高一数学函数的单调性的应用PPT教学课件

❖ 解：先求定义域：
yf(u)
u2xx2
u在（-，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数
而y=f(u)在R上是减函数
yf(2xx2)在（-，1）上是减函数
在（1，+）上是增函数
例 2 ： 判 断 函 数 yx 2 1 2 x 3 的 单 调 性
解：定义域：x2 2x 3 0 x (, 1) (3, )
函数的单调性
❖ １．函数单调性的判定． ❖ ２．函数单调性的证明． ❖ ３．函数单调性的应用．
一．函数单调性的判定方法：
❖ １.利用已知函数的单调性 ❖ ２.利用函数图象 ❖ ３.复合函数的判定方法 ❖ ４.利用定义
例1.若函数f(x)在实数集上是减函数,求f(2x-x2) 的单调区间以及单调性.
例 3 ： 已 知 f ( x ) = 8 + 2 x - x 2 ,若 g (x ) f(2 x 2 ) ， 试 确 定 g (x ) 的 单 调 区 间 ， 及 单 调 性
（重点班、实验班）
解：设u=2-x2,则 yg(x)f(u)82uu2 (u1)27
f(u)的对称轴u12x2x1 u2x2的对称轴x0
分析：作出函数图象，直观地判断函数的单调区间
y
解： 原函数可化为：
-2x x -3
f(x)=|x-3|+|x+3|= 6 2x
-3<x<3 x3
Y=-2x
6
Y=2x
如 图 可 得 ： 在 （ - ， -3]上 为 减 函 数 ，
x
在 [3， + ） 上 为 增 函 数 ，
-3
3
在 [-3， 3]上 为 常 函 数 ， 不 具 有 单 调 性
证明:
设g(xx1),在 x2A上A是 , x1增函x2数
g(x1) g(x2)
g(x)B
f (x)在B上是减函数
f [g(x1)] f [g(x2)] f [g(x)]在A上是减函数
点拨：复合函数的证明，注意内层函数的值域是外层 函数的定义域．
三.函数单调性的应用
❖ １．注意用已知函数的单调性
证：设x1, x2 (0,+)且x1<x2
f (xy) f (x) f (y)
❖
点拨：抽象函数的证明，注意x、y的任意性．
f (x1) x1 1
f
(x2)
f
(
x1 x2
)
f
( x1 x2
)
0
x2
f (x1) f (x2) f (x)在(0,+)上是减函数
例 2 . 函 数 g ( x ) 在 区 间 A 上 是 增 函 数 , 函 数 f ( x ) 在 区 间 B 上 是 减 函 数 , g ( x ) B , 则 f [ g ( x ) ] 在 区 间 A 上 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _
Y随x的变化如下表所示:
x
1 1 0
01 1
u
y
Y=g(x）
的单调性
1 7
12 76
21 67 1 7
例 5 ： 讨 论 函 数 f ( x ) = a x x + + 2 1 ( a 1 2 ) 在 ( - 2 , + ) 上 的 单 调 性
解 ：f(x)=a(x+2)-2a+1a2a1
x2
x2
当 -a+1>0时 a<1 f(x)在 (-2,+ )上 是 减 函 数
当 -a+1<0时 a>1 f(x)在 (- ,-2)上 是 增 函 数
点拨:含参函数,能够化归为常见函数的单调性时,直接 讨论参数．
Fra Baidu bibliotek
二．证明：根据函数单调性定义解题．
例 1： 讨 论 函 数 f(x)=x+a(a>0)的 单 调 性 x
例 1 .已 知 函 数 f ( x ) = ( m - 1 ) x 2 + 2 m x + 3 , 且 f ( - x ) = f ( x ) 对 任 意 x 都 成 立 ,比 较 f ( - 3 4 ) 与 f ( a 2 - a + 1 ) ( a R ) 的 大 小 .
解 析 :利 用 二 次 函 数 的 单 调 性 ,和 二 次 函 数 的 对 称 性 , 关 键 问 题 是 求 对 称 轴 x=0,从 而 m=0,f(x)=-x23, 因 此 ， f(a2a1)f(1) 4
y u,u 1 ,v x2 2x 3 v
在（-，-1）上v是减函数且u,v恒为正
在（3，+）上是增函数且u,v恒为正
u=
x2
1 2
x
3
在（-，-1）上是增函数
在（3，+）上是减函数
y=
x2
1 2x
在（-，-1）上是增函数， 3
在（3，+）上是减函数
例 4 ： 作 出 函 数 f ( x ) =x 2 6 x 9 +x 2 6 x 9 的 图 象 ， 并 指 出 函 数 f ( x ) 的 单 调 区 间
解： 定义域 : (, 0) (0, )
先讨论(0, )上的单调性
x1, x2 (0, ) x1 x2
f
( x1)
f
(x2 )
( x1
a) x1
( x2
a x2
)
( x1
x2 )(1
a x1 x2
)
当x1, x2 (0,
a)时，1
a x1x2
0
f
(x1)
f
( x2 )
f (x)在(0, a)上是减函数；
当x1, x2 [
a, )时，1
a x1x2
0
f
(x1)
f
( x2 )
f (x)在[ a, )上是增函数；
同理f (x)在(, a)上是增函数；
在[ a,0)上是减函数
❖ 总结：此函数以下单调规律：
❖
两边为增，中间为减．
－a
０
－a
点拨:含参函数,不能化为基本函数类型，常采用定义 法解题.
例 3.已 知 定 义 在 (0,+)上 的 函 数 f(x)满 足: 对 x,y(0,+)都 有 f(xy)=f(x)+f(y), 当 x>1时 ,f(x)>0. 试 证 明 :f(x)在 (0,+)上 是 增 函 数
２．巧用证过的结论．
例 3 . 已 知 0 < x 1 4 ,求 函 数 y = x 2 2 x x 2 的 值 域 .
解析：
y=x+
2 x
2在(0,
2 )上为减函数
在(0, 1 ]上是减函数, 4
y f (1 ) 25 44
值
域
为
[
25 4
，
）