对数的发明

类型：研究性学习课题（数学）课题负责人：

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1、对数发明的背景

16世纪前半叶，欧洲人热衷于地理探险和海洋贸易，需要更为准确的天文知识，而天文学的研究中，需要大量烦琐的计算，特别是三角函数的连乘，天文学家们苦不堪言。

德国数学家约翰·维尔纳首先推出了三角函数的积化和差公式，即

sinα·sinβ=[cos(α-β)－cos(α+β)]/2 ,

cosα·cosβ=[cos(α-β)＋cos(α+β)]/2 .

大大简化了三角函数连乘的计算。比如，计算sin67°34'×sin9°3'，可以从三角函数表查出sin67°34'=0.92432418，sin9°3'=0.15729632。但随后的乘法的计算十分烦琐，且容易出错。（请你不用计算器，手算一下0.92432418×0.15729632=？，记住还要验算一遍，以保证计算正确哦！）用维尔纳的三角函数积化和差公式，计算就大大简便了：

sin67°34'×sin9°3'

＝cos(67°34'-9°3')－cos(67°34'+9°3')

＝[cos(58°31')－cos(76°37')]/2

＝[0.52225052-0.23146492]/2

＝0.14539280

这个公式还可以用于把任何二个数的乘法计算转为加减法计算，方法如下：若求小于1的二个数a与b的乘积可以先由反三角函数表查得使a=sinα=a ,sin β=b的α与β,然后计算(α-β)和(α+β)，再由三角函数表查得cos(α-β)与cos(α+β) ,最后应用上面的公式求出它们的一半,就得所要求的数。由于大于1的数可用小于1的数乘上10n表示,因此上面的两个公式实际上对于任意两个数都是适宜的。

但这样做同样太繁杂了,况且还不能直接应用于除法、乘方和开方，因此,寻找更好的计算迫在眉睫。

2、对数产生的前奏

请你观察下面两个数列,并找出规律:

1, 2, 4, 8,16,32,64,128,256,512,1024,2048, 4096，8192，16384⋯⋯

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12， 13， 14⋯⋯

德国数学家Stifel (1487～1567)在观察上述两个数列时,称上排的数为

“原数”, 下排的数为“代表数” (德文Exponent) , Stifel发现,上一排数之间的乘、除运算结果与下一排数之间的加、减运算结果有一种对应关系。Stifel 指出：“欲求上边任两数的积（商），只要先求出其下边代表数的和（差），然后再把这个和（差）对向上边的一个原数，则此原数即为所求之积（商）。”比如，计算16×1024，只要计算16的“代表数” 4、1024的“代表数” 10之和4+10=14，再查出与“代表数” 14相对应的“原数” 16384，就得到16×1024的乘积。实际上, Stifel已经掌握了对数运算法则，因为Stifel所谓的“代表数”,本质上是“原数”以2为底的对数。

说明：上一排原数可写为以2为底的指数函数,则数列对为：

2０，21，22，23，24，25，26，27，28，29，210，211，212, 213214⋯⋯

0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10，11，12，13 14 ⋯⋯

则16×128实际上就是24×27＝24+7＝211＝2048。

此法可推广到任何二个数的乘除运算。比如计算17951235×0.08304115,设17951235＝a X, 0.08304115＝a Y，则17951235×0.08304115＝a X×a Y＝a X+Y。

这里x是17951235的(以a为底的)对数，y是0.08304115的(以a为底的)对数。底a是可以任意指定的，我们指定a=10,则只要查表得到这二个数的常用对数(以10为底的对数称为常用对数) x=lg 17951235=7.2540943323和y=lg0.08304115＝-1.0807066451，计算x+y=6.1733876872，再查表得6.1733876872的(以10为底的)指数函数，106.1733876872＝1490691.1983就得到了17951235的乘积。

这就是后来的“对数简化运算”的方法。但由于当时没有分数指数的概念，人们还完全想不到这样的原理。Stifel尝试做任何两个数乘除时，遇到用数列不能解决的情况,他感到束手无策,他说:“这个问题太狭窄了,所以不值得研究”,只好“鸣金收兵”。

3、对数的发明

对数的概念，首先是由苏格兰数学家John Napier(纳皮尔，1550～1617)提出的。那时候天文学是热门学科。可是由于数学的局限性，天文学家不得不花费很大精力去计算那些繁杂的“天文数字”，浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。Napier也是一位天文爱好者，他感到，“没有什么会比数学的演算更加令人烦恼……诸如一些大数的乘、除、平方、立方、开方……因此我开始考虑……怎样才能排除这些障碍。”经20年潜心研究大数的计算技术，他终于独立发明了对数，并于1614年出版的名著《奇妙的对数表的描述》（"Mirifici logarithmorum canonis descriptio"），中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数(NaplogX)。这让他在数学史上被重重地记上一笔。1616年Briggs(亨利·布里格斯，1561–1630)去拜访Napier，建议将对数改良一下以10为基底的对数表最为方便，这也就是后来常用的对数了。可惜Napier隔年于1617年春天去世，后来就由Briggs以毕生精力继承纳皮尔的未竟事业，他于1619年发表了《奇妙对数规则的结构》，于书中详细阐述了对数计算和造对数表的方法，1624年出版了《对数算术》一书，公布了以10为底的14位对数表，并称以10为底的对数为常用