用二次函数的图像解一元二次方程
用 二次函数图像解法一元二次方程
图15－3
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
第15讲┃二次函数的图象与性质(二)
解
析
由抛物线开口向上，得到a大于0，再由对称轴
在y轴右侧，得到a与b异号，可得出b小于0.又抛物线与 y轴交于正半轴，得到c大于0，可得出abc小于0，选项
①错误；由抛物线与x轴有2个交点，得到根的判别式b2
－4ac大于0，选项③错误；由x＝2时对应的函数值大于 0，将x＝2代入抛物线解析式可得出4a＋2b＋c大于0， 得到选项④正确，最后由对称轴为直线x＝1，利用对称 轴公式得到b＝－2a，得选项②正确，所以正确结论的
图15－1
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
第15讲┃二次函数的图象与性质(二)
[注意] 确定抛物线平移后的解析式最好利用 顶点式，利用顶点的平移来研究图象的平移．
考点聚焦
归类探究
回归教材Βιβλιοθήκη 中考预测第15讲┃二次函数的图象与性质(二)
归 类 探 究
探究一 二次函数与一元二次方程 命题角度： 1．二次函数与一元二次方程之间的关系； 2．图象法解一元二次方程； 3．二次函数与不等式(组)． 例1 [2013· 苏州] 已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的 图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程 x2－3x＋m＝0的两实数根是( B ) A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
二次函数的图象与性质(二)
第15讲┃二次函数的图象与性质(二)
考 点 聚 焦
考点1 二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y＝ax2 ＋bx＋c与x轴 的交点个数 2个 1个 没有
判别式Δ＝b2－ 4ac 的符号 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
《利用函数的图象解一元二次方程》PPT课件
煤炭化学成分与煤的燃烧性质的关联性研究煤炭作为一种重要的能源资源，其化学成分和燃烧性质之间存在着密切的关联性。
研究煤炭的化学成分对于深入了解煤的燃烧性质具有重要意义。
本文将探讨煤炭的主要化学成分及其对燃烧性质的影响。
煤炭主要由碳、氢、氧、氮和硫等元素组成，其中碳是其主要成分。
煤炭的碳含量直接影响着其燃烧性质。
碳含量高的煤炭燃烧时会产生较高的热量，因此被广泛应用于能源领域。
同时，碳含量高的煤炭燃烧时产生的烟尘和二氧化碳排放量也相对较高，对环境造成一定的影响。
因此，在煤炭的利用过程中，需要综合考虑其碳含量对燃烧性质和环境的影响。
除了碳含量，煤炭中的氢含量也对其燃烧性质有一定的影响。
氢是煤炭中的可燃元素之一，其含量高低直接影响着煤炭的燃烧速度和热值。
氢含量高的煤炭燃烧时会产生较高的热量，具有较高的燃烧效率。
此外，氢含量高的煤炭燃烧时所产生的水蒸气会稀释烟气中的氧气，降低燃烧温度，从而减少氮氧化物的生成。
因此，氢含量高的煤炭在燃烧过程中具有较低的氮氧化物排放量，对环境友好。
煤炭中的氧含量和硫含量也对其燃烧性质有一定的影响。
氧是煤炭中的氧化剂，其含量高低直接影响着煤炭的可燃性。
氧含量高的煤炭燃烧时会产生较高的热量，燃烧速度较快。
然而，氧含量高的煤炭燃烧时也容易产生较多的烟尘和二氧化碳，对环境造成一定的影响。
因此，在煤炭的利用过程中，需要综合考虑其氧含量对燃烧性质和环境的影响。
硫是煤炭中的一种常见元素，其含量对煤炭的燃烧性质有着重要的影响。
硫在煤炭燃烧时容易生成二氧化硫等有害气体，对环境和人体健康造成危害。
因此，降低煤炭中的硫含量对于减少大气污染具有重要意义。
目前，对于高硫煤的利用，常常采取脱硫技术来降低燃烧过程中的硫排放。
除了煤炭的化学成分，煤的燃烧性质还受到煤质结构的影响。
煤质结构包括煤的孔隙结构和煤的结晶结构。
煤的孔隙结构对于煤的燃烧速度和热值有一定的影响。
孔隙结构较发达的煤炭燃烧时，氧气可以更好地进入煤体内部，提高燃烧效率。
用图象法求一元二次方程的根
用图象法求一元二次方程的根学习了二次函数之后，可以利用图象求一元二次方程的根。
下面介绍几种具体的方法： 方法一：直接画出函数y=ax2+bx+c 的图象，则图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根.其步骤一般为：（1）作出二次函数y=ax2+bx+c 的图象；（2）观察图象与x 轴交点的个数；（3）若图象与x 轴有交点，估计出图象与x 轴交点的横坐标即可得到一元二次方程的近似根.方法二：先将方程变形为ax2+bx=-c ，再在同一坐标系中画出抛物线y=ax2+bx 和直线y=-c 的图象，则图象交点的横坐标就是方程的根.方法三：可将方程化为a c x ab x ++2=0，移项后为a c x ab x --=2.设y=x2和y=a cx a b --，在同一坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=a cx ab --的图象，则图象交点的横坐标就是方程的根.这种方法显然要比方法一快捷得多，因为画抛物线远比画直线困难得多.例：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图1所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根． （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围． （4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．解：（1）观察图象，抛物线与x 轴交于两点（1，0）、（3，0）故方程20ax bx c ++=的两个根11x =，23x = .（2）不等式20ax bx c ++>，反映在函数图象上，应为图象在x 轴上方的部分，因此不等式20ax bx c ++>的解集应为13x <<.（3）因为抛物线的对称轴为x=2且开口向下，所以在对成轴的右侧y 随x 的增大而减小故自变量x 的取值范围为2x >（4）若使方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，也就是抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象与直线y=k 有2个不同的交点，观察图象可知抛物线的顶点的纵坐标为2，所以只有当2k <才能满足条件.点评：可以看到二次函数2(0)y ax bx c a =++≠和方程20ax bx c ++=及不等式20ax bx c ++>之间都有密切的联系。
利用函数的图象求一元二次方程近似根
21.3 二次函数与一元二次方程（第二课时）实验中学-余志高一、教材分析：《利用二次函数的图像解一元二次方程》选自义务教育课程教科书《数学》（沪科版）九年级上册第21章第3节，这节课是在学生学习了二次函数与一元二次方程的关系，知道二次函数的图像与x 轴交点个数的不同对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况下继续经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验及了解一元二次不等式的解集.．这也突出了课标的要求：注重数形结合。
二、教学目标【知识与技能】掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系.利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想．【情感、态度与价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.重点难点【重点】用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集.【难点】利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根【教学方法】学生合作交流学习法三、教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根．Ⅱ．讲授新课【例】用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4.同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根.方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.函数图象求一元二次不等式的解集.：画出函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象，不等式ax2+bx+c>0的解集为图象在x轴上方的点所对应的x值所组成的集合，不等式ax2+bx+c<0的解集为图象在x轴下方的点所对应的x值所组成的集合.如下表：ax2+bx+c>0(a>0)的解集是x<x1或x>x2ax2+bx+c<0(a>0)的解集是x1<x<x2ax2+bx+c>0(a<0)的解集是x1<x<x2ax2+bx+c<0(a<0)的解集是x<x1或x>x2Ⅲ．课堂练习P34随堂练习Ⅳ．课时小结本节课学习的内容：1．经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系；2．经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得了用图象法求方程近似根的体验．3．了解一元二次方程不等式的解集可由二次函数图象直接得出结论。
例析利用二次函数的图象求一元二次方程的根
例析利用二次函数的图象求一元二次方程的根二次函数是一个常见的二次方程方程的图象，通过利用二次函数的图象可以求解一元二次方程的根。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。
首先，我们来分析二次函数的图象。
二次函数的标准形式为y =ax^2 + bx + c，其中a≠0，对应的图象是一个抛物线。
如果a>0，那么抛物线开口向上，最低点在y轴上方，如果a<0，那么抛物线开口向下，最低点在y轴下方。
我们可以通过观察二次函数的图象，抛物线与x轴相交的点就是一元二次方程的根。
根据图象的特点，我们可以得出下面的结论：1.如果二次函数图象与x轴有两个交点，那么一元二次方程有两个不同的实数根；2.如果二次函数图象与x轴有且只有一个交点，那么一元二次方程有一个实数根；3.如果二次函数图象与x轴没有交点，那么一元二次方程没有实数根。
接下来，我们以一个具体的例子来说明如何利用二次函数的图象求解一元二次方程的根。
例1：求解方程x^2-3x+2=0的根。
首先，我们将方程的系数与一元二次方程的一般形式对应起来，可以看出a=1，b=-3，c=2我们可以通过求解方程的判别式来判断该方程有几个实数根。
判别式的计算公式为D=b^2 - 4ac，其中D为判别式的值。
根据判别式的值可以得出以下结论：1.如果D>0，方程有两个不同的实数根；2.如果D=0，方程有一个实数根；3.如果D<0，方程没有实数根。
我们将系数代入计算判别式：D=(-3)^2-4*1*2=9-8=1根据判别式的结果，我们可以得知方程有两个不同的实数根。
接下来，我们可以画出二次函数的图象来求解方程的根。
首先，我们可以画出抛物线的大致形状。
由于判别式大于0，所以抛物线开口向上。
现在，我们需要找到抛物线与x轴的交点。
我们可以看出，抛物线与x轴的交点对应方程的根。
根据题意，我们需要求解方程的两个根，所以我们需要找到抛物线与x轴的两个交点。
【学案】用二次函数的图像解一元二次方程
【学案】用二次函数的图像解一元二次方程【一】明确学习目标1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2、经历用图像法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图像法求方程近似根的体验与方法.3、理解二次函数的图像和与横轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程何时有两个不等实根、两个相等实根和没有实根.4、进一步发展学生的估算能力，体验数形结合思想.【二】自主预习预习教材，自学〝思考〞与〝例题〞，理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x 轴的交点情况，会利用二次函数的图像求对应一元二次方程的近似解，并尝试完成自主预习区。
【三】合作探究活动1 小组交流讨论，归纳，填表，在此基础上教师小结。
要求①二次函数与一元二次方程之间的关系要求②：抛物线与x 轴的交点个数同一元二次方程的根的情况之间的关系活动2 反馈练习①观察图中的抛物线与x 轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？ 方程022=-+x x 的根是____________；方程0962=+-x x 的根是___________；方程012=+-x x 的根是____________；②如下图，你能直观看出哪些方程的根？教师点拨：此题充分表达二次函数与一元二次方程之间的关系，即函数322++-=x x y 中，y 为某一确定值m 〔如4、3、0〕时，相应x 值是方程)034(322、、m m x x ==++-的根.③抛物线c bx ax y ++=2如下图，那么关于x 的方程032=-++c bx ax 的根是_______________.教师点拨：此题解法较多，但是根据图像来解是最简单的方法. 活动3 新知应用例1 二次函数12)14(222-++-=k x k x y 的图像与x 轴交于两点，求k 的取值范围.教师点拨：根据交点的个数来确定ac b 42-的正、负是解题的关键，并熟悉它们之间的对应关系.活动4 自学教材，例题总结，用图像法求相应一元二次方程的近似根.【四】当堂检测〔1〕基础练习〔2〕提升练习1、抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的公共点是〔－1，0〕、〔3，0〕，求抛物线的对称轴.2、画出函数322--=x x y 的图像，根据图像回答：①方程0322=--x x 的解是什么？②x 取什么值时，函数值大于0；x 取什么值时，函数值小于0？3、用函数的图像求以下方程的解：4、抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 〔x1，0〕、B 〔x2，0〕)(21x x <，顶点M 的纵坐标为－4，假设x1，x2是方程07)1(222=-+--m x m x 的两个根，且.102221=+x x ①求A 、B 两点的坐标；②求抛物线的关系式及点C 的坐标；③在抛物线上是否存在点P ，使△ABP 的面积等于四边形ACMB 面积的2倍？假设存在，求出所有符合条件的点的坐标；假设不存在，请说明理由.【五】拓展提升如图，抛物线)0(2≠+=a bx ax y 经过A 〔3，0〕、B 〔4，4〕两点. 〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标.六、课后作业【一】选择题1、二次函数c bx ax y ++=2的图像如下图，那么以下关系式错误的选项是〔 〕A 、0>aB 、0<cC 、042>-ac bD 、0>++c b a 第1题图 第3题图 第5题图2、二次函数22)(2c b ax x y ++-=，其中a 、b 、c 是△ABC 的边长，那么函数与x 轴交点情况是〔 〕A 、无交点B 、有一个交点C 、有两个交点D 、交点个数无法确定 3、二次函数bx ax y +=2的图像如图，假设一元二次方程02=++m bx ax 有实数根，那么m 的最大值为〔 〕A 、－3B 、3C 、－6D 、94、二次函数)(32为常数m m x x y +-=的图像与x 轴的一个交点为〔1，0〕，那么关于x 的一元二次方程032=+-m x x 的两实数根是〔 〕A 、x1=1, x2=－1B 、x1=1, x2=2C 、x1=1, x2=0D 、x1=1, x2=3【二】填空题5、二次函数c bx ax y ++=2的图像如下图，那么A 〔ac b 42-，a b -〕在第_______象限.6、二次函数c bx ax y ++=2中，自变量x 与函数y 的对应值如下表： 〔1〕二次函数图像的开口方向是__________，它的顶点坐标是________.〔2〕一元二次方程),,,0(02是常数c b a a c bx ax ≠=++的两个根x1, x2的取值范围是______(填序号).【三】解答题7、函数)(162是常数m x mx y +-=.〔1〕求证：不论m为何值，该函数的图像都经过y轴上的一个定点；〔2〕假设该函数的图像与x轴只有一个交点，求m的值。
例析利用二次函数的图象求一元二次方程的根
例析利用二次函数的图象求一元二次方程的根方程与函数是初中数学中的重要内容，方程与函数之间存在着密切的联系，二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即为相应的二次方程的解，课程标准要求我们能利用二次函数的图象求二次方程的近似解．本文举例说明，供同学们学习时参考．例1．(江西)已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．解析：因为二次方程220x x m -++=的根为二次函数22y x x m =-++的图象与x 轴交点横坐标．根据已知条件22y x x m =-++ ，可知抛物线的对称轴为直线1x =；根据图象可知抛物线与x 轴的一个交点的横坐标为3x =，所以利用抛物线的对称性知抛物线与x 轴的另一个交点横坐标为―1，因此，方程220x x m -++=的解为3和－1．本题利用抛物线的轴对称性求抛物线与轴的交点坐标，从而求出相应的一元二次方程的根．例2．(宁夏) 二次函数2(0y ax bx c a a b c =++≠，，，是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值如下表： x 1-12- 0 12 1 32 2 52 3 y 2- 14- 1 74 2 74 1 14- 2-(1)判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标．(2)一元二次方程20(0ax bx c a a b c ++=≠，，，是常数)的两个根12x x ，的取值范围是下列选项中的哪一个 ．①12130222x x -<<<<， ②12151222x x -<<-<<，③12150222x x -<<<<， ④12131222x x -<<-<<， 解析：本题以表格的形式给出二次函数2y ax bx c =++的部分对应值，解题时可以选定三对值，求出二次函数解析式，再判断开口方向，求出顶点坐标．但这样去做计算量较大，观察表格的特征发现，与1x =等距离的x 对应的函数值相等，所以直线1x =是抛物线的对称轴，因此抛物线的顶点坐标为(1，2)；观察表格发现：当1x >时，y 随着x 的增大而减小，当1x <时，y 随着x 的增大而增大，所以抛物线的开口向下．(2)一元二次方程20(0ax bx c a a b c ++=≠，，，是常数)的根即为抛物线2y ax bx c =++与x 轴交点的横坐标，观察表格发现：12-与0之间一定有一个x 的值，使2y ax bx c =++＝0；2与52之间一定有一个x 的值，使2y ax bx c =++＝0，所以20ax bx c ++=的两根12x x ，的取值范围是12150222x x -<<<<，，故答案为③． 例3．(内江)已知函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++=的根的情况是( )A ．无实数根B ．有两个相等实数根C ．有两个异号实数根D ．有两个同号不等实数根解析：本题以图象的形式给出信息,要判断关于x 的方程220ax bx c +++=的根的情况，因为220ax bx c +++=可化为22ax bx c ++=-，即22y ax bx c =++=-，所以，方程220ax bx c +++=的根即为抛物线与直线y ＝－2的交点横坐标，作直线y=－2，观察图象可知直线与抛物线的交点在第四象限，因此交点横坐标都为正，故答案为D ．本题把方程的根转化为抛物线与直线的交点横坐标．例4．(贵阳)二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程20ax bx c ++=的两个根．(2)写出不等式20ax bx c ++>的解集．(3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．(4)若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围． 解析：本题以图象的形式给出信息,考查了二次函数、二次方程、二次不等式这三个二次之间的关系．(1)方程20ax bx c ++=的根即抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交点的横坐标，观察图象得方程20ax bx c ++=的两根为11x =，23x =；(2)不等式20ax bx c ++>的解集即抛物线2(0)y ax bx c a =++≠位于x 轴上方的那一段的x 的范围，观察图象得不等式20ax bx c ++>的解集为13x <<；(3)抛物线的增减性是以对称轴为界，抛物线的对称轴为2x =，结合图象得对称轴右边y 随x 的增大而减小，所以2x >；(4)方程2ax bx c k ++=的解为抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与直线y k =的交点，所以当2k <时，抛物线与直线有两个交点，即方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根的k 的取值范围是2k <．。
用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
用二次函数的图象求一元二次方程的近似解课标要求会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.中招考点用二次函数图象求一元二次方程的近似解．例1 阅读材料回答问题：有如下一道题：画图求方程22+-=x x 的解.两位同学的解法如下：甲：将方程22+-=x x 化为022=-+x x ，画出22-+=x x y 的图象，观察它与x 轴的交点，得出方程的解．乙：分别画出函数2x y =和2+-=x y 的图象，观察它们的交点， 把交点的横坐标作为方程的解．你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．归纳反思上面甲、乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线2x y =的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，两线交点的横坐标即为方程的解．所以建议同学们以后尽量用乙的方法.例2利用函数的图象，求下列方程的解：（1）0322=-+x x ；（2）02522=+-x x ．解：（1）先把方程化成x 2=-2x+3.如图：在同一直角坐标系中分别画出函数2x y =和32+-=x y 的图象，得到它们的交点（-3，9）和（1，1），则方程0322=-+x x 的解为x=–3或x=1．（2）先把方程02522=+-x x 化为 01252=+-x x ，然后在同一直角坐标系中画出函数2x y =和125-=x y 的图象，如图，得到它们的交点（21，41）和（2，4）， 则方程02522=+-x x 的解为 21，2． 归纳反思一般地，求一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的近似解时，通常先把方程化成a c x a b x --=2的形式，然后在同一直角坐标系中分别画出y=x 2和ac x a b y --=两个函数的图象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解．例3 利用函数的图象，求下列方程组的解： (1)213,22.y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（2）236,2.y x y x x =+⎧⎨=+⎩ 分析：（1）可以通过直接画出函数2321+-=x y 和2x y =的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；（2）也可以同样解决．解：（1）在同一直角坐标系中画出函数2x y =和2321+-=x y 的图象，如图.得到它们的交点（23-，49）和（1，1）， 则方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=22321x y x y 的解为:12213,1,29 1..4x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩ （2）在同一直角坐标系中画出函数x x y 22+=和63+=x y 的图象，如图.得到它们的交点（-2，0）.（3，15），则方程组⎩⎨⎧+=+=x x y x y 2632的解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=153,022211y x y x ．思考：（2）中的抛物线画出来比较麻烦，你能想出更好的解决此题的方法吗？比如利用抛物线2x y =的图象，请尝试一下．强化练习1．已知二次函数432--=x x y 的图象如图，（1）则方程0432=--x x 的解是 ，（2）不等式0432>--x x 的解集是 ，（3）不等式0432<--x x 的解集是 ．2．利用函数的图象，求方程组22.y x y x =-+⎧⎨=⎩，的解.。
【教案】 用二次函数的图像解一元二次方程
【教案】用二次函数的图像解一元二次方程1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
2．通过利用二次函数的图像估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图像与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。
情感态度：1．从学生感兴趣的问题入手，让学生亲自体会学习数学的价值，从而提高学生学习数学的好奇心和求知欲。
2．通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识。
三、教学重点、难点：教学重点：1．体会方程与函数之间的联系。
2．能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根。
教学难点：1．探索方程与函数之间关系的过程。
2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
四、教学方法：启发引导合作交流五：教学媒体：计算机、实物投影。
六、教学过程设计：检查预习引出课题→创设情境探究新知→例题学习巩固提高→练习反馈巩固新知→感悟本课，分享收获→分层作业，共同提高七、教学过程：[活动1] 检查预习引出课题1．解方程：（1）x2－2x－3=0; (2) x2－6x+9=0; (3) x2－2x+3=0.2. 回顾一次函数与一元一次方程的关系，利用函数的图像求方程3x-4=0的解设计意图：教师展示预习作业的内容，指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。
教师重点关注：学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来，2题的格式要规范。
这两道预习题目是对旧知识的回顾，为本课的教学起到铺垫的作用,1题中的三个方程是课本中观察栏目中的三个函数式的变式，这三个方程把二次方程的根的三种情况体现出来，让学生回顾二次方程的相关知识；2题是一次函数与一元一次方程的关系的问题，这题的设计是让学生用学过的熟悉的知识类比探究本课新知识。
[活动2] 创设情境探究新知请同学们画y= x2－2x－3, y= x2－6x+9, y= x2－2x+3这三个二次函数的图像。
用函数图像解一元二次方程、不等式
的解
当Δ＞0 时，
有两个不相等 的实数根
x1，x2
当Δ=0 时，
有两个相等的
实数根
x1=x2=
b 2a
当Δ＜0 时， 无实数根
二次函数
y =ax2+bx+c
的图像
y
x1 o x2 x
y
一元二次不等式的解集
ax2+bx+c＞0 ax2+bx+c＜0
o x1=x2 x y
o
x
本节课你有什么收获，还有哪些疑惑？
2、解一元二次不等式是否可以像以前用图像解一元一次不等式来解呢? 3、那么你现在知道二次函数与一元二次方程、不等式的关系吗？
因为一元二次不等式与二 次函数、一元二次方程三者之 间存在着密不可分的“亲缘” 关系, 你可以借助二次函数 的图像及相应一元二次方程的 根，彻底解决一元二次不等式 的解的问题.
任意一个一元二次不等式，都可以找到与它对应的二次 函数和一元二次方程. 一般的，一元二次不等式ax²+bx+c＞0（或＜0） 对应的二次函数为 y= ax²+bx+c； 对应的一元二次方程为 ax²+bx+c=0
例如：一元二次不等式
x²-2x-3＞0
对应的二次函数
y=x²-2x-3
对应的一元二次方程 x²-2x-3=0
一元二次不等式x22x30对应的二次函数yx22x3对应的一元二次方程x22x30一元二次方程axbxc的图像一元二次不等式的解集ax有两个不相等的实数根有两个相等的实数根一元二次方程一元二次不等式二次函数的相互关系及其解法
1、怎样解一元二次不等式呢？ 2、你知道二次函数与一元二次方程、不等式的关系吗？
二次函数与一元二次方程-用PPT课件
点的是（ D ）
(A)yx2 2
(B)yx2 x
(C)yx26x9 (D . )yx2x+c（a≠0）的图象全部 在x轴下方的条件是（ D ） （A）a＜0 b2-4ac≤0 （B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0
(D）a＜0 b2-4ac＜0
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
结论2：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1 . △＞0
一元二次方程ax2+bx+c=0
有两个不等的实数根
抛物线y=ax2+bx+c
x1 x2
x
OA B
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点横坐标与一元二次方 程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x 轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别 式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个相异的实数根
B（x2，0
），
a
a
随堂练习
1、方程 x24x50的根是 -5，1 ； 则函数 yx24x5的图象与x轴的交点 有 2 个，其坐标是 （-5，0）、（1．，0）
2、方程 x21x0 2 50的根是 x1 x2 5；
则函数 yx210x25的图象与x轴的交点
利用二次函数的图象解一元二次方程
9 如图，用图象法求 x2－x＋14＝0 的解． 解：画出抛物线 y＝x2－x＋14(如图)．由图象可知抛物线
与 x 轴只有一个公共点，为12，0，
所以原方程的解为 x1＝x2＝12.
10 【2020·威海】已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2 －2mx＋m2＋2m－1的顶点为A，点B的坐标为(3，5)，如 图所示． (1)求抛物线过点B时顶点A的坐标；
∴当m＝1或－3时，抛物线经过点C(0，2)． 如图，当m＝－3或3时，抛物线与线段BC只有一个交点 (即线段CB的端点)， 当m＝1时，抛物线同时过点B，C，不合题意， 综上可得，m的取值范围是－3≤m≤3且m≠1.
11 【2019·云南】已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－ 6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点． (1)求k的值；
(2)点A的坐标记为(x，y)，求y与x的函数表达式；
解：∵y＝x2－2mx＋m2＋2m－1＝(x－m)2＋2m－1， ∴顶点A的坐标为(m，2m－1)． ∵点A的坐标记为(x，y)，∴x＝m. ∴y＝2x－1.
(3)已知C点的坐标为(0，2)，当m取何值时，抛物线y＝x2 －2mx＋m2＋2m－1与线段BC只有一个交点？ 解：由(2)可知，抛物线的顶点在直线y＝2x－1上运动， 且形状不变， 由(1)知，当m＝1或3时，抛物线过B(3，5)， 把C(0，2)的坐标代入y＝x2－2mx＋m2＋2m－1，整理得 m2＋2m－1＝2， 解得m＝1或－3，
6 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)， B(2，0)． (1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为__x_1＝__－__1_，__x_2_＝__2； (2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为__－__1_＜__x_＜__2__； (3)不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为__x_≤_－__1_或__x_≥_2_．
一元二次方程组的图像解法
①小组合作，利用计算器进行探索,结果精确 到十分位。
②将探究过程用表格形式记录下来。
y=x2+2x-10
X1=-4.3是方程的一个近似根。
利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根。
(1)2ห้องสมุดไป่ตู้3之间的根也可以类似地求出。
X2=2.3是方程的另一个近似根。
“数形结合百般好， 隔裂分家万事休”
——华罗庚
1.必做题:同步测试卷
2.选做题:
（1）练习册p117 第6题 （2）利用二次函数y=2x2与一次函数y=x+2的图 象，求一元二次方程2x2=x+2 的近似根。
(1) 原方程可变形为x2+2x-13=0
(2) 作二次函数y=x2+2x-13的图象； 观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的 交点的横坐标；
x -4.6 -4.7 -4.8 -4.9 y -1.04 -0.31 0.44 4.21
x 2.6 2.7 2.8 2.9 y -1.04 -0.31 0.44 4.21
探究活动二、用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
方程x2+2x-10=3的方程的近似根为:
x1= - 4.7, x2 = 2.7.
直线y=3
（1）—4与—5之间的根
x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 -4.5 -4.6 -4.7 -4.8 -4.9 y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 1.25 1.96 2.69 3.44 4.21
鲁教版数学九年级上册
3.7.2 二次函数与一元二次方程
长岛县第二实验学校 武丽杰
22.2用二次函数的图像解一元二次方程
由此可知,方程3x2-x-1=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈0.8.
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近 似根.
(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象； (2). 作直线y=3； (2).观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3 的交点的横坐标； 由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一 个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约 为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计 算器确定其近似值). (3).确定方程x2+2x-10=3的解; 由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
D 3.25 <x< 3.26
综合提高
7.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由图 象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 x1=1.3 ,x2=＿＿＿ -3.3
8.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方 程ax2+bx+c-3=0根的情况是( B ) y
由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程3x2-x-1=0的近 似根.
(1).用描点法作二次函数y=3x2-x-1的图象； (2).观察估计二次函数y=3x2-x-1的图象与x 轴的交点的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐 标一个在-1与0之间,另一个在0与1之间,分 别约为-0.4和0.8(可将单位长再十等分,借 助计算器确定其近似值). (3).确定方程3x2-x-1=0的解;
(说课稿)用二次函数的图像解一元二次方程
(说课稿)用二次函数的图像解一元二次方程大伙儿好，今天我说课的题目是《用二次函数的图像解一元二次方程》一、教材分析1、地位和作用本节课是新冀教版九年级上册第30章二次函数的第五节，是学生在学习和把握了二次函数的图像和性质以及一元二次方程的基础上来研究二次函数与一元二次方程的关系。
本节课和用函数观点看方程（组）与不等式比较类似，因此学生对函数与方程之间的联系已不再生疏。
通过本节课的学习，学生能够进一步加深对二次函数的图像和性质的明白得，是后面学习二次函数与实际问题的基础，同时让学生进一步体会数形结合思想，也是以后高中学习一元二次不等式的基础。
2、教材内容在这节课中，第一通过小球飞行高度问题展现二次函数与一元二次方程的联系，然后进一步举例说明，从而得出二次函数与一元二次方程的关系，最后通过例题介绍用函数的图像求一元二次方程的根的方法。
二、学情分析依照学生现状，在往常已接触过用函数观点看方程（组）与不等式，因此学生对函数与方程之间的联系已不再生疏，且二次函数和一元二次方程是初中数学的难点问题。
因此，在教学中，我抓住这些特点，从学生已学的知识入手，引导学生在充分明白得函数和一元二次方程关系的基础上，体会数形结合的思想。
三、教学目标四、教学重点难点五、教学设计说明二次函数为一元二次方程的求解提供了一个强有力的工具，查找一元二次方程与二次函数的关系，是解二次方程的关键．本节课从实际问题动身，利用二次函数及图像特点探讨一元二次方程根的问题．如此设计，既激发了学生学习热情，同时使学生积极主动地投入到探究活动中．在探究一元二次方程与二次函数的关系中，教师引导学生，关心学生建立数与形的结合，体会数形结合的思想．通过例题巩固用函数图像判定方程根的情形，提高学生的解题能力，激发他们对问题的探究精神，同时体会函数在方程中的应用．最后师生共同总结归纳，加深对二次函数与一元二次方程的明白得与应用，提高应用数学的能力．以学生为主体，通过学生自主探究和合作交流，真正明白得和把握二次函数与一元二次方程之间的关系。
利用二次函数图像解一元二次不等式
一元二次不等式及其解法知识点：1、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．同步练习：1、不等式2654x x +<的解集为（ ） A ．41,,32⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．41,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．14,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．14,23⎛⎫- ⎪⎝⎭3、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是（ ） A ．RB ．()2,2-C ．()(),22,-∞-+∞D ．[]2,2-4、设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则ab 的值是（ ）A ．6-B ．5-C ．6D ．55、不等式()221200x ax a a --<<的解集是（ ）A ．()3,4a a -B ．()4,3a a -C ．()3,4-D ．()2,6a a 6、不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b -=（ ） A ．14- B ．14 C ．10- D ．107、不等式222693191122x x x x -+++⎛⎫⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集是（ ）A ．[]1,10-B ．()[),110,-∞-+∞C ．RD ．(][),110,-∞-+∞ 8、不等式()()120x x --≥的解集是（ ）A ．{}12x x ≤≤B ．{}12x x x ≥≤或C ．{}12x x <<D ．{}12x x x ><或 9、不等式()20ax bx c a ++<≠的解集为∅，那么（ ）A ．0a <，0∆>B ．0a <，0∆≤C ．0a >，0∆≤D ．0a >，0∆≥11、若01a <<，则不等式()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解是（ ） A ．1a x a<<B ．1x a a<< C ．x a <或1x a>D ．1x a<或x a >12、不等式()130x x ->的解集是（ ） A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()1,00,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭13、二次函数()2y ax bx c x R =++∈的部分对应值如下表：则不等式20ax bx c ++>的解集是____________________________．14、若0a b >>，则()()0a bx ax b --≤的解集是_____________________________．15、不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，则不等式20ax bx c -+>的解集是________________________．16、不等式2230x x -->的解集是___________________________． 17、不等式2560x x -++≥的解集是______________________________． 18、()21680k x x --+<的解集是425x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则k =_________． 19、已知不等式20x px q ++<的解集是{}32x x -<<，则p q +=________． 20、求下列不等式的解集：⑴ ()()410x x +--<； ⑵ 232x x -+>； ⑶ 24410x x -+>．22、已知不等式220ax bx ++>的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a 、b 的值．23、已知集合{}290x x A =-≤，{}2430x x x B =-+>，求A B ，A B ．。
用二次函数的图象解一元二次方程(不等式)
12．(中考•滨州)根据下列要求，解答相关问题． (1)请补全以下求不等式－2x2－4x≥0的解集的过程．
20
①构造函数，画出图象：根据不等 式特征构造二次函数y＝－2x2－ 4x，并在下面的坐标系(如图①) 中画出二次函数y＝－2x2－4x的 图象(只画出图象即可)； 图略
21
②求得界点，标示所需：当y＝0时，求得方程－2x2 －4x＝0的解为__x_1_＝__0_，__x_2＝__－__2__，并用锯齿线标 示出函数y＝－2x2－4x的图象中y≥0的部分； 图略
上标出方程的解．
略．
返回 17
题型
2
图象法说明一元二次方程 的解与不等式的解集关系
11．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的图象如图所示，根据图象 解答下列问题：
(1)直接写出方程ax2＋bx＋c＝0 的两个根：__x_1_＝__1_，__x_2＝__3___;
18
(2)直接写出不等式ax2＋bx＋c>0的解集：_1_＜__x__＜__3__；
第22章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程 第2课时 用二次函数的图象解一元二次方
程（不等式）
1
1
2
3
4
Hale Waihona Puke 5678
9
10
11
12
2
知识点 1 用图象法求一元二次方程的近似解
1．用图象法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解的常 用方法： 方法一：画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，图
象与x轴的公共点的__横__坐__标__就是一元二次方程ax2＋ bx＋c＝0的根；
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用二次函数的图像解一元二次方程
教学目标知识
和
能力
复习巩固用函数y＝ax2＋bx＋c的图像求方程ax2＋bx＋c＝0的解
过程
和
方法
让学生体验函数y＝x2和y＝bx＋c的交点的横坐标是方程x2＝bx＋c的解的
探索过程，掌握用函数y＝x2和y＝bx＋c图像交点的方法求方程ax2＝bx＋c
的解。
情感
态度
价值观
提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想。
教学重点用函数图像法求方程的解以及提高学生综合解题能力
教学难点提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想
教学准备教师多媒体课件学生“五个一”
课堂教学程序设计设计意图一、复习巩固
1．如何运用函数y＝ax2＋bx＋c的图像求方程ax2＋bx＋c的解?
2．完成以下两道题：
(1)画出函数y＝x2＋x－1的图像，求方程x2＋x－1＝0的解。
(精
确到0.1)
(2)画出函数y＝2x2－3x－2的图像，求方程2x2－3x－2＝0的解。
教学要点
1．学生练习的同时，教师巡视指导，
2．教师根据学生情况进行讲评。
解：略
函数y＝2x2－3x－2的图像与x轴交点的
横坐标分别是x1＝－1
2
和x2＝2，所以一元二次
方程的解是x1＝－12
和x2＝2。
二、探索问题
问题1：育才中学初三(3)班学生在上节课的作业中出现了争论：求
方程x2＝12x 十3的解时，几乎所有学生都是将方程化为x2－12
x －3＝0，画出函数y ＝x2－12
x －3的图像，观察它与x 轴的交点，得出方程的解。
唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y ＝x2和y ＝12
x ＋2的图像，如图(3)所示，认为它们的交点A 、B 的横坐标－32
和2就是原方程的解．
提问： 1. 这两种解法的结果一样吗? 2．小刘解法的理由是什么?
让学生讨论，交流，发表不同意见，并进行归纳。
3．函数y ＝x2和y ＝bx ＋c 的图像一定相交于两点吗?你能否举出例子加以说明?
4，函数y ＝x2和y ＝bx ＋c 的图像的交点横坐标一定是一元二次方程x2＝bx ＋c 的解吗?
5．如果函数y ＝x2和y ＝bx ＋c 图像没有交点，一元二次方程x2＝bx ＋c 的解怎样?
三、做一做
利用图26．3．4，运用小刘方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理。
(1)x2＋x －1＝0(精确到0.1)； (2)2x2－3x －2＝0。
教学要点：①要把(1)的方程转化为x2＝－x ＋1，画函数y ＝x2和y ＝－x ＋1的图像；
②要把(2)的方程转化为x2＝32x ＋1，画函数y ＝x2和y ＝32
x ＋1的图像；③在学生练习的同时，教师巡视指导；④解的情况分别与复习两
道题的结果进行比较。
四、综合运用
已知抛物线y1＝2x2－8x ＋k ＋8和直线y2＝mx ＋1相交于点P(3，4m)。
(1)求这两个函数的关系式；
(2)当x 取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。
解：(1)因为点P(3，4m)在直线y2＝mx ＋1上，所以有4m ＝3m ＋1，解得m ＝1
所以y1＝x ＋1，P(3，4)。
因为点P(3，4)在抛物线y1＝2x2－8x ＋k ＋8上，所以有
4＝18－24＋k ＋8 解得 k ＝2 所以y1＝2x2－8x ＋10
(2)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1y ＝2x2－8x ＋10
解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝3y1＝4 ，⎩⎪⎨⎪⎧x2＝1.5y2＝2.5
所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5)。
五、小结： 1．如何用画函数图像的方法求方程韵解?
2．你能根据方程组：⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝bx ＋c 的解的情况，来判定函数y ＝x2与y ＝bx ＋c 图像交点个数吗?请说说你的看法。
作业
设计
必做 选做
教
学
反
思。