安徽省合肥市2021届新高考数学一模试卷含解析

安徽省合肥市2021届新高考数学一模试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若202031i i

z i

+=+，则z 的虚部是（ ）

A ．i

B ．2i

C ．1-

D ．1

【答案】D 【解析】 【分析】

通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：a bi +的形式，即可得到复数的虚部. 【详解】

由题可知()()()()

20202

2

131313123211111i i i i i i i z i i i i i i +-+++-=====++++--， 所以z 的虚部是1. 故选：D. 【点睛】

本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题. 2．已知随机变量X 的分布列是

则()2E X a +=（ ） A ．

53

B ．

73

C ．

72

D ．

236

【答案】C 【解析】 【分析】

利用分布列求出a ，求出期望()E X ，再利用期望的性质可求得结果. 【详解】

由分布列的性质可得

11123

a ++=，得16a =，所以，()11151232363E X =⨯+⨯+⨯=，

因此，()()11517222266362

E X a E X E X ⎛

⎫+=+=+=⨯+= ⎪⎝

⎭.

【点睛】

本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查． 3．已知复数z 满足()()5z i i --=，则z =（ ） A ．6i B ．6i -

C ．6-

D ．6

【答案】A 【解析】 【分析】

由复数的运算法则计算． 【详解】

因为()()5z i i --=，所以5

6z i i i

=+=- 故选：A ． 【点睛】

本题考查复数的运算．属于简单题．

4．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ） A ．69人 B ．84人

C ．108人

D ．115人

【答案】D 【解析】 【分析】

先求得100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此利用比例，求得500名学生中对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数. 【详解】

在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有100453223--=人，设对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有x 人，则100500

23x

=，解得115x =人. 故选：D 【点睛】

本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题. 5．若函数22y sin x ϕπ⎛⎫

<

+=的图象经过点0π⎛⎫

，，则函数22f x sin x cos x ϕϕ=-+-

图象的一条对称轴的方程可以为( ) A ．24

x π

=-

B ．3724

x π

=

C ．1724

x π

=

D ．1324

x π

=-

【答案】B 【解析】 【分析】 由点012π⎛⎫

⎪⎝⎭

，求得ϕ的值，化简()f x 解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得()f x 的对称轴，由此确定正确选项. 【详解】 由题可知220,122sin π

πϕϕ⎛⎫

⨯

+=< ⎪⎝

⎭

.6πϕ=- 所以()2cos 266f x sin x x ππ⎛⎫

⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭5226412x x πππ⎛⎫⎛

⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭ 令52,122x k k Z ππ

π+

=+∈， 得,242

k x k Z ππ=

+∈ 令3k =，得3724

x π

= 故选：B 【点睛】

本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题.

6．已知实数,x y 满足,10,1,x y x y y ≥⎧⎪

+-≤⎨⎪≥-⎩

则2z x y =+的最大值为（ ）

A ．2

B ．

32

C ．1

D ．0

【答案】B 【解析】 【分析】

作出可行域，平移目标直线即可求解. 【详解】 解：作出可行域：

由2z x y =+得，1122y x z =-

+ 由图形知，11

22

y x z =-+经过点时，其截距最大，此z 时最大

10y x x y =⎧⎨+-=⎩得12

12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，11,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 当121

2x y ⎧

=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

时，max 1232222z =+⨯=

故选：B 【点睛】

考查线性规划，是基础题.

7．O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ=

(

)·cos ?cos AB AC AB B

AC C

+

，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）

A ．重心

B ．垂心

C ．外心

D ．内心

【答案】B 【解析】 【分析】

解出AP ，计算AP BC ⋅并化简可得出结论． 【详解】

AP OP OA =-=λ（

AB AC AB cosB

AC cosC

+

⋅⋅），

∴()

...0AB BC AC BC AP BC BC BC AB cosB AC cosC λλ⎛⎫

⎪=+=-+= ⎪⋅⋅⎝⎭

，