一阶线性非齐次方程解法推倒

一阶线性非齐次微分方程一、线性方程
方程
dy dx
P x y Q x
+=
()()
1
叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。

如果
Q x()≡0，则方程称为齐次的；
如果
Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。

a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程
dy dx
P x y
+=
()0
2
的通解问题。

分离变量得dy
y
P x dx =-()
两边积分得ln()ln y P x dx c
=-+
⎰
或
y c e P x dx
=⋅-⎰()
其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。

将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换
y u e P x dx
=⋅-⎰()
两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()
⋅=-⎰
两边求导得dy
dx
u e uP x e
P x dx P x dx ='-
-⎰-⎰
()()
()
代入方程1得
'=-⎰u e Q x P x dx ()() ， '=⎰u Q x e P x dx ()()
u c Q x e dx
P x dx =+⎰⎰()()
于是得到非齐次线性方程1的通解
[]
y e c Q x e dx
P x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()
将它写成两项之和
y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()
不难发现：
第一项是对应的齐次线性方程2的通解； 第二项是非齐次线性方程1的一个特解。

由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。

【例1】求方程
dy dx
y
x
x
-
+
=+
2
1
1
3
2
()
的通解。

解：
]
2
3
)1
(
[1
2
1
2
dx
e
x
c
e
y dx
x
dx
x⎰⎰
+
+
⋅
⎰
=+
-
+
-
-
]
2
3
)1
(
[2
2)1
(
ln
)1
(
ln dx
e
x
c
e x
x+
-
+⎰⋅
+
+
⋅
=
=+⋅++
-
⎰
()[()]
x c x dx
11
2
1
2
=+⋅++
()[()]
x c x
121
2
1
2
由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。

二、贝努利方程
方程
dy dx
P x y Q x y n
n
+⋅=⋅≠
()()(,)
01
叫做贝努利方程。

当n=0时，它是一阶线性非齐次微分方程
dy dx
P x y Q x +⋅=
()()
当
n=1时，它是一阶线性齐次微分方程
dy dx
P x Q x y
+-⋅= [()()]0
当
n≠01,时，它是一阶非线性的微分方程，通过变量代换可化归为一阶线性微分方程。

具体解法如下：
dy dx
P x y Q x y y
dy
dx
P x y Q x
n n n
+⋅=⋅⇒⋅+⋅=
--()()()()
1
1
1
1
1
-
⋅+⋅=
-
-
n
d y
dx
P x y Q x
n
n
()
()()
d y
dx
n P x y n Q x
n
n
()
()()()()
1
1
11
-
-
+-⋅=-
令y z
n
1-=
，方程化为关于z的一阶线性非齐次微分方程dz
dx
n P x z n Q x
+-⋅=-
()()()()
11
【例2】求贝努利 dy dx y
x a x y +=(ln )2 的通解。

解 ：112y dy dx xy
a x ⋅+=⋅ln ，-+⋅=⋅--d y dx x y a x ()()ln 111
d y dx x y a x ()()ln ---⋅=-111
]
ln [11
1dx e
x a c e
y dx x
dx
x
⎰⎰
⋅-+⋅⎰
=----
=⋅-⋅⋅-⎰e c a x e dx x x ln ln [ln ]
=⋅-⋅⎰
x c a x
x dx [ln ]
=⋅-x c a
x [(ln )]
22。