第二章泛函分析初步

第二章 泛函分析初步
2-1 引言
泛函分析是现代数学的一个重要分支。 它主要研究各类抽象空间的属性和空间与 空间的相互关系。
在数学中，通常把赋予某些数学结构 的集合称为空间。
线性空间：
设X为非空集合，如果
1.对于X任意两元素x与y，均对应于X中一 元素，称为x,y之和，记为x+y。
2.对于X中任一元素和任一实数,均对应X
证三角不等式，考察下列式子。 对于任意的在[a,b]上连续的函数 x(t)和
现在来证明，由 x(t), y(t) L2 (a,b)可 推出x(t) y(t) L2 (a,b) 。
利用不等式(2-1-3),可得
b x(t) y(t) 2dt a
b x(t) 2dt 2 b x(t) 2 dt b y(t) 2 dt
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a
a
a
b y(t) 2dt a
2
b x(t) 2 dt
信号 x(t)( t )或{xk}
(k 0, 1, 2, )的能量通常可用：
x(t) 2 dt
或 xk 2 k
来度量。
（2-2-1） （2-2-2）
有限长离散信号即n维向量x [1, ,n ]T
的能量定义为：
n
i 2
（2-2-3）
i 1
从几何上讲，量(2-2-3)是向量x的长度。 于是，量(2-2-1)和量(2-2-2)是函数 x(t)和序
则 x 称为x的范数，X称为按范数 • 的线形 赋范空间。
例2-2-1
在空间 Rn 中定义范数
n
x
i 2
i 1
则 Rn是线性赋范空间。
(2-2-4)
式(2-2-4)称为向量x的欧几里德范数。
例2-2-2
在空间 l2 中定义范数
n
x
i 2
i 1
则 l2是线性赋范空间。
(2-2-5)
例2-2-3 在空间 L2 (a,b)中定义范数
即
b x(t) 2 dt
b
x(t)y(t)dt
b
x(t) y(t)dt
a
a
a
2 b x(t) 2 dt 0 a
(2-1-4)
现取
b
x(t) y(t)dt /
a
b y(t) 2 dt
a
则式(2-1-4)成为式(2-1-3)。
不等式(2-1-3)常称为柯西-许瓦兹不等式。
x b x(t) 2 dt a
则 L2 (a,b)是线性赋范空间。
例2-2-4 在空间 L(a,b)中定义范数
b
x a x(t) dt
则 L(a,b)是线性赋范空间。
例2-2-5 在空间 C(a,b)中定义范数
x max x(t) atb
则 C(a,b)是线性赋范空间。 事实上，性质(1)(2)是显然的。为了验
于中一元素，称为x与 的数乘，记为x 。
3.上述两种运算满足以下运算规律:
（x,y,z为X中任意元素， , 为任意实数 ）
(1) x y y x
(2) x ( y z) (x y) z
(3) X中存在唯一的零元素 ，它满足 x x, 对任意的x X ；且对任一 x X，均存在唯一的“负元素”x X 它满足 x (x) 。
L2）及 x l2（或 L2）。
作为举例，我们验证x y L2 (a,b)。
为此，先证一个辅助不等式：
b x(t) y(t)dt
b x(t) 2 dt b y(t) 2dt
a
a
a
(为了具有广泛性，我们在复数情况下予以 证明。)
显然，对于任意复数 ，有
b x(t) y(t) 2dt 0 a
(4) (x) ()x
(5) 1x x, 0x 0,
(6) ( )x x x,
(7) (x y) x y,
则称X是实线性空间。
例2-1-1
n维空间 Rn，其元素x由n个有次序的数
构成：x [1, ,n ] ，其中的加法和数乘如 通常的方式定义：对于 x [1, ,n ] 和
y [1, ,n ] 及数 ，定义
x y [1 1 , ,n n ]
x [ x1, , xn ]
则 Rn成为线性空间。
例2-1-2
所有平方可和的无穷 数列构成的集合l2
l2 {x [1,2 , ]; n 2 } (2-1-1) n1
是线性空间，其中加法和数乘定义为：若
x [1, ,n ]，y [1, ,n ]，定义( 为数)
x y [1 1 ,2 2, ]
x [1, 2, ]
例2-1-3
所有在区间[a，b]上平方可积的函数
构成的集合L2 (a,b)
L2 (a,b) {x(t) :
b a
x(t) 2 dt }
(2-1-2)
是线性空间。
应该注意，例2-1-2和例2-1-3中,必须证
明由 x, y l（2 或 L2）可推出 x y l2（或
与线性代数中类似，可以在线性空间
中引入线性相关、线性无关和基的概念。
设 x1, , xn是线性空间X中的n个元素， 如果(存n 在1不), 全为零的常数
1, , n，使得 1x1 n xn
(2-1-6)
则称x1, , xn是线性相关的。
反之，若由式(2-1-6)的成立能导致
1 n 0 ，则称 x1, , xn是线性无关
的。
如果线性空间X中存在n个线性无关的
元素 e1, , en ，使得X中任一元素x均可表 为e1, , en的线性组合
n
x iei i 1
则{e1, , en}称为X的一组基，n称为X的维
数。记为 dim X n。X称为有限维(n维)线
性空间。不是有限维的线性空间称为无穷维
线性空间。
2-2 能量有限信号与线性赋范空间
列{xk }的“长度”。
这种“长度”或“能量”的概念被统一为
数”来研究。
范数的定义： 设X为线性空间，如果对于X中任一元
素x都有一个实数与之对应，此实数记
为 x ，它具有如下性质：
(1) x 0;当且仅当x 时 x 0;
(2) x x ,为任意实数；
(3) x y x y ,对任意的x, y X ,
a
b a
y(t) 2
dt
故 x(t) y(t) L2 (a,b)
例2-1-4
在区间[a,b]上绝对可积的函数全体所
构成的集合L(a,b) {x(t);
b
x(t) dt }
是线性空间，其中相加和数a 乘运算如通常
那样定义。
例2-1-5 在区间[a,b]上连续的函数的全体所构
成的集合C(a,b)是线性空间。