1.1命题与联结词

(pq)(pq) (5) p:王小红生于 1975 年, q:王小红生于1976 年,
定义1.3 设p, q为二命题, 复合命题“p或q”称作p与q 的析取式, 记作p∨q, ∨称作析取联结词. 并规定p∨q为 假当且仅当p与q同时为假.
注意： p∨q的逻辑关系为p与q中至少一个成立， p∨q为真当且仅当p与q中至少一个为真。
与合取联结词一样，使用析取联结词时，也不要求两 命题间一定有任何关系
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解 令p:吴颖用功, q:吴颖聪明 (1) pq (2) pq (3) pq (4) 设p:张辉是三好生, q:王丽是三好生
pq (5) p:张辉与王丽是同学
(1)—(3) 说明描述合取式的灵活性与多样性 (4)—(5) 要求分清 “与” 所联结的成分
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方式三：例1.2中“2或4是素数”为“2是素数”与“4 是素数”通过“或”复合而成.
（1） 2 是有理数是不对的. （2） 2是偶素数. （3） 2或4是素数. （4） 如果2是素数, 则3也是素数. （5） 2是素数当且仅当3也是素数.
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将上述原子命题分别符号化为： p： 是有理数。 q：2是素数。 r：2是偶数。s：3是素数。t：4是素数 p，t 的真值为0，其余的真值为1： 将 符号代入：“非p”；“q并且（与）r”；“q或t”；
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判断给定句子是否为命题，分两步： 首先判定它是否为陈述句， 其次判断它是否有唯一的真值。
命题分为两类:
如果一陈述句再也不能分解成更为简单的语句，由它构成的 命题称为原子命题。原子命题是命题逻辑的基本单位。原子 命题用英文字母p，q，r…及其带下标的pi，qi，ri，…表示。
由简单命题由联接词联接而成的命题为复合命题。
两人前来应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些，就把两个
人带进一间漆黑的屋子里，他打开灯后说：“这张桌子上有
五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑色的，现在，我把灯关
掉，而且把帽子摆的位置弄乱，然后我们三个人每人摸一顶
帽子戴在自己头上，在我开灯后，请你们尽快说出自己头上
戴的帽子是什么颜色的。”说完后，商人将电灯关掉，然后
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表1
p
lp
0
1
1
0
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方式二：例1.2中“2是偶素数”是“2是偶数”且“2 是素数”的复合.
定义1.2 设p,q为二命题, 复合命题“p并且q”(或“p 与q”)称为p与q的合取式, 记作p∧q, ∧称作合取联结 词. 并规定p∧q为真当且仅当p与q同时为真. 称∧为合 取联结词。
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例1.1 判断下列句子是否为命题 (1) 4是素数.
(2) 5 是无理数.
(3) x+5〉3. (4) 月球上有冰. (5) 2050年元旦下大雪.
(6) π大于 2吗？
(7) 请不要讲话！ (8) 这朵花真美丽啊！ (9) 我正在说假话.
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例1.2 识别下列命题类型，并指出联接词，试着下面各陈述句 中出现的原子命题符号化。
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1.1 命题与连接词
1. 命题的概念
命题 是指具有非真必假的陈述句。 疑问句、祈使句和感叹句等因都不能判断其真假，
故都不是命题。 命题仅有两种可能的真值—真和假，且二者只能居
其一。真用1或T表示，假用0或F表示。由于命题只 有两种真值，所以称这种逻辑为二值逻辑。 命题的真值是具有客观性质的，而不是由人的主观 决定的。
“如果q，则s”；“q当且仅当s”
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2.联接词
定义1.1 设p为命题, 复合命题“非p”(或“p的否 定”)称为p的否定式,记作┐p, 符号┐称作否定联结 词. 并规定┐p为真当且仅当p为假
由于否定修改了命题，它是对单个命题进行操作， 称它为一元联结词。
否定联结词“┐”的定义可由表1表示之。
离散数学
应用数理学院
1
知识结构
离散数学
数理逻辑 集合论 代数结构
图论
命途逻辑
一阶逻辑
集合的基本概念和运算
二元关系和函数
代数系统的一般概念
几个典型的代数系统
图的基本概念
树
二部图、欧拉图、哈密尔顿图
平面图及图的着色
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第一部分 数理逻辑
著名物理学家爱因斯坦出过的一道题：
一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商，有
(1) 什么是前提？有哪些前提？ (2) 结论是什么？ (3) 根据什么进行推理？ (4) 怎么进行推理？
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第一章 数理逻辑
研究
数理逻辑
推理
包含 前提和 结论
基本 要素
组成 成分
命题 能判断真假 陈述句
数理逻辑研究的中心问题是推理，而推理的前提和结论 都是表达判断的陈述句，因而表达判断的陈述句就成了 推理的基本要素。
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表3
pΒιβλιοθήκη Baidu
q
p∧q
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
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例1.4 将下列命题符号化
(1) 2 或 4 是素数. (2) 2 或 3 是素数. (3) 4 或 6 是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王小红生于 1975 年或 1976 年.
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解
(1) 令p:2是素数, q:4是素数, pq (2) 令p:2是素数, q:3是素数, pq (3) 令p:4是素数, q:6是素数, pq (4) 令p:小元元拿一个苹果, q:小元元拿一个梨
三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下的两顶帽子
藏了起来，接着把灯打开。这时，那两个应试者看到商人头
上戴的是一顶红帽子，其中一个人便喊道：“我戴的是黑帽
子。”
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请问这个人说得对吗？他是怎么推导出 来的呢？
要回答这样的问题，实际上就是看由一些诸如“商 人戴的是红帽子”这样的前提能否推出“猜出答 案的应试者戴的是黑帽子”这样的结论来。这又 需要经历如下过程：
注意：“既……又……”、“不但……而且……”、“虽 然……但是……”、“一面……一面……”等联结词都可 以符号化为∧.而不要见到与或和就使用联结词∧ .
合取联结词∧的定义由表2表示之。
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表2
p
q
p∧q
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
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例1.3 将下列命题符号化
（1）吴颖既用功又聪明. （2）吴颖不仅用功而且聪明. （3）吴颖虽然聪明，但不用功. （4）张辉与王丽都是三好生. （5）张辉与王丽是同学.