2019-2020学年河南省郑州一中高三(上)期中数学试卷(文科)

2019-2020学年河南省郑州一中高三（上）期中数学试卷（文科）

一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1. 若x >0、y >0，则x +y >1是x 2+y 2>1的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件

【答案】 B

【考点】

充分条件、必要条件、充要条件 【解析】

取特殊值得到反例，从而说明充分性不成立；利用不等式的性质加以证明，可得必要性成立．由此即可得到本题的答案． 【解答】 先看充分性

可取x ＝y =2

3，使x +y >1成立，而x 2+y 2>1不能成立，故充分性不能成立； 若x 2+y 2>1，因为x >0、y >0，所以(x +y)2＝x 2+y 2+2xy >x 2+y 2>1 ∴ x +y >1成立，故必要性成立

综上所述，x +y >1是x 2+y 2>1的必要非充分条件

2. 如果复数

m 2+i 1−mi 是实数，则实数m ＝（ ）

A.−1

B.1

C.−√2

D.√2 【答案】 A

【考点】 复数的运算 【解析】

把给出的复数分子分母同时乘以1+mi ，化为a +bi(a, b ∈R)的形式，由虚部等于0可求m 的值． 【解答】

m 2+i

1−mi

=(m 2+i)(1+mi)

(1−mi)(1+mi)=m 2−m+(1+m 3)i

1+m 2

=

m 2−m 1+m 2

+1+m 3

1+m 2i ．

∵ m 2+i 1−mi 是实数，则1+m 3＝0， 所以m ＝−1．

3. 平面直角坐标系xOy 中，已知A(1, 0)，B(0, 1)，点C 在第二象限内，∠AOC =5π6

，

且|OC|＝2，若OC →

=λOA →

+μOB →

，则λ，μ的值是（ ） A.√3，1 B.1，√3

C.−1，√3

D.−√3，1

【答案】

D

【考点】

平面向量的坐标运算 平行向量（共线） 向量的概念与向量的模 【解析】

由题意可得点C 的坐标，进而可得向量OC →

的坐标，由向量相等可得{−√3=1×λ+μ×01=0×λ+μ×1 ，解之即可． 【解答】

∵ 点C 在第二象限内，∠AOC =5π6

，且|OC|＝2，

∴ 点C 的横坐标为x C ＝2cos

5π6

=−√3，纵坐标y C ＝2sin

5π6

=1，

故OC →

=(−√3, 1)，而OA →

=(1, 0)，OB →

=(0, 1)，

由OC →=λOA →+μOB →

可得{−√3=1×λ+μ×0

1=0×λ+μ×1

，

解得{λ=−√3μ=1 ，

4. 具有相关关系的两个量x ，y 的一组数据如表，回归方程y =0.67x +54.9，则m ＝（ ）

A.65

B.67

C.68

D.70

【答案】 C

【考点】

求解线性回归方程 【解析】

根据回归方程y =0.67x +54.9必过回归中心坐标(x ¯,y ¯

)，即可求解m 的值． 【解答】

样本平均数x ¯

=1

5(10+20+30+40+50)=30， 当x ¯

=30入回归方程y =0.67x +54.9，可得y ¯

=75， ∴ y ¯

=75=1

5(62+m +75+81+84)， 解得：m ＝68

5. 要得到函数y ＝sin (2x −π

3)的图象，只需将函数y ＝−cos (2x −π)的图象（ ）

A.向左平移π

6个单位 B.向左平移5π

12

个单位

C.向右平移5π

12个单位 D.向右平移π

3

个单位

【答案】

C

【考点】

函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

【解析】

利用三角函数的诱导公式，将函数y＝−cos(2x−π)化简得y＝sin(2x+π

2

)，再根据函数图象平移的公式加以计算，即可得到答案．

【解答】

将函数y＝−cos(2x−π)化简，得y＝cos2x＝sin(2x+π

2

)，

记f(x)＝sin(2x+π

2

)，

∵函数y＝sin(2x−π

3)＝[2(x−5π

12

)+π

2

]＝f(x−5π

12

)，

∴将函数f(x)＝sin(2x+π

2)的图象向右平移5π

12

个单位，可得函数y＝sin(2x−π

3

)的图象．

由此可得将函数y＝−cos(2x−π)的图象向右平移5π

12个单位，可得函数y＝sin(2x−π

3

)的

图象．

6. 根据某地方的交通状况绘制了关于交通指数的频率分布直方图（如图）．若样本容量为500个，则交通指数在[5, 7)之间的个数是（）

A.223

B.222

C.200

D.220

【答案】

D

【考点】

频率分布直方图

【解析】

由频率分布直方图先求出交通指数在[5, 7)之间的频率，由此能求出交通指数在[5, 7)之间的个数．

【解答】

由频率分布直方图得交通指数在[5, 7)之间的频率为：

(0.24+0.2)×1＝0.44，

∴交通指数在[5, 7)之间的个数为500×0.44＝220．