射影几何对初等几何教学的指导.
射影几何(正式版)
射影几何首先，射影几何学是几何学的一个重要分支学科。
概括的说，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的学科。
那射影几何的某些内容在公元前就已经发现了，但直到十九世纪才形成独立体系，趋于完备。
接下来，我将从以下4个方面介绍射影几何。
（1，2，3，4）首先是第一点，从透视学到射影几何在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临了如何呈现的问题。
例如如何将平行的9个长方体从一个角度观察并呈现在了二维纸面上。
正是这种冲突，刺激并导致了富有文艺复兴特色的学科---透视学。
这里不得不提起一个数学透视法的天才，阿尔贝蒂。
他是当时意大利著名建筑师、建筑理论家。
意大利文艺复兴时期最有影响的建筑理论家。
一生致力于理论研究，著有《论绘画》、《论建筑》、《论雕塑》，其中《论建筑》为当时最富影响、最具代表性的建筑理论著作，书内列有研究建筑材料、施工、结构、构造、经济、规划、水文、设计等章节，完整地介绍了他的建筑思想。
另外《论绘画》一书（1511）则更是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。
接下来就是第2点了——射影几何的早期发展在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，其早期开拓者德沙格、帕斯卡等主要是以欧式几何的方法处理问题(这点很重要)。
但是由于18世纪解析几何、微积分的发展洪流而被人遗忘。
德沙格：生在法国，也死在法国，和当时的笛卡尔、费尔马等领头数学家都是好朋友，这批人的活动和所取得的成就，使法国成为当时世界上最辉煌的国度。
身处这一旋涡的德扎格以其新颖的思想和独特的数学方法，对于透视法产生的问题给予数学上解答，开辟了数学的一个新领域，成为射影几何学的先驱的第一人。
帕斯卡：法国著名的数学家、物理学家、哲学家和散文家。
主要贡献是在物理学上，发现了帕斯卡定律，并以其名字命名压强单位。
射影几何在初等几何解析几何中的一些应用
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学
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》 P 84 )
论 来 研 究 初 等儿 何 或 解 析 几 何 中 有 关 问 题 的 时候 就 意 味着 我 们 从 射 影 平 面 回 到 了 拓 广
,
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c D
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牛顿
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产
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( 证毕 )
例二 三 角形 A
自三 角形
,
A BC 三 CAQ
。
边 分别 向外 作 正
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。
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Q
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、
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、
正三 角形 的 中 心 亦共 点
。
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、
BQ”
” CR 三 线
BC A B
… …
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Q L L Q B C A P K ,c ’ Q L
这 里 能 联系
,
三 条对 角线B D 在 一条直 线上
。
E F 的 中点
L
、
N
的 当然 只 能 是 那 些 与 射 影 性 质 有 关 的 间题
这 条 直 线 叫 做完 全 四 边 形 的
即 与 在 射 影 变 换 下 图 形 的 不 变 性 质 及不 变 量 有 关 的 问题
高等几何对初等几何相关指导作用分析
高等几何对初等几何相关指导作用分析摘要高等几何是利用克莱因的变换群的观点定义的几何学，其能从更高的角度探索初等几何，对初等几何的相关证明、理论依据和命题的构造方面具有很好的指导作用。
本文分析了高等几何对初等几何相关指导作用，阐明了其之间的相互关系，并利用高等几何的思想方法对初等几何命题进行变换，通过实例从高等几何在点线结合、交比、反射变换和射影变换方面对初等几何的指导作用进行了探究，并阐述了高等几何对初等几何的作用在现代中学数学教学中的意义。
【关键词】高等几何；初等几何；变换AbstractHigher geometry is the use of the transformation of the view of klein, the definition of geometry Angle from higher primary geometry, to explore the relevant proof, elementary geometry theory and structure of proposition has very good guidance. Based on the analysis of higher geometry elementary geometric related guidance, illustrates the relationship between higher geometry, and using the method of elementary geometry proposition to transform from higher geometry, through examples in point, line, combined with reflection and projective transform, to transform the guiding role of elementary geometry.【Keyword】higher geometry；elementary geometry；transform前言初等几何是一种可测量的几何，比较直观、易懂，而高等几何较抽象、难理解. 但高等几何是初等几何的延深课程，二者之间有很深的渊源.高等几何作为一门几何课程，有着自身的特殊作用，高等几何知识与初等几何知识的沟通，为我们提供了解决初等几何的一些方法.学好高等几何，就能在更高层面上认识几何学的基本特性，研究方法，内在联系，可以认识到几何学的本质，深化和发展几何空间概念，以便更深入地驾驭和掌握初等几何的内涵和外延。
完全四点形和完全四线形调和性质应用例析
完全四点形和完全四线形调和性质应用例析作者：何璇摘要本文对高等几何中的完全四点(线)形的调和性质进行了归纳整理，主要研究内容是通过运用完全四点形和完全四线形调和性质解决一些几何证明、几何作图、研究二次曲线的一些性质等几何问题，来体现高等几何的一些思想观点和方法。
从而能够用现代几何学的观点处理初等几何问题,使解题更简洁，拓宽解题思路 ,提高解题能力。
关键词：完全四点（线）形；调和性质；高等几何；初等几何AbstractThe paper gives a simple summary to harmonicity of complete quadrangle (complete quadrilateral) in Higher Geometry. Its main research content is to figure out some problems including geometrical proving, geometrical drawing and researching the characters of the conics via the harmonicity of the complete quadrangle (complete quadrilateral), which incarnates some viewpoints and methods in higher geometry. Accordingly, we can deal with the problems on elementary geometry by using views of modernistic geometry, which can simply solve problems, broaden train of thought and improve the capacity to solve problems.Key words: complete quadrangle (complete quadrilateral); harmonicity; Higher Geometry; Elementary Geometry1.前言射影几何对初等几何教学的指导，不仅表现在提高数学思想与观点上，还直接表现于对初等几何图形的射影性质的研究中(参见文[9][11])。
笛沙格定理在初等数学中的简单应用
笛沙格定理在初等数学中的简单应用1 序言17世纪法国数学家笛沙格，他是射影几何的奠基人，在射影几何方面的工作具有创造性成 就．他年轻时不仅做过工程师还做过建筑师，在学术研究方面他也不赞成为理论而搞理论，更注重于将理论应用于实际．但由于笛沙格当时的手稿写作手法晦涩难懂并且当时正值欧洲文艺复兴后，解析几何、微积分等学科的产生和发展，使得人们热衷于新兴领域，而传统数学几何学发展相对滞后，基于各种原因在很长一段时期内笛沙格的研究被人们所忽略，直到200多年后笛沙格的射影几何学术思想才引起人们的普遍重视，他的重要理论才得以被人们所认知．2 预备知识2.1 笛沙格定理内容及特例[1](P58-59)笛沙格定理两个三角形ABC 和'''C B A 中,若对应顶点的连线'AA ,'BB ,'CC 共点,则对应边的交点'','',''B A AB R A C CA Q C B BC P ⨯=⨯=⨯=共线.(图1) 笛沙格定理的逆定理设两个三角形中三对对应边的交点共线，则三对对应顶点的连线共点. 常见笛沙格定理的特殊情况 1 有一对对应点重合 见图2 2 有两对对应顶点重合 见图３(图2) (图3) 定理拓展在平面几何中适用笛沙格定理，拓展到空间几何学，他同样适用.如图（4）,（5）所示:(图4) (图5)2.2 笛沙格定理的证明 定理的证明有若干种方法，而且方法涉及面很广，在此选取较容易理解的两种方法和大家一起来分享.1 线性代方法证明[1](P59)2 应用梅涅劳定理证明 证明 （如图1）对于''C OB ∆及截线BCP1''''-=⋅⋅CO CC PC P B BB OB 对于''B OA ∆及截线BAR1''''-=⋅⋅BOBB RB R A AA OA对于''C OA ∆及截线ACQ1''''-=⋅⋅C C COQ A QC OA AA 三式相乘得1''''''-=⋅⋅QA QC RB R A PC P B 对于'''C B A ∆用梅涅劳定理可得PQR 三点共线.3 笛沙格定理的重要地位3.1 笛沙格定理在高等几何中的重要性笛沙格定理是《高等几何》中的重要定理，它是平面（二维）射影几何的重要基础之一，高等几何的许多定理都是以它为基础，他也是许多初等数学中定理和命题的理论依据,由此还可以推出一系列几何命题．而且定理在空间几何中也有部分的应用.3.2 高等几何与初等几何的联系高等几何不仅是对初等几何理论的提高，同时也是对初等几何的延伸与拓广。
空间对偶原理在初等几何教学中的应用举例
由三个通常点所确定由两个通常点和一个无穷远点所确定由一个通常点和二个无穷远点所确定空间对偶原理在初等几何教学中的应用举例相关高等几何的教科书里都收集了射影空间相关点、面的对偶原理，然而却没有象在提出射影平面中的点、直线的对偶原理后，举出一些初等几何中的例子来说明其在初等几何教学中的应用，以使读者在学习了高等几何知识后能居高临下地把握初等几何教学中的相对应内容，本文通过对两个初等几何中常用命题在射影空间中的拓广讨论，来说明空间对偶原理在初等几何教学中的应用。
为了阅读上的方便，我们把射影空间中的对偶原理叙述如下:在射影空间相关点与平面位置关系的定理中，只要把其中的名词“点”和“平面”互换一下，再相对应改变它们之间的连接词，则立即可得另一个定理——这样的一个定理称为原定理的对偶原理，原定理的准确性能够肯定其对偶原理的准确性，反之也真，这就是射影空间中的对偶原理。
显然这里的点、直线和平面既包括初等几何中的点、直线和平面（也称为通常点、通常直线和通常平面），又包括了射影空间中的无穷远点、无穷远直线和无穷远平面。
有兴趣的读者能够参阅本文后的附录《关于“拓广空间”的概念及其对偶原理》一文。
一、初等几何中的两个命题及其在射影空间中的推广在现行的中学立体几何教材中，大都收入了初等几何内的两个命题，一个通常被称为“公理3”，表述为:“经过不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面”；另一个被作为习题:“如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线互相平行或相交于一点”如果我们去掉两个命题中对点、直线和平面都必须是通常点、通常直线和通常平面的限制，那么它们在射影空间里就是一对对偶命题，我们在这里不妨将“公理3”在射影空间的拓广记为命题一，“习题”在射影空间中的拓广为命题二。
并对它们在射影空间中的准确性加以证明证明:在已知的三点A 、B 、C 中任取二点，不妨取A 、B 二点，能够由本文附录中的约定（1）得A 、B 决定且只决定一条直线AB 。
数学文化射影几何
射影几何原理
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射影几何原理
连续性原理
对偶原理
射影几何原理
射影几何原理 原理一：连续性原理：通过投影或者其他方法把某一图形变换成另一个 图形的过程中的集合不变性。 C S A D S A B B
C
D
射影几何原理
射影几何原理
原理二：对偶原理：在射影几何里，把点和直线叫做 对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一 点”叫做对偶运算。在两个图形中，它们如果都是由点 和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元 素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。 这两个图形叫做对偶图形 。如果在它涉及的定理中，将 “点”换成“线”，同时将“线”换成“点”，那么就 可以得到一个新的定理。例如考虑著名的帕斯卡定理和 布里昂雄定理：
射影几何原理
射影几何原理
帕斯卡定理： 对于任意内接于非退化的二阶曲线的简 单六点形，它的三对对边的交点在一条直线上。
射影几何原理
射影几何原理
它的对偶形式则是：对于任意一个外切于非退化的二 级曲线的简单六线形，它的三对对顶点的连线交于一点
F A
E
B
D
C
射影几何原理
射影几何原理
这就是射影几何学所特有的对偶原则。在射影平面上， 如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做 平面对偶原则。同样，在射影空间里，如果一个命题成 立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。 1872年，德国数学家F·克莱因(Felix Klein)在爱尔朗 根大学提出著名的《爱尔朗根计划书》中提出用变换群 对几何学进行分类，就是凡是一种变换，它的全体能组 成“群”，就有相应的几何学，而在每一种几何学里， 主要研究在相应的变换下的不变量和不变性。
关于点共线、线共点问题的多种证法
关于点共线、线共点问题的多种证法学生姓名：贾娟 指导教师：杨慧摘要： 在初等几何中，我们常常会遇到点共线、线共点这方面的问题。
而射影几何的基本不变性是点线的结合性，因此点共线、线共点问题是射影几何的主要研究对象之一。
对于点共线、线共点问题的解决方法也有很多，本文则主要探讨的是利用射影几何方法与初等几何方法解决这类问题，通过比较发现具体问题用哪种方法更合适，以及解题时需要注意的问题。
关键词： 射影变换 德萨格定理 完全四点形 赛瓦定理 一维基本形的透视对应作为师范类院校的学生，将来若想成为一名合格的中学数学教师，就必须在学习解析几何的基础上再进一步学习高等几何。
而高等几何对中学数学教师几何基础的培养、解题观点的提高、思维方法的多样性等都起着重要的指导作用。
对于高等几何到来说，尤其是其中的射影几何，既包含了解析几何中主要研究图形性质的内容，也融合了欧氏几何中主要研究空间几何结构的内容。
因此，学习高等几何知识，不仅使我们开阔了几何学的视野，也让我们更好地理解、把握了初等几何的本质。
比如初等几何中点共线、线共点的问题，在中学数学教学中既是一个重点也是一个难点。
如果只是用初等几何方法去解决，有时会很复杂，相反若要用射影几何中的知识如完全四点形的调和性质、德萨格定理及其逆定理、一维基本形的透视对应性质等知识点来解决，会更简便。
这样也为我们提供了多种解决初等几何问题的研究方法。
用高等几何的观点指导初等几何的教学内容，进而不断地改进初等几何的教学方式，这样也有助于提高中学几何的教学质量。
1.主要定义及定理 一维基本形的透视对应：定义1如果一个点列与一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的，则这个对应叫做点列与线束之间的透视对应。
同理，如果两个点列与同一线束成透视对应，则这两个点列叫做透视点列；如果两个线束与同一点列成透视对应，则这两个线束叫透视线束。
由此可知，两个成透视对应的点列，其对应点之连线共点。
射影几何在中学数学的应用课件
注：定理2对于解析几何中的各种二次曲线都适用。
交比
例7 过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE, DF，连结EF, CD交AB于G, H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理)
交比
椭圆的长轴与x轴平行，短轴在y轴上， 中心在y轴的正半轴上,过原点的两条直线分 别交椭圆于点Ｃ,D和点Ｇ,Ｈ,设CH交X轴于 点P，GD交X轴于点Q,则有OP=OQ
但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等 则发生改变
仿射变换
例5 设A、B是椭圆长轴的两个端点，C是椭圆的中心，椭圆 在其上的一点P处的切线与点A处的切线相交于点Y，则CY//BP
仿射变换
例4 求证：椭圆的任意一组平行弦的中点的轨迹是一条经过中 心的线段，并且在这线段的两个端点处的切线平行于这些弦
此时, 若P4=P, 而P1, P2, P3为通常点, 则
(P1P2 , P3P ) (P1P2P3 )
P1P3 P2 P3
1.
这表示P3为P1P2的中点.
定理 设P1, P2, P为共线的通常点，P为此直线上的无穷 远点，则P为P1P2的中点 (P1P2 , PP ) 1.
但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等 则发生改变
仿射变换
例1 在平行四边形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上， 且EF//BD,求证：
例2 求椭圆的
仿射变换
面积
例3 求椭圆
仿射变换
内接△ABC的面积的最大值
思考一 半径为a的圆的内接三角形的面积的最大值是多少呢？
思考二 椭圆的内接四边形面积的最大值是多少呢？一般的，椭圆的内 接n边形的面积的最大值多少呢？ 一般的，椭圆的外切n边形的面积的最小值是多少呢？
射影几何对初等几何教学的指导.
前言射影几何对初等几何教学的指导，不仅表现在提高数学思想与观点上，还直接表现在对初等几何图形性质的研究中。
由射影几何、仿射几何和欧氏几何三者的关系，我们知道，欧氏几何为仿射几何及射影几何的子几何，因此可以通过图形的仿射性质和射影性质，指导研究初等几何中的一些问题。
完全四点（线）形的调和性是射影几何的重要不变性，它在射影几何中占有重要地位，不仅如此，它在初等几何中也有广泛应用。
由于它跟初等几何课程有紧密的联系，它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，从而有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养，所以我尽量从几何的概念出发，运用活生生的几何直观，作为简化思维过程进行高度概括总结的武器。
经验表明，学了射影几何之后，学生对几何的学习兴趣提高了很多。
所以紧密联系中学数学教学，是本论文的着重点之一。
1.完全四点(线)形的定义及性质1.1 完全四点形的定义定义1 平面内无三点共线的四点及其两两连线所构成的图形称为完全四点形(完全四角形),记作完全四点形ABCD。
定义1′完全四点形含四点六线,每一点称为顶点,每一直线称为边,不过同一顶点的两边称为对边,六边分为三对,每一对对边的交点称为对边点(对角点),三个对边点构成的三角形称为对角三角形,如图1。
图1 图2定义2:平面内无三线共点的四直线及其两两交点所构成的图形。
称为完全四线形(完全四边形),记作完全四线形abcd。
定义2′:完全四线形abcd含四线六点,每一直线称为边,每一点称为顶点,不在同一边上的两个顶点称为对顶,六个顶点分为三对,每一对对顶的连线称为对顶线(对角线),三条对顶线构成的三角形称为对角三角形,如图2。
1.2 完全四点(线)形的调和性质定理1:设s、s′是完全四点形ABCD的一对对边,它们的交点是点X,若X与其它二对边点的连线是t、t′,则有(ss′, tt′) =－1。
图3证明：如图3，根据定理[1]1.10，有（AB，PZ）=（DC，PZ）同理（DC，QZ）=（BA，PZ）∴（AB，PZ）=（BA，PZ）但是（BA， PZ）=1 (,) AB PZ∴2(,)AB PZ=1但（AB，PZ）≠1因此（AB，PZ）=－1由定理[2]1.9，有（AB，CD）=(ab,cd)(ss′,tt′)=－1.推论1:在完全四点形的对边三点形的每条边上有一组调和共轭点,其中两个点是对边点,另两个点是这条边与通过第三个对边点的一对对边的交点。
射影几何在几何作图中的应用
射影几何在几何作图中的应用崔萍【摘要】以射影几何中熟知的一些知识:德萨格定理、完全四点形与完全四线形的调和性质、帕普斯定理、帕斯卡定理、极与极线理论等为依据,介绍仅用一根直尺就能解决的若干作图问题.【期刊名称】《曲靖师范学院学报》【年(卷),期】2014(033)006【总页数】4页(P49-52)【关键词】射影几何;几何作图;应用【作者】崔萍【作者单位】曲靖师范学院数学与信息科学学院,云南曲靖655011【正文语种】中文【中图分类】G642我国的数学教学特别注重“双基”，我们常有“打好基础”的提法，实际上就是要求学生掌握基础知识和基本技能，因为知识和技能是学生在数学上发展和进步的土壤，依托数学知识，掌握基本的技能，才能培养学生的数学能力、数学信念，了解和理解数学思想方法，从而体验数学文化的无穷魅力．[1]几何知识主要包括三类：图形、空间和度量．几何技能主要包括：几何直观、作图技能、识图技能、几何表达、度量技能、推理技能等．作图一方面可以培养学生动手操作能力，另一方面可以增加对图形和空间的理解．现实生活中，学生更需要会画各种几何图形，因此，几何教学应加强培养学生绘图的能力．初等几何中关于尺规作图的能力问题，也就是关于用圆规和直尺这两种古典的几何作图工具在二者并用或单独使用情况下能解决作图的范围问题．尺规并用能解决许多几何作图问题，但它实际应用上有局限性．至于单用一根直尺能解决的典型的作图问题，这是由于透视理论的发展和在大区域的地面上作图的需要而引起的．[2]这在绘制测量图中有实用价值．特别，如果在作图平面上预先已有如平行线、中点等图形，则直尺的应用效果就会更强．本文以德萨格定理、完全四点形与完全四线形的调和性质、帕普斯定理、帕斯卡定理、极与极线理论等射影几何中熟知的一些知识为依据，介绍仅用一根直尺就能解决的若干作图问题．解决这些作图问题所用的方法具有简单、新颖、实用的特点．1 德萨格定理在几何作图中的应用德萨格定理[3]：两个三角形，若三双对应顶点的联线共点，则三双对应边的交点共线.其对偶定理：两个三角形,若三双对应边的交点共线，则三双对应顶点的联线共点．德萨格定理及其对偶定理不仅是解决初等几何中共点、共线问题的有力工具，而且利用这两个定理还可只用一根直尺就能解决不可及点、多面体截面的作图问题．1.1 德萨格定理用于不可及点的作图例1 在平面上给定二直线a和b及不在a,b上的一点P，不先定出a和b的交点，如何仅用直尺作一直线联接P和这交点．解(如图1)，在a,b二直线外任取一点外O，通过O引三直线l,m,n；设Q=l×a，R=l×b，图1 例1示意图Q′=n×a，R′=n×b，O1=m×PQ，O2=m×PR，P′=O1Q′×O2R′，则PP′就是所求直线．这是因为在ΔPQR和ΔP′Q′R′中，对应边的交点O,O1,O2共线，根据德萨格定理，对应顶点的联线PP′,QQ′,RR′必共点，亦即PP′必通过a和b的交点．1.2 德萨格定理用于多面体截面的作图多面体截面的作图是高中立体几何的一个难点，探讨、研究多面体作图问题有利于提高学生的几何作图能力和解决立体几何问题的能力．高中《立体几何》课本中简单介绍了几种基本作图法，这里给出利用德萨格定理作多面体截面的投影作图的方法．多面体的截面是指多面体与平面相交所得的由一些直线段(截痕)围成的多边形(平面)．设L,M,N分别是多面体各棱上的点，这三点显然不共线，它们所确定的平面就是截面．因此，作截面的问题就归结到确定截面与多面体棱的交点(截面的顶点)问题．投影法利用中心透视把已知三点L,M,N投影到投影面上得到相应的投影点L′,M′,N′，一般，L′,M′,N′都在棱上．据德萨格定理知：ΔLMN与ΔL′M′N′的三双对边的交点MN×M′N′,NL×N′L′,LM×L′M′共线(记为直线)，所共的这条直线即为截面与投影面的交线．因此，截面的一边(延长线)与对应的多面体在投影面上的某一棱(延长线)的交点必在直线上，于是求出截面与多面体棱的交点，截面也就作出来了．在利用投影法作多面体的截面时要注意:截面与投影中心的位置无关；截面与投影面的位置无关．[4]作截面的关键是恰当选取投影中心和投影面．例2 在直五棱柱ABCDE-A′B′C′D′E′(如图2)中，P,Q,R分别是棱AA′,BB′,CC′上的点，求作过此三点的五棱柱的截面．图2 例2示意图解因直五棱柱的棱分别平行，故选取无穷远点(∞)为投影点，底面ABCDE为投影平面α．设M=PQ×α,N=QR×α,则直线MN是平面PQR与平面α的交线；记K=CD×MN,则K既属于平面CDD′，也属于平面PQR，从而平面CDD′与PQR 的交线是直线KR；记X=DD′×KR,则X是平面PQR与棱DD′的交点；同理可求出平面PQR与棱EE′的交点Y，故五边形PQRXY即为所求的截面．2 完全四点形与完全四线形的调和性质在几何作图中的应用完全四点形的调和性质：完全四点形通过每一个对角点有一组调和线束，即通过这对角点的两边和对角三角形的两条边．完全四线形的调和性质：完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列，即这直线上的两个顶点和对角三角形的两个顶点．[5]当问题中出现平行，中点时，由于两平行线的交点是无穷远点，而无穷远点与中点正好是一对调和共轭点．因此，可利用完全四点(线)形的调和性质仅用一根直尺解决初等几何中涉及平行，平分(中点)的相关作图问题．例3 已知线段AB平行于线段CD(如图3)，仅用直尺作平分线段AB，CD的直线．分析因线段AB平行于线段CD，故直线AB与直线CD的交点R是无穷远点，而无穷远点的调和共轭点是线段的中点，从而可利用完全四点(线)形的调和性质来作线段AB和线段CD的中点．图3 例3示意图解作E=AC×BD,F=AD×BC,则直线EF即为所求直线．这是因为在由四直线FD，DE，EC，CF构成的一个完全四线形中，FE，DC，AB是它的三条对角线．设EF交AB于M，交CD于N，由完全四线形的调和性质有(AB,MR)=-1，(DC,NR)=-1，但DC//AB，所以R是无穷远点，而无穷远点的调和共轭点是线段的中点，所以M，N是线段AB，CD的中点，EF即为所求平分线段AB，CD的直线．例4 已知线段AB及其中点M，C是直线AB外一点，仅用直尺作过点C平行于AB的直线．解 (如图3)连接B，C，在直线BC上任取点F,连接F，M；作E=AC×FM,D=AF×BE,则直线CD即为所求．这是因为在由四直线FD，DE，EC，CF构成的一个完全四线形中，设R=AB×CD，由完全四线形的调和性质有(AB,MR)=-1，但M是 AB的中点，所以R是无穷远点，从而DC//AB，直线CD 即为所求直线．例5 已知线段AB及其平行线CD，仅用直尺作线段AB的中点．解 (如图3)作E=AC×BD,F=AD×BC,连接E，F，则直线EF与AB的交点M即为所求．这是因为在由四直线FD，DE，EC，CF构成的一个完全四线形中，设R=AB×CD，由完全四线形的调和性质有(AB,MR)=-1，但AB//CD，所以R是无穷远点，而无穷远点的调和共轭点是线段的中点，所以M是线段AB的中点．3 帕普斯定理在几何作图中的应用帕普斯定理[6]：设直线l上有互异三点A,B,C，直线l′上有互异三点A′,B′,C′，那末三点L=BC′×B′C，M=CA′×C′A，N=AB′×A′B共线(如图4)．图4 帕普斯定理示意图例1的不可及点的作图也可利用帕普斯定理仅用一根直尺来作(如图5)．图5 帕普斯定理用于不可及点作图任作两直线l,l′；l分别交a,b于点A和点C，l′分别交a,b于点C′和A′；联AP交直线l′于点B′，联A′P交直线l于点B；作Q=BC′×B′C，则直线PQ即为所求．这是因为所作直线l,l′上各有三点A,B,C和A′，B′，C′，根据帕普斯定理，三点AB′×A′B=P,BC′×B′C=Q,AC′×A′C=a×b共线，即PQ通过a,b的交点．4 帕斯卡定理在几何作图中的应用帕斯卡定理[7]：设1，2，3，4，5，6是内接六角形的六个顶点(如图6)，则边12与45，23与56，34与61称为三双对边，三双对边的交点Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ共线．图6 帕斯卡定理示意图在常态情况下令两相邻的元素重合，例如5≡6，则六角形变成五角形，边56变为点5处的切线，因此有：设一五角形内接于一二次曲线，则一边与其对顶的切线的交点，以及其余两对不相邻的边的交点共线(如图7)．图7 特殊情况的帕普斯定理示意图例6 仅用直尺求已知圆上一点处的切线．解由于圆是二次曲线，利用帕斯卡定理的特殊情形可解决此问题．把圆上已知点看成第5点，在圆上任取1，2，3，4四点；作Ⅰ=12×45，Ⅲ=34×51，Ⅱ=23×ⅠⅢ，则Ⅱ与5点的联线即为5点处的切线．图8 例6示意图5 极与极线理论在几何作图中的应用根据极与极线的理论，我们能作出一点关于一条二次曲线的极线．若P不在Γ上(不论在Γ内部或外部，作法相同)，通过P点任引两直线使与Γ分别交于A，B及C，D(图9)．设Q=AC×BD，R=AD×BC，那末QR就是所求的极线p．图9 极线作法示意图特别地，若P在Г外部，p与Г交干两点M，N．这两点在p上，所以与P共轭．但M在Г上，因而由定理[8]:设点y在Г上，那末它的极线就是Г在点y的切线.与M共轭的P点在M点的切线上，可见PM是切线．同理PN也是切线．可见从一个外部点的极线的作图，立刻得出由该点向Г所引两条切线的作图，这作图只用了直尺．例7 已知一圆及其外一点P, 仅用直尺作过P点的圆的两条切线．图10 例7示意图解问题可归结为作一点的极线问题．通过P点任引两直线使与圆分别交于A，B及C，D；设Q=AC×BD，R=AD×BC；连接Q，R交圆于点M,N，则PM,PN即为所求的两条切线．【相关文献】[1]苏红雨.学生几何素养的内涵与评价研究[D].上海：华东师范大学，2009．[2]王小梅.关于一根直尺的几何作图[J].惠州大学学报：自然科学版，2001(4)：155 - 157．[3][5][6][7][8]朱德祥，朱维宗．高等几何[M].北京：高等教育出版社，2009：64，70，73，111，117．[4]郑海波，赵玉纯．多面体截面的射影作图法[J]．数学通报，1993(8): 16- 18．。
试论射影几何对中学几何教学的指导意义
试论射影几何对中学几何教学的指导意义射影几何（ProjectiveGeometry）是非欧几里得几何（Non-EuclideanGeometry）的一种，它与传统的几何有着明显的不同，它不受传统几何中距离和角度的度量约束，也不受立体几何中空间概念的限制，它是一种经常被应用于科学、工程、设计等领域的新型几何范式。
射影几何对中学几何教学具有重要的指导意义。
首先，射影几何可以帮助学生理解传统几何的本质。
传统几何和射影几何都基于“线段定义点”的原则，但是射影几何可以更深入地探讨点和线段之间的联系；同时，尽管它是一种离散几何，也可以实现连续变换，例如可以将一定数量的点变换成一条抛物线，学生可以从射影几何中获得完整的几何视野，从而更好地理解传统几何。
其次，射影几何可以极大地改善学习效率。
比起一味的数学演算，学习射影几何可以从图像的角度对传统几何的知识进行视觉展示，同时，在射影几何中，抽象的结论可以通过简单的图示来验证，从而极大地提高学习效率。
最后，射影几何可以帮助学生畅游艺术的海洋。
射影几何的形式简单、抽象，同时具有极大的美学内涵，它可以帮助学生在艺术的海洋中感受美妙的乐趣。
总之，射影几何在中学几何教学中具有十分重要的指导意义。
它可以更加深入地理解传统几何，提高学习效率，并且可以引导学生畅游艺术的海洋。
射影几何在中学教育中，有着不可替代的地位，学校应当注重培养学生的射影几何学习，从而扩大他们的几何视野，为他们的学习提供更多的帮助。
射影几何的介入，改变了中学几何的教育视野，它有着丰富的内涵，比传统几何要更加抽象，这也为中学教育中的几何教学带来了新的可能性。
它为学生打开了一扇新的门，让他们踏入几何的海洋，探索几何的奥秘，和欣赏几何的美，从而更加深入地学习几何，为他们的未来打下坚实的基础。
高等几何思想方法在初等几何中的应用
收稿日期：2018-04-20 作者简介：吴华玥，女，吉林敦化人，吉林师范大学数学学院在读硕士研究生（吉林 四平 136000）.
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2018 年
学 报（自然科学）
第4期
故 A′1 A′ ，B′1 B′ ，C′1C′ 交点为 K′ . 例 3 平行四边形 ABCD ，点 E ，F 分别是
AB ， BC 边 上 的 点 ，有 EF//AC . 求 证 ： SΔAED = SΔCDF .
图 1 三角形变换成正三角形
证明 如图 1 所示，将 ΔABC 经一仿射变换
到 B′C′ 的距离相等，于是 E′ F′//B′C′ ，因为平行
性为仿射不变性，故在 ΔABC 中 EF//BC .
上面通过仿射变换将任意一个三角形变成
正三角形，通过运用高等几何的方法来解决初等
几何问题，能让我们从另一角度解决初等几何问
题，从而使解题思路更加清晰，解题步骤更加简
便，可见高等几何的思想方法对初等几何的指导
方便.
例 4 在 ΔABC 的 BC 边上取 D,E 两点，
将 BC 三等分，连结 AD,AE ，取 AC 中点 F ，
13通过对高等几何的学习使我们找到高等几何与初等几何的联系并能领悟到高等几何在初等几何中的应用从而更加深入地了解高等几何与初等几何的内在联系可以从另一高度来看待初等几何的内容使我们对初等几何中一些定理的生成有了新的理解有利于更好地教学
2018 年 第4期
教学方法探索
学 报（自然科学）
射影几何在中学几何中的应用
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)0引言 (2)1 射影几何与中学几何的关系 (2)1.1 射影学的对象 (2)1.2 射影几何与中学几何的密切关系 (2)1.2.1射影几何是中学几何部分内容的理论依据 (2)1.2.2 居高临下，分析和把握中学几何 (3)1.2.3 为中学几何获得命题 (4)1.2.4 可用射影几何的方法去证明中学几何题 (4)2 射影几何对中学的指导意义 (5)2.1 仿射变化的应用 (5)2.1.1 利用平行射影证明几何题 (5)2.1.2 利用特殊仿射像证明几何问题 (6)2.1.3 利用仿射变换保持的同素性,结合性,平行性及不变量证明 (7)2.2 射影变换的应用 (8)2.3 用直尺作图 (10)3 有关某些实际问题 (12)4 综合法与解析法 (12)5结论 (13)参考文献 (15)致谢 (16)射影几何在中学几何中的应用摘要:射影几何是利用克莱因的变换群的观点定义几何学，在此观点下把欧氏几何看成是射影几何的子几何，它在中学几何中具有非常广泛的应用。
本文通过仿射变换和射影变换理论在中学几何中的应用，阐明了射影几何和中学几何的关系，并利用射影几何的思想方法，解决中学几何中难以解决的问题，用射影几何画出中学几何图形，充分说明射影几何在中学几何中的应用。
关键词：射影几何中学几何仿射射影Abstract:The projective geometry is the use of the transformation of the view of kleindefinition geometry, in this view the Euclidean geometry under as projective geometry son geometry, it has in middle school geometry is widely used. This article through the affine transformation and projective transformation theory in the application of middle school geometry, and expounds the projective geometry and middle school geometry relationship, and use the thinking method of projective geometry, solve the middle school geometry in difficult problem to solve, with projective geometry draw middle school geometry, full explanation projective geometry in middle school geometry of application.Key words: Projective geometry, Middle school geometry, Affine, Projection0引言中学几何是一种比较简单的几何，直观、易懂，而射影几何较抽象、难理解，但射影几何是中学几何的延深课程，二者之间有很深的渊源。
射影几何知识在初等几何中的应用_顾仕伟
学知报/2010年/11月/29日/第A08版教学论坛射影几何知识在初等几何中的应用山东省临沭县南古镇初级中学顾仕伟欧氏几何与高等几何联系密切，高等几何源于初等几何，又高于初等几何，作为一个中学教师，懂得高等几何就可以更深入地认识和掌握初等几何，指导初等几何的教学与研究，居高临下地认识初等几何的内涵与外延。
我写这篇文章主要是使各位在职的中学老师有个清醒的认识，能够从理论的高度去分析解决问题，主要是给自己一个鞭策。
为了使中心射影能够一一对应，在高等几何中将欧氏平面加以拓广。
须引进一种新的元素—无穷远元素，无穷远元素包括无穷远点、无穷远直线以及无穷远平面，这些在欧氏几何中都是未曾涉及到的，而在射影几何中，例如无穷远点与我们平常听说的点无异。
无穷远点在射影几何中是由在同一平面内的一组平行直线的唯一一点定义的无穷远直线实际上是三维空间中平行平面的交线；空间中一切无穷远点的集合组成一个平面则为无穷远平面。
在中学平面几何中涉及到“相似”这个概念，如果从变换的角度来看可理解为“相似变换”，而“位似变换”是特殊的相似变换，因此掌握位似变换可帮助我们更好地理解相似变换。
(1)点p''在直线sp上；(2)单比(p''sp)=p''s/ps(k为常数≠0,1)则这种变换叫做位似变换，常数k叫做位似比，定点s叫做位似中心。
在这里，位似比要求k不等于0，这容易理解。
若k=0，则所有p''都与s重合，整个图形归于一点，无研究价值。
k又为什么要求不等于1呢？常规理解为此时p''与p重合，即整个图形与原图形重合，无研究之必要，笔者认为这点理由不充分，事实上，k如果为1，则此时新的图形与原图形全等(可以位置不重合)，且欲要s、p、p''三点共线，此时、在点同侧，则两图形完全重合或所有对应点的边线相互平行，而后者S为无穷远点，但无穷远点这个概念在欧氏几何中不涉及，故对 =1不予讨论，这里，无穷远点理解为一组平行线的交点，为一个假想，在射影几何中，无穷远点一个实在的点，与我们平常的点(有穷远点)无异，从这里可以看到：高等几何与初等几何紧密相连，为了能更具体的说明这一点，我们从以下两个方面进行阐述：(1)利用射影几何中的重要定理—Desargues定理及其逆定理证明共点或共线问题。
射影几何在中学数学的应用教学文稿
证明 因为A, F, C, B为圆上四定点, 则由二次曲线的定义，有
E (A F ,C B ) D (A F ,C B ). 以直线AB截这两个线束，得
(A G ,O B )(A O ,H B ). 由交比的初等几何表示式，有
AOGBAHOB GO AB OH AB
GB AH. GO OH
所以 GOOBAOOH OB AO
交比
(P1P2,P3P4)P P12PP33PP21P P44.
注：如果P4=P, 而P1, P2, P3为通常点, 则可合理地规定： P2 P 1. P1P
于是有, (P1P2,P3P)= (P1P2P3)为前三个通常点的简单比.
二次曲线的射影定义
定理1 平面上五点(其中无三点共线)唯一确定一条非退化 二阶曲线。
仿射变换
椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下，椭圆中原 有直线变换为直线，原点变换为原点，切线变换为切线，直线与直 线之间的关系保持不变（平行直线变换为平行直线，相交直线变换 为相交直线），点与线的关系保持不变，同一直线上的两条线段之 比不变（单比不变），从而线段的中点保持不变，面积之比在变换 下不变，两直线斜率只比不变，等等；
但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等 则发生改变
仿射变换
例5 设A、B是椭圆长轴的两个端点，C是椭圆的中心，椭圆 在其上的一点P处的切线与点A处的切线相交于点Y，则CY//BP
仿射变换
例4 求证：椭圆的任意一组平行弦的中点的轨迹是一条经过中 心的线段，并且在这线段的两个端点处的切线平行于这些弦
定理2 二阶曲线上四个定点与其上任意一点连线所得四直 线的交比为定值。
注：定理2对于解析几何中的各种二次曲线都适用。
高等几何观点下的初等几何
φF'B'C'FDA CBA'D'E E'高等几何观点下的初等几何姜 羽高等几何知识与初等几何知识的沟通,为我们提供了解决初等几何的一些方法,对初等几何教学,对于教师思考和解决问题,有具体的指导意义.利用高等几何的观点和思想方法,将已知初等几何命题进行变换,获得相关的其他初等几何命题,具有重要的意义.本文通过初等几何和高等几何解决问题的方法进行对比,从仿射几何和射影几何的理论和方法出发,探讨它们在初等几何中的若干应用.1 仿射变换在初等几何中的应用1.1 仿影变换为初等几何的有关内容提供了理论依据仿射变换即平行投影变换,保持图形的结合性、平行性、单比、封闭图形面积比不变,直线仍变为直线,圆锥曲线仍变为圆锥曲线,而且圆锥曲线的中心、直径和共轭直径等,也保持不变.因此,对于不涉及线段、角和图形面积定量研究的几何问题中,可以对图形进行仿射变换,将其变到易于讨论的情况,发现其某些非度量性质,使问题获得解决或发现解题思路.通常所说的平移、旋转、对称和相似变换,都是仿射变换的特例. 1.2 仿射变换为初等几何的某些问题提供了简捷的解题方法我们知道,平面几何中的特殊图形：圆、正三角形、菱形经过仿射变换作用后,分别变成一般图形：椭圆、三角形、平行四边形.反之,仿射变换就可以将一般图形变成它们对应的特殊图形.由于特殊图形具有较多性质,所以原命题会变得容易证明. 例1 已知平行四边形ABCD （如图1-1左）的边AB ,CD 上各有一点E ,F 且EF AC //,试证明AED ∆与CDF ∆的面积相等.图1-1 证法1（初等几何方法）EF AC //,∴BE BFAE CF =. 即 B E C F A E B ⋅=⋅.而 CF CD CF AB ⋅=⋅CF AE CF EB =⋅+⋅CF AE AE BF =⋅+⋅AE BC =⋅ AE AD =⋅.∴ 1s i n 2AED S DAE AE AD ∆=∠⋅⋅ 1sin 2FCD CF CD =∠⋅⋅ CDF S ∆=.证法2（仿射变换方法）设已知的平行四边形ABCD 由一个正方形A B C D ''''（如图1-1右）经过仿射变换ϕ得到,且E '对应E ,F '对应F ,,E F ''点分别在边A B '',B C ''上, E F A B ''//''.由于在正方形ABCD 中,A E D C D F ∆'''≅∆''',即两三角形的面积之比为11:,则根据仿射理论“仿射变换保持两封闭图形面积之比不变”,可知上述图形的仿射对应图形AED ∆与CDF ∆的面积之比也为11:,从而得证AED ∆与CDF ∆的面积相等.在仿射几何中,图形在适当的仿射变换下都具有平行两线段长度之比、两封闭图形面积之比不变性质,抓住这一点,不但能使命题证明变得简捷,而且还能推断出这些性质在原图形中也成立,从而能构造出其他相关命题.例2 设P 是ABC ∆内任意一点,直线AP 、BP 、CP 交BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F （如图1-2）,则（1）++=1PD PE PF AD BE CF ；（2）++=2AP BP CPAD BE CF.图1-2证法1（初等几何方法）（1）如图1-2,分别过P 、A 作BC 的垂线,垂足分别为P '、A '.则有1212PBC BCBC PP S PP PDS AA AD BC AA ∆∆A ⋅''==='⋅'. 同理 P C A ABC PE S BE S ∆∆=;PABABCPF S CF S ∆∆=. 故G H P'A'ABCPD EF1PBC PCA PABABCPD PE PF S S S AD BE CF S ∆∆∆∆++++==. （2）因为==1PD AD AP APAD AD AD--,等等,所以由（1）式立即可得（2）式. 证法2（仿射变换方法）（1）如图1-2,分别沿AB 和AC 方向作平行投影P G →、P H →.由仿射变换保简单比不变得：==PD DG DHAD BD CD. ∴ =PD GHAD BC. 又=PE HC BE BC ;=PF GB CF BC, ∴++=++=1PD PE PF GH HC GB AD BE CF BC BC BC. （2）同证法1（2）.关于证法2,当然也可转化为初等几何方法,即作,PG AB PH AC ////.但这真正体现出了高等几何的仿射变换即平行投影变换的观点,只是运用高等几何观点更能透彻看出问题本质.例3 设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,（如图1-3）求与斜率为K 的弦共轭的直径方程.图1-3证法1（初等几何方法）设弦AB 的直线方程为y kx m =+,点11A(x ,kx m)+,22B(x ,kx m)+,33C(x ,y ). 则有yxxyC'A'B'OABC O1232x x x +=,12123()22kx m kx m k x x y m ++++==+. 故所求直径方程为33122()y my x k x x x x ==++. 将椭圆方程与弦方程联立方程组,可求得1222222a kmx x k a b-+=+.代入上述直径方程得220b x a ky +=.证法2（仿射变换方法）设弦AB 的直线方程为y kx m =+,则经仿射变换有b x x a y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩,即a x x b y y ⎧='⎪⎨⎪='⎩,将椭圆方程变为222x y b '+'=,将弦方程变为ay kx m b'='+.而弦的共轭直径在圆中是与此弦垂直的,其方程显然是by x ak '=-',此方程经上述仿射变换还原到椭圆中去即为所给弦的共轭直径方程b by x ak a=-⋅,即220b x a ky +=.变换思想是一类主要的数学思想.应用变换的方法去解题可使问题得到简化,从而在在解题中取得较好的效果.仿射变换就是几何变换中的一类重要变换.从上述讨论中可以得出应用仿射变换解题的步骤可概括如下：①判断求解的问题是否能利用仿射不变性质,仿射不变量求解,一般涉及到点共直线、直线共点、线段比、面积比等一类问题皆可应用仿射变换解题；②选择合适的仿射变换,找出所给图形的合适的仿射图形;③在仿射图形中求证,写出具体的仿射变换及解题过程.2 用射影观点研究初等几何问题2.1 笛沙格定理的应用 2.1.1 笛沙格定理简介定义1 平面内不共线的三点与每两点的连线所组成的图形叫做三点形.平面内不共点的三直线与其每两直线的交点所组成的图形叫做三线性.笛沙格定理：如果两个三点形对应顶点连线交于一点,则对应边的交点在同一直线上.笛沙格定理的逆定理：如果两个三点形对应边的交点在同一直线上,则对应顶点的连线交于一点.GOEDABCFP ∞Q ∞R ∞OEDABCF定义2 若两个三点形的对应顶点的连线共点,且对应边的交点共线,则两三点形构成透视关系.对应顶点连线的交点叫做透视中心,对应边交点所在的直线叫做透视轴.2.1.2 笛沙格定理应用举例例4 证明：三角形的三条中线共点.图2-1 图2-2证法1（初等几何方法）如图2-1,设ABC ∆三边的中线分别为AD 、BE 、CF ,且AD 、CF 相交于点O ,那么证明BE 为边AC 上的中线即可证明此结论. 延长OE 到点G ,使OG OB =.点O 是BG 的中点, 点D 是BC 的中点, OD ∴是BGC ∆的一条中位线. AD CG ∴//.又 点O 是BG 的中点,点F 是AB 的中点,∴0F 是BGA ∆的一条中位线. ∴CF AG //.AD CG //,CF AG //,∴四边形AOCG 是平行四边形. ∴AC 、OG 互相平分.∴AE CE =,即BE 为边AC 上的中线. 命题得证.证法2（笛沙格定理逆定理）如图2-2,设ABC ∆三边的中点分别为D 、E 、F ,则由三角形中位线定理可知,EF BC //、DE AB //、DF AC //,也就是说,EF 和BC 交于Q ∞,DE 和AB 交于R ∞,DF 和AC 交于P ∞.利用笛沙格定理的逆定理,考虑三点形ABC 和三点形DEF ,它们的对应边的交点Q ∞、R ∞、P ∞共无穷远直线,所以对应顶点的连线AD 、BE 、CF 共点O . 笛沙格定理是射影几何的理论基础,它的应用很广,许多定理以它为依据,对解决中学几何的共点线、共线点问题颇为简洁有效.D'LCDA MNBP ∞L CDA MNB2.2 交比的应用2.2.1 交比的有关概念和性质（1）共线四点的交比的初等表示：在欧式平面上,设1234,,,P P P P 是共线的相异四点,则132412342314(,)P P P P P P P P P P P P ⋅=⋅,其中i j P P 表示i P 到j P 得有向距离(,1,2,3,4)i j =.若1234(,)1P P P P =-,则称1234,,,P P P P 依此次序构成调和点组,并称此交比为调和比.推论 设12,,P P P 为共线的通常点,P ∞为此直线上的无穷远点,则112122(,)()P PP P PP P P P P P∞==, 即为共线三点的简单比.而且P 为线段12P P 的中点12(,)1P P PP ∞⇔=-.（2）共点四直线交比的初等表示：在欧式平面上,设1234,,,p p p p 是共点的相异四直线,则132412342314sin()sin()(,)sin()sin()p p p p p p p p p p p p =,其中()i j p p 表示由i p 到j p 的有向角(,1,2,3,4)i j =.2.2.2 在初等几何中的应用举例例5 四边形两组对边延长后分别相交,且交点的连线与四边形的一条对角线平行,求证：另一条对角线的延长线平分对边交点连线的线段.图2-3 图2-4证法1（初等几何方法）设四边形ABCD 中AB 与CD 交于M ,AD 与BC 交于N 且BD MN //（如图2-3）,求证：AC 平分MN .过B 作BD MD '//,连接DD ',下证四边形BCDD '是平行四边形. BD MD '//∴ AB AD AM AC'=3'32'21'1QPM OABCDEF1'435262'1QPF'M OAB C DEF又 BD MN //∴AB ADAM AN = ∴AD ADAC AN'= 故DD BN '//∴四边形BC DD ''是平行四边形,利用平行四边形的性质知AC 平分BD ,且BD MN //,故AC 的延长线交MN 于L 平分线段MN .证法2（利用调和比）如图2-4,四边形ABCD 中AB 与CD 交于M ,AD 与BC 交于N .若AC 与MN 交于L ,则由完全四点形的调和性质知(,)1MN LP ∞=-,再由上述推论知L 必为MN 的中点.交比是射影几何的基本不变量,而调和比是最重要的一种交比,在射影几何的研究中具有十分重要的作用.运用交比的有关概念和性质来解决初等几何中的一些问题,不仅降低了解决问题的难度,证明思路清晰,过程简洁,而且拓宽了我们的视野,有助于我们站在新的高度上深入地理解初等几何的知识.例6（蝴蝶定理）如图2-5所示,设AB 是O 的弦,M 是AB 的中点,过M 任作二弦CD ,EF ,记P ,Q 为AB 依次与CF ,ED 的交点.求证PM MQ =.图2-5 图2-6证法1 （用初等几何的方法）圆是以直径所在直线为对称轴的轴对称图形,那么如图2-5所示可作MF 关于OM 的对称线段MF ',连接F Q ',F D ',则FF OM '⊥,AB OM ⊥,由此可知AB FF //',所以1561∠=∠=∠=∠'.又45∠=∠（四边形DFF E '内接于圆）且511∠=∠=∠',故41∠=∠',则四点D ,F ',M 和Q 共圆.所以,23∠'=∠. 因 23∠=∠,则 22∠=∠'.又 MF MF =',11∠=∠',则PFM QF M ∆≅∆',故PM MQ =. 证法2（利用交比来证明）如图2-6,连接CA ,CB ,EA ,EB ,以C 为顶点的线束被直线AB 所截,则有(,)(,)CA CD CF CB AM PB =.同样,以E 为顶点的线束被直线AB 所截,有(,)(,)EA ED EF EB AQ MB =,由同弧所对的圆周角相等,从而有11∠=∠',22∠=∠',33∠=∠',而sin sin sin 1sin 3(,)sin sin sin (123)sin 2sin 1sin 3(,).sin (123)sin 2ACF BCD CA CD CF CB ACB DCF EA ED EF EB ∠∠∠'∠'==∠∠∠'+'+'∠'∠∠==∠++∠ 故(,)(,)AM PB AQ MB =. 即AP MB AM QBAB MP AB QM⋅⋅=⋅⋅. 又M 为AB 的中点,从而AM MB =,把,AP AM MP QB QM MB =+=+代入上式 得：11AM MBMP QM+=+, 故AM MB =,从而PM MQ =.在上述证法中,射影几何的方法简单,它只需计算一下交比,不但简捷,而且计算交比的方法适用于所有二阶曲线,这样就自热地将蝴蝶推广到椭圆,双曲线和抛物线上,不过这时二阶曲线中弦的中点却不能用垂足代替.不论是圆或一般的二阶曲线,倘若M 不是弦AB 的中点,可令,,,AM a MB b PM p MQ q ====,则有1111p q a b-=-. 此式,通常称它为坎迪定理.3 总结研究高等几何的思考方法及解题技巧,对于正确把握初等几何的解题实质和发展脉络都大有好处.作为合格的中学数学教师,要教好中学数学,不能只懂中学数学,而要“站得更高,看得更远” ,应拓宽视野,拓广思路,这样才能更好地把握中学数学的内容.而关于坎迪定理在圆锥曲线中的推广应用,限于篇幅,此处不赘述.参考文献[1]周兴和,高等几何.北京:科学出版社,2007[2]李恩凤.高等几何与初等几何的关系.青年师专学报(自然科学),2001.3.53-55[3]高巧琴,雒志江.高等几何在初等几何中的作用.雁北师范学院学报,2004.4.53-55[4]秦进.用高等几何方法变换初等几何命题.遵义师范学院学报,2005.2.66-68[5]廖小勇.高等几何在初等几何中的一些应用.黔南民族师范学院学报,2006.9.24-26[6]张莹.高等几何在初等几何中的应用.济南大学学报,1992.2.81-83[7]胡炳生,吴俊,王佩瑾,孙国权,现代数学观点下的中学数学.北京:高等教育出版社,2005。
论射影几何对初等几何教学的指导性
本 文 就 射 影 几 何 对 初 等 几 何 的 指导 性进 行何 提 供 新 的证 明 工 具
。
为 初 等 几 何和 解 析 几 何 无 论 在 几 何 内 容 和 研 究 方 法 方 面 还是 在 几 何 思 想 等 方 面 都 存 在 着 很 大 的 局 限性
。
,
以
提 高学 习 封影 几 何 的 兴 超 ,从 而 说
明 高 等 师 范 院 校数 学 专 业 开 设射 影 几 何课 程 的 必 要 性
关键 词
射影几何
初 等 几何
变 换群
切线
极点
极线
。
射 影 几 何 是 作 为 未 来 中学 数 学 教 师 的 高 师 院 校 数 学 系 学 生 的 必 修课 之 一 它 在 提 高 学 生 观 点 方 面
。 , , , ,
点 和 直 线 是 射 影 平 面 上 的基 本 元 素 的结 合 性 是 射 影 变 换 的 基 本 性 质
, 。 。
点和 直线
共 线 点 和共 点 线
比 如 在解 析 几 何 中 虽 然 讲 述 了 二 次 曲线 的
”
,
“
是 点 线 结 合 中 重 要 而 在 初 等几 何 中 证 明 较 难 的 一 类 命题 问题
, , ,
法 对 教 学 是大 有 益 处 的
2
、 。
。
射影 几 何 为 初 等 几 何 内容 和研 究 方 法 提供 了
, ,
具 有 独 特 的作 用 对 于 加 深 对 几 何 基 础 知 识 的理 解
。 ,
更 广 阔 的视 野
,
培 养 灵 活 的思 维 能 力 以 及 训 练 解 题 的多 样 性 起 着 重 要 作 用 在 联 系 初 等 几 何 的 教 学 方 面 又具 有 直 接 的 渊源 述
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前言射影几何对初等几何教学的指导，不仅表现在提高数学思想与观点上，还直接表现在对初等几何图形性质的研究中。
由射影几何、仿射几何和欧氏几何三者的关系，我们知道，欧氏几何为仿射几何及射影几何的子几何，因此可以通过图形的仿射性质和射影性质，指导研究初等几何中的一些问题。
完全四点（线）形的调和性是射影几何的重要不变性，它在射影几何中占有重要地位，不仅如此，它在初等几何中也有广泛应用。
由于它跟初等几何课程有紧密的联系，它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，从而有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养，所以我尽量从几何的概念出发，运用活生生的几何直观，作为简化思维过程进行高度概括总结的武器。
经验表明，学了射影几何之后，学生对几何的学习兴趣提高了很多。
所以紧密联系中学数学教学，是本论文的着重点之一。
1.完全四点(线)形的定义及性质1.1 完全四点形的定义定义1 平面内无三点共线的四点及其两两连线所构成的图形称为完全四点形(完全四角形),记作完全四点形ABCD。
定义1′完全四点形含四点六线,每一点称为顶点,每一直线称为边,不过同一顶点的两边称为对边,六边分为三对,每一对对边的交点称为对边点(对角点),三个对边点构成的三角形称为对角三角形,如图1。
图1 图2定义2:平面内无三线共点的四直线及其两两交点所构成的图形。
称为完全四线形(完全四边形),记作完全四线形abcd。
定义2′:完全四线形abcd含四线六点,每一直线称为边,每一点称为顶点,不在同一边上的两个顶点称为对顶,六个顶点分为三对,每一对对顶的连线称为对顶线(对角线),三条对顶线构成的三角形称为对角三角形,如图2。
1.2 完全四点(线)形的调和性质定理1:设s、s′是完全四点形ABCD的一对对边,它们的交点是点X,若X与其它二对边点的连线是t、t′,则有(ss′, tt′) =－1。
图3证明：如图3，根据定理[1]1.10，有（AB，PZ）=（DC，PZ）同理（DC，QZ）=（BA，PZ）∴（AB，PZ）=（BA，PZ）但是（BA， PZ）=1 (,) AB PZ∴2(,)AB PZ=1但（AB，PZ）≠1因此（AB，PZ）=－1由定理[2]1.9，有（AB，CD）=(ab,cd)(ss′,tt′)=－1.推论1:在完全四点形的对边三点形的每条边上有一组调和共轭点,其中两个点是对边点,另两个点是这条边与通过第三个对边点的一对对边的交点。
证明：如图3，根据定理[1]1.10，有（AB，PZ）=（DC，QZ）同理（ML，YZ）=（DC，QZ），（DC，QZ）=（BA，PZ）∴（AB，PZ）=（ML，YZ）=（BA，PZ）又∵（BA， PZ）=1 (,) AB PZ′∴2(,)AB PZ=1但（AB，PZ）≠1 ∴（AB，PZ）=－1∴（ML，YZ）=－1=1 (,) LM YZ∴（LM，YZ）=－1即（YZ，LM）=－1。
如图1中, (QR, YZ) =-1, (PQ, XE) =－1等。
推论2:在完全四点形的每条边上有一组调和共轭点,其中两个点是顶点,另一对点偶里,一个点是对边点,另一个点是这个边与对边三点形的边的交点。
证明：如图3，根据定理[1]1.10，有（AB，PZ）=（DC，PZ）同理（DC，QZ）=（BA，PZ）∴（AB，PZ）=（BA，PZ）但是（BA， PZ）=1 (,) AB PZ∴2(,)AB PZ=1但（AB，PZ）≠1因此（AB，PZ）=－1。
如图1中, (AB, YP) =－1, (AD, ER) =－1等。
对偶地,可以得出完全四线形的调和性质。
定理2:设S、S′是完全四线形abcd的一对对顶点,它们的连线是对顶线x,若x 与其它二对顶点的交点是T、T′,则有(SS′, TT′) =－1。
图4证明：如图4，对于对顶线x，只要证(SS′, TT′) =－1，根据§2.1推论[3]2.5，只要证明（ab,pz）=－1,∵（ab,pz）=(y×a,y×b;y×p,y×z)=(cd,pz)而 (cd,qz）= (SS′, TT′) =(ba,pz)∴ (ab,pz)=(ba,pz)=1 (,) ab pz即2(,)ab pz=1但是（ab,pz）≠1,∴（ab,pz）=－1.同理可证其他两条对顶线上的四点调和共轭，证毕。
推论1:过完全四线形的对顶三线形的每个顶点有一组调和共轭线束,其中两直线是对顶线,另两条直线是此顶点与第三条对顶线上两对顶点的连线。
如图2中, E (BA, CD) =－1等。
推论2:在完全四线形的每个顶点上,有一组调和线束,其中两条边是过此点的两边,在另一对线偶里,一条是对顶边,另一条是这个顶点与对顶三线形的顶点的连线。
如图2中, F (BA, CD) =－1等。
利用上述性质我们可以较为简单明了地解决许多初等几何的问题,以使得初几与高几的学习能够融会贯通,从中体会到高几对初几的指导作用。
2．交比、调和比的定义及性质在射影平面上，共线的四个点A、B、C、D的交比记为（AB，CD）= AC BDAD BC••（其中AC、BD、AD、BC均为有向线段）。
当（AB，CD）=－1时，称四点A、B、C、D 调和共轭，－1称为调和比。
交于一点O的四直线a、b、c、d，被一条不过O的直线l截于四点A、B、C、D，定义（ab,cd）=(AB，CD)。
相应地，当（ab,cd）=－1时，称四条直线a、b、c、d调和共轭。
交比、调和比有许多重要性质，下面就本文所用到的一些性质介绍如下：性质1：完全四点形每一对边点处有一调和线束，它是过该点的一组对边与对边三点形的两边。
性质2：一个角的两边与其内、外角平分线调和共轭。
T∞T图5证明：如图5，c,d 顺次为(,)a b ∠的内外角平分线，作直线l 与d 平行，则l ⊥c ，若l 交a ，b ，c 于A ，B ，T ，则△ABC 为等腰三角形，故AT=BT因此 （AB ，TT ∞）=－1于是 (ab,cd)=－1.性质3：(AB,CD ∞)=－1的充要条件是C 为AB 的中点。
P 1P 324图6证明：如图6，⑴充分性：3P 是1P ，2P 的中点，∴ ()123P P P =－1又4P 为无穷远点，根据定理1.4，有()124P P P =1∴ ()1234,P P P P =－1⑵必要性：∵ ()1234,P P P P =－1若4P 为无穷远点，则()124P P P =1于是 ()123P P P =－1∴3P 是线段1P 2P 的中点。
性质4：若（AB ，CD ）=（AB ，CD ′），则D 与D ′重合。
性质5：若调和线束中基线对互相垂直，则它们必为分线对所成角的内外平分线。
3. 完全四点形调和性的应用3.1 应用完全四点形的调和性解初等几何的问题利用完全四点形的调和性可以比较简捷地解决一些初等几何中的平分角度问题，共点共线问题、中点问题、线段相等问题、平行性问题及比例线段问题。
（1）证明角平分线问题例1 定理 若P(AB,CD)=－1,且PC ⊥PD,则PC,PD 是∠APB 的内、外角平分线.证：如图7，以PD,PC ,即PC:x=0; PD:y=0,设 PA:y=λx; PB:y=μx,∵ P(AB,CD) =－1, ∴ P(DC,AB) =－1,故 λμ=－1,μ=－λ.从而直线PA,PB 与PD 的夹角相等,∴PD 是∠APB 的外角平分线.再由PC ⊥PD,可知PC 是∠APB 的内角平分线.定理得证.例2 设X 为△ABC 的高线AD 上的任一点, BX 、CX 延长线交对边于Y 、Z,则DA 平分∠YDZ 。
图8证明:如图8,设DY 与CZ 交于O,则DCYX 为完全四点形,由完全四点形的调和性,有(CX, OZ) =－1以D 为射影中心向这四点投影得（DC 、DX, DO 、DZ ） =－1又∵DX⊥DC,则知DX, DC分别为∠ODZ的内、外角平分线,即DA平分∠YDZ。
当△ABC为钝角三角形时,仿上同理可证。
例3 两圆相交于A、B两点,过A引AB的垂线,交两圆于C、D,连BC、BD交两圆于E、F,证明AB平分∠EAF或其外角。
证明：设AF交CB于G,视ABGD为完全四点形,仿上例可同理证明本题结论。
由以上两例不难看出,利用完全四点(线)形的调和性解决某些初等几何平分角问题时,主要在于完成两个步骤,一是构造四边形,得四直线调和分割,二是设法建立交错二直线相互垂直关系,由此即可证明平分角结论。
（2）证明共线共点问题例4 设X、Y、Z是完全四点形ABCD的三个对边点, XZ分别交AC、BD于L、M,证明YZ、BL、CM共点。
ZMLX图9证明:如图9,在完全四点形ABCD中,据定理1的推论1知,边AC上的四个点A、C、Y、L是一组调和点,即(AC, YL) =－1。
又在完全四点形YBZL中,设LB与YZ交于N, MN交YL于C′,据定理1的推论1知,边YL上的四点Y、L、C′、A是一组调和点,即(YL, AC′) =－1。
由于 (YL, AC′) =－1,故 C≡C′,∴YZ、BL、CM共点于N。
例5 设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上的点,且DB EC FA••=,则它们三点共线(梅尼劳斯定理的逆定理)。
1DC EA FBB 图10证明:如图10,∵DBDC ≠1,则FA FB ≠EAEC ,故 EF 必与BC 相交。
设EF 交BC 于D ′,连BE 、CF 交于H 点,连AH 交BC 于F ′,得到完全四点形AFHE,由定理1的推论有(D ′F ′, BC) =D B F CD C F B ''•''=－1 (1)又AF ′、BE 、CF 共点于H,由塞瓦定理有F B EC FA F C EA FB '••'=－1 (2)(1)×(2)得D B EC FAD C EA FB '••'=1,又 DB EC FADC EA FB ••=1,故有 D B D C ''=DBDC ,且D 、D ′在BC 上,从而 D ′C=DC,∴D 、D ′重合,即 F 、E 、D 共线。
例6 三角形三个顶角的外角平分线交其对边的三点共线.证：设三角形ABC 的内心为P,AP,BP,CP 与对边交于A ′,B ′,C ′,且BC 与B ′C ′交于A 1,CA 与C ′A ′交于B 1,AB 与A ′B ′交于C 1,则(BC,A 1A ′) =－1,从而, A(BC,A 1A ′) =－1,又∵ AA ′是∠BAC 的内角平分线,∴ AA 1为∠BAC 的外角平分线.同理,BB 1,CC 1分别是∠CBA,∠BCA 的外角平分线.三点形ABC 和A ′B ′C ′的对应顶点连线共点P,由Desargues 定理可知,对应边交点A 1,B 1,C 1共线,此命题得证.由以上说明处理共点、共线的问题,最常用的方法一是把四边形视为四点形或四线形,二是用重合法进行证明。