导数及其应用(知识点总结)

导数及其应用 知识点总结

1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121

f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x

x f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线

()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率．

4、常见函数的导数公式： ①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=；

⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x

x 1)(ln '= 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦；

()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦

； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦．

6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减．

7、求解函数()y f x =单调区间的步骤：

（1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数''()y f x =；

（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；

（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．

8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：

()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值；

()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．

9、求解函数极值的一般步骤：

（1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x)

（3）求方程f ’(x)=0的根

（4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格

（5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况

10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是：

()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值；

()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．