的高度越来越低.发射升空的运载火箭(或着陆的载人飞船)离地面的高度是飞行时间的函数.科技工作者研究这些函数后, 能够把飞船按计划送入预定轨道或迎接英雄凯旋.这是我们认识客观规律的重要方法和途径.二、自主探究在初中, 我们曾经利用函数图像探究函数值y 随自变量x 增大而增大 (或减小)的变化规律.仔细观察下图的函数图像, 随着自变量x 的增大, 函数y的变化趋势分别是怎样的?观察上图, 函数y=x 和y=-x 的定义域是R.当自变量x 的值逐渐增大时, 图(1)中, 函数图像从左到右是上升的, 函数值y 随着自变量x 的增大而增大.图(2)中, 函数图像从左到右是下降的, 函数值y 随着自变量x 的增大而减小.图(3)中, 函数y=x2 的定义域是 R.可以看出, 在 (-∞, 0)内, 函数图像从左到右是下降的, 函数值y 随着自变量x 的增大而减小; 在(0, +∞)内, 函数图像从左到右是上升的, 函数值y 随着自变量x 的增大而增大.概念像上述情形, 在某个区间内, 函数值随自变量的增大而增大(或减小) 的性质叫作函数的单调性.一般地, 设函数的定义域为I, 区间D⊆I. (1)如果对任意x1, x2∈D, 当x1<x2 时, 都有f(x1)<f(x2), 那么就称函数f(x)在区间D 上单调递增, 如图所示.特别地, 当函数 f (x)在它的定义域上单调递增时, 我们就称它是增函数. (2)如果对任意x1, x2∈D, 当x1<x2 时, 都有f(x1)>f(x2), 那么就称函数f(x)在区间 D 上单调递减, 如图所示.特别地, 当函数 f(x)在它的定义域上单调递减时, 我们就称它是减函数.如果函数y=f(x)在区间 D 上单调递增或单调递减, 那么就称函数 y=f(x)在区间 D 上具有(严格的)单调性, 并且区间 D 叫作函数y=f(x) 的单调区间.例1如图是函数y=f(x), x∈[-1, 8]的图像, 根据图像回答下列问题.（1）当x 取何值时, 函数值最大, 最大值是多少? 当x 取何值时, 函数值最小, 最小值是多少?(2)说明该函数的单调区间及在每一个区间上的单调性.解 (1)由图可知, 当x=2时, 函数值最大, 最大值是3; 当x=6时, 函数值最小, 最小值是-3. (2)函数y=f(x)的单调区间有[-1, 2], [2, 6], [6, 8].函数y= f(x)在区间[-1, 2]和[6, 8]上都是增函数, 在区间[2, 6]上是减函数. 例2二次函数f(x)=-x2+2x+3的图像如图所示.(1)求函数f(x)的对称轴方程、顶点坐标;(2)找出函数f(x)的单调区间;(3)当x∈[2, 5]时, 求函数y=f(x)的最大值和最小值.解 (1)二次函数y=ax2+bx+c的对称轴方程是x=-b2a , 顶点坐标是(-b2a,4ac−b24a).-b2a=-2×(2-1)=1,4ac−b24a=4×(-1)×3-22 4×(-1) =4.因此, 函数y=f(x)的对称轴方程是x=1, 顶点坐标是(1, 4).(2)由图像可知, 函数y=f(x)的增区间是(-∞, 1], 减区间是 [1, +∞).(3)因为[2, 5]⫋[1, +∞), 且函数在区间[1, +∞)上是减函数, 所以当x∈[2, 5]时, 函数f(x)的最大值是f(2)=-22+2×2+3=3, 函数f(x)的最小值是f(5)=-52+2×5+3=-12. 例3判断函数f(x)=x+1在(-∞, +∞)上的单调性.解任取x1, x2∈(-∞, +∞), 且x1<x2, 那么f(x1)=x1+1, f(x2)=x2+1, 则f(x1)-f(x2)=x1+1-x2-1=x1-x2<0, 所以, 函数f(x)=x+1在(-∞, +∞)上是增函数. 综上所述, 当k>0时, 函数f(x)=kx+b在区间(-∞, +∞)上是增函数, 如图所示; 当k<0时, 函数f(x)=kx+b在区间(-∞, +∞)上是减函数, 如图所示.练习1(.1)填我空国题20.19年1月至2020年9月全国居民消费价格月度同比上涨情况如图所示.(注: 引自国家统计局)从图中可以看出, 我国居民消费价格同比上涨值从 2019 年 2 月的逐渐上升到 2020 年 1 月的 , 随着时间的推移逐渐降低到2020年5月的 .(2)函数y=f(x)的定义域为(-∞, +∞), 其图像如图所示函数在区间上是增函数, 在区间上是减函数.(3)函数f(x)=2x-1在区间(-∞, +∞)上是(填“增”或“减”)函数, 则f(4) f(1);(填“<”或“>”函数g(x)=x1在区间(-∞, 0)上是(填“增”或“减”)函数, 则g(-2) g(-5)(填“<”或“>”).2.画出下列函数的图像, 并指出函数的单调区间.(1)y=-3x+6; (2)y=2x; (3)y=x2-1.3.根据定义证明函数f(x)=3x-1是增函数.4. 一元二次函数y=x2+4x 的图像如图所示.3.3函数的单调性和奇偶性一、创设情境画出函数f(x)=|x| 和g(x)=x2 的图像二、自主探究观察发现, 函数f(x)=|x|的定义域是(-∞, +∞), 函数图像关于y轴对称.从表中还发现,当自变量取一对相反数时, 对应的函数值相等, 如f(-1)=f(1)=1, f(-2)=f(2)=2, f(-3)= f(3)=3, …实际上, 对任意x∈(-∞, +∞), 都有f(-x)=|-x|= |x|=f(x), 即f(-x)=f(x). 图3-14(2)中, 函数g(x)=x2 的定义域是(-∞, +∞), 函数图像也关于y轴对称.表中, 当自变量取一对相反数时, 对应的函数值相等, 如g(-1)=g(1)=1, g(-2)=g(2)=4, g(-3)=g(3)=9, …实际上, 对任意x∈(-∞, +∞), 都有g(-x)=(-x)2=x2=g(x), 即g(-x) =g(x). 这两个函数的图像都关于y 轴对称; 当自变量取一对相反数时, 对应的函数值都相等, 这种函数就是偶函数.概念一般地, 设函数f(x)的定义域为D, 如果对于任意x∈D, 都有-x∈D, 且f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫作偶函数, 如图所示.偶函数的图像关于y轴对称. 我们可以由函数的图像是否关于y轴对称来判断函数是不是偶函数.例1例 1 根据图中函数的图像, 判断哪些函数是偶函数.解在四个函数图像中, (1)和(4)的函数图像关于y 轴对称; (2)和 3)的函数图像不关于y 轴对称.根据偶函数的图像具有关于y 轴对称的特点, 函数y=-|x|+2和y=f(x), x∈[-4.7, 4.7]是偶函数, 函数 y=x-2和y=x2+2x 不是偶函数.例2 已知f(x)=|x|+1是偶函数, 其图像在y 轴右边的部分如图所示.试画出这个函数图像在y轴左边的部分.解函数f(x)=|x|+1的定义域是(-∞, +∞), 因为它是偶函数, 所以根据其图像关于y轴对称的特点, 即可画出这个函数x∈(-∞, 0] 的图像.如图所示, 在y轴右边的图像上取两点A 和B, 分别画出它们关于y轴对称的点A'和B', 然后连线, 就得到这个函数的图像在y 轴左边的部分.例3判断下列函数是不是偶函数.(1)f(x)=3x2+1; (2)f(x)=x2+x; (3)f(x)=5x+2. 解 (1)函数f(x)=3x2+1的定义域是R, 对任意x ∈R, 都有-x∈R, 而f(-x)=3×(−x)2+1=3x2+1=f(x),所以, 函数f(x)=3x2+1是偶函数.（2）函数f(x)=x2+x的定义域是R, 对任意x∈R, 都有-x∈R, 而 f(-x)=(−x)2+(-x)=x2-x≠f(x), 所以, 函数f(x)=x2+x不是偶函数. (3)函数f(x)=5x+2的定义域是R, 对任意x∈R, 都有-x∈R, 而 f(-x)=5(-x)+2=-5x+2≠f(x), 所以, 函数f(x)=5x+2不是偶函数.练习1.填空题.(1)点(3, -1)是偶函数y=f(x)图像上的点, 则点也一定在这个函数的图像上.(2)若偶函数f(x)的定义域为(-∞, +∞), 且f(-4)=-3, 则 f(4)= .2.在下列四个函数的图像中, 具有偶函数图像特点的是( ).3.偶函数f(x)=x2-3的图像在(-∞, 0]的部分如图所示, 请你画出这个函数图像在y轴右边的部分.4.判断下列函数是不是偶函数.(1)f(x)=2x; (2)f(x)=1x; (3)f(x)=x2-x;(4)f(x)=5, x∈R.函数f(x)=2x 和g(x)=x3 都不是偶函数, 它们的图像有何对称性呢?画出函数f(x)=2x 和g(x)=x3 的图像函数f(x)=2x 的定义域是(-∞, +∞), 函数图像关于原点中心对称.表3-13中, 当自变量取一对相反数时, 对应的函数值是一对相反数, 如f(-1)=-2=-f(1), f(-2)=-4=-f(2), f(-3)=-6=-f(3), …实际上, 对任意x∈(-∞, +∞), 都有f(-x)=2× (-x)=-2x=-f(x), 即f(-x)=-f(x).函数g(x)=x3 的定义域是(-∞, +∞), 函数图像也关于原点中心对称.表3-14中, 当自变量取一对相反数时, 对应的函数值也是一对相反数, 如g(-1)=-1=-g(1), g(-2)=-8=-g(2),g(-3)=-27=-g(3), …实际上, 对任意x∈(-∞, +∞), 都有 g(-x)=(-x)3=-x3=-g(x), 即g(-x)=-g(x).这两个函数的图像分别关于原点中心对称; 当自变量取一对相反数时, 相应的函数值也是一对相反数, 这种函数就是奇函数.概念一般地, 设函数f(x)的定义域为D, 如果对于任∙意∙x∈D, 都∙有∙-x∈ D, 且f(-x)=-f(x), 那么函数f(x)就叫作奇函数, 如图所示.奇函数的图像关于原点中心对称. 我们也可以由函数图像是否关于原点中心对称来判断函数是不是奇函数.例4根据图中函数的图像, 判断哪些函数是奇函数.解在四个函数的图像中, 图1)、图(2)和图(3)的函数图像关于原点中心对称; 图(4)的函数图像不是关于原点中心对称的. 根据奇函数的图像具有关于原点中心对称的特点, 图(1)、图(2) 和图(3)是奇函数, 图(4)不是奇函数.例5已知函数f(x)=x1是奇函数, 其图像在y 轴右边的部分如图所示.试画出这个函数图像在y轴左边的部分.解函数f(x)=x1的定义域是(-∞, 0)∪(0+∞), 因为它是奇函数, 所以根据其图像关于原点中心对称的特点, 即可画出这个函数x∈(-∞, 0) 的图像.如图所示, 在y 轴右边的图像曲线上取三个不同点A, B 和C, 并画出它们分别关于原点对f(x)=x4 是偶函数.(2)要使函数f(x)有意义, 必须满足x≠0, 所以函数f(x)的定义域是D={x|x≠0}, 对任意x∈D, 都有-x∈D, 且f(-x)=-x--1x=-x+x1=-(x-x1)=-f(x), 所以, 函数f(x)=x-x1是奇函数.(3)函数f(x)=x2+x 的定义域是R, 对任意x∈R, 都有-x∈R, 且 f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x, 但f(-x)≠f(x), 且f(-x)≠-f(x), 所以, 函数f(x)=x2+x 既不是奇函数也不是偶函数. (4)要使函数f(x)有意义, 必须满足x-1≠0, 所以函数f(x)的定义域是D={x|x≠1}, 对任意x ∈D, 不都有-x∈D 成立. 所以, 函数f(x)=x1-1不具有奇偶性, 它既不是奇函数也不是偶函数.练习1.奇函数f(x)的定义域为(-∞, +∞), 且f(-1)=7, 则f(1)= .2.奇函数f(x)的图像在(-∞, 0)的部分如图所示, 请你画出函数图像在y轴右边的部分.3.判断下列函数是不是奇函数.。
专题 函数的单调性、奇偶性(教案)高考数学二轮重难点复习专题
函数的单调性1.增函数一般地，设函数f (x)的定义域为I，区间D ⊆ I；如果∀x1，x2∈D，当x1<x2，都有f (x1)<f (x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增。
特别的，当函数f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。
2.减函数一般地，设函数f (x)的定义域为I，区间D⊆I；如果∀x1，x2∈D，当x1<x2，都有f (x1)>f (x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减。
特别的，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。
3.函数单调性性质增函数+增函数=增函数增函数-减函数=增函数减函数+减函数=减函数减函数-增函数=减函数注：当一个函数有多个单调区间时，不能用∪符号，应该用“和”或“，”连接。
函数的奇偶性判断奇偶性前提：“定义域关于原点对称”偶函数奇函数定义一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有x∈I，且f (-x) = f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数。
一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有x∈I，且f (-x) = -f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数。
定义域关于原点对称图象特征关于y轴轴对称函数奇偶性判断方法：1.判断定义域是否关于原点对称2.已知)(xf，计算)(xf-、)(xf-3.判断)(xf与)(xf-是否相等、)(xf与)(xf-是否相等4.若)()(xfxf-=，则)(xf为偶函数若)()(xfxf-=-，则)(xf为奇函数若)()(xfxf-≠，)()(xfxf-≠-，则)(xf为非奇非偶函数若)()(xfxf-=，)()(xfxf-=-，则)(xf为即奇又偶函数函数奇偶性性质奇函数性质：)()(x f x f -=-，)()(x f x f --=，若定义域内包括0，则0)0(=f ，奇函数图像关于原点对称。
奇函数在定义域内单调性相同。
高中数学教案：函数单调性与奇偶性
高中数学教案：函数单调性与奇偶性教案：函数的单调性与奇偶性课程目标：1. 了解函数的单调性和奇偶性的概念。
2. 能够判断一个函数的单调性和奇偶性。
3. 能够应用函数的单调性和奇偶性解决实际问题。
教学准备：1. 板书：函数的单调性和奇偶性的定义。
2. 多媒体投影仪和电脑。
教学过程：Step 1：引入函数的单调性和奇偶性（5分钟）教师利用多媒体投影仪展示一组数据，让学生观察并思考这些数据的规律。
然后，教师引导学生发现数据的递增或递减趋势，并告诉他们这就是函数的单调性。
接着，教师说明奇偶性的概念并与学生一起讨论。
Step 2：函数的单调性（15分钟）教师通过例题向学生讲解函数的单调性。
首先，教师用具体的数值示例说明单调递增函数和单调递减函数的定义及判断方法。
然后，教师展示一些常见的函数图像，并引导学生判断它们的单调性。
Step 3：函数的奇偶性（15分钟）教师通过例题向学生讲解函数的奇偶性。
首先，教师用具体的数值示例说明奇函数和偶函数的定义及判断方法。
然后，教师展示一些常见的函数图像，并引导学生判断它们的奇偶性。
Step 4：应用实例（15分钟）教师给学生出一些实际问题，并引导他们利用函数的单调性和奇偶性解决问题。
例如：假设一个人每天跑步的时间与他的心率成正比，那么心率随时间的变化是什么样的？还有，汽车的燃油消耗与速度有关，那么汽车的燃油消耗随速度的变化是什么样的？Step 5：小结与作业布置（5分钟）教师将函数的单调性和奇偶性的要点进行总结，并向学生布置相关的练习题作为课后作业。
拓展活动：教师可以引导学生对其他函数的性质进行探究，例如函数的周期性和对称性等。
评估方式：教师可以通过课堂练习、课堂讨论和课后作业的完成情况来评估学生对函数的单调性和奇偶性的理解程度。
函数单调性复习教案
函数单调性复习教案教案标题：函数单调性复习教案教学目标：1. 确定学生对函数单调性的理解程度，并能够准确地定义函数的单调性。
2. 帮助学生回顾和巩固函数单调性的相关概念和性质。
3. 培养学生通过图像、表格和符号等多种方式判断函数的单调性的能力。
4. 提供练习和应用机会，以加深学生对函数单调性的理解和运用。
教学准备：1. 教师准备多媒体投影仪、电脑和投影屏幕。
2. 教师准备白板、白板笔和彩色粉笔。
3. 教师准备教材、教辅资料和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过提问或展示一个函数图像的方式引入本节课的话题。
2. 引导学生回顾函数的基本概念和性质，例如定义域、值域、图像、奇偶性等。
二、概念复习（10分钟）1. 教师通过多媒体投影仪展示函数单调性的定义和相关概念。
2. 引导学生参与讨论，共同理解函数单调性的含义和特点。
3. 教师通过示例函数的图像和数学表达式，引导学生判断函数的单调性。
三、性质讲解（15分钟）1. 教师通过多媒体投影仪展示函数单调性的性质和判断方法。
2. 引导学生思考和讨论函数单调性与导数的关系，进一步理解函数单调性的特点。
3. 教师通过具体的例子和练习题，帮助学生掌握函数单调性的判断方法。
四、练习与应用（20分钟）1. 教师提供一些练习题，要求学生通过图像、表格和符号等方式判断函数的单调性。
2. 学生个别或小组合作完成练习，教师及时给予指导和反馈。
3. 教师引导学生应用函数单调性的概念和性质解决实际问题，培养学生的应用能力。
五、总结与拓展（10分钟）1. 教师与学生一起总结本节课的重点内容和学习收获。
2. 教师提供一些拓展问题，鼓励学生进一步思考和探索函数单调性的相关问题。
3. 教师布置课后作业，巩固和拓展学生对函数单调性的理解和应用。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和表现情况。
2. 教师检查学生完成的练习题和课后作业，评估学生对函数单调性的掌握情况。
3. 教师与学生进行互动问答，检验学生对函数单调性的理解和运用能力。
高中优秀教案高一数学教案：《函数单调性与奇偶性》教学设计
高一数学教案：《函数单调性与奇偶性》教学设计高一数学教案：《函数单调性与奇偶性》教学设计教学目标1.了解函数的单调性和奇偶性的概念,把握有关证明和推断的基本方法.(1)了解并区分增函数,减函数,单调性,单调区间,奇函数,偶函数等概念.(2)能从数和形两个角度熟悉单调性和奇偶性.(3)能借助图象推断一些函数的单调性,能利用定义证明某些函数的单调性;能用定义推断某些函数的奇偶性,并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程.2.通过函数单调性的证明,提高同学在代数方面的推理论证力量;通过函数奇偶性概念的形成过程,培育同学的观查,归纳,抽象的力量,同时渗透数形结合,从特别到一般的数学思想.3.通过对函数单调性和奇偶性的理论讨论,增同学对数学美的体验,培育乐于求索的精神,形成科学,严谨的讨论看法.教学建议一、学问结构（1）函数单调性的概念。
包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系.（2）函数奇偶性的概念。
包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像.二、重点难点分析(1)本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的形成与熟悉.教学的难点是领悟函数单调性, 奇偶性的本质,把握单调性的证明.(2)函数的单调性这一性质同学在学校所学函数中曾经了解过,但只是从图象上直观观查图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用精准的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的同学来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是同学在函数内容中首次接触到的代数论证内容,同学在代数论证推理方面的力量是比较弱的,很多同学甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点.三、教法建议（1）函数单调性概念引入时,可以先从同学熟识的一次函数,,二次函数.反比例函数图象动身,回忆图象的增减性,从这点感性熟悉动身,通过问题逐步向抽象的定义靠拢.如可以设计这样的问题:图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度,也可以从自变量与函数值的关系的角度来说明,引导同学发觉自变量与函数值的的改变规律,再把这种规律用数学语言表示出来.在这个过程中对一些关键的词语(某个区间,任意,都有)的理解与必要性的熟悉就可以融入其中,将概念的形成与熟悉结合起来.（2）函数单调性证明的步骤是严格规定的,要让同学根据步骤去做,就必需让他们明确每一步的必要性,每一步的目的,特殊是在第三步变形时,让同学明确变换的目标,到什么程度就可以断号,在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的规范,以便帮忙同学总结规律.函数的奇偶性概念引入时,可设计一个课件,以的图象为例,让自变量互为相反数,观查对应的函数值的改变规律,先从详细数值开头,渐渐让x在数轴上动起来,观查任意性,再让同学把看到的用数学表达式写出来.经受了这样的过程,再得到等式时,就比较简单体会它代表的是很多多个等式,是个恒等式.关于定义域关于原点对称的问题,也可借助课件将函数图象进行多次改动,帮忙同学发觉定义域的对称性,同时还可以借助图象(如 )说明定义域关于原点对称只是函数具备奇偶性的必要条件而不是充分条件.函数的奇偶性教学设计方案教学目标1.使同学了解奇偶性的概念,回会利用定义推断简洁函数的奇偶性.2.在奇偶性概念形成过程中,培育同学的观查,归纳力量,同时渗透数形结合和特别到一般的思想方法.3.在同学感受数学美的同时,激发学习的爱好,培育同学乐于求索的精神.教学重点,难点重点是奇偶性概念的形成与函数奇偶性的推断难点是对概念的熟悉教学用具投影仪,计算机教学方法引导发觉法教学过程一. 引入新课前面我们已经讨论了函数的单调性它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量改变而改变的性质,今日我们连续讨论函数的另一共性质.从什么角度呢?将从对称的角度来讨论函数的性质.对称我们大家都很熟识,在生活中有许多对称,在数学中也能发觉许多对称的问题,大家回忆一下在我们所学的内容中,特殊是函数中有没有对称问题呢?(同学可能会举出一些数值上的对称问题, 等,也可能会举出一些图象的对称问题,此时老师可以引导同学把函数详细化,如和等.)结合图象提出这些对称是我们在学校讨论的关于轴对称和关于原点对称问题,而我们还曾讨论过关于轴对称的问题,你们举的例子中还没有这样的,能举出一个函数图象关于轴对称的吗?同学经过思索,能找出缘由,由于函数是映射,一个只能对一个 ,而不能有两个不同的,故函数的图象不行能关于轴对称.最终提出我们今日将重点讨论图象关于轴对称和关于原点对称的问题,从形的特征中找出它们在数值上的规律.二. 讲解新课它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量改变而改变的性质,今日我们连续讨论函数的另一共性质.从什么角度呢?将从对称的角度来讨论函数的性质.对称我们大家都很熟识,在生活中有许多对称,在数学中也能发觉许多对称的问题,大家回忆一下在我们所学的内容中,特殊是函数中有没有对称问题呢?再提出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的什么条件?可以用(6)帮助说明充分性不成立,用(5)说明必要性成立,得出结论.(3) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.(板书)由同学小结推断奇偶性的步骤之后,老师再提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?若有,举例说明.。
函数的单调性与奇偶性精品学案.doc
函数的单调性与奇偶性精品学案.doc知识梳理1.奇、偶函数的图象的性质：利⽤函数的奇偶性作图，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于），轴对称，画图象时，⼀般先找出⼀些关键点的对称点，然后连点成线.2.利⽤奇偶性求函数解析式：（1）在哪个区间求解析式，*就设在哪个区间⾥.（2）然后要利⽤已知区间的解析式进⾏代⼊.（3）利⽤yw的奇偶性把x-x）写成⼀/w或/U）,从⽽解出yu）3.利⽤奇偶性求字母值：（1）若f（x）为奇函数，且在原点有意义，则必有f （o）=o,（2）若为选择，填空题，常⽤特值法求解。
4.函数奇偶'性与单调性：（1）解决此类问题时⼀定要充分利⽤已知的条件，把已知不等式转化成⼏此项为）或汽⽻）勺（松）的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性⼀致，偶函数的单调性相反，列￡不等式或不等式组，同时不能漏掉函数⾃⾝定义域对参数的影响.（2）偶函数的⼀个重要性质：f'（ X）=f3,它能使⾃变量化归到［0, +8）上，避免分类讨论.5.函数奇偶性与对称性题型⼀奇、偶函数的图象的性质【例1】（1）偶函数y=/U）的图象与x轴有三个交点，则⽅程九对=0的所有根之和为.思考：若此题改为奇函数呢？（2）设奇函数./W的定义域为［⼀5,5］,当⼯￡［0,5］时，函数y=J{x）的图象如图所⽰，则使函数值y<0的x的取值集合为.y\-5 -2 o（3）已知y=J{x）与y=g（x）的图象如图所⽰，则函数F（x）=^x\g（x）的图象可以是（）变式迁移1⼰知y=A x）和y=g（x）都是定义在［—兀，兀］上的函数，是偶函数，y=g（x）是奇函数，A- e ［0 ,兀］上的图象如图所⽰，则不等式料vo的解集为题型⼆利⽤奇偶性求函数解析式【例2】已知冷）是定义在R上的奇函数，当⼯＞0时，；W=J + 3x—l,求/（》）的解析式.变式迁移2 .⼰知函数.々）是奇函数，g。
）是偶函数，且./W+g（x）=J-r+2,求亦），g⑴的解析式.题型三利⽤奇偶性求字母值【例31 （1）已知J（x）=ax2 + bx+3a+b是偶函数，定义域为［。
《函数的单调性与奇偶性》教学设计
（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值.
（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值.
（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值.
1.3《函数的单调性与奇偶性》教学设计
【教学目标】
1. 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；掌握增（减）函数的证明和判别；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
2.理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义；
3. 理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征，能熟练判别函数的奇偶性.
2．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.
注意：
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）.
答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；
（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数.
新授课阶段
一、函数的单调性
增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数；
【导入新课】
1.通过对函数 、 、 及 的观察提出有关函数单调性的问题.
函数单调性奇偶性教案
函数单调性奇偶性教案教案标题：函数单调性和奇偶性教案教案目标：1. 了解函数的单调性和奇偶性的概念及其在数学中的应用。
2. 能够判断一个函数的单调性和奇偶性。
3. 能够应用函数的单调性和奇偶性解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：白板、黑板笔、教学PPT、教学案例、练习题。
2. 学生准备：课本、笔记本、写字工具。
教学步骤：第一步：引入1. 教师通过提问引入函数单调性和奇偶性的概念，例如：你们知道什么是函数的单调性和奇偶性吗？有什么应用呢？2. 教师简要介绍函数单调性和奇偶性的定义和概念。
第二步：函数单调性1. 教师通过示例解释函数的单调性，例如：如果一个函数在某个区间上的导数恒大于零（或小于零），那么这个函数在该区间上是递增（或递减）的。
2. 教师通过练习题让学生判断函数的单调性，例如：给定一个函数的图像，让学生判断函数在某个区间上的单调性。
3. 教师总结函数单调性的判断方法和要点。
第三步：函数奇偶性1. 教师通过示例解释函数的奇偶性，例如：如果一个函数满足f(-x) = f(x)，那么这个函数是偶函数；如果一个函数满足f(-x) = -f(x)，那么这个函数是奇函数。
2. 教师通过练习题让学生判断函数的奇偶性，例如：给定一个函数的表达式，让学生判断函数是奇函数还是偶函数。
3. 教师总结函数奇偶性的判断方法和要点。
第四步：应用实例1. 教师通过实际问题引导学生应用函数的单调性和奇偶性解决问题，例如：某个函数代表了某个物体的运动情况，让学生通过分析函数的单调性和奇偶性判断物体的运动情况。
2. 教师通过教学案例让学生练习应用函数的单调性和奇偶性解决实际问题。
第五步：总结与拓展1. 教师总结本节课的重点内容和要点，强调函数单调性和奇偶性在数学中的重要性。
2. 教师布置相关的练习题和作业，巩固学生的学习成果。
3. 教师鼓励学生自主拓展相关知识，提供相关参考资料。
教学延伸：1. 学生可以利用电脑软件或在线工具绘制函数图像，并通过观察图像判断函数的单调性和奇偶性。
函数单调性与奇偶性教案
函数单调性与奇偶性教案章节一：函数单调性概述1.1 引入：通过生活中的实例，如购物时打折优惠、登山时的斜坡等，让学生感受单调性的概念。
1.2 单调性的定义：一般地，如果函数f(x)在某个区间上的任意两个不同自变量x1和x2（x1 < x2），都有f(x1) ≤f(x2)（或f(x1) ≥f(x2)），就称函数f(x)在这个区间上是单调不降（或单调不增）的。
如果f(x1) > f(x2)，函数f(x)是单调递减的；如果f(x1) < f(x2)，函数f(x)是单调递增的。
1.3 单调性的性质：单调性是函数的一种重要性质，它与函数的极值、最值等概念密切相关。
章节二：常见函数的单调性2.1 线性函数的单调性：y = kx + b（k≠0），当k>0时，函数单调递增；当k<0时，函数单调递减。
2.2 反比例函数的单调性：y = k/x（k≠0），当k>0时，函数在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减；当k<0时，函数在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增。
2.3 二次函数的单调性：y = ax^2 + bx + c（a≠0），当a>0时，函数在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，函数在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。
章节三：函数奇偶性的概念3.1 奇偶性的定义：如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x) = f(x)，称函数f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x) = -f(x)，称函数f(x)为奇函数。
3.2 奇偶性的性质：奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
章节四：常见函数的奇偶性4.1 线性函数的奇偶性：y = kx + b（k≠0），既不是奇函数也不是偶函数。
4.2 反比例函数的奇偶性：y = k/x（k≠0），为奇函数。
函数单调性与奇偶性教案
函数单调性与奇偶性教案一、教学目标1. 理解函数单调性的概念，能够判断简单函数的单调性。
2. 理解函数奇偶性的概念，能够判断简单函数的奇偶性。
3. 掌握函数单调性和奇偶性的判定方法，能够运用单调性和奇偶性解决实际问题。
二、教学内容1. 函数单调性的定义和判断方法。
2. 函数奇偶性的定义和判断方法。
3. 单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
三、教学重点1. 函数单调性的判断方法。
2. 函数奇偶性的判断方法。
3. 单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
四、教学难点1. 理解函数单调性的概念，能够判断复杂函数的单调性。
2. 理解函数奇偶性的概念，能够判断复杂函数的奇偶性。
五、教学方法1. 采用讲授法，讲解函数单调性和奇偶性的定义及判断方法。
2. 采用案例分析法，分析实际问题中的单调性和奇偶性。
3. 采用讨论法，引导学生探讨单调性和奇偶性的应用。
【教学内容】1. 函数单调性的定义和判断方法。
2. 函数奇偶性的定义和判断方法。
3. 单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
【教学过程】1. 引入：通过生活中的实例，引导学生思考函数的单调性和奇偶性。
2. 讲解：详细讲解函数单调性和奇偶性的定义及判断方法。
3. 案例分析：分析实际问题中的单调性和奇偶性。
4. 练习：让学生独立判断一些简单函数的单调性和奇偶性。
5. 总结：归纳总结本节课的主要内容和知识点。
【课后作业】3. 运用单调性和奇偶性解决实际问题：某商品打折后的价格与原价之间的关系为p(x) = 0.8x，求打折后价格与原价之间的关系。
六、教学评估1. 通过课堂练习和课后作业，评估学生对函数单调性和奇偶性的理解和掌握程度。
2. 通过小组讨论和问题解答，评估学生运用单调性和奇偶性解决实际问题的能力。
七、教学反思1. 反思教学方法的有效性，根据学生的反馈和学习情况，调整教学策略。
2. 反思教学内容的难易程度，确保学生能够逐步理解和掌握函数单调性和奇偶性的概念及应用。
八、拓展与延伸1. 探讨函数单调性和奇偶性在更高维度函数中的应用。
江苏省江阴市高三数学 《函数的单调性和奇偶性》教案
函数的单调性和奇偶性考纲要求：理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性4、函数])1,[(,22)(2+∈+-=t t x x x x f 是单调函数，则t 的范围是__________________ 5、定义在R 上的偶函数)(x f 在(],0-∞上递增，若()(2)f a f <，则∈a _________ 6、()()()()2111x a x , x f x a , x -+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩(a ＞0 ，1a ≠)是R 上的增函数，则∈a例题分析例1、（1）函数)(x f =)23(log 27.0+-x x 的单调增区间为________，减区间为________（2）函数)(x f =)(0,2,sin -21π∈+x x x 的增区间为____________，减区间为________（3）函数)(x f =x x ln 1的增区间为____________，减区间为________例2、讨论函数4()f x x x =-的奇偶性并讨论单调性。
变式：讨论函数()a f x x x =+的奇偶性、单调性（求参数的范围） （1）、函数5)1()(2+--=x a x x f 在1(,)2+∞上是增函数，则a 的范围是______________变式1：函数5)1()(2+--=x a x x f 的单调递增区间为1(,)2+∞，则∈a 变式2：函数2()23f x ax x =+-在(],4-∞上单调递增，则∈a （2）函数2)(3-+=ax x x f 在区间[1,)+∞上单调递增，则a 的范围是________________ （3）定义在)1,1(-∈x 的奇函数)(x f ，]0,1(-,21∈∀x x ，总有1212()[()()]0x x f x f x --<，若0)9()3(2<-+-a f a f ，则a 的范围是_________例4、（抽象函数的单调性）已知定义在R 上的函数)(x f ，,0)0(≠f 当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈,有)()()(b f a f b a f =+。
函数单调性与奇偶性教案
函数单调性与奇偶性教案教学目标：1. 理解函数的单调性概念，能够判断函数的单调性。
2. 理解函数的奇偶性概念，能够判断函数的奇偶性。
3. 掌握函数单调性和奇偶性的性质和运用。
教学重点：1. 函数单调性的判断。
2. 函数奇偶性的判断。
教学难点：1. 函数单调性的证明。
2. 函数奇偶性的证明。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 相关数学教材或教辅资料。
教学过程：第一章：函数单调性概念及判断1.1 引入单调性的概念教师通过实际例子或图片，引导学生思考函数的单调性，并给出单调性的定义。
1.2 单调性的判断方法讲解如何判断函数的单调性，通过实例进行解释，引导学生理解并掌握判断方法。
1.3 单调性的性质和运用介绍单调性的性质，如单调递增函数的图像特点，以及单调性在实际问题中的应用。
第二章：函数奇偶性概念及判断2.1 引入奇偶性的概念教师通过实际例子或图片，引导学生思考函数的奇偶性，并给出奇偶性的定义。
2.2 奇偶性的判断方法讲解如何判断函数的奇偶性，通过实例进行解释，引导学生理解并掌握判断方法。
2.3 奇偶性的性质和运用介绍奇偶性的性质，如奇函数的图像特点，以及奇偶性在实际问题中的应用。
第三章：函数单调性和奇偶性的综合应用3.1 单调性和奇偶性的关系讲解单调性和奇偶性之间的关系，引导学生理解并掌握。
3.2 单调性和奇偶性的综合应用实例通过实际问题，引导学生运用单调性和奇偶性的知识解决问题。
第四章：函数单调性和奇偶性的证明4.1 单调性的证明方法讲解单调性的证明方法，如定义法、导数法等，并通过实例进行解释。
4.2 奇偶性的证明方法讲解奇偶性的证明方法，如定义法、性质法等，并通过实例进行解释。
第五章：函数单调性和奇偶性的拓展5.1 单调性和奇偶性的拓展知识介绍单调性和奇偶性的拓展知识，如单调性的推广、奇偶性的推广等。
5.2 单调性和奇偶性的拓展应用实例通过实际问题，引导学生运用单调性和奇偶性的拓展知识解决问题。
教学评价：1. 学生能够正确判断函数的单调性。
数学教案-函数单调性与奇偶性
数学教案－函数单调性与奇偶性教案名称：函数单调性与奇偶性教案目标：1. 理解函数的单调性及其在数学问题中的应用2. 理解函数的奇偶性及其在数学问题中的应用3. 能够通过求导或利用函数定义来确定函数的单调性和奇偶性4. 能够将单调性和奇偶性应用于实际数学问题的解决过程中教学重点：1. 函数的单调性：递增函数、递减函数、严格递增函数、严格递减函数2. 函数的奇偶性：奇函数、偶函数、周期函数教学准备：1. 面向学生的教学材料和练习题2. 计算器或电脑上的函数绘图软件3. 板书和彩色粉笔或幻灯片和投影仪教学过程：1. 引入：- 介绍函数的概念和函数的图像、图像的对称性- 提问学生：如何判断一个函数在某个区间上是递增还是递减的？如何判断一个函数是奇函数还是偶函数？2. 函数的单调性：- 介绍递增函数和递减函数的概念，并通过图像和实例来帮助学生理解- 引导学生发现关于递增函数和递减函数的性质，如导数的符号等- 给出一些函数的图像，让学生判断其在某个区间上是递增还是递减的，并解释原因- 给出一些函数，让学生求其导数并分析导数的符号来判断函数的单调性- 给学生一些练习题来检查他们对递增函数和递减函数的理解程度3. 函数的奇偶性：- 介绍奇函数和偶函数的概念，并通过图像和实例来帮助学生理解- 引导学生发现关于奇函数和偶函数的性质，如函数关于原点对称等- 给出一些函数的图像，让学生判断其是奇函数还是偶函数，并解释原因- 给出一些函数，让学生代入自变量的负值或正值来判断函数的奇偶性- 给学生一些练习题来检查他们对奇函数和偶函数的理解程度4. 应用实例：- 结合实际数学问题，例如最值问题、平均值问题等，让学生运用函数的单调性和奇偶性来解决问题- 给学生一些练习题或课堂小组活动，让他们运用所学知识解决具体问题5. 总结：- 总结函数的单调性和奇偶性的定义和性质- 让学生回顾并分享他们在学习过程中的困惑和收获教学延伸：1. 引入导数的概念，让学生了解函数单调性与导数的关系，进一步扩展对函数单调性的讨论和应用。
高中数学+函数的奇偶性与单调性复习
性质
单调增函数的图像是上升的，随着 $x$的增大，$y$的值也增大。
举例
正比例函数$y = kx$（$k > 0$） 和指数函数$y = a^x$（$a > 1$） 都是单调增函数。
单调减函数
定义
对于函数的定义域内任意两个数 $x_1$和$x_2$，如果$x_1 < x_2$， 都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称函数为 单调减函数。
举例
二次函数$y = ax^2 + bx + c$、三角函数等都是非 单调函数。
03
CATALOGUE
奇偶性与单调性的关系
奇函数单调性关系
奇函数在对称区间上的单调性相反
如果奇函数在区间$(a, b)$上单调递增，则一定在区间$(-b, -a)$上单调递减。
奇函数的图像关于原点对称
这意味着奇函数在正数和负数范围内的单调性是相反的。
偶函数单调性关系
偶函数在对称区间上的单调性相同
如果偶函数在区间$(a, b)$上单调递增，则一定在区间$(-b, -a)$上单调递增。
偶函数的图像关于y轴对称
这意味着偶函数在正数和负数范围内的单调性是相同的。
单调性与奇偶性综合应用
利用奇偶性判断单调性
01
如果一个函数在某个区间内单调递增，且该函数为奇函数，那
利用单调性分析图像趋势
增函数的图像从左到右上升，减函数的图像 从左到右下降。
05
CATALOGUE
习题与解析
经典习题解析
总结词
这些题目是函数的奇偶性与单调 性的基础题目，适合学生巩固基 础知识。
函数单调性与奇偶性教案
函数单调性与奇偶性教案章节一：函数的单调性教学目标：1. 理解函数单调性的概念；2. 学会判断函数的单调性；3. 学会利用函数的单调性解决实际问题。
教学内容：1. 函数单调性的定义；2. 函数单调性的判断方法；3. 函数单调性在实际问题中的应用。
教学活动：1. 引入函数单调性的概念，引导学生理解函数单调性的含义；2. 通过例题讲解，让学生学会判断函数的单调性；3. 布置练习题，让学生巩固函数单调性的判断方法；4. 结合实际问题，让学生学会利用函数的单调性解决问题。
章节二：函数的奇偶性教学目标：1. 理解函数奇偶性的概念；2. 学会判断函数的奇偶性；3. 学会利用函数的奇偶性解决实际问题。
教学内容：1. 函数奇偶性的定义；2. 函数奇偶性的判断方法；3. 函数奇偶性在实际问题中的应用。
教学活动：1. 引入函数奇偶性的概念，引导学生理解函数奇偶性的含义；2. 通过例题讲解，让学生学会判断函数的奇偶性；3. 布置练习题，让学生巩固函数奇偶性的判断方法；4. 结合实际问题，让学生学会利用函数的奇偶性解决问题。
章节三：函数单调性与奇偶性的关系教学目标：1. 理解函数单调性与奇偶性之间的关系；2. 学会利用函数单调性与奇偶性之间的关系解决实际问题。
教学内容：1. 函数单调性与奇偶性之间的关系；2. 利用函数单调性与奇偶性之间的关系解决实际问题。
教学活动：1. 引导学生理解函数单调性与奇偶性之间的关系；2. 通过例题讲解，让学生学会利用函数单调性与奇偶性之间的关系解决实际问题；3. 布置练习题，让学生巩固函数单调性与奇偶性之间的关系；4. 结合实际问题，让学生学会利用函数单调性与奇偶性之间的关系解决问题。
章节四：常见函数的单调性与奇偶性教学目标：1. 学会判断常见函数的单调性与奇偶性；2. 学会利用常见函数的单调性与奇偶性解决实际问题。
教学内容：1. 常见函数的单调性与奇偶性；2. 利用常见函数的单调性与奇偶性解决实际问题。
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案
函数的单调性和奇偶性的综合应用【教学目的】复习函数单调性和奇偶性，理解及综合应用函数的单调性和奇偶性【教学重点】数形结合看函数的单调性与奇偶性，特殊值，抽象函数【教学难点】数形结合意识，抽象函数的具体化【教学内容】知识回顾：1、函数的单调性：对于函数定义域内任意两个1x 、2x ，当12x x <时，若有12()()f x f x <⇒函数是（ ， ）上的增函数当12x x <时，若有12()()f x f x >⇒函数是（ ， ）上的减函数应用：若()y f x =是增函数，12()()f x f x > ⇒ 1x 2x应用：若()y f x =是减函数，12()()f x f x > ⇒ 1x 2x2、熟悉常见的函数的单调性：y kx b =+、k y x =、2y ax bx c =++ (2)若()f x ax =，()b g x x=-在(,0)-∞上都是减函数，则2()f x ax bx =+在(0,)+∞上 是 函数（增、减）3、函数的奇偶性： 定义域关于原点对称，若有()()f x f x -= ⇒ ()f x 是偶函数定义域关于原点对称，若有()()f x f x -=- ⇒ ()f x 是奇函数(3)已知函数21()4f x ax bx a b =+++是定义在[1,2]a a -上的偶函数，且(1)5f =，求a 、b (4)若2()(2)(1)3f x K x K x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是 。
4、单调性和奇偶性的综合应用 【类型1 转换区间】(1) 已知()f x 为奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-，则当0x <时，()x =(2)根据函数的图像说明，若偶函数()y f x =在(,0)-∞上是减函数，则()f x 在(0,)+∞上 是 函数（增、减）(3)R 上的偶函数在(0,)+∞上是减函数，3()4f - 2(1)f a a -+(4)设()f x 为定义在（(,)-∞+∞上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞为增函数，则(2)f -、()f π-、 (3)f 的大小顺序是（ ）A. ()(3)(2)f f f π->>-B. ()(2)(3)f f f π->->C. ()(3)(2)f f f π-<<-D. ()(2)(3)f f f π-<-<(5)如果奇函数()f x 在区间[3,7]上的最小值是5，那么()f x 在区间[7,3]--上( )A. 最小值是5B. 最小值是－５C. 最大值是－５D. 最大值是5(6)如果偶函数()f x 在[3,7]上是增函数，且最小值是－５那么()f x 在[7,3]--上是( )A. 增函数且最小值为－５B. 增函数且最大值为－５C. 减函数且最小值为－５D. 减函数且最大值为－５(3) 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0)-∞上()f x 是单调增函数，那么当10x <，20x >且120x x +<时，有（ ）A. 12()()f x f x ->-B. 12()()f x f x -<-C. 12()()f x f x -=-D. 不确定(4)如果()f x 是奇函数，而且在开区间(,0)-∞上是增函数，又(2)0f =，那么()0x f x ⋅< 的解是（ ）A. 20x -<<或02x <<B. 20x -<<或2x >C. 2x <-或02x <<D. 3x <-或3x >(5) 已知函数()f x 为偶函数，x R ∈，当0x <时，()f x 单调递增，对于10x <，20x >，有12||||x x <，则（ ）A. 12()()f x f x ->-B. 12()()f x f x -<-C. 12()()f x f x -=-D. 12|()||()|f x f x -<- CCBAA5、综合应用单调性和奇偶性 【类型2 利用单调性解不等式】(1)已知()y f x =是(3,3)-R 上的减函数，解不等式(3)(2)f x f x +>- 1(1,)2--(2)定义在(1,1)-上的奇函数()f x 是减函数，且满足条件(1)(12)0f a f a -+-<，求a 的取值范围。
函数的单调性和奇偶性教案
函数单调性证明格式：① 取任意两个数12,x x 属于定义域D ，且令12x x <（反之亦可）；② 作差12()()f x f x -并因式分解；③ 判定12()()f x f x -的正负性，并由此说明函数的增减性；例 1 用定义法判定函数的增减性：1.判断函数()f x =2.证明函数3()f x x x =+在R 上是增函数；例 2 已知函数1()(0)f x x x x =+>，求证：函数的单调减区间为(0,1]，增区间为[1,)+∞，并画出图像；练习：证明函数x x x f 2)(+=在),2(+∞上是增函数。
3.复合函数的单调性复合函数的单调性判断（同增异减）：构造中间过度函数，按定义比较函数大小并确定函数的单调性；例 3 判断函数的单调性：（1）()f x =； （2）()f x=； （3）21()2f x x =+；练习：①y = ②213y x =-； ③2154y x x =+-； ④y =；函数奇偶性例 1 观察分析以下函数图像所具有的对称性（1）2()2f x x =-； （2）()||f x x =； （3）()f x x =； （4）1()f x x=； 定义：图像关于y 轴对称的函数叫偶函数，如20()f x x x =+；图像关于原点对称的函数叫奇函数，如3()f x x =；函数奇偶性的判定：偶函数：如果对于定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数。
奇函数：如果对于定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数。
例 2 判断下列函数的奇偶性：（1）4()f x x =； （2）21()1f x x =+； （3）2()||2f x x x =--； （4）1()f x x x=+；练习1． 判断下列函数的奇偶性：（1）2()2f x x x =+； （2）53()f x x x x =++； （3）21()x f x x +=； （4）()f x2． 已知函数()f x 是奇函数，则函数2()()h x f x =是_______函数；函数()()()k x f x f x =-是_______函数；3． 设函数()f x 在R 上有定义，下列函数①|()|y f x =-，②2()y xf x =，③()y xf x =--，④()()y f x f x =--中必为奇函数的有________例 3 已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时函数的解析式为()(1)f x x x =-，求： (2),(2),(4),(0)f f f f --以及当0x <时()y f x =的解析式；性质应用：已知函数()y f x =是偶函数，若()()f m f n >，则()___()f m f n --，(||)___(||)f m f n例 4 已知函数()y f x =是偶函数，且当0x >时函数为增函数，证明：当0x <时函数为减函数；练习1． 已知函数()y f x =是奇函数，且当0x >时函数为增函数，证明：当0x <时函数也为增函数；（问函数在整个R 上是增函数吗？试用定义说明）例 5 设函数()()()a x x x f ++=12为奇函数，则=a ___________。
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《函数的单调性、奇偶性》复习教案高品质版-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《函数的单调性、奇偶性》复习教案一、函数的单调性一、函数的增减性即函数的单调性直观的说：在某区间上，增函数⇔ 图象上升减函数⇔图象下降二、函数的增减性即函数的单调性准确的说：设函数y=f(x)的定义域为A,区间D ⊆A.区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2，（1）x 1<x 2时，都有f(x 1 ) ＜ f(x 2) ⇔ f(x)在区间D 上是单调增函数即[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数； （2）x 1<x 2时，都有f(x 1 )＞f(x 2) ⇔ f(x)在区间D 上是单调减函数即[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数. 单调性：注意，只要一说起单调函数，一定存在单调区间，并且判断单调性不能跨区间进行讨论。
三． 证明函数f(x)在区间M 上具有单调性的方法：定义法 ； 图像法； 性质1.函数)(x f 在定义域上是单调函数，且)(x f ＞0，那么在同一定义域上，)(x f y -=、)(1x f y =与()y f x =单调性相反；a x f y +=)(、y =与()y f x =单调性相同2.对于两个函数而言：增函数+增函数=增函数 增函数-减函数=增函数减函数-增函数=减函数 减函数+减函数=减函数四、证明函数f(x)在区间M 上具有单调性的方法：利用定义利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． 五、单调性应用类型一 函数的最值问题若函数y=f （x ）在闭区间[a ，b]上是单调函数，则函数y=f （x ）在[a ，b]上一定有最大、小值。
①若y=f （x ）在[a ，b]上是单调递增函数，则y=f （x ）的最大值是f （b ），最小值是f （a ）；②若y=f （x ）在[a ，b]上是单调递减函数，则y=f （x ）的最大值是f （a ），最值是f （b ）③函数y=f(x)在区间[a ，b]上递增，在区间[b ，c]上单调递减,则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；④如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上递减，在区间[b ，c]上递增,则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；例1：求下列函数的值域(1) y=2x-3 , ∈x [-3,5] (2) y=5-6x, ∈x[-1,2](3)21y x =-+(3)1y x =+例：已知：函数(1) 判断f(x)在[3，5]上的单调性，并证明；（2）求f(x)在[3，5]上的最值。
（1）解 f(x)在[3，5]上是减函数证明：任取两个值x 1、x 2∈[3，5]，且x 1＜x 2．21)(-+=x x x f121221************(1)(2)(1)(2)3()()()22(2)(2)(2)(2)x x x x x x x x f x f x x x x x x x +++--+---=-==------ ∵x 1、x 2∈[3，5]，且x 1＜x 2．∴ x 2-x 1>0,12(2)(2)x x -->0∴1212()()0()()f x f x f x f x ->>即∴f(x)在[3，5]上是减函数（2）∵f(x)在[3，5]上是减函数∴max min ()(3)4()(5)2f x f f x f ==== 类型二 已知单调性求参数值或取值范围例：函数,2)1(2)(2+-+=x m x x f 当[)∞∈,4x 时是增函数，(]4,∞-∈x 时是减函数，求m 值。
分析：由题意知对称轴412)1(2=-=--=m m x 所以 3-=m 4：（1）函数2)1(2)(2+-+=x m x x f 在区间)4,(-∞ 上是减函数，求实数m 的取值范围。
(2)已知2)1(2)(2+-+=x m x x f 在区间[)+∞,4是增函数，求m 的取值范围。
类型三 利用函数的单调性解不等式(1) 由函数的单调性的定义知：已知数y =f （x ）在定义域的某个区间为增函数，若x 1＜x 2，则f （x 1）＜f （x 2），反之，若f （x 1）＜f （x 2）时，则x 1＜x 2。
(2) 当y= f （x ）在定义域某个区间上为减函数时，若x 1＜x 2，则f （x 1）＞f （x 2），反之，若f （x 1）＞f （x 2）则有x 1＜x 2。
例:函数f(x)在(0, +∞)上是减函数,比较f(a 2－a+1)与f(34)的大小. 解: a 2－a+1=212a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+34≥34>0 又因为f(x)在(0, +∞)上为减函数. 所以f(a 2－a+1)≤f(34) 注意:本题的关键是利用函数在(0, +∞)上单调性.例3.已知f(x)在它的定义域[－17，+∞）上是增函数,且f(3)=0,试解不等式f(7x －5)<0。
解:因为f(3)=0, 所以原不等式等价于f(7x －5)<f(3)又f(x)在其定义域[－17，+∞）上是增函数所以 即 7517753x x -≥-⎧⎨-<⎩即7121287877x x x ≥-⎧∴-<<⎨<⎩ 注意:解此题的关键是脱去函数符号,脱去函数符号的主要依据是函数的单调性，同时，要特别注意函数的定义域，否则可能产生增根.例1：（定义在R 上的函数f(x)对任意两个实数a,b ,总有0)()(>--b a b f a f 成立，则必有（ ）A ．函数)(x f 是奇函数 B ．函数)(x f 是偶函数 C ．函数)(x f 是增函数 D ．函数)(x f 是减函数2.已知(31)4,1()a ,1x a x a x f x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）二、函数的奇偶性一．定义：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有① f (-x )=f (x )〔或f (-x )-f (x )=0⇔ f (x )为偶函数⇔图象关于y 轴对称 ② f (-x )=－f (x )或f (-x )＋f (x )=0⇔f (x )为奇函数⇔图象关于原点对称 如果函数f (x )是奇函数或偶函数，就说函数f(x )具有奇偶性注：（1）函数的奇偶性是对函数的整个定义域而言的， 要与单调性区别开来.2）奇、偶函数的定义域关于原点对称3）函数()f x 是奇函数，并在x=0处有定义，则f(0)=04）函数()f x 是偶函数，则()=()f x f x二．题型一：判断函数奇偶性的方法：①定义法（定义域必须是关于原点成中心对称，否则这个函数一定是非奇非偶函数。
）用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)、首先确定函数的定义域,并且判断其定义域是否关于原点对称(2)、确定f(-x)与f(x)的关系(3)、作出相应结论若有f(-x)= f(x), 则f(x)是偶函数若有f(-x)= -f(x), 则f(x)是奇函数②图象法③性质偶函数±偶函数=偶函数；奇函数±奇函数=奇函数；奇函数乘（或除）奇函数=偶函数；奇函数±偶函数=非奇非偶函数，例：已知函数 y=f(x)的图象如图所示，判断此函数的奇偶性.三．奇偶性的应用1.利用奇偶性作函数图象例、已知函数y=f(x)是奇函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.例、已知函数y=f(x)是奇函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.2．利用函数的奇偶性，求函数式例：设函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=2x(1-x),求：当x<0时，f(x)的表达式.解：由y=f(x)是定义域为R 的奇函数，知 f(-x) =-f(x)当x<0时，-x>0，∵当x>0时， f(x)= 2x (1-x ),∴ x<0时f(x)=-f(-x) =-2（-x ）[1-(-x)]= 2x(1+x)即x<0时f(x ）= -2x(1+x例 已知y=f(x)是定义域为R 的奇函数，当x<0时， f(x)=x 2-2x-1,求函数f(x)的解析式。
解：由y=f(x)是定义域为R 的奇函数，知 f(-x) =-f(x) 当x>0时，-x<0，∵当x<0时， f(x)=x 2-2x-1, ∴ x>0时f(x)=-f(-x) = -[(-x)2-2(-x)-1]= -x 2-2x+1, 即x>0时f(x ）=-x 2-2x+1 当x=0时，f(-0)=-f(0)即f(0)=0 ，练习：已知y=f(x)是定义域为R 的偶函数，当x ≤0时，f(x)=x 2-2x,求x>0时f(x)的解析式。
3.设f(x)与g(x)分别为奇函数和偶函数，若f(x)-g(x)=21x x ++，求 f(x)、g(x).3.利用函数的奇偶性，求函数值1)f(x)是R 上的奇函数，则f(0)= 0，若f (-8)=-6，则f (8) = 6 , f(x)是R 上的偶函数，若f (-8)=-6，则f (8)= -62已知函数f (x )=ax 3 +bx+2，且f (-5)=7，则f (5) = __.解法一： f (-5)=7 即 a (-5)3+b (-5)+2=7∴125a +5b =-5 ∵ f (5) = a 53+b 5+2=125a +5b +2 ∴ f (5) =-5+2=-3 解法二： f (x )=ax 3+x 2+bx+2 化为 f (x ) -2 =ax 3+bx令 g (x )=ax 3+bx 则 g (x )是奇函数，且 g (x )= f (x ) -2 .∴ g (-5)+ g(5)=0,即f (-5) -2+ f (5)-2=0∵f (-5)=7 ，∴ f (5) =-34.已知函数的奇偶性，求参数的值22210()00210x x x f x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+<⎩，故，，1.已知函数f(x)=ax 2+bx+5是定义在区间(2a-3，1)上是偶函数，则a=___，b=____解∵奇、偶函数的定义域关于原点对称∴2a-3+1=0∴a=1∴f(x)= x 2+bx+5因为f(x) 是偶函数所以f(-x)= f(x),即f(-x)-f(x)=0∴（-x ）2+b （-x ）+5-（x 2+bx+5）=0 ∴-2bx=0∴b=02、已知3()3f x x a =+是奇函数，试求a 的值；解法一。