玻尔兹曼分布

玻尔兹曼分布

在物理学（特别是统计力学）中，麦克斯韦 - 玻尔兹曼分布是以詹姆斯·克拉克斯·马克斯韦尔和路德维希·波兹曼命名的特定概率分布。

这是第一次定义，并且用于描述颗粒速度在理想化的气体，其中所述颗粒的固定容器内自由移动，而不会彼此互动，除了非常简短的碰撞，其中它们与彼此或与它们的热环境交换能量和动量。在该上下文中，术语“颗粒”仅指气态颗粒（原子或分子），并且假设颗粒系统已达到热力学平衡。[1]这种粒子的能量遵循所谓的麦克斯韦 - 玻尔兹曼统计通过将粒子能量与动能等同来推导出速度的统计分布。

在一个封闭的空间中，温度为T，里面只有两种能级，粒子的总数为N，且两种能级对应的个数分别

为：,所以能级的粒子总和为。那么N个粒子的不同状态组合数记为,且为：

通过组合数计算一下熵，熵是来源热力学的概念，熵是衡量物质的混乱程度的量，通常和物质的状态有关，我们知道当物质的能量越高时混乱程度也越高，能量越低时混乱程度也越低，下面给出熵的定义：

其中是玻尔兹曼常数，取log就是熵的来源。

把带进上式的：

现在我给空间增加少了的能量，此时封闭的空间的低

能级的粒子就会越变到高能级，也就是说会有少量的变为即：

，其中是变化的粒子数，由此我们从新计算熵为：

得到：

我们知道上式的分子和分母项是一样多的，同时在封闭的空间中是足够大的，是很小的，因此可以

把化简为：

然而从热力学角度，熵的变化量和温度以及加入的能量有关（参考维基百科），因此有如下的公式;

联立和两式的到：

化简得到为：

从上式我们看到，不同能级的比值和能量、温度T、玻尔兹曼常数都有关系，上式就称为玻尔兹曼分布。