中考数学圆的综合的综合复习

由（1）知 AC=CE=CD， ∴ CF=CG=AC， ∵ 四边形 AEFG 是⊙C 的内接四边形， ∴ ∠ G+∠ AEF=180°， 又∵ ∠ AEF+∠ BEF=180°， ∴ ∠ G=∠ BEF， ∵ ∠ EBF=∠ GBA， ∴ △ BEF∽ △ BGA，
∴ BE BG ，即 BF•BG=BE•AB， BF BA
AC AB ， OC OB ，
AO 是 BC 的垂直平分线，
过点 O 作 OG AB于 G，
AOG 1 AOB， AG 1 AB 3，
2
2
AOB 2 ACB，
ACF AOG ，
在 Rt AOG 中， sin AOG AG 3 ， AC 5
sin ACF 3 ， 5
在 Rt ACF中， sin ACF 3 ， 5
①若 AB = 5 ，求 BC 的长； AC 3
②当 AB 为何值时，AB•AC 的值最大？ AC
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①BC=4
2
；②
3 2
【解析】
分析：（1）由菱形知∠ D=∠ BEC，由∠ A+∠ D=∠ BEC+∠ AEC=180°可得∠ A=∠ AEC，据此得 证；
（2）∵ △ OAF≌ △ OCF，∴ ∠ OAE=∠ COE，∴ OE⊥AC，AE= 1 AC=12， 2
∴ EF=
152 122 9 ．∵ ∠ OAF=90°，∴ △ OAE∽ △ AFE，∴
OA AE ，即 OA 12 ， AF EF 15 9
∴ OA=20，∴ AB=40，sinB= AC 24 3 ． AB 40 5
∵ BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC， ∴ （BC﹣AC）（BC+AC）=AB•AC，即 BC2﹣AC2=AB•AC； （3）设 AB=5k、AC=3k， ∵ BC2﹣AC2=AB•AC，
∴ BC=2 6 k，
连接 ED 交 BC 于点 M， ∵ 四边形 BDCE 是菱形， ∴ DE 垂直平分 BC， 则点 E、O、M、D 共线，
【点睛】 本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根 据题意作出辅助线是解答此题的关键．
2．如图，△ ABC 是⊙O 的内接三角形，点 D 在 BC 上，点 E 在弦 AB 上（E 不与 A 重
合），且四边形 BDCE 为菱形． （1）求证：AC=CE； （2）求证：BC2﹣AC2=AB•AC； （3）已知⊙O 的半径为 3．
4
4
4
∴ DC2= 27 ， 2
∴ AC=DC= 3 6 ， 2
∴ AB= 9 6 ，此时 AB 3 ．
4
AC 2
点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性
质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点．
3．已知 O 的半径为 5，弦 AB 的长度为 m，点 C 是弦 AB 所对优弧上的一动点．
2①先求出 AD 10 ，再用勾股定理求出 BD 8 ，进而求出 tanADB，即可得出结
论；
② 分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论．
【详解】
1 如图 1，连接 OB，OA，
OB OC 5 ， AB m 5 ，
OB OC AB， AOB 是等边三角形， AOB 60 ， ACB 1 AOB 30 ，
4．如图，△ ABC 内接于⊙O，AB 是直径，⊙O 的切线 PC 交 BA 的延长线于点 P，OF∥ BC 交 AC 于点 E，交 PC 于点 F，连结 AF． (1)判断 AF 与⊙O 的位置关系并说明理由； (2)若 AC＝24，AF＝15，求 sinB．
【答案】(1) AF 与⊙O 相切 理由见解析；（2） 3 5
AFH AEH ∵ AHF AHE ，
AH AH
∴ △ AEH≌ △ AFH（AAS）， ∴ EH=FH； （3）由（1）易知，∠ BMT=∠ BAC=60°， 作直径 BG，连 CG，则∠ BGC=∠ BAC=60°， ∵ ⊙O 的半径为 4， ∴ CG=4， 连 AG， ∵ ∠ BCG=90°， ∴ CG⊥x 轴， ∴ CG∥ AF， ∵ ∠ BAG=90°， ∴ AG⊥AB， ∵ CE⊥AB， ∴ AG∥ CE， ∴ 四边形 AFCG 为平行四边形， ∴ AF=CG=4．
点睛：本题考查了切线的性质与判定和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与 性质；熟练掌握切线的证法和三角形相似是解题的关键．
5．解决问题：
1 如图 ① ，半径为 4 的 O 外有一点 P，且 PO 7 ，点 A 在 O 上，则 PA 的最大值和
最小值分别是______和______．
2 如图 ② ，扇形 AOB 的半径为 4， AOB 45 ，P 为弧 AB 上一点，分别在 OA 边找
AF 3 AC 18 ，
5
5
CF 24 ， 5
S
ABC
1 2
AF BC
1 2
18 5
24 5
432 25
；
Ⅲ、当
BA
BC
6 时，如图
5，由对称性知， S
ABC
432 25
．
【点睛】
圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积 公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，⊙M 交 x 轴于 B、C 两点，交 y 轴于 A，点 M 的纵坐标为 2．B（﹣3 3 ，O）， C（ 3 ，O）．
（1）求⊙M 的半径； （2）若 CE⊥AB 于 H，交 y 轴于 F，求证：EH=FH． （3）在（2）的条件下求 AF 的长．
（2）以点 C 为圆心，CE 长为半径作⊙C，与 BC 交于点 F，于 BC 延长线交于点 G，则
CF=CG=AC=CE=CD，证△ BEF∽ △ BGA 得 BE BG ，即 BF•BG=BE•AB，将 BF=BC-CF=BCBF BA
AC、BG=BC+CG=BC+AC 代入可得；
（3）①设 AB=5k、AC=3k，由 BC2-AC2=AB•AC 知 BC=2 6 k，连接 ED 交 BC 于点 M，
2
故答案为 30；
2①如图 2，连接 AO 并延长交 O 于 D，连接 BD，
AD 为 O 的直径， AD 10， ABD 90 ， 在 Rt ABD中， AB m 6，根据勾股定理得， BD 8 ， tan ADB AB 3 ，
BD 4
C ADB ， C的正切值为 3 ；
4 ② Ⅰ、当 AC BC 时，如图 3，连接 CO 并延长交 AB 于 E，
AC BC ， AO BO ， CE 为 AB 的垂直平分线， AE BE 3， 在 Rt AEO 中， OA 5 ，根据勾股定理得， OE 4 ， CE OE OC 9 ，
S
ABC
1 2
AB CE
1 2
69
27
；
Ⅱ、当 AC AB 6 时，如图 4，
连接 OA 交 BC 于 F，
【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4． 【解析】 【分析】 （1）过 M 作 MT⊥BC 于 T 连 BM，由垂径定理可求出 BT 的长，再由勾股定理即可求出 BM 的长； （2）连接 AE，由圆周角定理可得出∠ AEC=∠ ABC，再由 AAS 定理得出△ AEH≌ △ AFH，进 而可得出结论； （3）先由（1）中△ BMT 的边长确定出∠ BMT 的度数，再由直角三角形的性质可求出 CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形 AFCG 为平行四边形，进而可求出答案． 【详解】 （1）如图（一），过 M 作 MT⊥BC 于 T 连 BM， ∵ BC 是⊙O 的一条弦，MT 是垂直于 BC 的直径，
的最小值．
【答案】（1）11，3；（2）图见解析， PEF 周长最小值为 4 2 ；（3） 4 10 4 2 ．
【解析】 【分析】
1 根据圆外一点 P 到这个圆上所有点的距离中，最远是和最近的点是过圆心和该点的直
线与圆的交点，容易求出最大值与最小值分别为 11 和 3；
2 作点 P 关于直线 OA 的对称点 P1 ，作点 P 关于直线 OB 的对称点 P2 ，连接 P1 、 P2 ，与
②设 OM=d，则 MD=3﹣d，MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2， ∴ BC2=（2MC）2=36﹣4d2， AC2=DC2=DM2+CM2=（3﹣d）2+9﹣d2， 由（2）得 AB•AC=BC2﹣AC2 =﹣4d2+6d+18
=﹣4（d﹣ 3 ）2+ 81 ， 44
∴ 当 d= 3 ，即 OM= 3 时，AB•AC 最大，最大值为 81 ，
1 如图 ① ，若 m 5 ，则 C 的度数为______ ； 2 如图 ② ，若 m 6 ．
① 求 C 的正切值； ② 若 ABC为等腰三角形，求 ABC 面积．
【答案】 1
30； 2① C 的正切值为
3 4
； Baidu NhomakorabeaS
ABC
27
或
432 25
.
【解析】
【分析】
1 连接 OA，OB，判断出 AOB 是等边三角形，即可得出结论；
∴ BT=TC= 1 BC=2 3 ， 2
∴ BM= 12 4 =4；
（2）如图（二），连接 AE，则∠ AEC=∠ ABC， ∵ CE⊥AB， ∴ ∠ HBC+∠ BCH=90° 在△ COF 中， ∵ ∠ OFC+∠ OCF=90°， ∴ ∠ HBC=∠ OFC=∠ AFH， 在△ AEH 和△ AFH 中，
OA、OB 分别交于点 E、F，点 E、F 即为所求，此时 PEF 周长最小，然后根据等腰直角
在 Rt△ DMC 中，DC=AC=3k，MC= 1 BC= 6 k， 2
∴ DM= CD2 CM 2 3k ，
∴ OM=OD﹣DM=3﹣ 3 k，
在 Rt△ COM 中，由 OM2+MC2=OC2 得（3﹣ 3 k）2+（ 6 k）2=32，
解得：k= 2 3 或 k=0（舍）， 3
∴ BC=2 6 k=4 2 ；
【解析】
试题分析：（1）连接 OC，先证∠ OCF=90°，再证明△ OAF≌ △ OCF，得出∠ OAF=∠ OCF=90° 即可；
（2）先求出 AE、EF，再证明△ OAE∽ △ AFE，得出比例式 OA AE ，可求出半径，进而 AF EF
求出直径，由三角函数的定义即可得出结论． 试题解析：解：（1）AF 与⊙O 相切．理由如下： 连接 OC．如图所示．∵ PC 是⊙O 的切线，∴ OC⊥PC，∴ ∠ OCF=90°．∵ OF∥ BC， ∴ ∠ B=∠ AOF，∠ OCB=∠ COF．∵ OB=OC，∴ ∠ B=∠ OCB，∴ ∠ AOF=∠ COF．在△ OAF 和 △ OCF 中，∵ OA=OC，∠ AOF=∠ COF，OF=OF，∴ △ OAF≌ △ OCF（SAS）， ∴ ∠ OAF=∠ OCF=90°，∴ AF 与⊙O 相切；
Rt△ DMC 中由 DC=AC=3k、MC= 1 BC= 2
6 k 求得 DM=
CD2 CM 2 =
3 k，可知 OM=OD-
DM=3- 3 k，在 Rt△ COM 中，由 OM2+MC2=OC2 可得答案．②设 OM=d，则 MD=3-d，
MC2=OC2-OM2=9-d2，继而知 BC2=（2MC）2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=（3-d）2+9-d2，由 （2）得 AB•AC=BC2-AC2，据此得出关于 d 的二次函数，利用二次函数的性质可得答案． 详解：（1）∵ 四边形 EBDC 为菱形， ∴ ∠ D=∠ BEC， ∵ 四边形 ABDC 是圆的内接四边形， ∴ ∠ A+∠ D=180°， 又∠ BEC+∠ AEC=180°， ∴ ∠ A=∠ AEC， ∴ AC=CE； （2）以点 C 为圆心，CE 长为半径作⊙C，与 BC 交于点 F，于 BC 延长线交于点 G，则 CF=CG，
点 E，在 OB 边上找一点 F，使得 PEF 周长的最小，请在图 ② 中确定点 E、F 的位置并直 接写出 PEF 周长的最小值；
拓展应用
3 如图 ③ ，正方形 ABCD 的边长为 4 2 ；E 是 CD 上一点 ( 不与 D、C 重合 ) ，
CF BE 于 F，P 在 BE 上，且 PF CF ，M、N 分别是 AB、AC 上动点，求 PMN 周长