导数及其应用(知识点总结)
(完整版)导数知识点总结及应用
《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。
2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。
函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=.4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。
由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。
当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。
特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。
5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。
导数及其应用知识清单
导数及其应用知识清单一、导数的概念(1)如果当时，有极限，就说函数在点处存在导数，并将这个极限叫做函数在点处的导数(或变化率)，记作或，即的几何意义是曲线在点处的；瞬时速度就是位移函数对的导数；加速度就是速度函数对______________的导数.(2)如果函数在开区间内的每一点都可导，其导数值在内构成一个新函数，这个函数叫做在开区间内的导函数，记作或 .二、几种常见函数的导数1、 2、3、 4、5、 6、7、 8、三、可导函数的四则运算法则法则1(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则2 .(口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号)法则3(口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号)四、函数的单调性函数在某个区间内，若，则为；若，则为；若，则为。
如果一个函数在某个区间内的绝对值，那么函数在这个范围内变化，这时函数的图象就越“”。
五、（1）函数极值的概念函数在点处的函数值比它在点附近其它点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的，叫做函数的 .函数在点处的函数值比它在点附近其它点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的，叫做函数的 . 极小值点与极大值点统称为，极小值与极大值统称为.（2）求函数极值的步骤：①；②；③。
六、函数的最大值与最小值在闭区间上连续，内可导，在闭区间上求最大值与最小值的步骤是：（1）；（2）。
七、生活中常遇到求利润，用料，效率等一些实际问题，这些问题通常称为。
八、利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：（1）分析实际问题中各个量之间的关系，建立实际问题的，写出实际问题中，根据实际问题确定。
（2）求函数的，解方程，得出定义域内的实根，确定。
（3）比较函数在和的函数值的大小，获得所求函数的最大（小）值。
（4）还原到原实际问题中作答。
知识结构说明：1、在对导数的概念进行理解时，特别要注意与是不一样的，代表函数在处的导数值，不一定为0 ；而是函数值的导数，而函数值是一个常量，其导数一定为0，即=0；2、对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.3、复合函数的求导问题是个难点，要分清中间变量与复合关系经典习题：1．(1)设函数在处可导，且，求；(2)已知，求.2．求下列函数的导数(1) (2)(3) (4)(5) (6)3．已知函数在处的导数值与函数值互为相反数，求的值。
导数知识点总结及应用
导数知识点总结及应用导数是微积分中的基本概念，是描述函数变化率的工具。
它具有广泛的应用，不仅在数学中起着重要作用，也在其他学科中有着广泛的应用，如物理学、经济学、工程学等。
本文将总结导数的基本知识点以及其应用。
一、导数的定义和性质导数可以通过极限的计算来定义，假设函数f(x)在点x_0处有定义。
那么f(x)在x_0处的导数可以定义为：f'(x_0)=lim(x→x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)导数的计算方法有很多，其中最基本的有以下几种：1.使用导数定义的极限计算法；2.利用导数的基本性质：线性性、乘法法则、链式法则等。
导数具有以下基本性质：1.若函数f(x)在点x_0处可导，则f(x)在该点连续；2.若函数f(x)在点x_0处可导，则f(x)在该点的函数值变化率为f'(x_0)。
二、导数的应用1.函数的极值与图像的凹凸性导数的一个重要应用是用于确定函数的最大值和最小值。
根据函数的图像和导数的符号，可以判断函数的增减性以及极值点。
具体来说，函数在极值点的导数为零，并且在极值点的导数变号。
另外，导数的符号还可以用来确定函数图像的凹凸性。
如果函数的导数在其中一区间上恒大于零，则函数在这一区间上是严格递增的，图像是凸的。
如果函数的导数在其中一区间上恒小于零，则函数在这一区间上是严格递减的，图像是凹的。
2.切线与法线函数的导数可以用来确定函数图像上任意一点处的切线和法线。
在其中一点x_0处，函数图像上的切线的斜率等于函数在该点处的导数值，即切线的斜率为f'(x_0)。
切线的方程可以通过点斜式来确定。
3.函数的近似计算函数的导数可以用来近似计算函数在其中一点处的函数值。
根据导数的定义，函数在该点的导数等于函数在该点的函数值变化率。
所以，如果已知其中一点的导数，可以通过导数乘以函数值变化的增量来估计函数值的增量。
4.曲线的弯曲程度导数还可以用来衡量曲线的弯曲程度。
导数及其应用知识点总结
导数及其应用知识点总结导数及其应用是微积分中的重要概念，它可以用来描述一个函数在其中一点的变化率，进而用于求解曲线的切线、求解最值、优化问题等。
在学习导数及其应用的过程中，我们需要掌握导数的定义、导数的计算法则、导数与函数性质的关系以及导数在几何和物理问题中的应用等知识点。
一、导数的定义1.函数在其中一点的导数：函数f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/h2.函数的导函数：函数f(x)在定义域上每一点的导数所构成的新函数，被称为函数f(x)的导函数，记作f'(x)。
二、导数的计算法则1.常数法则：对于常数k，有：(k)'=0。
2.幂函数法则：对于幂函数y=x^n，其中n为常数，则有：(x^n)'=n*x^(n-1)。
3.基本初等函数法则：对于基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数），可以通过求导法则求得其导函数。
4.乘积法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u*v)'=u'*v+u*v'。
5.商数法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^26.复合函数法则：对于复合函数y=f(g(x))，有：y'=f'(g(x))*g'(x)。
三、导数与函数性质的关系1.导函数与函数的单调性：若函数f(x)在区间I上可导，则f'(x)在I上的符号与f(x)在I上的单调性一致。
2.导函数与函数的极值：若函数f(x)的导函数在点x=a处存在，且导数的符号在x=a左侧从正数变为负数，那么函数在点x=a处取得极大值；若导数的符号在x=a左侧从负数变为正数，那么函数在点x=a处取得极小值。
3.导函数与函数的凹凸性：函数f(x)的导函数f''(x)的符号与函数f(x)的凹凸性一致。
导数在函数中的应用知识点讲解+例题讲解(含解析)
导数在函数中的应用一、知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数形如山峰形如山谷3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值一定大于其极小值.( )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)f (x )在(a ，b )内单调递增，则有f ′(x )≥0. (3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x 0为f (x )的极值点的充要条件是f ′(x 0)＝0，且x 0两侧导函数异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正. 答案 A3.函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( ) A.1eB.2eC.eD.e 2解析 因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ，令f ′(x )＝0，所以x ＝e ，当f ′(x )>0时，解得0<x <e ；当f ′(x )<0时，解得x >e ，所以x ＝e 时，f (x )取到极大值，f (x )极大值＝f (e)＝e. 答案 C4.(2019·青岛月考)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增D.单调递减解析易知f′(x)＝－sin x－1，x∈(0，π)，则f′(x)<0，所以f(x)＝cos x－x在(0，π)上递减.答案D5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.答案D6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为()A.4B.2或6C.2D.6解析函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当e＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.答案C考点一 求函数的单调区间【例1】 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值. (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，即x (x ＋1)(x ＋4)<0， 解得－1<x <0或x <－4，所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4). 规律方法 1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间. 2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.【训练1】 (1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增 D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >1e ，即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .(2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2考点二 讨论函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2， 故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2≥0， 即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].【训练2】 已知f (x )＝x 22－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间.解 因为f (x )＝x 22－a ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax .(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数. (2)当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x，则有①当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为(0，a ). ②当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞). 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞).考点三 函数单调性的简单应用 角度1 比较大小或解不等式【例3－1】 (1)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6(2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e 2的解集为( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(1，e)D.(e ，＋∞)解析 (1)令g (x )＝f （x ）cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(－sin x )cos 2x ＝1＋ln x cos 2x .由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )>0，解得1e <x <π2；由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )<0，解得0<x <1e .所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2上单调递增，又π3>π4，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4， 即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.(2)F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0， ∴F (x )在R 上单调递减.由F (x )<1e 2＝F (1)，得x >1， 所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞).答案 (1)B (2)B角度2 根据函数单调性求参数【例3－2】 (2019·日照质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x . (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围. 解 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0.∴h ′(x )＝1x －ax －2.(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间， 则当x >0时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解. 设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞). (2)由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立， 则a ≥1x 2－2x 恒成立，设G (x )＝1x 2－2x ， 所以a ≥G (x )max . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，x ∈[1，4]，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.又当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝（7x －4）（x －4）16x，∵x ∈[1，4]，∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x ≤0，当且仅当x ＝4时等号成立. ∴h (x )在[1，4]上为减函数. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.规律方法 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集.(2)f (x )是单调递增的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( ) A.4f (1)<f (2) B.4f (1)>f (2) C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)(2)(2019·淄博模拟)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.[2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12解析 (1)设函数g (x )＝f (x )x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′(x )－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)内为减函数，所以g (1)>g (2)，即f (1)12>f (2)22，所以4f (1)>f (2).(2)由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x ≥0在(2，＋∞)上恒成立，由于k ≥1x ，而0<1x <12，所以k ≥12.即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 (1)B (2)B三、课后练习1.(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－x B.f (x )＝x 2 C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x解析 设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，在定义域R 上为增函数，A 正确.对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B 不正确.对于C ，g (x )＝e x ·3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在定义域R 上是减函数，C 不正确.对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝2e x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确. 答案 A2.(2019·上海静安区调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( ) A.(e ，＋∞)B.(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 解析 f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x ).则原不等式可变形为f (ln x )<f (1)⇔f (|ln x |)<f (1). 又f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )， 由2＋cos x >0，得x >0时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. ∴|ln x |<1⇔－1<ln x <1⇔1e <x <e. 答案 D3.若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令cos x ＝t ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1，1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，134.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a （1－x ）x， 当a >0时，f (x )的递增区间为(0，1)， 递减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )为常函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a 2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点.由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧g ′(t )<0，g ′(3)>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9；由g ′(3)>0，即m >－373. ∴－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。
导数知识点总结及其应用
导数知识点总结及其应用导数是微积分中的重要概念，它是描述函数变化率的工具，可以帮助我们求解曲线的斜率、最值、凹凸性等问题。
在数学和物理中，导数有着广泛的应用，特别是在描述物体的运动、变化以及求解最优化问题等方面。
本文将对导数的定义、性质、求导法则以及其应用进行详细的总结和讨论。
一、导数的定义导数的定义是描述函数在某一点的变化率，可以理解为函数图像在该点处的斜率。
在数学上，导数可以通过极限的概念和定义得出。
给定函数f(x)，则f(x)在x=a处的导数定义为：\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]其中，f'(a)表示函数f(x)在x=a处的导数，h表示自变量的增量。
这个定义可以直观地理解为f(x)在x=a处的切线斜率。
当h趋于0时，极限就表示函数在点a处的斜率，也就是导数。
二、导数的性质1. 可导性函数在某一点可导意味着该点附近存在唯一的切线，也就是说函数在该点处光滑连续。
一般来说，几乎所有的函数都有导数，也就是可导的。
2. 连续性若函数在某一点可导，则该点处是连续的。
但反之不一定成立，即函数在某点处连续不一定可导。
3. 导数运算规则（1）常数导数若f(x)=c，c为常数，则f'(x)=0。
（2）幂函数导数若f(x)=x^n，则f'(x)=nx^{n-1}。
（3）和差导数若f(x)=g(x)+h(x)，则f'(x)=g'(x)+h'(x)。
（4）积导数若f(x)=g(x)·h(x)，则f'(x)=g'(x)·h(x)+g(x)·h'(x)。
（5）商导数若f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}，则f'(x)=\frac{g'(x)·h(x)-g(x)·h'(x)}{(h(x))^2}。
导数的基本概念及性质应用
导数的基本概念及性质应用考点：1、掌握导数的基本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解 2、能运用导数求解单调区间及极值、最值3、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。
能力：数形结合 方法：讲练结合新授课：一、 知识点总结：导数的基本概念与运算公式１、导数的概念函数y =)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比x Δ yΔ的极限，即)(x f '＝0x Δlim→xΔ y Δ＝x Δlim→xΔf(x)-x) Δ(+x f说明：分子和分母中间的变量必须保持一致 ２、导函数函数y =)(x f 在区间( a, b )内每一点的导数都存在，就说在区)(x f 间( a, b )内可导，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的导函数，记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值)(0x f '，就是)(x f 在0x 处的导数。
３、导数的几何意义设函数y =)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的切线斜率。
４、求导数的方法 （１）基本求导公式0='c )()(1Q m mx x m m ∈='-x x cos )(sin =' x x sin )(cos -=' x x e e =')( a a a x x ln )(=' xx 1)(ln ='ax x a ln 1)(log ='（２）导数的四则运算v u v u '±'='±)( v u v u uv '+'=')()0()(2≠=''-'v v v u v u v u（３）复合函数的导数设)(x g u=在点x 处可导，y =在点)(x f 处可导，则复合函数)]([x g f 在点x 处可导，)()())(('''x u f x f x ϕϕ=导数性质：1、函数的单调性⑴设函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为增函数；若)(x f '＜0则为减函数。
导数知识点归纳及应用
导数知识点归纳及应用导数是微积分中非常重要的一个概念，它描述了一个函数在其中一点处的变化率。
导数的应用非常广泛，不仅在数学中有着重要的意义，也在物理、经济、工程等领域中得到了广泛的应用。
下面将详细介绍导数的定义、性质及其应用。
首先，我们来看导数的定义。
设函数f(x)在点x=a处的导数为f'(a)，则导数的定义为：f'(a) = lim_(x→a) [f(x)-f(a)]/(x-a)其中，lim表示极限运算。
这个定义表明，导数可以通过求极限来得到，它描述了函数在点a处的变化率。
根据导数的定义，我们可以得到一些导数的基本性质。
首先，导数有线性性质，即对于任意的实数a和b，以及函数f(x)和g(x)，有：（af(x)+bg(x))' = af'(x)+bg'(x)其次，导数满足乘法法则和链式法则。
乘法法则表明，对于函数的乘积，其导数可以通过各个函数的导数来计算，具体而言有：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)链式法则表明，对于复合函数，其导数可以通过外层函数和内层函数的导数来计算，具体而言有：(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)此外，导数还满足反函数法则和导数的平均值定理。
反函数法则表明，对于反函数，其导数可以通过原函数的导数来计算，具体而言有：(f^(-1)(y))'=1/f'(x)导数的平均值定理表明，对于一个区间[a,b]上连续且可导的函数f(x)，存在一个点c，在[a,b]内，使得f'(c)等于函数在该区间的平均变化率。
了解了导数的定义和性质后，我们可以来看一些导数的应用。
首先，导数可以用于计算函数在其中一点的斜率。
具体而言，如果函数f(x)在点x=a处的导数存在，那么它就可以表示函数在该点处的斜率，即函数在该点处的切线的斜率。
其次，导数还可以用于确定函数的最值。
导数知识点总结大全
导数知识点总结大全一、基本概念1.1 导数的定义对于函数y = f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)，它定义为函数在该点的变化率。
导数可以用极限的概念来定义：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]其中，h表示自变量x的小变化量，当h趋近于0时，这个极限就表示了函数在点x处的导数。
导数也可以表示为函数的微分形式，即dy = f'(x)dx。
1.2 导数的几何意义导数有着重要的几何意义，它表示了函数在某一点上的切线斜率。
对于函数y = f(x)，在点(x, f(x))处的切线的斜率恰好等于函数在该点的导数f'(x)。
这意味着导数可以描述函数在某一点的变化速率和方向。
1.3 导数的物理意义在物理学中，导数也有着重要的物理意义。
对于物理量s关于时间t的函数s(t)，它的导数s'(t)表示了速度的变化率，即s'(t) = ds/dt。
类似地，速度关于时间的函数v(t)的导数v'(t)表示了加速度的变化率，即v'(t) = dv/dt。
因此，导数在描述物理过程中的变化率和速度方面也有着重要的应用。
1.4 导数的符号表示导数的符号表示通常有几种形式，常见的包括f'(x)、dy/dx、y'等。
它们都表示对函数y =f(x)的自变量x求导所得到的结果，即函数在某一点上的变化率或者斜率。
二、导数的性质2.1 导数存在性对于一个函数f(x)，它在某一点上的导数可能存在也可能不存在。
如果函数在某一点上导数存在，那么称该函数在该点上可导。
对于大多数常见的函数，它们在定义域内是可导的，例如多项式函数、三角函数、指数函数等。
但也存在一些特殊的函数，在某些点上导数可能不存在，例如绝对值函数在原点处的导数就不存在。
2.2 导数的连续性如果一个函数在某一点上导数存在，并且它在该点上是连续的，那么称该函数在该点上是可微的。
高中导数及其应用知识点归纳(总结得很好_实用)
函数与导数（一）函数的概念及其表示一、知识点x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．注意：函数定义域的就是定义中的集合A ，但函数的值域不是定义中的集合B,而是集合B 的一个子集。
2．函数的三要素：定义域，对应关系，值域。
3.定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)一个式子如果是幂的形式，且指数为零，那么它的底不能够等于零. (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.4.相同函数的判断方法：①对应关系相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)5．值域 ： 先考虑其定义域(1)观察法 (含绝对值，偶次根式，平方等可直接观察)：如1,1-=+=x y x y 。
（2）直接法（x 取有限个值的时候，可把所有函数值算出来）：如y=2x+1,{}3,2.1∈x （3）图像法：（凡是易画出图像的函数，都可用此法）如：422+-=x x y （[]3,0∈x ），双钩函数[])2,1(,2-∈+=x xx y(4)配方法：（适合于二次型函数）如：422+-=x x y ，245x x y -+= (5)分离常数法（主要适合于dcx b ax y ++=）如1121122132++=+++=++=x x x x x y （6）换元法;(适合于含无理根式的函数以及两个常见类型函数的复合函数)如[]，，可令∞+∈-=-+=01,142x t x x y 在换元后要给出新变量的范围。
函数的导数与导数应用知识点总结
函数的导数与导数应用知识点总结函数的导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在某一点的变化率。
导数应用则是指在解决实际问题时利用导数的性质和计算方法进行分析和求解。
下面将对函数的导数与导数应用的知识点进行总结。
一、函数的导数函数的导数在数学中是指函数在某一点的变化率，可以用来描述函数的变化速度和曲线的陡峭程度。
导数常用符号表示为f'(x)，表示函数f(x)在点x处的导数。
1. 导数的定义函数f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中lim表示极限，h表示x的增量。
2. 导数的几何意义函数在某一点的导数等于该点切线的斜率，也就是函数曲线在该点处的斜率。
3. 导数的基本性质导数具有以下基本性质：- 函数常数的导数为0，即常数函数的导数为0。
- 导数的和差法则，即导数的和（差）等于各导数的和（差）。
- 导数的常数倍法则，即函数乘以一个常数后，导数等于该常数乘以原函数的导数。
- 导数的乘积法则，即两个函数的乘积的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数加上另一个函数的导数乘以其中一个函数。
- 导数的商法则，即两个函数的商的导数等于分子函数的导数乘以分母函数减去分母函数的导数乘以分子函数，再除以分母函数的平方。
二、导数应用导数应用广泛应用于数学、物理、经济等领域，在解决实际问题时具有重要的意义。
以下是几个常见的导数应用知识点。
1. 最值问题导数可以用来求函数的最值问题，即求函数在一段区间上的最大值或最小值。
要求函数在区间内取得最值，需找到导数等于零或不存在的点，然后通过二阶导数的正负来判断最值是极大值还是极小值。
2. 函数图像的凹凸性和拐点导数可以用来分析函数图像的凹凸性和拐点。
当导数大于零时，函数图像凹向上，当导数小于零时，函数图像凹向下。
拐点是指函数图像由凹向上变为凹向下或由凹向下变为凹向上的点。
3. 斜率问题导数可以代表函数曲线在某一点处的斜率，因此可以用来分析曲线的特性和斜率问题。
导数及其应用-知识点整理(完整,清晰)
导数及其应用基本知识点1，导数：当x ∆趋近于零时，x x f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数C 。
可用符号“→”记作：当0→∆x 时，x x f x x f ∆-∆+)()(00c →或记作c x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim 000，符号“→”读作“趋近于”。
函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。
即x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(l i m)(0000'2，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。
即若点),(00y x P 为曲线上一点，则过点),(00y x P 的切线的斜率x x f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(l i m )(0000'切由于函数)(x f y =在0x x =处的导数，表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得：（1）求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数，即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率。
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：))((00'0x x x f y y -=-，如果曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为0x x =，故过点),(00y x P 的切线的方程为：))((00'0x x x f y y -=- 3，导数的四则运算法则：（1）)()())()((x g x f x g x f '±'='± （2）)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='（3）)()()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡4，几种常见函数的导数：(1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）（ (3)x x cos )(sin =' (4)x x sin )(cos -='(5)x x 1)(ln =' (6)e xx a a log 1)(log =' (7)x x e e =')( (8)a a a x x ln )(=' 5，函数的单调性：在某个区间),(b a 内，如果0)('>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)('<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减。
导数的基本概念及性质应用
导数的基本概念及性质应用Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT导数的基本概念及性质应用考点：1、掌握导数的基本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解 2、能运用导数求解单调区间及极值、最值3、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。
能力：数形结合 方法：讲练结合新授课：一、 知识点总结：导数的基本概念与运算公式１、导数的概念函数y =)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比x Δ yΔ的极限，即)(x f '＝0x Δlim→xΔ yΔ＝x Δlim→xΔf(x)-x) Δ(+x f说明：分子和分母中间的变量必须保持一致 ２、导函数函数y =)(x f 在区间( a, b )内每一点的导数都存在，就说在区)(x f 间( a, b )内可导，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的导函数，记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值)(0x f '，就是)(x f 在0x 处的导数。
３、导数的几何意义设函数y =)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的切线斜率。
４、求导数的方法 （１）基本求导公式0='c )()(1Q m mx x m m ∈='-x x cos )(sin =' x x sin )(cos -=' x x e e =')( a a a x x ln )(=' xx 1)(ln =' ax xa ln 1)(log ='（２）导数的四则运算v u v u '±'='±)( v u v u uv '+'=')()0()(2≠=''-'v v v u v u v u（３）复合函数的导数设)(x g u=在点x 处可导，y =在点)(x f 处可导，则复合函数)]([x g f 在点x 处可导，)()())(('''x u f x f x ϕϕ=导数性质：1、函数的单调性⑴设函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为增函数；若)(x f '＜0则为减函数。
导数的应用与求导法则知识点总结
导数的应用与求导法则知识点总结导数在数学和物理学中具有广泛的应用。
它是描述函数变化率的工具，可以用来解决许多实际问题。
在本文中，我们将讨论导数的应用以及一些常用的求导法则知识点。
一、导数的应用1. 切线与法线导数可以用来求解曲线上的切线和法线。
给定一个函数f(x)，我们可以通过求解导数f'(x)来获得曲线上任意一点的切线斜率。
切线的斜率是导数的值。
与切线垂直的线被称为法线。
法线的斜率是切线斜率的负倒数。
2. 最值问题导数可以帮助我们找到函数的最值点。
在一个区间内，函数的最大值和最小值通常出现在导数为零或不存在的点。
因此，我们可以通过求解导数为零的方程来找到这些临界点，然后通过比较函数值来确定最值。
3. 凹凸性与拐点导数可以用来判断函数的凹凸性以及拐点的位置。
如果导数在某个区间内是递增的，那么函数在该区间内是凹的；如果导数是递减的，那么函数是凸的。
拐点发生在导数变化的方向改变的点。
4. 高阶导数导数的概念可以进一步推广到高阶导数。
高阶导数描述了函数变化的更高阶性质，比如曲率和弯曲程度。
通过求解导数的导数，我们可以计算出函数的高阶导数。
二、求导法则知识点1. 基本导数法则基本导数法则是求导的基础。
它包括了常数规则、幂函数规则、指数函数规则、对数函数规则和三角函数规则。
这些法则允许我们快速求解各种类型的函数导数。
2. 乘积法则乘积法则可以用来求解两个函数的乘积的导数。
假设有两个函数u(x)和v(x)，它们的乘积为f(x) = u(x)v(x)。
那么，f'(x) = u'(x)v(x) +u(x)v'(x)。
3. 商积法则商积法则可以用来求解两个函数的商的导数。
假设有两个函数u(x)和v(x)，它们的商为f(x) = u(x) / v(x)。
那么，f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / v(x)^2。
4. 链式法则链式法则可以用来求解复合函数的导数。
导数的应用知识点总结
导数的应用知识点总结一、导数的定义与几何意义。
1. 导数的定义。
- 函数y = f(x)在x = x_0处的导数f^′(x_0)定义为f^′(x_0)=limlimits_Δ x→0(Δ y)/(Δ x)=limlimits_Δ x→0frac{f(x_0+Δ x)-f(x_0)}{Δ x}。
- 如果函数y = f(x)在开区间(a,b)内的每一点都可导，就说f(x)在区间(a,b)内可导。
这时对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数f^′(x)，这样就构成了一个新的函数f^′(x)，称它为函数y = f(x)的导函数，简称导数，记作y^′或f^′(x)或(dy)/(dx)等。
2. 导数的几何意义。
- 函数y = f(x)在点x_0处的导数f^′(x_0)的几何意义是曲线y = f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线斜率。
- 曲线y = f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线方程为y - f(x_0)=f^′(x_0)(x - x_0)。
二、导数的基本公式与运算法则。
1. 基本公式。
- (C)^′ = 0（C为常数）- (x^n)^′ = nx^n - 1（n∈ Q）- (sin x)^′=cos x- (cos x)^′ =-sin x- (a^x)^′ = a^xln a（a>0,a≠1）- (e^x)^′ = e^x- (log_ax)^′=(1)/(xln a)（a>0,a≠1,x>0）- (ln x)^′=(1)/(x)2. 运算法则。
- (u± v)^′ = u^′± v^′- (uv)^′ = u^′ v + uv^′- ((u)/(v))^′=(u^′ v - uv^′)/(v^2)(v≠0)三、导数在函数单调性中的应用。
1. 函数单调性与导数的关系。
- 设函数y = f(x)在某个区间内可导，如果f^′(x)>0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递增；如果f^′(x)<0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减。
高中数学导数知识点总结3篇
高中数学导数知识点总结第一篇：导数定义、基本求导公式及其应用关于导数的定义导数是微积分学中的一项重要知识，是描述函数变化率的概念。
对于函数f(x)而言，若它在点x0处可导，则导数f'(x0)表示函数f(x)在该点的变化率，即当x在x0附近微小偏移时，f(x)的改变量与x偏移量的比值。
导数的求法1. 使用导数定义根据导数的定义，导数f'(x)可以表示为：f'(x) = limΔx→0 [f(x+Δx)-f(x)]/Δx这个方法比较麻烦，但在某些特殊情况下比较有用。
2. 使用基本求导公式基本求导公式有以下几种形式：1）常数函数的导数为零。
2）幂函数的导数为：(xn)'=nxⁿ⁻¹。
3）指数函数的导数为：(ex)'=ex。
4）对数函数的导数为：(lnx)'=1/x。
5）三角函数的导数为：（sinx）'= cosx，(cosx)'= -sinx，(tanx)'= sec²x，(cotx)'= -csc²x。
3. 使用导数定理导数定理包括和法、差法、积法、商法和复合函数求导法。
它们的公式分别为：1）和法：[u(x)+v(x)]' = u'(x) + v'(x)。
2）差法：[u(x)-v(x)]' = u'(x) - v'(x)。
3）积法：[u(x)·v(x)]' = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x)。
4）商法：[u(x)/v(x)]' = [u'(x)·v(x) -u(x)·v'(x)]/v²(x)。
5）复合函数求导法：[f(g(x))]′=f′(g(x))·g′(x)。
导数的应用1. 判断函数在某点的单调性和极值若函数在某点的导数f'(x0)符号发生改变，则该点是函数f(x)的极值点。
函数导数及其应用总结
函数导数及其应用总结一、导数的概念与性质导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
对于函数y=f(x)，其导数可表示为f'(x)或dy/dx。
导数的计算通常通过求导公式来实现，例如常见的导数公式有幂函数的导数法则、指数函数和对数函数的导数法则、三角函数的导数法则等。
导数具有一些重要的性质，包括常数的导数为零、函数的和、差、积的导数等。
二、导数的几何意义与图像表示导数在几何上有着重要的意义，它可以代表函数图像在某点处的切线斜率。
当导数为正时，函数图像呈上升趋势；当导数为负时，函数图像呈下降趋势。
通过导数与函数图像的关系，我们可以判断函数的增减性、极值点等。
三、导数的应用领域导数在实际问题中有着广泛的应用，下面介绍几个常见的应用领域。
1. 最优化问题最优化问题指的是在一定条件下求取使得函数取得极大或极小值的自变量。
导数在这类问题中起到了关键作用。
通过求取函数的导数，我们可以得到函数的极值点，进而找到最优解。
例如，通过求解导数等于零的点，我们可以得到函数的驻点，然后进一步判断其是否为极大值或极小值。
2. 物理学中的应用导数在物理学中也有着广泛的应用，特别是在描述物体运动和变化的问题中。
例如，通过对位移函数求导，可以得到速度函数；再对速度函数求导，可以得到加速度函数。
这样，我们可以通过导数来描述物体的运动过程，进而分析速度的变化率和加速度的大小。
3. 经济学中的边际分析在经济学中，导数被用于边际分析。
边际分析是研究单位变动引起的效果变化的方法。
通过求取效用函数或生产函数的导数，我们可以得到效用或生产的边际效应。
这样，我们可以基于边际效应来进行经济决策，比如决定增加生产量的数量。
四、导数的计算技巧与注意事项在求导过程中，有一些常见的计算技巧可以帮助我们简化问题。
一些常见的技巧包括使用分段函数的导数法则、利用链式法则求复合函数的导数、使用隐函数求导法则等。
此外，还需要注意一些特殊函数的导数规律，例如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
导数及其应用
导数及其应用一、知识点3.1导数3.1.1 函数的平均变化率 3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义 3.2 导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表 3.2.3 导数的四则运算 3．3 导数的应用3.3.1 利用导数判断函数的单调性 3.3.2 利用导数研究函数的极值 3.3.3 导数的实际应用3.1.1函数的平均变化率1.定义：已知函数)(x f y =在点0x x =及其附近有定义，令0x x x -=∆；)()()()(0000x f x x f x f x f y y y -∆+=-=-=∆。
则当0≠∆x 时，比值xyx x f x x f ∆∆=∆-∆+)()(00 叫做函数)(x f y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率。
注：这里.00.可以为，但可为正值，也可为负值，y x y x ∆≠∆∆∆ 2.函数平均变化率的应用例1． （1）求2x y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率。
解：当自变量从0x 变到x x ∆+0时，函数的平均变化率为x x xx x x x x f x x f ∆+=∆-∆+=∆-∆+0220002)()()(。
当x ∆取定值，0x 取不同数值时，该函数的平均变化率也不一样。
可以由图看出变化。
【随堂练习】1．函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，Δy ＝( D )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)2．若函数f (x )＝x 2－1，则当自变量x 由1变为1.1时函数的平均变化率为( A )A ．2.1B ．1.1C ．2D ．03．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( D )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ；k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx .∵Δx 可正也可负，∴k 1与k 2的大小关系不确定．4．已知一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 到(3＋Δt )s 之间的平均速度是( A )A ．5＋Δt (m /s)B ．5＋(Δt )2(m/s)C ．5(Δt )2＋Δt (m /s)D ．5(Δt )2(m/s)解析：由定义有Δs Δt ＝(3＋Δt )2－(3＋Δt )＋1－32＋3－1Δt＝5＋Δt .5．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，ΔyΔx＝________.解析：∵Δy ＝(2＋Δx )3－2－(23－2)＝(2＋Δx )2(2＋Δx )－8 ＝[4＋4·Δx ＋(Δx )2](2＋Δx )－8 ＝12·Δx ＋6(Δx )2＋(Δx )3， ∴ΔyΔx＝12＋6·Δx ＋(Δx )2. 6．设自变量x 的增量为Δx ，则函数y ＝log 2x 的增量Δy 为________．解析：Δy ＝log 2(x ＋Δx )－log 2x ＝log 2x ＋Δx x ＝log 2(1＋Δxx)．7.如图是函数y ＝f (x )x ∈[－1,3]的图象，求 (1)函数f (x )在－1到1之间的平均变化率； (2)函数f (x )在0到2之间的平均变化率．解：(1)函数f (x )在－1到1之间的平均变化率为 f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.（2）求xy 1=在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率。
导数综合运算知识点总结
导数综合运算知识点总结一、导数的定义及意义：1. 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记为f'(a)，定义为极限$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$其中f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的导数。
2. 导数的几何意义：函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的切线斜率。
也即在点x=a处，函数f(x)的变化率。
3. 导数的物理意义：如果函数f(x)表示某一物理量y关于另一物理量x的变化规律，那么函数f'(x)表示物理量y关于物理量x的变化率。
4. 导数的符号：函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)的符号表示函数f(x)在点x=a处的增减情况。
当f'(a)>0时，函数f(x)在点x=a处是增加的；当f'(a)<0时，函数f(x)在点x=a处是减小的；当f'(a)=0时，函数f(x)在点x=a处是不变的。
二、导数的运算法则：1. 基本导数法则：(常数函数规则、幂函数规则、指数函数规则、对数函数规则、三角函数规则、反三角函数规则、双曲函数规则)。
2. 复合函数的导数法则：函数f(g(x))的导数等于f'(g(x))g'(x)。
链式法则。
3. 反函数的导数法则：如果函数y=f(x)在区间I上单调、可导，并且在区间I上f'(x)≠0，则有反函数x=f^(-1)(y)在区间J上也可导，并且在区间J上f^(-1)'(y)=1/f'(f^(-1)(y))。
4. 参数方程的导数：如果x=f(t)、y=g(t)是参数方程，且函数f(t)、g(t)在t处可导，则参数方程x=f(t)、y=g(t)的导数dx/dt=f'(t)、dy/dt=g'(t)。
5. 隐函数的导数：若函数F(x，y)=0表示隐函数，且F(x,y)在点P(x0,y0)的邻域内具有连续偏导数，则隐函数y=f(x)的导数dy/dx可用偏导数表示：dy/dx=-∂F/∂x/∂F/∂y。
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导数及其应用 知识点总结
1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121
f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x
x f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线
()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率．
4、常见函数的导数公式： ①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=；
⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x
x 1)(ln '= 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦；
()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦
； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦．
6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减．
7、求解函数()y f x =单调区间的步骤：
（1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数''()y f x =；
（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．
8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：
()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值；
()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．
9、求解函数极值的一般步骤：
（1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x)
（3）求方程f ’(x)=0的根
（4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格
（5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况
10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是：
()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值；
()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．。