1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)
正弦函数、余弦函数的性质
2 T
二、奇偶性
y
o
x
正弦函数是奇函数, 余弦函数是偶函数.
三、最大值与最小值
y
o
x
正弦函数当且仅当x 2k 且仅当x 2k
2
, k Z时取得最大值1, 当
2 余弦函数当且仅当x 2k , k Z时取得最大值1,当且仅 当x 2k , k Z时取得最小值 1.
解：（1）∵
3cos( x 2 ) 3cos x
∴自变量x只要并且至少要增加到x+2
y 3cos x, x R 的值才能重复出现.
，函数
所以，函数 y 3cos x, x R 的周期是 2
(2) sin(2 x 2 ) sin 2( x ) sin 2 x
§ 1.4.2 正弦函数、 余弦函数的性质 (一)
引入
y
o
ห้องสมุดไป่ตู้
x
周期函数: 对于函数f(x),若存在一个非零常数 ,使 T
得当x取定义域内的每一个值 都有 时, f ( x T ) f ( x)
称之, 非零常数T叫做这个函数的周期.
新课
若在周期函数 的所有周期中存 f(x) 在一个最小的正数, 则这个最小正数就 叫做f(x)的最小正周期.
, k Z时取得最小值 1;
例2、求下列函数的最 及取得最值时自 值, 变量x的集合:
(1) y cos x 1, x R; ( 2) y 3 sin 2 x, x R;
小结
1. 周期函数的定义，周期，最小正周期
2. 三角函数的奇、偶性
3. 三角函数的单调性；
作业
一、 周期性 正弦函数是周期函数2k( k Z , k 0)都 ,
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)3课件人教新课标
课前预习
课堂互动
课堂反馈
课堂小结
2 f
0317π＋f2
0318π的
值．
解
2 f(
0317π)＝f(672π＋π3)＝f(π3)＝sinπ3＝
23，
2 f(
0318π)＝f(672π＋23π)＝f(23π)＝f(－π3)＝f(π3)＝sinπ3＝
23，
所以
2 f(
0317π)＋f(2
0318π)＝
23＋
23＝
3．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
课前预习
课堂互动
课堂反馈
知识点 1 周期函数 1．周期函数
条件
①对于函数f(x)，存在一个___非__零_____常数T ②当x取定义域内的每一个值时，都有__f_(_x_＋__T_) __ ＝f(x)
结论 函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数 的周期
课前预习
课堂互动
课堂反馈
2．最小正周期
答案 D
课前预习
课堂互动
课堂反馈
(2)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数，又是周期函数，若 f(x)
的最小正周期为 π，且当 x∈0，π2时，f(x)＝sin x，则 f53π等 于( )
A．－12
B．12
C．－
3 2
D．
3 2
解析 f(53π)＝f(53π－π)＝f(23π)＝f(23π－π)＝f(－π3)＝f(π3)＝sinπ3
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质知识点一 正弦函数、余弦函数的周期性函数的周期性1、(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期．2、A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ＝A sin(ωx ＋φ)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期．3、由sin(x ＋2k π)＝sin_x ，cos(x ＋2k π)＝cos_x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.知识点二 正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)对于y ＝sin x ，x ∈R ，恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称． (2)对于y ＝cos x ，x ∈R ，恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称．知识点三 正弦、余弦函数的单调性[－1,1][－1,1]对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解． 1、求下列函数的最小正周期． (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )；(2)y ＝|sin x |(x ∈R )．2、下列函数是以π为周期的函数是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin x ＋2C ．y ＝cos2x ＋2D ．y ＝cos3x －13．函数f (x )是周期函数，10是f (x )的一个周期，且f (2)＝2，则f (22)＝________.4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为2，则ω的值为________．类型二 三角函数的奇偶性对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 判断函数奇偶性应把握好两个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称； 关键点二：看f (x )与f (－x )的关系．1、判断下列函数的奇偶性．(1) f (x )＝sin(－x )（2）f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (3)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.2、若函数y ＝cos(ωx ＋φ)是奇函数，则( )A ．ω＝0B ．φ＝k π(k ∈Z )C ．ω＝k π(k ∈Z )D ．φ＝k π＋π2(k ∈Z )3、已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (2018)＝7，则f (－2018)＝________.类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用1．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数2、定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．2、已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)的值．3、设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝________.类型四 求正弦、余弦函数的单调区间用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．1．函数y ＝sin2x 的单调递减区间。
高中数学必修4教案1.4.2正弦函数余弦函数的性质(教、学案)
§1.4.2正弦函数余弦函数的性质【教材分析】《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。
【教学目标】1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有x x cos ,sin 的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数)0(sin ≠+=a b x a y 和函数c x b x a y ++=cos cos 2)0(≠a 的值域2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．3. 在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．【教学重点难点】教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。
教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有x x cos ,sin 的函数的值域【学情分析】知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。
心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。
但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。
【教学方法】1．学案导学：见后面的学案。
2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习【课前准备】1．学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。
2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
【课时安排】1课时【教学过程】一、预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
二、复 习导入、展示目标。
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(1)(第二课时)09
编号：09
班级：
小组：
姓名：
组内评价：
教师评价：
1.4.1 正弦函数、余弦函数的性质（1）
编制人：沈晶 牛大超 罗有柱
【使用说明及学法指导】 1.先精读一遍教材 P34—P35，用红色笔进行勾画，再针对导学案“预习自学”部分二次阅读教材 并回答提出的问题，时间不超过 50 分钟； 2.限时、认真、 独立完成合作探究设置的问题， 对加★部分的题目为选做题， 没加★的题目都要做。 3.在预习，做练习过程中找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课堂上讨论质疑。 【学习目标】 1、 了解周期现象，进一步理解周期函数与最小正周期的含义； 2、 能熟练地求简单三角函数的周期；会求简单抽象函数的周期； 【学习重点】周期函数的定义以及利用定义求简单函数的周期 【学习难点】理解周期函数的概念以及抽象函数求周期 一、预习自学 1、现实生活中的许多变化都是有循环往复、周而复始的现象，这种现象称之为周期现象。例如单 摆运动、四季变化等，你还能举出几个例子吗？ 2、判断下列现象是否是周期现象，若不是说说理由： （1）十字路口交通信号灯的变化 （2）某同学每天早晨上学的时间 （3）地球上很多地区发生的地震 （4）钟表的分针的运动
③通过阅读课本，你应该知道正弦函数和余弦函数都是周期函数，但课本上只说明了正弦函数 为什么是周期函数，而没有说明余弦函数为什么是周期函数，你能说明下吗？ ④正弦函数和余弦函数的周期分别是 、 。
⑤等式 sin(30º+120º)=sin30º是否成立？如果这个等式成立， 能否说 120º是正弦函数 y sin x ，
3、已知周期函数 f ( x) 是奇函数，6 是 f ( x) 的一个周期，且 f (1) 1 ，求 f (5) 的值。
高中数学 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)习题2 新人教A版必修4
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质 1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2(x ∈R )是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．无法确定解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x ，所以此函数为奇函数． 答案：A2．下列函数中，周期为π2的是( ) A ．y ＝sin x 2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x 4D ．y ＝cos(－4x )解析：对D.y ＝cos(－4x )＝cos 4x ，∴T ＝2π4＝π2，故选D. 答案：D3．下列是定义在R 上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( )解析：结合周期函数的定义可知A ，B ，C 均为周期函数，D 不是周期函数．答案：D4．已知函数f (x )的周期为1.5，且f (1)＝20，则f (10)的值是________．解析：f (10)＝f (1.5×6＋1)＝f (1)＝20.答案：205．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝－2cos 3x ；(2)f (x )＝x sin(x ＋π)．解：(1)函数的定义域为R ，且f (－x )＝－2cos 3(－x )＝－2cos 3x ＝f (x )，所以f (x )＝－2cos 3x 为偶函数．(2)函数的定义域为R，且f(x)＝x sin(x＋π)＝－x sin x，所以f(－x)＝x sin(－x)＝－x sin x＝f(x)．故为偶函数.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
高一数学人教A版必修4课件：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
23.∴f53π＝
3 2.
明目标、知重点
反思与感悟 解决此类问题关键是综合运用函数的周 期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知函数 f(x)对于任意 x∈R 满足条件 f(x＋3)＝f1x，
且 f(1)＝12，则 f(2 014)等于( B )
1 A.2 解析
明目标、知重点
填要点·记疑点
1.函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个 非零常数T ，使得当x取定 义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就 叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数， 那么这个最小正数就叫做f(x)的 最小正周期 .
明目标、知重点
由于 x 至少要增加|2ωπ|个单位，f(x)的函数值才会重复出现，因此，|2ωπ| 是函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期.
同理，函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)也是周期函数，最小正周期也是|2ωπ|.
明目标、知重点
探究点四 正弦、余弦函数的奇偶性 导引 正弦曲线
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x). ∴f(x)为奇函数.
明目标、知重点
1＋sin x－cos2x
(3)f(x)＝
.
1＋sin x
解 ∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R 且 x≠2kπ－π2，k∈Z.
明目标、知重点
探究点三 函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝A·cos(ωx＋φ))(A>0，ω≠0)的周期
1.4.2 正弦、余弦函数的性质(一)
2π T= = 4π 3) y = 2 sin( x − ), x ∈ R 1 2 6 2 函数y = A sin(ω x + ϕ )及y = A cos(ω x + ϕ ), x ∈ R 2π ( A, ω , ϕ为常数, A ≠ 0, ω > 0)的周期T = ω
π
2π T= =π 2
课堂小结： 课堂小结：
1. 定义法 公式法： 2. 公式法：
周期求法
一般地， 一般地，函数 y=Asin(ωx+φ) 及 y=Acos(ωx+φ) （其中A ,ω,φ为常数， 为常数， 的周期是: 且 A≠0, ω≠0 ）的周期是:
T= 2π
ω
(ω ≠ 0)
1、求下列函数的周期或函数值 、
利用正弦函数和余弦函数的图象， 例2.利用正弦函数和余弦函数的图象， 利用正弦函数和余弦函数的图象 求满足下列条件的x的集合 的集合： 求满足下列条件的 的集合：
2 (2) cos x ≤ 1 ，x ∈ (0, 5π ) (1) sin x ≥ 2 2 2
例3.求下列函数的定义域： 3.求下列函数的定义域： 求下列函数的定义域
π
2
,1 )
最低点： 最低点： ( 3π
2
,−1)
轴的交点： 与x轴的交点： (0, 0) (π , 0) (2π , 0) 轴的交点
y
-
y = cos x
x ∈ [0, 2π ]
1-
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
的图象上，关键点： 在函数 y = cos x, x ∈ [0, 2π ] 的图象上，关键点： 最高点： 最高点： (0,1) (2π ,1) 轴的交点： 与x轴的交点： ( 轴的交点 最低点： 最低点：
1.4.2正弦函数、余弦函数的最值
解（：2）令t=2x,因为使函数y 3sin t,t R取最大值的t的集合是
{t | t 2k , k Z}
由
2x
t
2
2k
得
x k
2
4
所以使函数 y 3sin 2x, x R取最大值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
分析：令 z 2x
2 则 y 3cosz
化未知为已知
• P46 A2最值问题 使原函数取得最大值的集合是
(4)
y
1 2
sin
1 2
x
3
解：令z 1 x
23
x
|
x
3
4k
,k
Z
要使y 1 sin z有最小值， 2
要使y 1 sin z有最大值， 2
2
零点： x k (k Z )
探究：余弦函数的最大值和最小值 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
最大值：当 x 0 2k 时，有最大值 y 1 最小值：当 x 2k 时，有最小值 y 1
零点：x k (k Z )
2
例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
同理，使函数y 3sin 2x, x R 取最小值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
函数 y 3sin 2x, x R取最大值是3，最小值是-3。
正弦函数、余弦函数的性质( 数学 优秀课件
课后思考
• 用几何画板y=Asin(wx+ψ)图像.gsp作 y=Asin(wx+ψ)的图像，探究该类函数的周 期。 • 试着发现：A、w、ψ分别决定了图像的什 么？
小结
正弦函数的性质：
sin(x 2k ) sin x
正弦函数的周期：2k (k z且k 0) 最小正周期： 2
性质3：单调性
在一个周期上（如[ ,
2
3
2
] ）考虑：
[
, ] 2 2
在
x
2
，sinx= 值。
x
2
或x
，sinx=-1，为最小
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
主讲人：黄凡
复习回顾
①正弦函数、余弦函数的图像是什么？
（物理中简谐运动的图像） （一波未平，一波又起—波涛汹涌）
②我们是如何得到正弦函数的图像的？ 几何画图法—单位圆中的正弦线 五点作图法—五个关键点确定形状
引入新课
• 一次函数与图像 • 指数函数与图像 • 对数函数与图像
利用周期性，不难得到：
正弦函数在每一个闭区间[ 2 2k , 2 2k ]( k z ) 上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一 3 [ 2 k , 2k ]( k z ) 上都是减 个闭区间 2 2 函数，其值从1减小到-1.
3 正弦函数当且仅当 2 2k (k z)
• 1、周期性（最小正周期为 2 ） • 2、奇偶性（奇函数） • 3、单调性
余弦函数的性质：
高一七班1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)
单调性
一.利用正余弦函数性质求最值： • 例1：求使得下列函数取得最大值、最小值的自变量x的 集合，并分别求出最大值、最小值：
3 1 例题： y cos( x ) 2 2 6
x 练习: y 2 cos 3 当x x x 6k 3 , k z时，函数取最大值3
§1.4.3正弦函数、余弦函数的性质
1.正弦函数在每一个闭区间_______ 上 都是增函数，其值从-1增加到1；在每一个闭区间 ______上都是减函数，其值从1减少到-1；
2.余弦函数在每一个闭区间_____上都是增函数， 在每一个闭区间_______上都是减函数; 3.正弦函数当且仅当x=_____时取得最大值1，当 且仅当x=_____时取得最小值。 4.余弦函数当且仅当x=_____时取得最大值1，当 且仅当x=_____时取得最小值。
正弦函数 定义域 值 域 [-1,1] 周 期 奇偶性 R
余弦函数
R
[-1,1]
2π
奇函数
单调递增区间： π π [ 2kπ, 2kπ](k Z) 2 2 单调递减区间： π 3π [ 2kπ, 2k [2kπ, π 2kπ](k Z) 单调递增区间： [2kπ π, 2kπ 2π](k Z)
1 练习 求函数y sin( x)的单调递增区间 1: 3 2
1 练习2: 求函数y sin( x), x [2 , 2 ]的递增区间 3 2
例：根据正余弦函数的图像，写出 使下列不等式成立的x的取值集合：
(1)sin x 0
1 (2)sin x 2
当x x x 6k , k z},函数取得最小值1
二.利用正、余弦函数的单调性比较大小：
1.4.2(1) 正弦函数、余弦函数的性质(一)
东风高级中学高一数学限时训练1.4.2(1) 正弦函数、余弦函数的性质(一)一、选择题1.下列函数中,周期为的是( )A.y=sinB.y=sin2xC.y=cosD.y=cos4x【解析】选D.对于y=cos4x,周期T==.2.已知函数y=cos(ω>0)的最小正周期是,则ω=( )A.3B.2C.1D.0【解析】选A.因为T==,所以ω=3.3、函数f(x)=sin的最小正周期为,其中ω>0,则ω等于( )A.5B.10C.15D.20【解析】选B.因为T==,所以ω=10.4.下列函数是以π为周期的是( )A.y=sinxB.y=cosx+2C.y=2cos2x+1D.y=sin3x-2 【解析】选C.对于A,B,函数的周期为2π,对于C,函数的周期是π,对于D,函数的周期是π,故选C.5.(2014·陕西高考)函数f(x)=cos的最小正周期是( )A. B.π C.2π D.4π【解析】选B.T===π,故B正确.6.已知函数f(x)=sin,若存在a∈(0,π),使得f(x+a)=f(x-a)恒成立,则a的值是( )A. B. C. D.【解析】选D.因为f(x+a)=f(x-a),所以函数f(x)=sin的周期为2a,所以2a=,即a=.7.若函数f(x)(x∈R)是周期为3的奇函数,且f(-1)=a,则f(7)=( )A.aB.-aC.a2D.不确定【解析】选 B.因为f(x)的周期为3且为奇函数,所以f(7)=f(2〓3+1)=f(1)=-f(-1)=-a.8.在函数y=sin|x|,y=|cosx|,y=sin,y=cos中,最小正周期为π的函数的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.由y=sin|x|的图象知,它不是周期函数.【误区警示】本题易认为函数y=sin|x|是周期函数且周期为π,从而错选答案D.9.定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且x∈[-,0)时,f(x)=sinx,则f=( )A.-B.C.-D.【解析】选D.f=f=-f=-sin=sin=.10.设f(x)的定义域为R,最小正周期为,若f(x)=则f的值为( )A.1B.C.0D.-【解题指南】利用函数f(x)的周期性,将求x=-π的函数值转化为求x=π的函数值.【解析】选B.因为T=,所以f=f=f=sin=.11.函数y=cos(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值应是( )A.10B.11C.12D.13【解析】选D.因为T==≤2,所以k≥4π,又k∈Z,所以正整数k的最小值为13.二、填空题12.设a≠0,若函数y=sin(ax+π)的最小正周期是π,则a= .【解析】由题意知T==π,所以a=〒2.答案:〒213.若函数f(x)=2cos的最小正周期为T,且T∈(1,3),则正整数ω的最大值是.【解题指南】首先利用公式求出最小正周期,然后结合T的取值范围来求正整数ω的最大值.【解析】因为1<<3,所以<ω<2π,所以正整数ω的最大值是6.答案:614.已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数,则方程f(x)=0在[-2,2]上至少有个实数根.【解析】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,又因为函数f(x)以2为周期,所以f(2)=f(-2)=f(0)=0,且解得f(-1)=f(1)=0,故方程f(x)=0在[-2,2]上至少有5个实数根.答案:515.已知f(x)=cos x,则f(1)+f(2)+…+f(2013)= .【解题指南】先计算f(x)在一个周期内的函数值,然后利用周期性再求原式的值.【解析】因为f(1)=cos=,f(2)=cos=-,f(3)=cosπ=-1,f(4)=cos=-,f(5)=cos=,f(6)=cos2π=1,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,又f(x)的周期为T==6,所以f(1)+f(2)+…+f(2013)=335〓0+f(1)+f(2)+f(3)=-1.答案:-116.函数y=cos的最小正周期是.【解析】y=cos=cos=cos=sin x.所以最小正周期为T==4.答案:4三、解答题17.已知函数f(x)=sin,且满足f(x+3)-f(x)=0,求ω的值. 【解析】因为f(x+3)-f(x)=0,所以f(x+3)=f(x),所以函数f(x)=sin的周期为3.因为T=,所以|ω|==,所以ω=〒.18.已知f(x)是以π为周期的偶函数,且x∈[0,]时,f(x)=1-sinx,求当x∈[π,3π]时,f(x)的解析式.【解析】当x∈[π,3π]时,3π-x∈[0,],因为x∈[0,]时,f(x)=1-sinx,所以f(3π-x)=1-sin(3π-x)=1-sinx.又f(x)是以π为周期的偶函数,所以f(3π-x)=f(-x)=f(x),所以f(x)的解析式为f(x)=1-sinx,x∈[π,3π].19.有两个函数f(x)=asin,g(x)=bcos(2kx-)(k>0),它们的周期之和为,且f=g,f=-·g+1,求k,a,b.【解析】由题意知,+=,所以k=2,所以f(x)=asin,g(x)=bcos.由已知得方程组即解得所以k=2,a=,b=-.20、设f(x)是定义在R上、以6为周期的函数,f(x)在[0,3]内单调递增,且y=f(x)的图象关于直线x=3对称,试比较f(1.5),f(3.5),f(6.5)的大小.【解题指南】由于函数f(x)的周期为6,且满足在(0,3)内单调递增,即可求出. 【解析】因为f(x)是定义在R上、以6为周期的函数,所以f(6.5)=f(0.5),又因为y=f(x)的图象关于直线x=3对称,所以f(3.5)=f(2.5),利用f(x)在[0,3]内单调递增,可知,f(0.5)<f(1.5)<f(2.5),即f(6.5)<f(1.5)<f(3.5).*21.已知f(x)是定义在R 上的函数,f(x)=f(4-x),f(7+x)=f(7-x),f(0)=0,求在区间[-1000,1000]上f(x)=0至少有几个根.【解析】依题意f(x)关于x=2,x=7对称,可知f(10+x)=f[7+(3+x)]=f[7-(3+x)]=f(4-x)=f(x),所以f(x)的一个周期是10,所以f(10)=f(0)=0,又f(4)=f(0)=0,即在区间(0,10]上,方程f(x)=0至少有两个根,又f(x)是周期为10的函数,每个周期上至少有两个根,因此方程f(x)=0在区间[-1000,1000]上至少有1+2〓=401个根. 复习回顾1．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≤b ，b ，a ＞b 则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )1. 解析：f (x )＝1⊕2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ≥0，2x ，x ＜0故选A.答案：A2．若一系列函数解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有________个．2. 解析：值域为{1,4}，则定义域中必须至少含有1，－1中的一个且至少含有2，－2中的一个．当定义域含有两个元素时，可以为{－1，－2}，或{－1,2}，或{1，－2}，或{1,2}；当定义域中含有三个元素时，可以为{－1,1，－2}，或{－1，1,2}，或{1，－2,2}，或{－1，－2,2}；当定义域含有四个元素时，为{－1,1，－2,2}．所以同族函数共有9个．答案：93．（本小题满分10分）已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且x <0时，f (x )＝1＋2x .(1)求函数f (x )的解析式．(2)画出函数f (x )的图象．(3)写出函数f (x )单调区间及值域．3．解：(1)因为y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－0)＝－f (0)，所以f (0)＝0，（2分）因为x <0时，f (x )＝1＋2x ，所以x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1＋2－x )＝－1－12x ，（5分）所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x ，x <0，0，x ＝0，－1－12x ，x >0.（6分）(2)函数f (x )的图象为（8分）(3)根据f(x)的图象知：f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)；值域为{y|1<y<2或－2<y<－1或y＝0}．（10分）。
人教版高中数学必修4第一章三角函数《1.4三角函数的图象与性质：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》教学PPT
解：(2)当x 2k , k Z时，函数取得最大值，ymax 1
2
当x 2k , k Z时,函数取得最小值,
2
ymin 1
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymax
1,
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymin
1.
二、 正、余弦函数的奇偶性
-4 -3
例1.下列函数有最大(小)值？如果有,请写出取最大(小) 值时的自变量x的集合,并说出最大(小)值是什么？
（1）y cos x 1, x R; （2）y sin x, x R.
解：(1)当x 2k , k Z时，ymax 11 2,
当x 2k , k Z时，ymin 11 0.
1.4.2 正弦、余弦函数的性质
(1)周期性
定义域、值域
-4 -3
y
1
-2
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
定义域 xR
-4 -3
y=cosx (xR)
y
1
-2
- o
-1
值 域 y[ - 1, 1 ]
2
3
4
5 6x 5 6x
举例：
生活中“周而复始”的变化规律。
24小时1天、7天1星期、365天1年……. 相同的间隔重复出现的现象称为周期现象. 数学中又有哪些周期现象呢？
思考：y=sinx，x∈R的图象为什么会重复出现形 状相同的曲线呢?
y
1
4
3
2
7 2
5
3
2
1.4.2正弦函数余弦函数的性质-(必修四-数学-优秀课件)
第15页，共26页。
归纳总结
一般地，函数 y Asin(x )及 y Acos(x ) （其中 A,,为常数，且 A 0, 0 ）的周期是
T 2
若 0 则 T 2
第16页，共26页。
练习. 求下列函数的周期：
(1) y sin 3x, x R;(2) y cos x ;
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y cos x(x R)
第25页，共26页。
函数 图形
y
1
2
0
-1
y=sinx
3
2
2
2
5 2
x
定义域 值域
最值
xR
y [1,1]
xx2222kk时时，，yymmaxin
1 1
单调性
x[-
2
2k
,
2
2k
]
增函数
x[2
2k
,
3
2
2k ]
减函数
奇偶性
奇函数
4
x
2
…
0
…
2
sinx -1
0
1
…
0
…
3 2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
[[
2+22k，,
22
+2] k],kZ
其值从-1增至1
Байду номын сангаас
减区间为
[
2
+22k，,
33
2
+]2k],kZ
其值从 1减至-1
第20页，共26页。
余弦函数的单调性
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 课件(人教A版必修4)
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π ＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
变式训练
3.求函数 y＝2sin(x＋π4)的单调区间． 解：y＝sinx 的单调增区间为[－π2＋2kπ，π2＋ 2kπ]，k∈Z；单调减区间为[π2＋2kπ，32π＋2kπ]， k∈Z. 由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，
栏目 导引
第一章 三角函数
由－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z， 得－π4＋2kπ≤x≤34π＋2kπ，k∈Z； 由π2＋2kπ≤x－π4≤32π＋2kπ，k∈Z， 得34π＋2kπ≤x≤74π＋2kπ，k∈Z. 所以函数 y＝sin(x－π4)的单调增区间为[－π4 ＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)；
∴y＝sin12x 的周期是 4π.
(2)∵2sinx3－π6＋2π＝2sinx3－π6， 即 2sin13（x＋6π）－π6
栏目 导引
＝2sinx3－π6， ∴y＝2sinx3－π6的周期是 6π.
(3)y＝|sinx|的图象如图所示．
第一章 三角函数
∴周期T＝π.
∴|φ|的最小值|φ|min＝2π＋π2－83π＝π6.
栏目 导引
归纳总结
第一章 三角函数
栏目 导引
函 数 y= sinx (k∈z)
性质
y= cosx 第(k一∈章z) 三角函数
定义域 值域
最值及相应的 x的 集合
单调性
对称轴 对称中心
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(L1)游双菊
x[-
2
2k
,
2
2k
]
x[2
2k ,
3
2
2k
]
增函数 减函数
奇函数
x [ 2k,2 2k]增函数
x[2k , 2k ] 减函数
偶函数
2
对称轴： x
2
k
,k
Z
对称中心： (k , 0) k Z
2
对称轴： x k , k Z 对称中心：(2 k , 0) k Z
正弦函数的单调性及单调区间
y
sin
1 2
x
3
,
x
[2
,
2
]
k 1, k 0, k 1,
2
2
5
3
4k ,
3
4k
17
3
,
11
3
√
5
3
,
3
7
3
,
11
3
变式练习
▪ 求函数的单调增区间
y
sin
1 2
x
3
增
y sin z 减
2k z 3 2k 减
2
2
2k 1 x 3 2k
2
2 32
减区间是
[2k , 2k ](k Z )
2.求函数的单调增区间
y
sin
1 2
x
3
y sin z
2k z 2k
2
2
y=sinz的增区间
2k 1 x 2k
2
2 32
5 4k x 4k
3
3
5
3
4k ,
3
4k
,
高中数学必修4(1.4.2正弦函数、余弦函数的性质)PPT课件
∴函数 y2sin1x(),x.正弦函数、余弦函数的性质
例1) 3y.求s下in列( x函数的)周期：
3 2) y cos 3x
3) y 3 sin ( 1 x ), x R 一般
35
结论：
函 数 yAsin(x)及 yAcos(x),xR (A,,为 常 数 ,A0,. 0)的 周 期 T2 8
.
15
结论：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶 函数
.
9
正弦、余弦函数的图象和性质
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
y=sinx (xR) 定义域 xR
值 域 y[ - 1, 1 ]
y=cosx (xR) 周期性 T = 2
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
.
5 6 x
5 6 x
10
正弦、余弦函数的奇偶性
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.
注意：如果在周期函数f(x)的所有周期中
存在一个最小的正数，那么这个最小正数
就叫做f(x)的最小正周期.
.
6
例：求下列函数的周期 ( 1 ) y 3 cx ,o x R s( 2 ) y s2 x i ,x n R ( 3 ) y 2 s1 i x n ) 26 解:(1)∵cos(x+2π)=cosx, ∴3cos(x+2π)=3cosx ∴函数y= 3cosx，x∈R的周期为2π
1.4.2正弦函数余弦函数的性质(周期性)公开课
看图像
y Asin(wx c)
思考：w与
T之间存在什 么关系呢？
函数 w值 周期T w×T
y=sinx 1 2 2
y=sin2x 2
2
y 2sin(1 x - ) 26
1 2
4
2
结论：w与T的积是常数2
即wT 2
T 2
w
一般地，函数 y Asin(x ) 及 y Acos(x )
最小正周期是： T 2
A 0, 0
求下列函数的最小正周期 （1）y sin 3 x，x R （2）y cos(4x 2)，x R
4 （3）y cos( 1 x)，x R
2
解：(1) T
2
2
3
8
3ห้องสมุดไป่ตู้
4
(3)
T
2
2
|1
|
4
2
(2)T 2 2 42
基础达标
一、选择题
（2）因为sin( ) sin ，所以 y sin x 的周期是 （ ）
42
4
2
判断正误
提示：只需判断对每一个x，是 否都有f(x+T)=f(x)成立。
（1）因为sin(x 2 ) sin x，所以 y sin x 的周期是2（ ）
（2）因为sin(
)
sin
，所以
y
sin
x 的周期是 （
§1.4.2 正弦函数、余弦函数 的性质 ----周期性
1.终边相同的角的三角函数值有何关系？
角与角 2k 的终边相同，同名函数值相
等，即
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan
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1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)
教学目的：
知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；
能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。
德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三
角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
教学重点：正、余弦函数的周期性
教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用 教学过程：
一、复习引入： 1．问题：（1）今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……
（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？
2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：
自变量x 2π- 32π- π- 2
π- 0 2π
π 32
π 2π 函数值sin x
1 0 1- 0
1
1-
正弦函数()sin f x x =性质如下：
（观察图象） 1︒ 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
2︒ 规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π,k ∈Z 重复出现） 3︒ 这个规律由诱导公式sin(2k π+x)=sinx 可以说明 结论：象这样一种函数叫做周期函数。
文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；
符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==． 也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。
余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。
二、讲解新课：
1．周期函数定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x +T)=f (x )那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
问题：（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin(
)sin 636π
ππ+
=，能否说23
π
是它的周期？
（2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠）
（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*
k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？ （是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+）
2、说明：1︒周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；
2︒“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)）
– – π 2π
2π- π
5π
π- 2π- 5π- O x y 1 1-
3︒T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫
做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） y=sinx, y=cosx 的最小正周期为2π （一般称为周期）
从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π；
判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （()f x c =没有最小正周期）
3、例题讲解
例1 求下列三角函数的周期： ①x y cos 3= ②x y 2sin =（3）1
2sin()2
6
y x π
=-
，x R ∈．
解：（1）∵3cos(2)3cos x x π+=，
∴自变量x 只要并且至少要增加到2x π+，函数3cos y x =，x R ∈的值才能重复出现， 所以，函数3cos y x =，x R ∈的周期是2π． （2）∵sin(22)sin 2()sin 2x x x ππ+=+=，
∴自变量x 只要并且至少要增加到x π+，函数sin 2y x =，x R ∈的值才能重复出现， 所以，函数sin 2y x =，x R ∈的周期是π． （3）∵1112sin(2)2sin[()]2sin()2
62626
x x x π
ππ
ππ-
+=+-=-， ∴自变量x 只要并且至少要增加到x π+，函数sin 2y x =，x R ∈的值才能重复出现， 所以，函数sin 2y x =，x R ∈的周期是π．
练习1。
求下列三角函数的周期： 1︒ y=sin(x+
3
π
) 2︒ y=cos2x 3︒ y=3sin(2x +5π)
解：1︒ 令z= x+
3
π
而 sin(2π+z)=sinz 即：f (2π+z)=f (z) f [(x+2)π+
3π]=f (x+3
π
) ∴周期T=2π 2︒令z=2x ∴f (x )=cos2x=cosz=cos(z+2π)=cos(2x+2π)=cos[2(x+π)]
即：f (x +π)=f (x ) ∴T=π 3︒令z=
2x +5π 则：f (x )=3sinz=3sin(z+2π)=3sin(2x +5
π
+2π) =3sin(
5
24π
π++x )=f (x +4π) ∴T=4π 思考：从上例的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量有关？ 说明：（1）一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈（其中,,A ωϕ 为
常数，且0A ≠，0ω>）的周期2T π
ω
=
；
（2）若0ω<，如：①3cos()y x =-； ②sin(2)y x =-； ③12sin()26
y x π
=-
-，x R ∈． 则这三个函数的周期又是什么？
一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈的周期2||
T π
ω= 思考： 求下列函数的周期： 1︒y=sin(2x+
4π)+2cos(3x-6
π
) 2︒ y=|sinx|
解：1︒ y 1=sin(2x+
4π) 最小正周期T 1=π y 2=2cos(3x-6π) 最小正周期 T 2=3
2π ∴T 为T 1 ,T 2的最小公倍数2
2︒ T=π 作图
三、小 结：本节课学习了以下内容：
周期函数的定义，周期，最小正周期。